Este documento describe diferentes métodos para el modelado de sistemas dinámicos utilizando modelos difusos. Explica conceptos como modelos de Takagi-Sugeno, estimación de parámetros, agrupamiento difuso, simplificación de reglas y redundancia en modelos difusos. También incluye un ejemplo de aplicación de un modelo difuso de Takagi-Sugeno para la predicción de la concentración de clorofila en lagos.

1. Por Ramiro Aduviri Velasco
@ravsirius

2. Modelado de sistemas dinámicos
ny
 aijy(k  j + 1)
j=1
nu
 biju(k  j + 1) + ci
j=1
Modelo con regresión no lineal:
y(k+1) = F[y(k), . . . , y(k  ny + 1), u(k), . . . , u(k  nu + 1)]
En forma de regla (ejemplo modelo de Takagi-Sugeno):
si y(k) es pequeño y u(k) es pequeño
entonces y(k+1) =

3. Paradigmas en el modelado
• Mecánico (caja blanca, físico)
• Cualitativo (remedios ingenuos,
basados en el conocimiento)
• Conducido por datos (caja negra,
inductivo)
Combinación de estos enfoques:
modelado con caja gris
Parametrización de modelos no lineales
• polinomiales, estrías
• tablas de consulta
• sistemas difusos
• redes neuronales
• redes de función con base radial
• redes wavelet
• ....
Construcción de modelos difusos
Planteamiento en base al conocimiento:
• conocimiento del experto  reglas y funciones de
membresía
• modelo difuso del operador humano o un proceso
• interpretación linguística
Planteamiento conducido por datos:
• representación no lineal, aproximación universal
• extracción de reglas y funciones de membresía de los
datos
Estructura y parámetros
Estructura:
• Variables de entrada y de salida. Para sistemas dinámicos también
la representación de la dinámica
• Número de funciones de membresía por variable, tipo de
funciones de membresía, cantidad de reglas.
Parámetros:
• Parámetros del consecuente (mínimos cuadrados)
• Funciones de membresía del antecedente (varios métodos)

4. Modelo difuso con singleton
Ri : si x es Ai entonces y = bi, i = 1, 2, . . . , K
Caso especial tanto del modelo linguístico como del modelo de Takagi-Sugeno.
Inferencia / defuzzificación: promedio difuso
K
 ibi
i=1
y = 
K
 i
i=1
El modelo singleton es una expansión de la función base:
K i
y =  i(x)bi, i = 
i=1 K
 j
j=1
Tiene las mismas propiedades que las redes de funciones con base radial,
modelos spline:
• propiedades de aproximación universal
• estimación de parámetros sencillo

5. Aproximación lineal por partes

6. Representación lineal con un modelo singleton
p
y = k`x + q =  kixi + q
i=1
• Partición truiangular
• Producto utilizado para el operador AND del antecedente.
i = Ai,1(x1)  Ai,1(x2) . . . Ai,p(xp)
• Los singletones del consecuente son iguales a:
p
bi =  kjai,j + q
j=1

7. Estimación por mínimos cuadrados de Singletons
Ri : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces y = bi
• Dado Aij y un conjunto de datos de entrada y salida: Z = {xk, yk I k = 1, 2, . . ., N}
• Estimación de los parámetros del consecuente optimos bi
1. Calcule el grado de compromiso i(xk) = Ai1(x1k)  Ai2(x2k)  . . .  Aip(xpk)
2. Normalice: i(xk)
ki = 
K
 j(xk)
j=1
La salida es una combinación lineal convexa de entradas:
K
y =  kibi, o y = b
i=1
3. Estimación por mínimos cuadrados:
b = [T]-1Ty

8. Modelo difuso de Takagi-Sugeno (TS)
Ri : si x es Ai entonces yi = aT
ix + bi, i = 1, 2, . . . , K
• Funciones de membresía multi variables:
Ai(x) : p  [0, 1]
• Antecedente de la regla en forma conjuntiva:
i : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces . . .
• Salida del modelo dado por el promedio difuso ponderado:
K
i=1 Ai(x)yi K
i=1Ai(x)(aT
ix + bi)
y =  = 
K
i=1Ai(x) K
i=1Ai(x)

9. Representación de entrada-salida del modelo de TS
Los consecuentes son aproximadamente modelos lineales locales del sistema.

10. El modelo TS es un sistema Cuasilineal
K
i=1Ai(x)yi K
i=1Ai(x)(aT
ix + bi)
y =  = 
K
j=1Aj(x) K
j=1Aj(x)
con:
Ai(x)
i(x) = 
K
j=1Aj(x)
se obtiene:
o:
y = a(x)x + b(x)

11. Estimación por mínimos cuadrados de los consecuentes
i = [aT
i bi]T, Xe = [X 1]
i = 1, 2, . . . , K
• LS global:
´ = [(X´)TX´]-1(X´)Ty
con
X´ = [W1Xe W2Xe . . . WKXe]
y
• LS local:
i = [(Xe)TWiXe]-1(Xe)TWiy

12. Funciones de membresía del antecedente
• Plantillas (partición en rejillas)
• Optimización no lineal (métodos neuro-difusos)
• Contrucción libre
• Agrupamiento (clustering) difusa en el espacio producto
Modelado basado en plantilla
• Determine la función de membresía
a priori (forma y cantidad).
• Solo para problemas pequeños
(1 a 3 entradas).
K = p
i=1Ni

13. Agrupamiento difuso
Centros del grupo (promedio):
V = [v1 v2]
Matriz de partición difusa:

14. Agrupamiento difuso: vía optimización
Función objetivo (criterio con mínimos cuadrados):
c N
J(Z; V, U, A) =  m
i,jd2
Ai(zj, vi)
i=1 j=1
sujeto a restricciones:
0  ij  1 j = 1, . . . , N gradio de membresía
i = 1, . . . , c
0  N
j=1i,j  1 i = 1, . . . , c sin grupo
c
j=1i,j = 1 j = 1, . . . , N membresía total

15. Algoritmos de agrupamiento difusos
Dado los datos
zk = [z1k, z2k, . . . , zNk]T  n, k = 1, . . . , N
Encuentre:
la matriz de partición:
y los centros del grupo:
V = {v1, v2, . . . , vc}, vi  n

16. Algoritmo difuso con c promedios
Repita:
1. Calcule de prototipos de grupo (promedios):
N
k=1m
i,kzk
vi = 
N
k=1m
i,k
2. Calcule las distancias:
di,k = (zk  vi)T(zk  vi)
3. Actualice la matriz de partición:
1
i,k = 
c
j=1(dik/djk)1/(m-1)
hasta que IIUII < 

17. Mediciones de distancia
• Norma Euclideana:
d2(zj, vi) = (zj  vi)T(zj  vi)
• Norma producto interno:
d2
Ai(zj, vi) = (zj  vi)T(zj  vi)
• y muchas otras posibilidades ...
Agrupamiento difuso:
Algoritmo con c promedios
Modelos de Mamdani: Agrupamiento
difuso con c promedios

18. Algoritmo de Gustafson-Kessel (GK)
Repite:
1. Calcula prototipos del grupo (promedios):
N
 m
i,kzk
k=1
vi = 
N
 m
i,k
k=1
2. Calcula las matrices de covarianza del grupo:
N
 m
i,k(zk  vi)T(zk  vi)
k=1
Fi = 
N
 m
i,k
k=1
3. Calcula las distancias:
dik = (zk  vi)T[idet(Fi)1/nF-1
x] (zk  vi)
4. Actualiza la matriz de partición
1
ik = 
c
 (dik/djk)1/(m-1)
j=1
hasta IIUII<

19. Agrupamiento difuso: Algoritmo GK
Modelos de Takagi-Sugeno: Agrupamiento de Gustafson-Kessel

20. Ejemplo: Control de presión
Dinámicas de presión:
R : constante del gas (8.134 J mol-1K-1),
T : temperatura (305 K),
Vh : volumen del gas (0.015 m3),
g : razón de flujo del gas (3.75 x 10-4m3s-1),
RH : radio del tubo de salida (0.0178 m),
Po : presión de referencia (1.013 x 105 N m-2),
o : densidad del aire externo (1.2 Kg m-3),
P : presión en el tanque (N m-2),
Kf : factor de fricción de la válvula (J mol -1).

21. Modelo Fuzzy de Takagi-Sugeno
Reglas:
1. si y(k) es BAJO y u(k) esta ABIERTO
entonces y(k+1) = 0.67y(k) + 0.0007u(k) + 0.35
2. si y(k) es MEDIO y u(k-1) esta MEDIO CERRADO
entonces y(k+1) = 0.80y(k) + 0.0028u(k) + 0.07
3. si y(k) es ALTO y u(k-1) esta CERRADO
entonces y(k+1) = 0.90y(k) + 0.0071u(k) + 0.39.

22. Ejemplo: Representación en 3-D

23. Redundancia en modelos difusos
Transparencia no se la obtiene de forma automática
• Adquisición de información asegura transparencia.
• Basado en los datos: alguna redundancia es inevitable.
Redundancia se manifiesta en dos formas:
• Gran número de reglas. Acuerdo entre:
 exactitud del modelo / complejidad del modelo
 capacidad en la generalización / aproximación de datos
• Conjuntos difusos muy similares
 similitud entre conjuntos
 similitud al conjunto difuso universal
Gran cantidad de reglas, solapamiento de conjuntos difusos similares
• Complejidad innecesaria
• Dificultad en la asignación de rótulos linguísticos
• Menos transparencia y generalidad

24. Redundancia en modelos difusos
Adaptación de parámetros
• Cantidad de conjuntos difusos por variable
• Migración de conjuntos difusos debido a la optimización.

25. Agrupamiento difuso
• Cantidad de grupos
• Proyección de grupos sobre las
variables del antecedente
Agrupamiento difuso supervisado
• Comienza con una cantidad
sobrestimada de grupos
• Elimina a quellos que no influyen
cuando se procede al agrupamiento

26. Mediciones de similitud
A  B
S(A, B) = 
A  B
Fusionamiento de conjuntos similares
• Entrega un término generalizador
• Fusiona agregando los parámetros de cada
conjunto

27. Simplificación y reducción
Ejemplo: Crecimiento de algas
Predicción de concentración de clorofila-a en los
ecosistemas de laguna
998 observaciones de nueve diferentes lagos
Entradas: temperatura, N, P, Si, duración del día,
intensidad de luz
Salidas: Concentración de clorofila-a
Modelos de Takagi-Sugeno
Si T es AT, N es AN, P es AP, Si es ASi, D AD y I es AI
Entonces Chl = po + p1T + p2N + p3P + p4Si + p5D + p6Ih
Método: Agrupamiento difuso y análisi de similitud

28. Base de reglas inicial

29. Base de reglas simplicado
Temp N P Día Luz
(verano) R1 Si Caliente  Alto  Mod. Entonces ...
(invierno) R2 Si Frío  Bajo Corto Bajo Entonces ...
(excepción) R3 Si Caliente Bajo Bajo  Alto Entonces ...
(verano) R4 Si Caliente  Alto  Bajo Entonces ...
(invierno) R5 Si Frío  Mod. Corto Bajo Entonces ...

30. Control difuso: Fundamentos
• controlador diseñado utilizando reglas Si-Entonces en lugar de fórmulas
matemáticas (control basado en el conocimiento)
• motivación de incio: operadores con experiencia fingida
• razonamiento difuso: interpolación entre salidas discretas
• generalmente: también controladores diseñados sobre la base de un modelo
difuso (control difuso basado en el modelo)
• un controlador difuso representa una transformación no lineal (pero
completamente determinístico!)
1965 Primera publicación sobre conjuntos difusos (Zadeh)
1974 Control difuso aplicado a un sistema de laboratorio (Mamdani)
1982 Primera aplicación industrial del control difuso (a un horno de cemento)
1985 Control de tren vía Sendai, productos de consumo (Japón)

31. Esquemas básicos de control difuso
 Control difuso directo (nivel bajo de Mamdani)
 Control supervisor difuso (nivel alto, Takagi-Sugeno)
 Control basado en el modelo difuso

32. Control difuso directo
Control proporcional
Transformación de entrada-salida del controlador

33. Control proporcional difuso: Reglas
Si el error es Negativo Grande entonces la entrada de control es Negativo Grande
Si el error es Cero entonces la entrada de control es Cero
Si el error es Positivo Grande entonces la entrada de control es Positivo Grande
Transformación de
entrada-salida del
controlador

34. Ejemplo: Compensación a la fricción
1. Motor DC con fricción estática
2. Reglas difusas para representar al control proporciona “normal”
3. Reglas adicionales para prevenir estados indeseables.
Modelo del motor DC

35. Controlador proporcional

36. Base de reglas para el control difuso
Reglas para el proporcional:
• Si el error es Positivo Grande entonces entrada de control es Positivo Grande
• Si el error es Negativo Grande entonces entrada de control es Negativo Grande
• Si el error es Cero entonces entrada de control es Cero
Reglas adicionales:
• Si el error es Negativo Peq. entonces entrada de control no es Negativo Peq.
• Si el error es Positivo Peq. entonces entrada de control no es Positivo Peq.

37. Resultados del control difuso
Transformación de entrada-salida
del controlador

38. Control PID difuso

39. Controlador PD difuso: Tabla de reglas
R12 : Si el error es NB y la derivada del error es ZE entonces control es NB
derivada del error
NB ZE PB
error NB NB NB ZE
ZE NB ZE PB
PB ZE PB PB

40. Control difuso: Etapas en el diseño
Planteamiento de la ingeniería de control + concoimiento heurístico
1. Se determina las entradas y las salidas.
2. Se definen las funciones de membresía
3. Se diseña la base de reglas
4. Se lo prueba (perfectibilidad, estabilidad, desempeño)
5. Se afina el controlador.

41. Control difuso supervisor
Si salida del proceso es Alto entonces se reduce la ganancia proporcional
ligeramente y se incremente la ganancia derivativa moderadamente.