El documento presenta 8 preguntas sobre topología general y análisis matemático. La primera pregunta pide determinar si 2 figuras son homeomorfas. Las preguntas 2, 3 y 4 se refieren a conectividad por caminos en diferentes espacios. Las preguntas 5, 6 y 7 piden demostrar propiedades sobre topologías discretas, funciones continuas e intervalos. La última pregunta analiza si se cumple un teorema sobre máximos y mínimos para funciones continuas definidas en un intervalo abierto.

1. 1 2 n
ACTIVIDAD FINAL INTEGRADORA (para subir al campus)
1) Indique si las siguientes figuras son homeomorfas. Justifique su respuesta.
2) Indique si cada una de las siguientes figuras son conexas por caminos. Justifique.
3) Se define la bola cerrada unitaria B en n
como
B0; 1 xn
/ dx;0 1 con x  x , x ,...,x  Probar que B es conexa por caminos.
4) Dado el espacio euclídeo 
n
− {0}, donde 0 es el origen en 
n
. ¿Para qué n-dimensiones es
conexo por caminos?
5) Demostrar que toda métrica sobre un conjunto finito genera la topología discreta.
6) Sea f:  →  una función continua. Demostrar que el conjunto imagen f([a, b]) es un intervalo
cerrado y acotado [c, d].
7) Demostrar que si f: [a, b] →  es una función continua, entonces alcanza máximo y mínimo
absolutos en [a, b]. (Enunciado que en los libros de Análisis I suele llamarse “teorema de
Weierstrass”).
8) Supongamos que en la proposición del punto anterior se toma como dominio el intervalo
abierto (a; b). ¿Sigue siendo válida? Justifique su respuesta.

2. Respuestas:
1) Teniendo en cuenta el número de componentes conexas pagina 12 U4, si dos espacios son homeomorfos
tienen la misma cantidad de componentes conexas. En caso de las dos figuras, si sacamos el punto de la
intersección de la cruz (figura de la derecha), nos quedan 4 componentes conexas, mientras que, en la otra
figura no quedan 4 componentes si saco un punto de ella, por esta razón, no son homeomorfas.
2) Las tres figuras que se presentan son conexas. En cada caso de ella habrá un camino, en el cual, dicho
camino está totalmente en la figura. En el pentágono (además por ser convexa) y estrella se pueden trazar
muchos caminos. En la otra figura, si tengo dos puntos, el camino será la misma figura.
3) Ejemplo de R2
:
Esta es una bola cerrada con centro A y radio 1, cada punto que están alrededor del centro, puede haber
un caminoque conecte al centro con cada punto. Lo mismo sucedecon la bola B, cada punto de X se puede
asociar por un camino hacia al centro, y cada camino pertenece a la bola B. También, podemos decir que
tenemos una función cuyo dominio va desde 0 a 1, y su imagen es B. Para las otras dimensiones B es
conexa, en R1
habrá un segmento de 0 a 1, o un intervalo cerrado, todos sus puntos son conexos, en R3
sucede algo similar que en R2
.
4) Rn
– {0} es conexo por caminos cuando n>1. En caso de que sea 1, los caminos de R1
no estarán
totalmente en su región R1
= (-∞, 0) ∪(0, ∞). Luego, en cualquier caso, de que n sea mayor a 1, habrá
regiones o conjuntos en los que se pueda encontrar dos puntos distintos, y trazar un camino, y tal camino
estará en todo conjunto.
Ejemplo de que R1
no es conexo: si tenemos que, en la recta de los reales, un punto negativo y otro positivo,
el único camino que une a ellos, es sobre la misma recta, pero sucede que una parte del camino no esta en
R1
.
5)
En la topología discreta los abiertos son todos los subconjuntos que se pueden formar con X, es decir, la
partes de X. Podemos decir que X= {X1, X2…..Xn}. Si tenemos un espacio métrico, entonces podemos tener
una bola abierta con centro en cualquier punto de X, es decir, B (Xn, r) = {y∈ X/d (Xn , y)<r}. De una manera
general, tenemos que cualquier bola centrada en cualquier punto de X deberá estar incluido en X.
(∀x∈ X) (∃r∈ R+ /B(x,r) ⊂ X)
Esto es para todo abierto de la topología, habrá cualquier punto o elemento que pertenezca
a un abierto de las P(X) ⊂ X.
Gráficamente tenemos que:

3. En cada abierto hay un punto o más, si tomamos la bola con centro en punto tenemos un r, y así con los
demás abiertos, que en cada bola deba estar incluida en X. Entonces para definir r vamos a tomar la
distancia mínima de todos los puntos y que sea mayor a 0, para que cuando haya puntos muy cerca de X
la bola siga incluida en X.
r= min {d (x1, xj) …d (xn, xj)}>0 Xn ≠Xj
Aclaración: B (Xn, r) = {y∈ X/d(Xn , y)<r} se puede tomar a y como un numero distinto a x, como se lo tomo
a Xn ≠Xj.
6)
7) Tenemos que f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces suponemos que exista
extremos absolutos m y M, tal que f(m)≤f(x) ≤f(M).
Como la función esta acotada inferiormente y superiormente por definición, tenemos que el supremo
llamado M.
Partimos de M, supremo de f(x) en el intervalo [a, b]. Se trata de demostrar que la función alcanza dicho
supremo (esto es un máximo absoluto). Es decir, que existe un valor c∈ [a, b] tal que f(c)=M. Procederemos
por reducción al absurdo, imaginando que no existiera. Es decir que:
f(x)≠M, ∀x∈ [a, b]
Si así fuera, estaríamos en condiciones de afirmar que la función g(x)=1/(M−f(x)) sería continua y
estrictamente personal en el intervalo [a, b], ya que f(x) es continua y M siempre sería superior a f(x).
Dado que g(x) sería continua, estaría también acotada superiormente. Llamaremos K a una cota superior
de g(x). Entonces se cumple:
0<g(x)<K, ∀x∈ [a, b]⇒1M−f(x)<K⇒1K<M−f(x)⇒f(x)<M−1K<M
Lo anterior contradice al hecho de que M sea el supremo de f, ya que habría otra cota más pequeña de f:M-
1/K. Por tanto, f(x) debe alcanzar el máximo absoluto.
La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto
es mínimo es análoga a esta.
8) No se cumple, porque si tomamos el intervalo abierto (a,b) y tenemos una función que sea creciente
nunca habría un máximo absoluto, porque hay puntos fronteras que no pertenecen al intervalo (a,b), es
decir, si o si se debe cumplir que el dominio sea [a,b].