tarea2

1. Tarea 2 Topología 1
Rodrigo José Burgos y Veronica Villegas Santiago
SEGUNDO REPORTE
ACTIVIDADES QUE HICIMOS DURANTE LA CLASE. Hablaremos un poco
de lo que se verá en todo el curso, en grandes rasgos es necesario conocer el concepto
de campo. ( R, + , · ,⩽).
Definición de campo: Un anillo P se llama campo, si consta no solo del cero y en
él es posible la división en todos los casos ( a excepción de la división por cero),
determinandose este univocamente, es decir:
Si para cualesquiera a, b ∈ P , B ̸= 0 ∃ q ∈ P , tal que bq = a, q es llamado cociente.
La función valor absoluto
∥ : R −→ R+ 

x −→ |x| = x si x ⩾ 0

−x si x < 0
Se utiliza el concepto de distancia: x, y ∈ R,d(x, y) := |x − y|
Ademas entre uno de los temas mas interesantes que se verá , es la sucesión de
Cauchy.
Def: Se dice que una sucesión {Pn } en un espacio métrico X es una sucesión de
Cauchy si para cada ϵ > 0 , hay un entero N tal que d(Pn , Pm ) < ϵ si n ⩾ N y m ⩾ N.
En general, lo anterior se refiere a el tema de convergencia, pero cabe mencionar que
también se verán sucesiones que no convergen, es decir, se analizara la función
sucesión
F : Nn−→Xn −→ R
Donde se deriva la convergencia y divergencia.
Otro punto importante es el famoso concepto de limite, ya que a partir de este se
deriva la continuidad y son temas que se abordaran en el curso, por lo cual es de suma
importancia, entenderlos y tenerlos presentes.
limx−→x0 f (x) = L Para cada ϵ > 0∃δ > 0 t.q. |f (x) − L| < ϵ para |x − x0 | < δ
limx−→x0 f (x) = f (x0 )
f es continua en x = x0
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2. ESPACIOS MÉTRICOS
Sea X un conjunto no vacío. Una distancia en X (métrica) es una función
d : XxX −→ R+ y cumple lo siguiente:
¡) d(p, q) > 0 si p ̸= q ; d(p, q) = 0 si p = q.
¡¡)d(p, q) = d(q, p).
¡¡¡)d(p, q) ⩽ d(p, r) + d(r, q) para r ∈ R.
Ejemplos:
Uno de los más importantes son los espacios euclidianos Rk , especialmente:
R ; La recta real.
R2 ; el plano complejo.
La distancia en Rk se define:
d(X, Y ) := |X − Y | , X, Y ∈ Rk
Definición:
SeaX un espacio Métrico x ∈ X y r ∈ R+ , llamamos bola abierta de centro en x y
radio r al conjunto:
Br (x) = {y ∈ X /d(x, y) < r}
Definición:
SeaX un espacio Métrico x ∈ X y r ∈ R+ , llamamos bola cerrada de centro en x y
radio r al conjunto:
Br (x) = {y ∈ X /d(x, y) ⩽ r}
˜
Definición:
Dos métricas d1 y d2 para un conjunto X se dicen equivalentes (d1 ∼ d2 )=
Topológicamente sí y solo si generan la misma topología.
⟨d1 ⟩ = ⟨d2 ⟩
De la primera contención ⟨d1 ⟩ ⊆ ⟨d2 ⟩
de la igualdad tenemos ⟨d1 ⟩ = ⟨d2 ⟩ implica que cada bola en d1 se puede expresar
como una unión de bolas en d2 , y lo reciproco para la otra contención.
En términos mas específicos:
Dado B d1 r1 (x) y un punto y con y ∈ B d1 r1 (x) es posible encontrar una bola B d2 r2 (y) de
tal manera que y ∈ B d2 r2 (y) ⊆ B d1 r1 (x).
2

3. Definición:
Sea X un espacio métrico.
u ⊂ X es un conjunto abierto en X Si para cada x ∈ u∃rx ∈ R+ t.q. Brx (x) ⊂ u
Definición:
F ⊂ X es un conjunto cerra do si F ⊂ es un conjunto abierto. (F ⊂ = {y ∈ X/y ∈ F }).
/
TEOREMA1:
En un espacio métrico X , toda bola abierta, es un conjunto abierto.
dem:
Sea Br (x) ⊂ X una bola cualquiera x ∈ X cualquiera y r ∈ R+ llamemos
s = r − d(x, y)
Queremos probar que Bs (y) ⊂ Br (x)
Ahora, sea z ∈ Bs (y) entonces d(z, y) < s
pero s = r − d(x, y), por lo cual tenemos que d(z, y) < r − d(x, y)
de aqui podemos ver que:
d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z)
viendo que d(z, y) < r − d(x, y)
tenemos:
d(x, z) < d(x, y) + r − d(x, y)
de donde d(x, z) < r ∴ la bola abierta Br (x)es un conjunto abierto.
TEOREMA 2:
En un espacio métrico X toda bola cerrada es un conjunto cerrado.
dem:
sea Br (x) una bola cualquiera en X , x ∈ X y r ∈ R+
˜
Debemos probar que su complemento F es un abierto.
F = X Br (x) = {y ∈ X /d(x, y) > r}
˜
Habrá que demostrar que existe una bola Bs (y) ⊆ F
d(x, y) = |x − y| > r
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4. Podemos definir a s = |x − y| − r > 0
Siz ∈ Bs (y) se tiene que:
d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y)
de donde tambien d(x, z) ⩾ d(x, y) − d(y, z) > d(x, y) − s
como s = |x − y| − r = d(x, y) − r, tenemos que d(x, z) > d(x, y) − d(x, y) + r
es decir d(x, z) > r
De aqui z ∈ F es decir, todo punto de la bola Bs (y) esta en F.
∴ la bola cerrada Br (x) es un conjunto cerrado.
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