Este documento describe el movimiento armónico simple y el movimiento libre amortiguado. El movimiento armónico simple se describe mediante una ecuación diferencial del segundo orden. El movimiento libre amortiguado se modela mediante otra ecuación diferencial que incluye un término de amortiguamiento. Existen tres casos posibles para este movimiento dependiendo de si es sobreamortiguado, críticamente amortiguado o subamortiguado.

1. SISTEMA DE MASA Y RESORTE
kxksmgkxmgxsk
dt
xd
m −=−+−=++−=

cero
2
2
)(

2. donde ω = k/m.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE O
LIBRE NO AMORTIGUADO
02
2
2
=+ x
dt
xd
ω
La solución general es:
tctctx ωω sincos)( 21 +=

3. β es una constante de amortiguamiento positiva.
Luego x”(t) + (β/m)x’ + (k/m)x = 0 puede ponerse como
donde 2λ = β/m, ω2
= k/m
La ecuación auxiliar es m2
+ 2λm + ω2
= 0, y las raíces
son
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
dt
dx
kx
dt
xd
m β−−=2
2
02 2
2
2
=++ x
dt
dx
dt
xd
ωλ
22
2
22
1 , ωλλωλλ −−−=−+−= mm

4. • λ2
– ω2
> 0. Sea entonces
Se dice que es sobreamortiguado.
Caso 1:
)()(
2222
21
ttt
ececetx ωλωλλ −−−−
+=
,22
ωλ −=h

5. Caso 2:
• λ2
– ω2
= 0. Luego
Se dice que es críticamente amortiguado.
)()( 21 tccetx t
+= −λ

6. • λ2
– ω2
< 0. Sea entonces
Se dice que es subamortiguado.
Caso 3:
,22
ωλ −=h
imim 22
2
22
1 , λωλλωλ −−−=−+−=
)sincos()( 22
2
22
1 tctcetx t
λωλωλ
−+−= −
Alternativa:
)sin()( 22
φλωλ
+−= −
tAetx t
,2
2
2
1 ccA +=
2
1
tan
c
c
=φ

7. MOVIMIENTO FORZADO CON
AMORTIGUAMIENTO
)(2
2
tf
dt
dx
kx
dt
xd
m +−−= β
)(2 2
2
2
tFx
dt
dx
dt
xd
=++ ωλ
mkmmtftF /,/2,/)()( 2
=== ωβλ