Este documento introduce los conceptos de redes neuronales y lógica difusa aplicadas a sistemas de control. Brevemente describe los conceptos clave de control moderno, lógica difusa, redes neuronales y neurocontrol, y luego se enfoca en el problema clásico del control del péndulo invertido como un ejemplo para ilustrar estas técnicas. Finalmente, explica los pasos básicos para implementar un sistema de control difuso, incluida la fuzzificación, reglas difusas, operaciones difusas y defuzzificación.

1. REDES NEURONALES Y LOGICA DIFUSA APLICADAS A LOS SISTEMAS DE CONTROL VISION-2009 Universidad San Martín de Porres Capitán de Fragata Enrique Arnáez Braschi

2. Introducción La Automatización es parte de la continua revolución industrial. Sus conceptos datan desde el siglo XVIII. Emplean la tecnología vigente para evolucionar al mismo ritmo que el mundo.

3. Introducción El concepto de realimentación o feedback nos es común, inclusive en campos sociales o económicos. Bajo este hecho, podemos indicar que la Ingeniería de Control ha ayudado a otras áreas.

4. Introducción Sin embargo, la realidad es que la Ingeniería de Control se ha nutrido de todas ellas : Matemáticas, física, electricidad, electrónica, mecánica, hidráulica y química entre otras, y últimamente de la informática e inteligencia artificial.

5. Introducción En esta exposición, vamos a apreciar la interacción entre las Redes Neuronales y la Lógica Difusa con la Ingeniería de Control, aplicadas al caso del Péndulo invertido, para lo cual haremos un breve repaso de los conceptos más importantes de cada uno de estos temas.

6. Sumario Control Moderno Lógica Difusa Redes Neuronales Control Difuso Sistema Modelo de Control de Espacio de Estados Estados Neuro-Control Neuro-Sistema Péndulo Invertido

7. Péndulo invertido Uno de los problemas clásicos del control moderno. Robert Hutchings Goddard (1882-1945) fue uno de los pioneros en el campo de los cohetes.

8. Péndulo invertido Conceptos para la correcta actitud de vuelo vertical de un cohete. Von Braun Bombas V-1

9. Péndulo invertido

10. Sistemas de Control  Estabilidad y controlabilidad.  El resultado de un sistema con controlador hace que las variables de estado lleven sus valores a cero .  Ese caso no es el real para los sistemas industriales.  Las salidas deben tender a valores diferentes que cero o que sigan un patrón determinado de referencia.

11. Fuzzy Logic Lotfi A . Zadeh . Matemático, profesor de la Universidad de Berkeley, famoso por introducir en1965 la teoría de conjuntos difusos o lógica difusa (f uzzy logic) .

12. Fuzzy Logic En 1965 escribe Fuzzy Sets, un artículo que presenta las nociones de la lógica difusa, (esperaba que las aplicaciones serían en lingüística, psicología, sociología, filosofía y campos afines). 1970, empezó a pensar que podía haber algunas aplicaciones en control. En 1972escribe un artículo "A rationale for Fuzzy Control".

13. Concepto de Origen El origen está dado en esta apreciación: “ Por qué siempre tratamos de plantear soluciones matemáticas para los modelos, si más fácil es tratar de explicarlo con palabras, las cuales han sido perfeccionadas en un proceso de millones de años?”

14. Comparación Partiendo de la apreciación anterior, y tratando de realizar operaciones con palabras, recurrimos a la Lógica Tradicional o ‘Crisp’. Esta herramienta plantea la segunda apreciación: Lógica Tradicional o Crisp

15. Fuzzy Logic 1. El cuadro de la Izquierda es Azul. 2. El Cuadro de la Derecha no es exactamente del mismo color que el de la Izquierda. Inferencia: Si el cuadro de la derecha no es del mismo color que el de la izquierda, entonces el cuadro de la derecha no es azul. ≠

16. Algoritmo del Sistema Difuso Normalización Funciones de Fuzzificación Membresía Procesamiento o F. A. M. Razonamiento Defuzzificación Denormalización

17. o Modela Sistemas muy complejos. o Utiliza la experiencia humana.

18. Entrada de Datos Reales Fuzzificación Operaciones Difusas y Condicionales (IF - THEN) Defuzzificación Salida con Datos Reales

19. Componentes de una Función de Membresía Variable Lingüística Términos Lingüísticos

20. Fuzzificación Valores Difusos x o = 32 Valor Crisp

21. Reglas Difusas La condición de inferencia donde radica el conocimiento ‘ IF-THEN’ IF [( x is large ) AND ( y is cold )] THEN ( z is good ) Es importante saber que existen varias reglas para cada sistema. Las reglas son construidas basándose en la experiencia obtenida con autoridad, por ejemplo: Si estoy rápido y la esquina es próxima entonces la presión sobre el pedal del freno es fuerte.

22. F.A.M. (Fuzzy Associative Memory) FAM = Reglas en forma de Matriz En caso que hayan más de 2 variables a relacionar con las reglas difusas, se deberán armar varias FAM de 2 dimensiones. Nunca matrices de más de2 dimensiones.

23. F.A.M. (Fuzzy Associative Memory) Entrada 1: Temperatura Caliente - Media - Fría Entrada 2: Velocidad Rápida - Lenta - Parada Salida: Voltaje Positivo – Zero - Negativo Temp Vel R L P C Neg Zero Pos M Zero Zero Pos F Pos Pos Pos

24. Defuzzificación Luego de las Operaciones Difusas y de haber usado las regles difusas, tenemos un valor difuso de salida que lo debemos convertir en un valor Crisp. Ese procedimiento se conoce con el nombre de Defuzzificación. Fuzzificación Defuzzificación

25. Defuzzificación Método Centroide m * z  m dz z ∫ El método centroide también es llamado centro de área, centro de gravedad o método de Sugeno, es el método más usado y más potente.

26. Trabajo de un Sistema Difuso Análisis del Sistema. Determinar las variables de entrada/salida y sus escalas. Determinar el universo de discursión de cada variable. Estructurar las funciones de membresía. Elaborar la Memoria Asociativa Difusa. Armar la base de Reglas Difusas. Operaciones Difusas. Defuzzificación y desescalamiento.

27. Fuzzy Logic

28. Fuzzy Logic

29. Fuzzificación de 2 valores de entrada Cond. Iniciales: 1º = 0.0175 rad. y -4º/s = -0.0698 rad/seg. x1 = Posicion Angular x2 = Velocidad Angular 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 m   0 00 N , 0 94 Z , 0 06 P    0 47 N , 0 53 Z , 0 00 P  q m & q

30. Reglas y Operaciones Difusas x 1 x 2 P Z N P GP P Z Z P Z N N Z N GN m   0 00 N , 0 94 Z , 0 06 P    0 47 N ,0 53 Z , 0 00 P  q m & q Se aplica la función mínimo para la intersección de las entradas.  0 00 GP 0 05 P 0 06 Z    FAM  0 00 P 0 53 Z 0 47 N    0 00 Z 0 00 N 0 00 GN 

31. Reglas y Operaciones Difusas x 1 x 2 P Z N P GP P Z Z P Z N N Z N GN m   0 00 N , 0 94 Z , 0 06 P    0 47 N ,0 53 Z , 0 00 P  q m & q Se aplica la función mínimo para la intersección de las entradas.  0 00 GP 0 05 P 0 06 Z    FAM  0 00 P 0 53 Z 0 47 N    0 00 Z 0 00 N 0 00 GN 

32. Reglas y Operaciones Difusas x 1 x 2 P Z N P GP P Z Z P Z N N Z N GN m   0 00 N , 0 94 Z , 0 06 P    0 47 N ,0 53 Z , 0 00 P  q m & q Se aplica la función mínimo para la intersección de las entradas.  0 00 GP 0 05 P 0 06 Z    FAM  0 00 P 0 53 Z 0 47 N    0 00 Z 0 00 N 0 00 GN 

33. Defuzzificación u = Voltaje de entrada 1 0.9 0.8 0.7 0.6 m zdz z * ∫ z  0.5 m dz 0.4 z ∫ 0.3 0.2 0.1 0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

34. Definición de Redes Neuronales Las Redes Neuronales (NN) son parte de la Inteligencia Artificial (AI) caracterizadas por su capacidad de aprendizaje, su velocidad mediante el procesamiento masivo en paralelo de datos y por la facilidad del modelado de sistemas o controladores altamente no-lineales.

35. Comparación de Neuronas Neurona Humana Red Neuronal

36. Neurona Artificial n   y f x k w  b ∑ k k  k  1  x 1 w 1 x 2 Inputs x 3 Sum f() Output w n x n bias Artificial Neuron

37. n   y f x k w  b ∑  k k   k  1  Función de Activación Linear Activation Function Hyperbolic Tangent Activation Function 5 1 4 0.8 3 0.6 2 0.4 1 0.2 0 0 -1 -0.2 -2 -0.4 -3 -0.6 -4 -0.8 -5 -1 -5 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 x x x - x - e f (x )  x f (x )  tanh( x) e x - x e  e

38. n   y f x k w  b ∑  k k   k  1  Función de Activación Logistic Activation Function Thresh Activation Function 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 -5 0 5 -5 0 5 x x 1  1 x ‡ 0 f ( x )  F ( x )  1  exp( - b x ) 0 x  0 

39. Perceptrón El Perceptrón busca la clasificación lineal de los patrones a ser entrenados, es decir procura separarlos por una línea en el plano, un ejemplo claro se tiene en la operación lógica AND: x 1 x 2 y A 0 0 0 B 0 1 0 C 1 0 0 D 1 1 1  1 v ‡ 1 y ( t )  F ( v )   0 v  1 

40. Perceptrón: Ejemplo Tenemos los siguientes Inicializamos el perceptrón patrones y sus respectivos con los siguientes valores: objetivos: x 1 -0.1  x 1 x 2 y d y  0.0 -0.4 0 0.8 x 2 -0.5  -0.3 -0.2 0  0.5 1.3 1  1.0 -1.3 1… y lo entrenamos.

41. Perceptrón: Ejemplo  x 1 x 2 y d  0.0 -0.4 0 (*)  -0.3 -0.2 0 (*)  0.5 1.3 1 (+)  1.0 -1.3 1 (+)

42. Perceptrón: Ejemplo  x 1 x 2 y d  0.0 -0.4 0 (*)  -0.3 -0.2 0 (*)  0.5 1.3 1 (+)  1.0 -1.3 1 (+)

43. Perceptrón: Ejemplo Luego del Entrenamiento x 1 -0.1 y 0.8 x 2 -0.5

44. Perceptrón Todo funcionó bien hasta que alguien probó la simple operación X-OR: x 1 x 2 y A 0 0 0 B 0 1 1 C 1 0 1  1 v ‡ 1 y ( t )  F ( v )  D 1 1 0  0 v  1 

45. Redes Neuronales Descartadas

46. Separabilidad Lineal Funciones Porcentaje de # de bits Cantidad de Linealmente Trabajo del Funciones Separables Perceptrón (%) 2 16 14 87 3 256 104 40 4 65536 1882 3 5 10E+09 94572 0.00002 Un perceptrón es capaz de aprender todo lo que pueda representar.

47. Aplicación de las Redes Muchos años después se inventó el MLP, y solucionó el problema, VIENE EL AUGE DE LAS NN: x 1 x 2 y A 0 0 0 B 0 1 1  1 v ‡ 1 C 1 0 1 y ( t )  F ( v )   D 1 1 0 0 v  1 

48. T T f  W s ( V x ) ( x ) Perceptrón de Múltiple Capa (MLP) Pesos • Trabaja en paralelo. • Usan al Algoritmos como el de Back- propagation para darle el Entradas Salidas  en base al Reales Reales error retro-propagado. • Utiliza patrones de Entrenamiento. Neuronas Neuronas • Modela Sistemas No- No-LinealesLineales Lineales.

49. Perceptrón de Múltiple Capa (MLP) - - h h  x · V  - h  s h      y  h · W -  y  s h · W h     y  s  x · V  · W

50. Algoritmo de Backpropagation Se escoge una función J  e 2 de costo a optimizar, y 2 la elección es el error 2 e   y d - y  cuadrático (MMC) ¶ J Algoritmo de Backpropagation w ( N  1 )  w ( N )  h ¶ w

51. Algoritmo de Backpropagation ¶ J w ( N  1 )  w ( N )  h ¶ w 2 ¶ J ¶ J ¶ e ¶ F ¶ y Aplicando la Regla de la Cadena:     2 ¶ w ¶ e ¶ F ¶ y ¶ w  ¶ J ¶ y ¶ ( h · w )   1 2   h ¶ e ¶ w ¶ w 2 ¶ e ¶ F 2 ( y d - y ) Derivada de la Función de Salida ¶ F  ¶ y ¶ J   ( 1 ) 2 ( y - y ) ( Derivada ) h d ¶ w

52. Algoritmo de Backpropagation • La Ecuación anterior se itera hasta obtener un error aceptable (de 3 a 5%). • Un error menor no permite una buena ‘ generalización’. • Cuando se obtiene el error deseado se guardan los pesos para aplicarlos en el trabajo deseado. y  s  x · V  · W

53. Características Principales 1. Son dispositivos no-lineales. 2. Pueden aprender un mapeo. 3. Son adaptables. 4. Las respuestas están basadas en evidencia. 5. Usan contexto, es decir, a más información, la respuesta es más veloz y mejor.

54. Características Principales 6. Son tolerantes a fallas, o sea, que la falla es degradada. 7. Su diseño y análisis es uniforme. 8. Tienen analogía neuro-biológica. 9. Su procesamiento es masivamente paralelo, distribuido y realizado con operaciones individuales simples. 10. Aprenden por sí mismas. 11. Tienen capacidad de generalizar

55. Aplicaciones más Comunes • Representación de comportamientos de funciones lineales y no-lineales. • Identificación de Patrones o Sistemas. • Sistemas de Control. • Reconocimiento de Imágenes. • Reconocimiento de Caracteres. • Reconstrucción de datos.

56. Aplicaciones más Comunes • Predicción y Recomendación para la Toma de Decisiones. • Simulación de Modelos Económicos y Financieros. • Clasificación de Objetos. • Administración de Anestesia según el Comportamiento de la Presión Arterial. • Predicciones Climatológicas.

57. Aplicaciones más Comunes

58. Aplicaciones más Comunes

59. Aplicaciones más Comunes

60. Aplicaciones más Comunes

61. Neuro Sistema

62. Diseño de la Red Neuronal

63. Estructura de Red Neuronal

64. Entrenamiento

65. Diseño de la Red Neuronal del Neuro Controlador

66. Estructura de Red Neuronal del Controlador

67. Entrenamiento

68. Prueba del Sistema Completo Control de Péndulo Estados Invertido Neuro-Control Neuro-Sistema

69. Comentarios Finales  El ingenio permite emplear herramientas actuales en teorías antiguas.  El Control Moderno se debe complementar con los avances tecnológicos para optimizar su comportamiento.  La Lógica Difusa facilita el diseño de controladores no-lineales evitando el modelamiento matemático.  Las Redes Neuronales otorgan la capacidad de adaptación mediante su propio aprendizaje.

70. Comentarios Finales  Es factible emplear una Red Neuronal para que aprenda el comportamiento del Controlador Difuso y potencie el sistema con el razonamiento y la adaptatibilidad.  Los retos de ingeniería deben ser considerados como un estímulo para el ingeniero peruano en vez de verlos como un obstáculo.