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Unidad ii
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “ANDRÉS ELOY BLANCO” MINISTERIO DEL P.P PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA BARQUISIMETO – EDO. LARA Unidad II Matematicas Participante: Michael Rico C.I: 26.556.856 Sesión:202 Barquisimeto, Marzo del 2021
- 2. Definición de Conjuntos: Enmatemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares, y estos elementos en sí mismos se consideran objetos. Un conjunto de elementos puede ser los siguientes elementos: caracteres, números, colores, letras, números, etc. Si un elemento (o miembro) se define como incluido en el conjunto de alguna manera, se dice que el elemento (o miembro) pertenece al conjunto. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Una colección generalmente se define por los atributos que poseen todos sus elementos. Por ejemplo, para los números naturales, si se consideran los atributos de los números primos, el conjunto de números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} El conjunto puede ser finito o infinito. El conjunto de números naturales es infinito, pero el conjunto de planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos se pueden combinar mediante operaciones, de forma similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en cierto sentido es imposible definirlos con conceptos más básicos, por lo que se pueden estudiar de manera informal para atraer la intuición y la lógica. Por otro lado, son los conceptos básicos de las matemáticas: a través de ellos se pueden formular otros objetos matemáticos, como números y funciones. Por lo tanto, un estudio detallado de la misma debe introducir axiomas y conducir a la teoría de conjuntos. Operaciones con conjuntos. Las operaciones con conjuntos (también llamadas álgebra de conjuntos) nos permiten realizar operaciones en conjuntos para obtener otro conjunto. Del funcionamiento del conjunto, veremos la siguiente unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
- 3. Unión o reuniónde conjuntos. Con esta operación, podemos conectar dos o más colecciones juntas para formar otra colección, que contendrá todos los elementos que queramos conectar sin repetirlos. Es decir, dado el conjunto A y el conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. Los símbolos utilizados para representar la operación de unión son los siguientes: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn para representar la unión de conjuntos, sombreando los conjuntos conectados o formando un nuevo conjunto. Luego escribe la operación conjunta afuera. Intersección de conjuntos. Es esta operación la que nos permite formar un conjunto con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la intersección de los conjuntos A y B estará formada por los elementos de A y los elementos comunes de B, y los elementos no comunes A y B serán excluidos. Símbolos utilizados para indicar operaciones de intersección. Diferencia de conjuntos. Es esta operación la que nos permite formar un conjunto, donde, en dos conjuntos, el conjunto de resultados es un conjunto que tendrá todos los elementos que pertenecen al primer elemento, pero no al segundo elemento. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia de conjuntos entre A y B estará formada por todos los elementos de A que no pertenecen a B. El signo utilizado para esta operación es el mismo que el utilizado para una resta o resta. Diferencia de simétrica de conjuntos. Es esta operación la que nos permite formar un conjunto, donde, en dos conjuntos, el conjunto de resultados es un conjunto que tendrá todos los elementos que no son comunes a los dos conjuntos. En otras palabras, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada por todos los elementos que no son compartidos por los conjuntos A y B. Símbolos utilizados para representar operaciones de diferencias simétricas. Complemento de un conjunto. Es esta operación la que nos permite usar todos los elementos del conjunto de referencia o del conjunto general para formar un conjunto, y estos elementos no están en el conjunto. Es decir, dado que el conjunto A está contenido en el conjunto universal U, entonces el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal, pero no se consideran los elementos pertenecientes al conjunto A. El complemento de un conjunto está representado por un apóstrofe en el conjunto que se está operando, como este A ', donde el conjunto A es el conjunto que completa la operación de complemento.
- 4. Números Reales : En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por {displaystyle mathbb {R} } ) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue denunciada por Euler en el siglo XVIII.2 Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Desigualdad: En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura
- 5. está del ladodel elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor. Definición de Valor Absoluto: El concepto de valor absoluto se utiliza en el campo de las matemáticas para nombrar valores que tienen números más allá de su signo. Esto significa que el valor absoluto (también conocido como módulo) es la magnitud numérica del gráfico y no tiene nada que ver con el signo. La definición del concepto indica que el valor absoluto es siempre igual o mayor que 0, y nunca negativo. Con base en lo dicho anteriormente, podemos agregar que los valores absolutos de los números opuestos son los mismos. Por tanto, 8 y -8 comparten el mismo valor absoluto: | 8 |. El valor absoluto también puede entenderse como la distancia entre un número y cero. El número 563 y el número - 563 están a la misma distancia del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, este es el valor absoluto de los dos: | | 563 |. Por otro lado, la distancia entre dos números reales es el valor absoluto de su diferencia. Por ejemplo, entre 8 y 5, hay una distancia de 3. El valor absoluto de esta diferencia es | 3 |. El concepto de valor absoluto existe en varias asignaturas de matemáticas, el vector es una de ellas. Más precisamente, nos enfrentamos a una definición similar en la especificación del vector. Sin embargo, antes de continuar, se debe definir el espacio euclidiano, porque estos conceptos se conjugan en esta región. Desigualdades con Valor Absoluto: Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
- 6. Desigualdades de valorabsoluto: La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta . x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: Desigualdades de valor absoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
- 7. Así, x <-4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b. Plano Numérico Distancia: En matemáticas, la distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano es igual a la longitud del segmento de línea recta que los conecta, expresada en números. En espacios más complejos, como los definidos en geometría no euclidiana, el "camino más corto" entre dos puntos es un segmento de línea recta con curvatura, llamado geodésico. En física, la distancia es un escalar, expresado en unidades de longitud Plano numérico Punto Medio: El punto medio en matemáticas es un punto a la misma distancia de otros dos puntos o del final de un segmento de línea. En matemáticas, en términos generales, los puntos equidistantes se refieren a puntos a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos de línea o líneas rectas. Si es un segmento de línea, el punto medio es el punto que lo divide en dos partes iguales. En este caso, el punto medio es único y equidistante del final del segmento de línea. Al satisfacer la última condición, pertenece a la bisectriz. Representación Grafica de las Cónicas: Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas que se producen por la intersección de un plano con un cono. Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes.
- 8. La circunferencia: esuna línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica. Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas. Parábola: En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo. Elipse: Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. Hipérbola: es el conjunto de todos los puntos P en el plano tal que la diferencia entre las distancias desde P a dos puntos fijos es una constante dada. Cada uno de los puntos fijos es un foco . (El plural es focos.) Si P es un punto en la hipérbola y los focos son F 1 y F 2 entonces y son los radios focales. Como puede ver, la gráfica de la hipérbola tiene dos ramales desconectados que se ven similares a las parábolas. Cada ramal se acerca en asíntotas diagonales.
- 9. El centro deuna hipérbola es el punto medio del segmento de línea uniendo sus focos. El eje transversal es el segmento de línea que contiene el centro de la hipérbola y cuyos puntos finales son los dos vértices de la hipérbola. Una hipérbola central, una con su centro en el origen y sus focos ya sea en el eje de las x o en el eje de las y tiene una de las dos fórmulas siguientes. Dese cuenta que a 2 es el denominador del término positivo en cada caso. La hipérbola con su centro en (0, 0), focos en ( c , 0) y (– c , 0) y la diferencia de los radios focales 2 a tiene la ecuación. Ejercicios: Operaciones con conjuntos: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: También se puede graficar del siguiente modo:
- 10. Desigualdades: . . . . – C.S = X∈ (-∞, -1/3)
- 11.