Este documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, conjunto universal, subconjuntos, conjunto vacío, conjunto potencia, igualdad de conjuntos, operaciones como unión e intersección, diferencia y complemento. También explica leyes del álgebra de conjuntos como las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución, dominación y de Morgan.

1. Estructuras Discretas
Teoría de Conjuntos
Definicion: llamaremos conjunto a una colección o agrupación de objetos, el cual se
llamaran elementos.
Conjunto Universal (U): es el conjunto que contiene los elementos a seleccionar
Para visualizar mejor estas definiciones a continuación pondré un ejemplo.
Consideremos el conjunto formado por todos los números pares menores que 10
diciendo que el conjunto A= {2,4,6,8} y nuestro conjunto universal P, el conjunto
formado por todos los números pares menores que 10.
Normalmente los conjuntos son identificados con las letras mayúsculas, mientras que
los elementos se denotan con las minúsculas.
Los elementos del conjunto son encerrados en llaves o círculos, el cual es llamado
diagrama de ven.
Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.
a) Por extensión
A={2,4,6,8}; P={a,x,y,w}
b) Por comprensión
A={XϵR/1} (x pertenece a todos los reales diferentes a 1)
Subconjuntos
Relaciónde inclusión:
Si A es el conjuntoformadoporlasvacas y B esel conjuntoFormadoporlos mamíferos
entoncestenemosque todoelementode A estambiénelementode B.
P={vacas}
M={mamiferos} decimosque PìM
Teorema:larelaciónde inclusiónentre conjuntoses.
Reflexiva:AìA,paratodoconjuntoA
Antisimetrica:AìBù BìA ϷA=B
Transitiva:AìBù BìC Ϸ AìC

2. Definicion:diremosque unconjuntoA estaincluidopropiamenteenunconjuntoBo que A es
subconjuntopropiode Bsi y solosi AìB y A ¹ B
Ejemplo:
A={x,y,z} yB={t,u,v,x,y,w,z} entoncesA essubconjunto propiode B
Conjunto Vacio
Definicion:esaquel conjuntoque notiene elementos
Dado el conjuntoA,el ConjuntovacioFₐes el conjunto:
Fₐ={xîA/x ¹ x} el Fₐ no tiene elementosyaque todoxîA satisface x=x a demáspor definiciónse
tiene que vacioessubconjuntode todoconjuntoA.
Conjunto Potencia
Definicion:esel conjuntoformadoportodoslossubconjuntosque esposible formarde un
conjuntodado
Ejemplo:
Si A={x,y,z} entonces Ᾱ(A)= {{n}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}
-La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus
elementos son conjuntos.
-Dado un conjunto A podemos conocer el numero de elementos de Ᾱ(A),yaque si A tiene n
elementos,entonces Ᾱ(A) tiene 2nelementos.
Igualdad de Conjuntos
Dos conjuntossonigualessi tienenlosmismoselementos.
Ejemplo:
A={1,3,7,9,a,b} B={b,a,9,3,1,7}
Entonces:A=B puessonlosmismoselementosaunque esténendiferente orden.
Unión e Intersección de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto:
A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
Propiedades de la Unión de Conjuntos

3. Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
i. A U A = A
ii. A U U = U
iii. A U f = A
iv. AUB = BUA
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de
A con B se define como el conjunto:
A I B = { xÎ U / xÎ A Ù xÎ B}
Es decir, los elementos que están en A y
también están en B.
Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B =
{a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección de los
conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B
={a,c,e}
Propiedades de la Intersección de Conjuntos
Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
i. A I A = A , " A
ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal
iii. A I f = f
iv. A I B = B I A
Diferencia y Complemento
Si A y B son conjuntos, entonces se define la
diferencia entre A y B como el siguiente
conjunto:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son
todos los elementos que están en A pero que no
están en B.
Ejemplo: Consideremos los conjuntos
A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-
4,5,7,9,6,8,10,18}

4. Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica
entre A y B es el conjunto.
AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18}
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
i. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)
ii. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)
iii. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)
iv. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
v. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto.
C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para
llegar a ser igual a U.
Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}
entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}
Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
a. A - B = AI C(B)
b. C(C(A)) = A
c. AUC(A) = U
d. AI C(A) = f
e. C(U) = f
f. C(f ) = U
g. AÌ B Û C(B) Ì C(A)

5. Algebra de Conjuntos
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de
conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.
Producto Cartesiano
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A
y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
Leyes de Idempotencia
a. A U A = A A = A
b. A
Leyes Asociativas
A I (BIC) = (AIB) I C
Leyes Conmutativas
a. A U B = B U A
b. A I B = B I A
Leyes Distributivas
a. A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I
(B U C) = (A I B) U (A I C)
b. A
a. A U f = A I f = f
b. A
Leyes de Dominación
a. A U U = U U: conjunto universal
b. A I U = A
Leyes de Complementación
a. A U C(A) = U
b. A I C(A) = f f f) = U
c. C (C(A)) = A
d. C (U) =
e. C (
Leyes de De Morgan a. C(A U B) = C(A) I C (B) I B) =
C(A) U C (B)
b. C(A

6. Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A
Operaciones Generalizadas
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1,
A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo
denotaremos {Ai}iÎ I.
Ejemplo
Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada
miembro de la familia.
Solución
La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos
también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n
es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto
de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la
familia son:
Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos:
Definición
Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:
i. La unión de esta familia como el conjunto
ii. La intersección de esta familia como el conjunto

7. Partición
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es
una partición de X, si y sólo si:
iii. Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una
familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección
entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da
X.
iv. Ejemplo
v. Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2,
A3} es una partición de X.
Juan Alvarez
C.I: 26085548