Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, propiedades como conmutatividad y asociatividad, y representaciones gráficas como diagramas de Venn. El documento también cubre temas como diferencias de conjuntos, productos cartesianos, familias de conjuntos, y funciones como involuciones.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela Ingeniería de Sistemas
TEORIA DE CONJUNTO
Profesor: Asdrúbal Rodriguez
Alumno:
Wilfredo Sanchez
C.I: 12.273.873

2. Teoría de conjuntos
• Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de
objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una
herramienta básica en la formulación de cualquier teoría
matemática.
• Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo
suficientemente rica como para construir el resto de
objetos y estructuras de interés en matemáticas:
números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la
lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la
actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la
teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar
toda la matemática.

3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al
conjunto A B := {a A | a B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y
B al conjunto A B := (A B)
A
• Si A
(U), a la diferencia U A se le llama
complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone
fijado de antemano).

4. • Es fácil ver que si A y B son subconjuntos
cualesquiera de U se verifica:
'=U.
o
o
U'=
o
(A')' = A .
o
A
o
B
.
B'
A' .
Si A = { x U | p(x) es una proposición
verdadera} entonces A' = { x U | p(x) es una
proposición falsa}.

5. • Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado
por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A B := { x | x A x B}.
• Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto
formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A B := {x | x A x B}.
• Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal
U, entonces es fácil ver que A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e
intersección) verifican las siguientes propiedades :

6. TABLA DE CONJUNTO
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
A
A=A
A
A=A
2.- Conmutativa
A
B=B
A
B=B
3.- Asociativa
A
(B
C)=(A
A
(B
C)=(A
4.- Absorción
A
(A
B ) =A
A
(A
B ) =A
5.- Distributiva
A
(B
C)=(A
A
(B
C)=(A
6.- Complementariedad
A
A' = U
A
A' =
A
B)
B)
C
(A
C)
A
B)
C
B)
(A
C)

7. • Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U,
entonces es fácil ver que A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e
intersección) verifican las siguientes propiedades :
• Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones
unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes
propiedades:
o
A
=A,A
= ( elemento nulo ).
o
o
A
U=U,A
( A B )' = A'
Morgan ).
U = A ( elemento universal ).
B' , ( A
B )' = A'
B' ( leyes de

8. • Dados dos conjuntos A y B, se define el producto
cartesiano de ambos como el conjunto de pares
ordenados:
A ´ B := { (a,b) : a A b B}
• Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b =
d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se
verifica
• A´ B = C ´ D
(A=C
B=D)

9. •
Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al
conjunto
•
ProyAG := { a
A : (a,b)
G,
b
B}
• Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre
B.
• Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse
a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se
tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : i
I}
y se denomina familia de conjuntos indicada por I.
También se suele denotar por { Ai } i I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i
I.

10. • Dada una familia de conjuntos { Ai } i
o
i I Ai
:= { a : a
Ai ,
Ai ,
o
i
I Ai
:= { a : a
o
i
I Ai
:= { (ai) : ai
i
I
se definen:
I}
i
I}
Ai ,
i
I}
•
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo
válidas para familias de conjuntos, y en particular las
leyes de Morgan :
• (
i
i
I Ai
I A'i
)' =
i
I A'i
, (
i
I Ai
)' =

11. DIAGRAMAS DE VENN
• Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante
"diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus
elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden
representar gráficamente con el fin de obtener una idea más
intuitiva.

12. Tipos de conjuntos
• UNIÓN DE CONJUNTOS
A U B = {x / x EA o x E B}
• A= 3,4,5,6,7
B= 6,7,8,9
A
B
3
4
5
6
7
8
9

13. Diferencia de conjunto

14. A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

15. Involución
Una involución es una función del tipo: que aplicada dos veces regresa al dato inicial

16. Propiedad Conmutativa.
А∩B=B∩А

17. Propiedad Asociativa
А U (B U C) = (А U B) U C

18. Propiedad Distributiva
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

19. Propiedad Idempotencia
А∩А=А

20. • FIN
• GRACIAS POR SU ATENCION