Este documento trata sobre oscilaciones mecánicas. En el Capítulo I se analiza el movimiento libre no amortiguado, aplicando la ley de Hooke, la segunda ley de Newton y resolviendo la ecuación diferencial resultante. Se definen el período y la frecuencia. En el Capítulo II se estudian osciladores amortiguados, sobre amortiguados, con amortiguamiento crítico y débil, resolviendo en cada caso la ecuación diferencial correspondiente. Se incluyen ejercicios resueltos y propuestos relacionados con est

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
INGENIERIA EN SISTEMAS INFORMATICOS Y DE COMPUTACIÓN
OSCILACIONES
REALIZADO POR:
ARTEAGA MADAI
NIETO DANILO
PAREDES ANDRES
REMACHE CRISTIAN
CURSO: SIS 504-GR1
PROFESOR:
ING. EZEQUIEL A. GUAMÁN T.
QUITO-ECUADOR
ABRIL 2013

2. I
Índice de contenidos
Portada……………………………………………………………………. 0
Índice…………………………………………………….………………… I
Plan de Trabajo………………………………….…………………..... II
Introducción……………………………………………………………. 1
Capítulo I:
Movimiento Libre no Amortiguado (M.L.N.A)……………..
2
Ley de Hooke..……………………………………………………......…
2
Segunda Ley de Newton…………………………………………….
4
Ecuación Diferencial M.L.N.A……………………………………..
6
Ecuación del Movimiento…………………………………………..
7
Período y Frecuencia…………………………………………………
7
Ejercicios Resueltos y Propuestos……….……………………..
8
Capítulo II:
Oscilador Amortiguado...…………………………………………...
9
Oscilador Sobre Amortiguado…..………………..…………….
11

3. I
Oscilador con Amortiguamiento Crítico……………………
12
Oscilador con Amortiguamiento Débil...……………………
12
Ejercicios Resueltos y Propuestos..….……………………….
14
Conclusiones…………………………………………….…………….
Recomendaciones………………………………….………………..
Bibliografía………………………………………………………………

4. II
Plan de Trabajo
1. Tema: Oscilaciones
2. Objetivos:
2.1 General: Aplicar los conocimientos de resolución de
Ecuaciones Diferenciales para diversas asignaturas.
2.2 Específico:Resolver problemas de física de movimientos
amortiguado y no amortiguado.
3. Planteamiento del Problema:
La destreza en la resolución de ecuaciones diferenciales, de primer
orden u orden superior, dependen de cuanta práctica exista por
parte del ejecutante, por lo que hay que buscar la forma de aplicarlas
con frecuencia.
4. Posible Solución al Problema:
La aplicación de las ecuaciones diferenciales en diversas asignaturas
como en Física, ayuda en la práctica de sus métodos de resolución; y
por supuesto, nos da la solución a planteamientos de problemas que
se pueden dar en la vida cotidiana o laboral.
5. Metodología:
5.1 Tipo de Investigación: Exploratoria
5.2 Métodos: Científico; Deductivo.
6. Calendarización:
6.1 Fecha de Entrega: 18 de abril de 2013

5. II
OSCILACIONES
Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos
lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de
segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales
especificadas en un tiempo que tomaremos como:
Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada
del sistema. Una solución de la ecuación en un intervalo I que contiene a
que satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta del
sistema.
SISTEMA RESORTE/MASA MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
LEY DE HOOKE
Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se
le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o
elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el
resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una
fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la
cantidad de elongación y es expresada en
forma simple como , donde es
una constante de proporcionalidad llamada
constante de resorte. El resorte se
caracteriza en esencia por el número . Por
ejemplo, si una masa que pesa 10 [libras]
hace que un resorte se alargue pie,
entonces implica que
. Entonces necesariamente
una masa que pesa, digamos, 8 libras
alarga el mismo resorte sólo pie .

6. II
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Después de quese une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una
cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante
donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada
como . La condición de equilibrio es Si
la masa es una cantidad de su posición de
equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es
entonces . Suponiendo que no hay
fuerzas restauradoras que actúan sobre el
sistema y suponiendo que la masa vibra libre de
otras fuerzas externas «movimiento libre» se
puede igualar la segunda ley de Newton con la
fuerza neta o resultante de la fuerza
restauradora y el peso.
El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa
opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los
desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.
ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de
segundo orden o,
Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico
simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias
relacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa,
respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando
, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y

7. II
, la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade la
posición de equilibrio.
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar
son los números complejos y . Así la solución
general bien dad por:
PERIODO
Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo
[segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una
oscilación completa de la masa.
FRECUENCIA
Es y es el número de ciclos completado por segundo
Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado”
1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la
masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con
una velocidad ascendente de . Determinar la ecuación del Movimiento.
Solución:
Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones
dadas en términos de pulgadas se deben convertir:
El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el
signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa
se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.

8. II
Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial
es:
2. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento,
el sistema resorte/masa exhibe movimiento si la constante de resorte es 1lb/pie
y la masa se libera incialemte desde un punto 6 pulgadas debajo de la posición
de equilibrio, con una velocidad descendente de 3/2 pie/s. Exprese la ecuación
de movimiento en la forma
3. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie.
¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?
Rpta.:
Ejercicios propuestos
1. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50
kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente con una
velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación del movimiento?
Rpta.:
2. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes y
soportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se
expresa como . Una masa pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte
y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y
luego a una placa metálica. Como se muestra en la figura, la masa se une el
centro de la placa en la configuración del resorte doble. Determinar la constante
de resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación del movimiento de la
masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad
descendente de 2 [pies/s]

9. II
Rpta:
3. Un modelo de un sistema de resorte/masa es . Por inspeccion
de la ecuacion diferencial solamente, describael comportamiento del sistema
durante un periodo largo.
Rpta.
4. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ¿Cuál
es el periododel movimiento armónico simple?
5. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte
rígido, pero enposición paralela a la del sistema resorte y masa 50Kg. Al
segundo resorte se lefija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su
posición de equilibrio con una velocidadde 10 m/s hacia arriba.
a) ¿Cuál masa tiene la mayor amplitud de movimiento?
b) ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t = 7r/4 s? ¿Y cuandot
= 7r/2 s?
c) ¿En qué momento están las dos masas en la misma posición?
¿Dónde están en esemomento? ¿En qué direcciones se mueven?
6. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento
armónico simplees 2/pi oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k
del resorte? ¿Cuál es la frecuenciadel movimiento armónico simple si la
masa original se reemplaza con una de 80 kg?

10. II
OSCILADOR AMORTIGUADO
Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de
fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es
disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado,
salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que
cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio.
La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del
amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el
movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este
valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante
al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye
exponencialmente con el tiempo.

11. II
Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de
recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según
la ecuación
F= -kx
Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la
segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial
delmovimiento
que describe un oscilador armónico simple.
En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se
considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de
movimiento

12. II
donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento,
signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de
que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton
obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres
tipos de soluciones según el valor de :
Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o
supercrítico)
Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil
o sub crítico)
OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO
En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución
es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no
oscila. La solución es de la forma:
donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo
que no hay oscilación):
y
y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema
para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera
asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes

13. II
de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del
efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta
tendencia hacia la posición de equilibrio.
OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando
La solución única es:
como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación
de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el
amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio,
pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores
positivos y negativos).
OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO DÉBIL
En este caso, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio
con amplitud decreciente. Sucede cuando:
Al dividir la ecuación por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento
amortiguado
O sea:
Donde el símbolo 2ʎ sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación
auxiliar queda

14. II
m^2 + 2 ʎ m + w^2 = 0 y las raíces correspondientes son
Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de
ʎ ^2 – w^2. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e^(-
ʎt), ʎ> 0, los
desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
CASO III: ʎ ^2 – w^2< 0
La solucion general de la ecuacion sera:
EJERCICIOS
1.-Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de
amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa
sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la
posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.
8 = k(2) da k = 4 lb/ft.
Entonces W = mg da
m = 1/4 slug
m1=m2=-4
Entonces el sistema es criticamente amortiguado
al aplicar condiciones iniciales c1=0 y c2=-3

15. II
asi la ecuación del movimiento es
2.- Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición
de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un
punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t).
Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento
numéricamente igual a la velocidad instantánea.
Después de unir el peso, es 8.2 - 5 = 3.2 ft
16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =1/2 slug
C1=-2 y C2=-2/3
3.-supongase que el movimiento masa resorte de un sistema con amortiguamiento
queda descrito mediante la siguiente manera:
Determine la ecuación del movimiento para b=6 y b=10.
Ecuación auxiliar =

16. II
Caso 1:
b=6
m=-3+4i
m=-3-4i
es un caso de sub amortiguamiento
con
c1=1 y c2=3/4
Caso 2:
b=10
m=-5
m=-5
es un caso de amortiguamiento critico
con
c1=1 y c2=5
4.- una masa de ¼ de kg esta unida a un resorte con una rigidez de 4 N/m como se
muestra en la figura . la constante de amortiguamiento b para el sistema es de
1N*seg/m. se la masa se desplaza ½ m a la izquierda y recibe una velocidad inicial
de 1 m/seg a la izquierda, determine la ecuacion de movimiento

17. II
se sustituye los valores de m,b y k en la
ecuación y obtenemos el problema con
valores iniciales
La ecuación auxiliar
Tendrá las soluciones
m=-2+2
m=-2-2
La solución será
Aplicando las condiciones iniciales tenemos
C1=-1/2 y C2=-1/

18. II
Ejercicios propuestos
1.-Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato
de una báscula de masa 10 kg . El muelle de la báscula tiene una constante elastica
de 8 kg/cm.
Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos,
calcúlense:
a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del
movimiento del
conjunto cuerpo-plato.
(Respuestas: y2 = 0,171 m; x = 0,16 cos(19,8t)
2.- Una pesa de 16 Ib estira f ft un resorte. Al principio, parte del reposo a 2 ft
arriba de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que
presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la
velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa está
impulsada por una fuerza externa igual a f (t) =
10 cos 3t.
3.- Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es 5 lb/ft. Se suelta la
masa a 1 ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia
abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es
numéricamente igual al doble de la
velocidad instantánea.
a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual a f(t) = 12 cos 2t
+ 3
sen 2t actúa sobre la masa
4.- Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ít, y llega al
reposo en su
posición de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema,
igual a
f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza
amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.

19. II
5.- Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m,
llega a la
posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) =
68em2’
cos 4t. Deduzca la ecuación del movimiento cuando no hay amortiguamiento
Conclusiones
La aplicación de ecuaciones diferenciales en el ámbito de la mecánica
newtoniana, simplifica la resolución de problemas.
L.
Recomendaciones
Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración
Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de
primer orden u orden superior.
Bibliografía
M. BRAUN, “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones”, Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1990.
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frontera”, ED.DIGITAL EDUCACIÓN PARA TODOS. Edición cuarta, Limusa-
Willey, México ISBN 958-18-4974-4 2005?
DENNIS G. ZILL, “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado”
International Thomson Editores, An International Thomson Publishing

20. II
Company. Loyola MarymountUniversity. Edicion sexta, Impreso en México
ISBN 968-7529-21-0, 1997.
LARSON, HOSTETLER, EDWARS. “Calculo con geometría analítica”, Octava
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Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas, “Apuntes de Clases Calculo II”,
Ingenieria Forestal e Ingenieria en Industrias de la Madera. Universidad de
Talca, 2004.
Murray R Spiegel, “Ecuaciones diferenciales” Edición tercera, PRENTICE-
HALL IHISPANOAMERICANA, S.A. 1993.
EDWARS PENNEY. “ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON
VALORES EN LA FRONTERA ”, Computo y Modelado, Edición cuarta