Matematica

1. Mate
Facultad de Derecho y Ciencias
Políticas
Tema:
Conjuntos
SEMESTRE ACADÉMICO 2023-I

2. CONJUNTOS
Noción de conjunto: Toda agrupación o colección de objetos es considerado un conjunto.
Los objetos que pertenecen al conjunto se llaman elementos del conjunto.
NOTACIÓN Se denotan con letras mayúsculas tales como: A,B,C,D.
Ejemplo. A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B={x/ x es un número primo menor que 10}
D={ 2,3,5,7}
CARDINAL DE UN CONJUNTO : Es su número de elementos.
El cardinal de A se denota n (A).
Ejemplo. 𝑛(∅)=0, Si B={ 1,4 ,9) ,n(B)=3

3. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO VACÍO: Es el que no tiene elementos.
Se denota con la letra griega ∅.
EJEMPLO.
∅ = {x/ x ≠ x},
A = {x ∈R / x = -i }, B ={x ∊ N / 3x -2 = 0 }, C ={x ∊ Z/ 6<x < 7 }
A=B=C= ∅
CONJUNTO UNITARIO: Es el que tiene un sólo elemento.
Ej. A = {t }, B = {x ∈ R/ x+a =a ,∀ a }, C ={x/ x es número par primo}

4. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO FINITO: Es un conjunto que tiene “n” elementos.
Ej. A ={ 1, 5, 8 } A es finito pues tiene 3 elementos.
CONJUNTO INFINITO: Un conjunto es infinito si no es finito.
Ej. M = { 6, 7, 8, ......}
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto que contiene a todos los demás
conjuntos en un determinado contexto.
Notación: Se denota con la letra U.

5. CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Sea A = {m; n; p}
Los subconjuntos de A son {m}, {n}, {p}, {m; n}, {n; p}, {m; p}, {m; n; p}, Φ Entonces
el conjunto potencia de A es:
P(A) = {{m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p}; Φ }
¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?
CONJUNTOS ESPECIALES

6. CONJUNTOS ESPECIALES
PROPIEDAD: Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n, entonces el
número de elementos de su conjunto potencia es 2n.
Ejemplo: Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5<x<15 }. Determinar el
cardinal de P(B).
RESPUESTA Si 5<x<15 y es un número par entonces B={6;8;10;12;14}
Observa que el conjunto B tiene 5 elementos entonces:
Card P(B)=n P(B)=25 = 32

7. CONJUNTOS NUMÉRICOS

8. Conjunto de Números Naturales: N={1, 2, 3, ....}
Conjunto de Números Enteros: Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
Conjunto de Números Racionales:
Q={a/b, a y b son números enteros, b ≠ 0}
EJEMPLO. ¾, 0.2666…, 7, -0.12 , -2 son números racionales
Conjunto de Números Irracionales: I ={x/x es un número decimal infinito no periódico}
EJEMPLO. π=3.1415926….., -4.56789….., 2 =1.41421356237 son números irracionales
Conjunto de los números Reales : R=Q∪I

9. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Un conjunto se determina por extensión o por comprensión.
Por Extensión:
Decimos que un conjunto se determina por extensión cuando se conocen cada
uno de los elementos de un conjunto.
Ejemplos:
A={2, 4, 6, 8, ....}; B={Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado}

10. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Por Comprensión:
Decimos que un conjunto se determina por compresión cuando se describe una o
varias características o propiedades que lo define, y no se da una lista de cada
uno de sus elementos.
Ejemplos:
A={x/x es un número natural par}; B={x/x es día de la semana};
C= {x/x es un número real menor que 1}

11. DIAGRAMAS DE VENN
Un Diagrama de Venn , es una línea curva simple y cerrada que sirve para
representar gráficamente un conjunto. No tiene una forma específica, pero es
muy usual usar los de forma ovalada, circular, rectangular, etc.
Ejemplo.

12. RELACIONES EN UN CONJUNTO
Inclusión:
Dados los conjuntos A y B se dice que A está incluído en B o que A es suconjunto
de B y se denota A⊂B.
A⊂B ↔ {x∈A→x∈B; x∈A }
Representación gráfica: B
A

13. Igualdad
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.
A=B ⇿ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ej. A = {4,7,8} B = {7,4,8}. A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇾ A = B
Si A y B son diferentes denotamos A ≠ B (A ⊄ B v B ⊄ A)
EJ. M = { 3,5,9}; N = {-1 , 3, 5, 9 ) N ⊄ M. Luego M ≠ N

14. Propiedades de la inclusión
1. A ⊂ A Propiedad Reflexiva
2. Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇾ A ⊂ C (P. Transitiva)
3. ∅ ⊂ A , ⩝ A
Propiedades de la igualdad
1. A= A , Propiedad Reflexiva
2. .Si A = B ⇾ B = A, Propiedad simétrica.
3. . Si A=B ∧ B=C ⇾A=C, Propiedad transitiva. i)A ⊂ B iii) A ≠ B
Subconjunto Propio : A es subconjunto propio de B ⇿ ii) A ≠ ∅
{

15. EJEMPLO
A={2, 5, 6 }; B={1, 3, 2, 5, 7, 6 }; C={x/x ∈R ∧ x <8 }, D = {x/ x ∊ Z ∧ x < 8 }
Determine si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa.
1. A ⊂ B ....( ) 5. A ⊂ B ⊂ C ⊂ D…..( )
2. C ⊂ B….( ) 6. A ⊂ B ⊂ D ⊂ C….( )
3. C ⊂ D…..( ) 7. A ⊂ C …………..( )
4 D ⊂ C….( ) 8. C ⊄ D……………( )

19. OPERACIONES CON CONJUNTOS
INTERSECCIÓN.- La intersección de los conjuntos A y B se denota A∩B y se
define: A∩B= {x/x ∊ A ∧ x ∊ B }.
Ejemplo. Sean : A= {0, 1, 5, 6 }; C={x/x ∊R ∧ x ⦤5}; D={x / x ∈Z ∧ X > -3 }
Determine y grafique:
a)A ⋂ C
b) C ⋂ D.
Solución:
a) A ⋂ C ={0,1,5 }
b) C ⋂ D.= {-2,-1, 0, 1,2, 3,4, 5 }
0
1
5
A
C
-2,-1,
0,1
2,3
4,5
C
D

20. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN
1. A ⋂ A= A
2. ∅ ⋂ A=∅
3. A ∩ B =B ∩ A ; ( P.Conmutativa.)
4. ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C) ; (P. Asociativa)
5. Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇾ A ⊂ C ; (P. Transitiva)
6. Si A ⊂ B ⇾ A ∩ C ⊂ B ∩ C.
Conjuntos Disjuntos: A y B son conjuntos disjuntos ↔ A ∩ B = ∅

21. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS
Definición. La unión o reunión de los conjuntos A y B se denota por A∪ B y se
define:
A ∪ B = {x/x ∊ A v x ∈ B }
Ejemplo. Sean : A = { -3, -2, -1, 2,3 }; B = { x/x ∈ Z ∧ -4 ⪁x ≤ 1 }, C={ x ∈ R; x < 3 }
Determine y grafique :
a) A ∪ B ; b) B ∪ C

22. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
1. A ∪ A = A
2. ∅ ∪ A = A
3. A∪B= B∪A
4. (A ∪B) ∪ C =A ∪ (B ∪ C)
5. Si A ⊂ B ⇾ A∪B = B
6. A ∪ (B ⋂ C ) = ( A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C) ; Propiedades
7. A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B ) ⋃ (A ⋂ C); Distributivas.

23. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Definición. La diferencia de los conjuntos A y B, se denota A-B y se define:
A-B= { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
Ejemplo. Sean: A= {-4,-2,0,2}; B = {-1,0 ,2 ,5}; C = {x /x ∈ Z ∧ x >3 }
Determine y grafique:
a) A-B; b) A-C

24. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA
1. A-∅ =A
2. ∅ -A = ∅
3. A-B ⊂ A
4. Si A ⊂ B⇾A-C⊂ B-C
5. Si A =B ⇾ A-B = ∅

25. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si A ⊂ U; donde U = conjunto universal, el complemento de A, denotado por A’ y se
define : A’= U-A
Representación Gráfica
U
A
A’
Ejemplo. Sean U=N , A = { x/ x ∈ N ∧ x < 6}; B ={ x / x ∈N ∧ x > 9 }; C ={ 1,3 5,7,....}
Determine y grafique : A’ ,B’ ,C’

26. Propiedades del Complemento de un conjunto
1. U’= ∅
2. ∅ ‘= U
3. (A’)’= A
4. (A ∩ B)’= A’∪ B’ Leyes de Morgan
5. (A ∪ B)’= A’ ∩ B’ Leyes de Morgan
6. A-B = A ∩ B’
7. Si A ⊂ B ⇾ B’⊂ A’