Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones binarias y productos cartesianos. Define pares ordenados, productos cartesianos, relaciones binarias, dominio y rango de una relación. Explica las propiedades de una relación como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para aplicar estos conceptos.

1. MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
RELACIONES BINARIAS
PROPOSITO: IDENTIFICAR PARES ORDENADOS PARA REPRESENTARLOS MEDIANTE
PRODUCTOS CARTESIANOS Y RELACIONES BINARIAS.
PAR ORDENADO
Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo “a” la 1era
componente y “b” la segunda componente.
Teorema
Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivas
componentes son iguales.
Así tenemos:
. (a; b) = (c; b)  a = c  b = d .
!ATENCIÓN!
(a; b)  (b; a)
Ejemplo:
1. Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar “m +
n”
Resolución
(2m + 1; 9) = (7; n + 2)
 2m + 1 = 7  9 = n + 2
m = 3 n = 7
 m + n = 10
2. Si los pares ordenados (2m + 1; 14), (17;3n + 2) son iguales, hallar “m
- n”
Resolución
(2m + 1; 14) = (17; 3n + 2)
 2m + 1 = 17  14 = 3n + 2
m = 8 n = 4
 m - n = 4
PRODUCTO CARTESIANO
A x B {(a; b)/a  A  b  B}
Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}
Hallar A x B y B x A
Resolución
A x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}
B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}
Propiedades
1. n(A x B)  n(A) x n(B)
2. Si: A x B = B x A  A = B
3. Notación: A x A = A2
Grafica de un producto Cartesiano
Sea: A = {1; 2; 3}  B = {a; b}
Hallar: . A x B y graficar .
Resolución
A x B = {1; 2; 3} . {a; b}  A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

2. MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
69
RELACIONES
. R = {(x; y)  A x B / x  A  x  B} .
En la relación R de A en B denotado por R: A  B.
es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e
y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la
correspondencia entre ellos.
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {3, 6, 2} B = {4, 7}
Hallar:
A x B =
R1 = {(x; y)}  A x B / x < y}
R2 = {(a; b)  A x B / a + b es par}
R3 = {(m, n)  A x B / m . n es múltiplo de 3}
Resolución
A x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}
R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}
R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)}
R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)}
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dominio
Es el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de
los pares ordenados de la relación.
Rango
Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de
los pares ordenados de la relación.
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}
Se define la relación R1 de la siguiente manera:
R1 = {(x; y)  A . B / x < y}
Hallar su dominio y rango de R1
Resolución
A . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}
R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}
Luego
Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}
Rango de R1 = Rang (R1) = {12}

3. MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
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RELACIÓN BINARIA
Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si
es un subconjunto del producto cartesiano A x B
Notación:
R: A  B  R  A x B
Donde
R: A  B, si lee: “R es una relación de A en B”
R  A x B; se lee “R esta incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”
Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,}  B = {1, 2}
Hallar: R = {(x; y)  A x B / x  2}
Resolución
A x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}
Luego:
R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}
Propiedades de las Relaciones Definidas en un Conjunto
A continuación, veamos tres propiedades muy importantes en las
relaciones definidas en un conjunto.
1. Propiedad reflexiva.
Se dice que en una relación es reflexiva cuando cada elemento del
conjunto dado está relacionado consigo mismo.
Notación
R es Reflexiva en A si  a  A, aRa dicho de otra manera una relación es
reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de
A tienen un lazo como el que se indica:
Ejemplo:  Qué relación definida en A
A = {1, 2, 3, 4} es reflexiva
R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)}
R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)}
R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)}
R1
R2
R3
Resolución
R1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto “A” están
relacionados consigo mismo.
R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no
esta relacionado consigo mismo.

4. MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
2. Propiedad Simétrica
Una relación es simétrica cuando cada vez que a está relacionado en b,
entonces b está relacionado con a.
Notación
R es simétrica en A, si  a  A; b  A
a R b  b R a
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {1, 2, 3}
y R = {(x; y)  A . A / x + y es par}
Resolución
A . A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3)
(2; 1); (2; 2); (2; 3)
(3; 1); (3; 2); (3;3)}
Los marcados son los que cumplen la condición, luego R es:
R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}
3. Propiedad Transitiva
Una relación es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b
esta relacionado con c, entonces a está relacionado con c.
Notación:
R transitiva en A, si  a, b,  c  A,
a R b  b R c  a R c
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3} y la relación R se define así:
R = {(x; y)  A2
/ x + y = Par}
Resolución
R = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)}
4. Relación de Equivalencia
Una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva,
simétrica y transitiva,
Ejemplo:
A = {5, 6, 7}, y R es una relación definida de la siguiente manera:
R = {(x; y)  A2
/ x + y es par}
Resolución
R = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)}
Si es Reflexiva Si es Simétrica
Si es transitiva
 R es una relación de equivalencia

5. MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
PROBLEMAS DE APLICACION
1. Hallar la suma de los elementos
del dominio de la relación:
R = {(1; 0), (2; 3), (7; 9), (2;5)}
Rpta.
2. El gráfico adjunto, indica la
relación “R” definida en A x A.
Calcular la suma de los
elementos del rango de la
relación
Rpta.
3. Hallar los valores de “x” e “y”
para que exista la igualdad de
los siguientes pares ordenados.
(3x; 10) = (18; y - 3)
(5; 3 – 2x) = (5y; 5)
Rpta.
4. Hallar la mayor suma de
elementos de algún par
ordenado de N x M. Si
M = {x  N / 3 < x < 6}
N = {x  z / -2 < x 1}
Rpta.
5. Hallar el dominio de R1 en:
A = {2; 3; 5; 6}  B = {3; 4; 6}
R1 = {(x; y)  A x B / x < y}
Rpta.
6. Hallar el rango de R2 en:
A = {3; 5; 7; 9}  B = {1, 2}
R2 = {(x; y)  A x B / x + y > 6}
Rpta.
7. Dado el conjunto:
A = {x/x N; 5 < 2x < 15}
Hallar el rango de la
relación
R = {(a; b)  A x A / a + b
< 9}
Rpta.
8. Dadas las siguientes
relaciones, definidas en M = {3,
5; 7} indicar la relación que es
simétrica. Justifique su
respuesta.
R1 = {(3; 3), (3; 7), (7; 5)}
R2 = {(5; 3), (3; 5), (5; 5), (7;5)}
R3 = {(7;7),(3;5),(5;3),(7;5),(5;7)}
Rpta.
9. Dadas las siguientes relaciones
definidas en A = {1; 2; 3}
indicar la relación que es de
equivalencia. Justifique su
respuesta
R1 = {(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;3)}
R2 = {(1;1),(2;2),(3;3),(1;3),(3;2)}
R3={(1;3),(3;1),(1;2),(2;1),(2;2)}
Rpta.
10.Dados los conjuntos
A = {2; 4; 6}
B = {1; 2; 3}
Se tiene una relación “R” de “A” en
“B”.
R={(2;1) (2;2) (2;a) (4;1) (4;b) (4;3)}
Si ningún par ordenado de “R” está
repetido, hallar “a + b”
Rpta.
11.Hallar la suma de los
elementos del dominio de la
relación “R” de “A en “A”
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
R = {(a; b)  A x A / b = a + 2}
Rpta.
12.Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}
B = {4; 5; 7; 8}
¿Cuál de los siguientes
conjuntos son relaciones de
“A” en “B”
R1 = {(1; 5), (2; 7), (2; 8)}
R2 = {(2; 5), (2; 8), (4; 4)}
R3={(3; 5),(4; 2),(4; 8)}
Rpta.
13.Dados los conjuntos:
A = {1; 3; 6}
B = {2; 4; 7}
C = {3; 4; 5; 6}
Cuántos conjuntos tendrá
(A - B) x (B - C)
Rpta.