Este documento define conceptos básicos de topología como conjuntos abiertos, cerrados y funciones continuas. Explica que un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación y abierto si su complementario es cerrado. Una función continua produce pequeñas variaciones en los valores de la función para puntos cercanos del dominio. El documento también establece que la unión de conjuntos abiertos y la intersección finita de bolas abiertas son abiertos.

1. Función continua en espacio topológico
Asignatura: Topología
Integrantes: Maquin Sotomayor
Alessandro Raul
Docente: Roman Leon
Elder Junior
Huacho – Perú
2023

3. introducción
 Un conjunto es cerrado cuando contienen todos sus puntos de acumulación (un punto es de acumulación si
cualquier conjunto por pequeño que sea y que lo contenga contiene elementos del conjunto original). Un
conjunto es abierto si su conjunto complementario es cerrado.

4. Función continua
En cálculo, una función continua​ es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos
cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función;
aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa que pequeñas
variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es
continua, se dice que es discontinua. Informalmente, una función continua de ℝ en ℝ es
aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su
grafo es un proceso conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la
topología general. Este artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales
de una variable real.

7.  La unión de abiertos es un abierto.
Caso de la unión finita:
Supongamos que se trata de la unión de dos abiertos 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐.
Sea x un punto de esta unión, entonces es un punto de 𝑨𝟏 o de 𝑨𝟐.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que x está en 𝑨𝟏.Como 𝑨𝟏 es un abierto, contiene una bola
abierta 𝑩𝒙 que contiene a x. Entonces, la bola 𝑩𝒙 también está contenida en la unión 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐:
𝑥 ∈ 𝑩𝒙 ⊆ 𝑨 ⊆ 𝑨 ∪ 𝑩
 La intersección finita de bolas abiertas es un abierto.
Supongamos que tenemos dos bolas abiertas 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 y que x es un punto de la intersección C = A ∩ 𝐵
Sean 𝒓𝟏 y 𝒓𝟐 los radios de las bolas abiertas 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐, respectivamente. Y sean 𝒂𝟏 y 𝒃𝟐 sus respectivos
centros.
Como x esta en C, esta en 𝑨𝟏 y en 𝑨𝟐. Por tanto, la distancia de x a los centros de las bolas es menor
que 𝒓𝟏 y 𝒓𝟐.

8. conclusión
 Relación entre conjuntos abiertos y cerrados: El teorema muestra una relación fundamental entre los conjuntos
abiertos y cerrados en un espacio topológico. Proporciona una caracterización precisa de los conjuntos cerrados en
términos de conjuntos abiertos y viceversa.
 Uso en la topología general: El teorema de conjunto abierto y cerrado se aplica ampliamente en el estudio de
espacios topológicos. Permite analizar la estructura topológica de un espacio mediante la relación entre los
conjuntos abiertos y cerrados.
 Conexión con la topología métrica: En espacios métricos, donde la topología se induce a través de una métrica, el
teorema de conjunto abierto y cerrado también es relevante. En este contexto, un conjunto es abierto si y solo si para
cada punto en el conjunto, existe una bola abierta alrededor de ese punto que está completamente contenida en el
conjunto.
 En resumen, el teorema de conjunto abierto y cerrado es un pilar fundamental en la teoría de conjuntos y topología,
proporcionando una comprensión profunda de la estructura de los conjuntos abiertos y cerrados en diversos
contextos matemáticos.

9. bibliografía
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