Conjuntos Difusos.ppt

1
Computacion Inteligente
Conjuntos fuzzy

3
Los Conjuntos y la Logica difusa
1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of
California, Berkeley
70’s primeras aplicaciones (Mamdani)
80’s aplicaciones industriales. Operación de un
tren en Senday, Japon.
1986: Chip VLSI
90’s productos de consumo. Camaras, lavadoras
1994: Toolbox de MatLab

4
Conjuntos Clasicos
Alguna propiedad de x determina su
pertenencia al conjunto A

5
Conjuntos Clasicos
Tradicionalmente un conjunto (S) se
caracteriza:
El conjunto de numeros naturales menores que cinco

7
Conjuntos Difusos (2)
Perfil subjetivo

8
Conjuntos Difusos: definicion
Un conjunto difuso (A) sobre el dominio
(universo) X
es un conjunto definido por la funcion de
pertenencia μA(x),
la cual es un mapeo desde el universo X al
intervalo unitario

9
Un conjunto difuso (A) se caracteriza:
donde X es el universo de discurso, y µA la
función de pertenencia.
Para cada elemento x, µA(x) es el grado de
pertenencia al conjunto difuso A.

10
Habitualmente se utilizan funciones de
pertenencia estándar cuya representación nos
da una determinada forma.
Nos permite representar las funciones de
forma compacta, a la vez que se simplifican los
cálculos.
X
µA
Conjunto Triangular
X
µA
Conjunto Trapezoidal

11
Representacion de conjuntos fuzzy
Como una lista de pares pertenencia/elemento
Formula analitica para la funcion (grado) de
pertenencia

12
Definiciones basicas y terminologia

13
Confuntos fuzzy
Definicion formal :
Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un
conjunto de pares ordenados:
A x x x X
A
 
{( , ( ))| }

Universo o
Universo del discurso
Conjunto fuzzy
Funcion de
pertenencia
(MF)
Un conjunto fuzzy esta completamente
caracterizado por una funcion de pertenencia

14
Conjuntos fuzzy con Universo Discreto
A = “numero razonable de hijos”
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (universo discreto)
A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}

15
Conjuntos fuzzy con Universo Continuo
B = “cerca de 50 años de edad”
X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo)
B = {(x, B(x)) | x in X}
B x
x
( ) 








1
1
50
10
2

16
Notacion Alternativa
Alternativamente un conjunto fuzzy A puede
ser denotado como sigue:
A x x
A
x X
i i
i


 ( ) /
A x x
A
X
  ( ) /
X es discreto
X es continuo
Note que los signos S e integral establecen la union de
los grados de pertenencia; el signo “/” es un marcador
y no implica division.

17
Particion Fuzzy
Particion fuzzy formada por los valores
linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”:
lingmf.m

18
Propiedades de los Conjuntos
Difusos (1)
Soporte: el conjunto de elementos cuyo grado
de pertenencia es distinto de cero.

19
Difusos (2)
Altura: el grado de pertenencia más grande de
los elementos del conjunto.

20
Difusos (3)
Core: (Kernel) el conjunto de elementos cuyo
grado de pertenencia es igual a uno.
Corte-Alfa

21
Propiedades
MF
X
.5
1
0
Core
Crossover points
Support
a - cut
a
Support
Core
Crossover points
a-cut

23
Cero
0
-1
-2
-3 1 2 3
0
-1
-2
-3 1 2 3
 Casi Cero
 Cerca de Cero
Concepto de un Numero Fuzzy
0
-1
-2
-3 1 2 3

26
conjunto singleton
El conjunto singleton A
1 si
( )
0 en otro caso
s
A
x x
x

 
 

0
-1
-2
-3 1 2 3

27
Convexidad de los conjuntos fuzzy
Un conjunto fuzzy A es convexo si para
cualquier l en [0, 1],
 l l  
A A A
x x x x
( ( ) ) min( ( ), ( ))
1 2 1 2
1
  
convexmf.m

28
Operaciones con Conjuntos Fuzzy

29
Subconjunto de conjuntos fuzzy
Subconjunto:
A B
A B  
  
subset.m

30
Operaciones sobre conjuntos fuzzy
Complemento:
   
1 A
A
A X A x x
 
    

31
Union:
Interseccion:
C  A B C(x)  max A (x),B (x)
 
C  A B C(x)  min A(x),B(x)
 

32
fuzsetop.m

33
Funciones de pertenencia tipicas

34
Funciones de pertenencia
MF Triangular:
trimf x a b c
x a
b a
c x
c b
( ; , , ) max min , ,

















0
MF Trapezoidal:
trapmf x a b c d
x a
b a
d x
d c
( ; , , , ) max min , , ,

















1 0

35
MF Campana generalizada:
gbellmf x a b c
x c
b
b
( ; , , ) 


1
1
2
MF Gausiana:
gaussmf x a b c e
x c
( ; , , ) 








1
2
2


36
disp_mf.m

37
Conjuntos fuzzy multidimencionales

38
Conjuntos fuzzy multidimencionales

42
Extension cilindrica
Conjunto base A Ext. cilindrica de A
cyl_ext.m

47
Projeccion 2D
MF en dos
dimensiones
Projeccion
en X
Projeccion
en Y
R x y
( , ) 

A
y
R
x
x y
( )
max ( , )
 

B
x
R
y
x y
( )
max ( , )

project.m

49
Interseccion en el espacio producto
carteciano
Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentes
resulta en un conjunto fuzzy multidimensional

52
Operadores generalizados
Complemento: NOT
Interseccion: AND
Union: OR

53
Complemento Fuzzy
requiremientos Generales:
• Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0
• Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b
• Involucion: N(N(a) = a

54
Complemento Fuzzy
Dos tipos de complementos fuzzy:
• Complemento de Sugeno:
• Complemento de Yager:
N a
a
sa
s( ) 


1
1
N a a
w
w w
( ) ( ) /
 
1 1

55
Complemento Fuzzy
negation.m
N a
a
sa
s( ) 


1
1
N a a
w
w w
( ) ( ) /
 
1 1
Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:

56
Operadores generalizados
Las norma y conorma triangulares generalizan
operaciones con conjuntos
Norma-T:
generaliza el concepto de intersección
Conorma-T:
generaliza el concepto de unión

57
Norma-T: Interseccion Fuzzy
Requerimientos basicos:
• Frontera: T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a
• Monotonicidad: T(a, b) < T(c, d) if a < c and b < d
• Commutatividad: T(a, b) = T(b, a)
• Asociatividad: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)

58
Norma-T: Interseccion Fuzzy
Cuatro ejemplos:
• Minimo: Tm(a, b) = min(a,b)
• Producto algebraico: Ta(a, b) = a*b
• Producto acotado: Tb(a, b)
• Producto drastico: Td(a, b)

59
El operador norma-T
Minimum:
Tm(a, b)
Algebraic
product:
Ta(a, b)
Bounded
product:
Tb(a, b)
Drastic
product:
Td(a, b)
tnorm2.m

60
Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy
Requerimientos basicos:
• Frontera: S(1, 1) = 1, S(a, 0) = S(0, a) = a
• Monotonicidad: S(a, b) < S(c, d) if a < c and b < d
• Commutatividad: S(a, b) = S(b, a)
• Associatividad: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)

61
Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy
Cuatro ejemplos:
• Maximo: Sm(a, b) = max(a,b)
• Suma algebraica: Sa(a, b) = a+b-a*b
• Suma acotada: Sb(a, b)
• Suma drastica: Sd(a, b)

62
Conorma-T o norma-S
tconorm.m
Maximum:
Sm(a, b)
Algebraic
sum:
Sa(a, b)
Bounded
sum:
Sb(a, b)
Drastic
sum:
Sd(a, b)

63
Ley de DeMorgan Generalizada
Las normas-T y conormas-T son duales si
soportan la generalizacion de la ley de
DeMorgan:
• T(a, b) = N(S(N(a), N(b)))
• S(a, b) = N(T(N(a), N(b)))
Tm(a, b)
Ta(a, b)
Tb(a, b)
Td(a, b)
Sm(a, b)
Sa(a, b)
Sb(a, b)
Sd(a, b)

64
Norma-T y norma-S Parametrizadas
Normas-T y conormas-T duales parametrizadas
han sido propuestas por varios investigadores:
• Yager
• Schweizer and Sklar
• Dubois and Prade
• Hamacher
• Frank
• Sugeno
• Dombi

65
Algunos operadores generalizados
Norma-t
Conorma-t rango autor
Schweizer &Sklar [69]
1  max 0, (1  a) p
 (1  b) p
1
 
 
1
p
max 0, a p
 b p
1
 
1
p p (,)
a  b  (2   )ab
a  (1  )ab
ab
  (1  )(a  b  ab)
 (0,) Hamacher [70]
min 1,(aw
 bw
)
1
w








1  min 1,((1  a)w
 (1  b)w
)
1
w








w (0,) Yager [72]
1
1 
1
a
1






l

1
b
1






 l








1
l
1
1 
1
a
1






l

1
b
1






l








1
l
l (0,) Dombi [74]

66
Fuentes
J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-
Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ.,
Taiwan.
Humberto Martínez Barberá, Control Difuso.
Universidad de Murcia. 2000
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course
Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control,
2001/2002.

67
Fuentes
R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn,
Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies
for Industrial Applications, 1999
René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes,
Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control:
Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

Conjuntos Difusos.ppt

Más contenido relacionado

Similar a Conjuntos Difusos.ppt

Último

Conjuntos Difusos.ppt

Notas del editor