Este documento presenta la teoría cinética de los gases desde un punto de vista microscópico. Introduce el concepto de gas ideal y explica cómo la presión de un gas se relaciona con la energía cinética promedio de sus moléculas. Deriva la ecuación fundamental de la teoría cinética que establece que la presión de un gas es igual a dos tercios de la energía cinética promedio por unidad de volumen. Resuelve ejercicios aplicando esta ecuación para calcular presiones, energías cinéticas promedio y totales.

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CAPÍTULO 6: TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES
“Las ciencias no tratan de explicar y casi no intentan interpretar: se consagran
sobre todo a hacer modelos. Por modelo se entiende una construcción
matemática que, con la adición de ciertas aclaraciones verbales,
describe los fenómenos observados. La justificación
de esa construcción matemática es única
y precisa que sea eficaz.”
John von Newman
6.1 INTRODUCCIÓN
Como fue notado en la introducción del capítulo 1, el gran número de moléculas hace innecesario considerar
el movimiento de cada una de ellas por separado. Veremos en este capítulo que cuando estamos en
presencia de sistemas macroscópicos constituidos por un número grande de moléculas es suficiente
limitarse a los valores promedios de las magnitudes que caracterizan el movimiento, tales como: la energía
cinética media, la velocidad media, la fuerza media, etc.
Aquí nos ocuparemos fundamentalmente de los gases, donde la densidad de las partículas es tan baja que
permite introducir el concepto de gas ideal. Este gas está formado por partículas que interaccionan con las
otras solo mediante choques. Se pueden imaginar cómo pequeñas esferas duras de pool, sin estructura
interna, que chocan mediante choques elásticos.
Figura 6.1 Representación gráfica del gas ideal como un gas de esferas duras.
Por supuesto que esto es un modelo idealizado de la realidad. Las moléculas poseen una estructura
compleja, e incluyen a su vez otras partículas denominadas átomos, los cuales poseen estructuras también
complejas. Sin embargo para un rango importante de condiciones termodinámicas este modelo ofrece
predicciones bastante razonables.
En el capítulo 3 estudiamos con detalles la ecuación del gas ideal. Allí planteamos que el descubrimiento de
esta ecuación es la culminación de una larga historia de trabajo experimental y de observación por parte de
muchos científicos. En este capítulo re-obtenemos esta ecuación desde otro punto de vista, “más
microscópico”, lo que permite tener un panorama mucho más claro y comprensible de los fenómenos que
ocurren a nivel microscópicos y como estos se relacionan con las magnitudes que se pueden medir en la
práctica.

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Si consideramos los gases como ideales, no hay diferencia sustancial entre dos gases distintos. Por ejemplo
un mol de aire tendrá las mismas propiedades termodinámicas que un mol de cloro. La razón de esto es
precisamente no considerar que aparte de choques las moléculas experimentan otro tipo de interacción
entre ellas.
La idea general que debemos de tener en cuenta, cuando estudiamos un sistema macroscópico como el gas,
es que a niveles de moléculas el movimiento es completamente caótico. Es difícil, e inútil por otra parte,
poder predecir la velocidad y la posición de cada molécula en cada instante de tiempo. Sin embargo el gran
número de ellas hace que el conjunto no se comporte de manera impredecible y caótico, sino que por el
contrario pueda predecirse con una alta probabilidad su evolución. Por ejemplo podemos decir con una gran
seguridad que el calor es traspasado desde los cuerpos más calientes hacia los más fríos, a pesar de que las
leyes de la mecánica de partículas no impiden que el proceso inverso tenga lugar (solo que con una muy baja
probabilidad). También podemos decir con mucha confianza que el agua se congelará a los 0 º C y hervirá a
los 100 º C, que no podemos idear una máquina que trabaje eternamente, si no le suministramos energía
también eternamente, etc.
6.2 LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA CINÉTICA DE GASES
La presión del gas sobre las paredes, como ya presupuso Daniel Bernoulli en el siglo XVIII, es una
consecuencia de los innumerables choques de las moléculas sobre dichas paredes.
Supongamos que el gas está encerrado en un recipiente con forma de paralelepípedo (figura 6.2) y que el
gas se encuentra en equilibrio termodinámico. A pesar de que las fuerzas de interacción de cada molécula
por separado con las moléculas de las paredes es indeterminada, podemos emplear la mecánica para
calcular valores promedios, que resultan de un gran número de choques. En particular estamos interesados
en la fuerza media que ejercen las moléculas durante los choques. La condición de equilibrio termodinámico
garantiza que el número de moléculas que se mueven en una dirección determinada es igual en su valor
medio al número de moléculas que se mueven en sentido contrario.
Vamos a calcular la presión ejercida por un gas en equilibrio termodinámico sobre una de las paredes del
paralelepípedo. Tomamos el eje X dirigido a lo largo de la arista del paralelepípedo, perpendicularmente a la
cara en cuestión. Cualquiera que sean las velocidades de las moléculas nos interesa, por el momento,
considerar únicamente la componente Vx (la proyección del vector velocidad de cada molécula sobre el eje
X).
Separemos mentalmente una capa muy delgada de espesor ΔX junto a la cara elegida. Sea F la fuerza
resultante de la acción de las moléculas sobre la pared (de acuerdo a la tercera ley de Newton, será la
misma fuerza, pero en sentido contrario, con que la pared actúa sobre las moléculas). La segundad ley de
Newton nos indica que el impulso de la fuerza es igual a la variación de momento en la capa de adjunta a la
cara que nos interesa estudiar.

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Figura 6.2 Esquema para la determinación de la presión del gas sobre las paredes de un recipiente.
En el tiempo Δt logran entrar en la capa de espesor ΔX las moléculas que se encontraban a una distancia vx
Δt de la cara izquierda de dicha capa. Todas ellas se encuentran en el volumen del paralelepípedo de base S
y altura vx Δt . Es decir el volumen es S. vx Δt . Si la densidad de moléculas del gas es n, el número de
moléculas contenido en el volumen es n.S. vx Δt, pero solo la mitad de ellas se mueve de izquierda a derecha
en busca de la capa que nos interesa. Por consiguiente en un intervalo de tiempo igual a Δt, entran en la
capa, de izquierda a derecha, 1/2.n.S.vx Δt moléculas. Cada una de ellas porta un momento igual a m v x
(m es la masa de la molécula). Por tanto el momento total que aportan a la capa será:
Durante este tiempo un número igual de moléculas abandona la capa viajando de derecha a izquierda con
igual momento resultante, pero de signo contrario. El cambio de momento total resultante de las moléculas
que entran y salen de la capa durante el intervalo de tiempo Δt es:
Este cambio de momento, de acuerdo con la segunda ley de Newton es igual al impulso de la fuerza F, es
decir:
(6.1)
Dividiendo ambas parte de esta última relación por S Δt y recordando la definición de la presión P = F/S
obtenemos la relación:
(6.2)
En la deducción de la ecuación (6.2) hemos supuesto de partida que todas las moléculas que se mueven con
velocidades, cuyas proyecciones en la dirección del eje X son iguales. Por supuesto que esto no es cierto,
existe todo un diapasón de velocidades “permitidas” para estas proyecciones y que será tema de estudio del
capítulo 10. Lo más correcto es considerar que como promedio y con una gran probabilidad las moléculas
poseen cierta velocidad media y reemplazar está en la fórmula (6.2). Además debemos tener en cuenta una
situación similar para cada una de las proyecciones de la velocidad sobre los ejes coordenados. Por tanto
debemos introducir el valor medio:

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(6.3)
Debido al desorden total en el movimiento de las moléculas podemos considerar que los valores medios de
los cuadrados de la velocidad son iguales en cada eje y por tanto:
(6.4)
Usando la relación (6.4), la fórmula que relaciona la presión con los valores promedios del cuadrado de la
velocidad de las moléculas (6.2) es rescrita en la forma:
(6.5)
Finalmente definiendo la energía cinética promedio de la molécula mediante la fórmula:
(6.6)
Obtenemos la ley fundamental de la teoría cinética de los gases:
(6.7)
En palabras:
La presión de un gas es igual a dos tercios de la energía cinética promedio total de las partículas por
unidad de volumen.
EJERCICIOS
PROBLEMA 1
Contra una pared de área 0,5 [m2] chocan 1000 partículas por segundo a una velocidad de 100 [m/s], de
modo que rebotan en dirección contraria.
Calcule la presión sobre la pared, si la masa de cada partícula es de 1 [gr].
S1. Esquema de solución
La presión se define como la fuerza (F) por unidad de área (A), [ec.1], por lo que debemos calcular la fuerza
aplicada sobre la pared. La fuerza sobre la pared es el momentum (Δp) transferido por unidad de tiempo
(Δt), [ec.2]. El momentum transferido por cada partícula (Δp(i)) se calcula considerando que la partícula de
masa M golpea la pared con velocidad V y sale expulsada en dirección contraria, por lo que su cambio de
velocidad es de 2V. 2MV es, por lo tanto, su cambio de momentum que es transferido a la pared, [ec.3].
Para calcular la transferencia total de momentum a la pared Δp, multiplicamos esta cantidad por el número
de partículas (N) que golpea la pared en cada unidad de tiempo Δt, [ec.4].

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S2. Datos y Ecuaciones
Datos
Intervalo de tiempo Δt = 1 [seg]
Número de partículas que golpean en Δt N = 1000
Velocidad de las partículas V = 100 [m/s]
Masa de las partículas M = 1 [gr]
Área de la pared A = 0,5 [m2]
Ecuaciones
Presión [ec.1]
Fuerza [ec.2]
Momentum transferido por partícula [ec.3]
Momentum total [ec.4]
S3. Solución
Introduciendo [ec.4] en [ec.2], y este a su vez en [ec.1] obtenemos la presión en función de los datos del
problema
Respuesta Problema 1
La presión ejercida sobre la pared es 400 [Pa]
PROBLEMA 2
Un gas está compuesto por sólo 9 moléculas de hidrógeno (H2) de las cuales 2 se mueven a 1 [m / s],
4 se mueven a 2 [m / s] y 3 se mueven a 3 [m / s].
Determine la energía cinética promedio de las moléculas.
S1. Esquema de solución
La energía cinética [ec.2] promedio (E) de las moléculas corresponde al promedio de los cuadrados de las
velocidades (vi con i = 1, 2,3), multiplicado por la mitad de la masa (m) de las moléculas.
El promedio [ec.1] de los cuadrados de las velocidades (<vi>), lo calculamos sumando los cuadrados de las
velocidades que tienen las moléculas multiplicadas por el número de moléculas que tienen esta velocidad
(ni con i = 1, 2,3) y dividiendo el resultado por el no. total de moléculas (N).
S2. Datos y Ecuaciones

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Datos
No. total de moléculas. N = 9 moléculas.
Masa de una molécula de hidrógeno. m = 3.35 * 10 -27 [Kg]
Velocidad de las moléculas. n1 = 2 con v1 = 1 [m / s].
n2 = 4 con v2 = 2 [m / s].
n3 = 3 con v3 = 3 [m / s].
Ecuaciones
Promedio de los cuadrados de las velocidades de las [ec.1]
moléculas.
Energía cinética promedio de las moléculas. [ec.2]
S3. Solución
Según [ec.1] el promedio de los cuadrados de las energías cinéticas es:
Reemplazando el resultado anterior en la [ec.2] se tiene la energía cinética promedio:
Respuesta Problema 2
La energía cinética promedio es de 8.375 * 10 -27 [J]
PROBLEMA 3
Se tiene que un mol de oxígeno a 300 [K] que se comporta como gas ideal.
Calcule, la energía cinética media de traslación y la energía total cinética del oxígeno.
S1. Esquema de solución
La teoría cinética de los gases ideales nos dice que existe una relación simple que relaciona la energía
cinética media (Ecm) de las partículas con la temperatura (T) del gas [ec.1].
Si esta relación la multiplicamos por el número total de partículas (n) obtenemos la energía cinética total
(Ect) [ec.2].

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S2. Datos y Ecuaciones
Datos
Constante de Boltzmann. k = 1,38 * 10 -23 [J/k.]
Temperatura del oxígeno. T = 300 [K]
Cantidad de moléculas de oxígeno. n = 1 [mol] = 6,025 * 10 23 moléculas.
Ecuaciones
Relación entre la temperatura Ecm = 3/2 k T [ec.1]
y la energía cinética promedio.
Energía cinética total de las Ect = 3/2 n k T [ec.2]
partículas.
S3. Solución
De [ec.1] se obtiene inmediatamente la energía cinética media.
Ecm = 3/2 k T
[ec.2] dice que multiplicando la energía cinética media por el número total de partículas se obtiene la
energía cinética total de las partículas.
Ect = 3/2 n k T
Respuesta Problema 3
La energía cinética media de las partículas es 6,21 * 10-21 [J].
La energía cinética total de las partículas es 3741.5 [J].
6.3 LA ECUACIÓN DEL GAS IDEAL DESDE UN PUNTO DE VISTA MICROSCÓPICO
La temperatura caracteriza el estado de equilibrio termodinámico de los cuerpos. Dos cuerpos en contacto
que se hallen en equilibrio termodinámico poseen la misma temperatura. Por ejemplo para medir el valor de
la magnitud termométrica a las temperaturas de fusión del hielo y de ebullición del agua es necesario llevar
el termómetro al estado de equilibrio con el hielo en la fusión y con el agua hirviendo durante la ebullición.
Realicemos el siguiente experimento mental. Suponemos que tenemos un cilindro que contiene una cierta
cantidad de gas dividida en dos compartimientos, separados por una pared que puede moverse libremente
(sin rozamiento). Consideramos ahora que el sistema está aislado y ha tenido suficiente tiempo para
alcanzar su estado de equilibrio termodinámico. Notamos el equilibrio cuando la pared móvil que separa los
compartimientos está detenida completamente. Evidentemente para que ocurra esto las presiones deben
ser iguales en ambos compartimientos de lo contrario la pared móvil se moverá bajo la acción de la
diferencia de presión.

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Figura 6.3 Establecimiento del equilibrio entre los compartimientos divididos por una pared móvil. (a)
equilibrio inicial, (b) Después del calentamiento del comportamiento izquierdo, la pared móvil oscila hasta
regresar al mismo lugar.
Teniendo en cuenta (6.7) tenemos en este caso:
(6.8)
Si calentamos, por ejemplo la parte izquierda durante un pequeño intervalo de tiempo y abandonamos
nuevamente a su suerte al sistema. Lo que observamos es que la pared se desplaza hacia la derecha en un
inicio y después de observar algunas oscilaciones de la pared, esta se regresa nuevamente a la posición que
inicialmente se encontraba.
El movimiento de la pared indica que el gas realizó un trabajo y por consiguiente el gas contenido en la parte
izquierda entregó cierta cantidad de energía al del lado derecho. En otras palabras lo que se entrega durante
el establecimiento del equilibrio termodinámico es precisamente energía. El establecimiento del nuevo
estado de equilibrio ocurre a una nueva presión y temperatura, pero como la pared se detuvo justo donde el
primer caso, la densidad de moléculas n no sufrió al final ningún cambio, una vez establecido el estado de
equilibrio termodinámico. De este hecho y de la relación (6.8) se deduce que durante el calentamiento del
gas se cambia únicamente la energía cinética, por tanto al establecerse el equilibrio termodinámico se
igualan las energías cinéticas medias de las moléculas en ambos lados de la pared. Precisamente la energía
cinética media de la molécula se comporta como la temperatura. Este hecho se ve reafirmado por el hecho
de que la energía cinética promedio al igual que la temperatura no es una magnitud aditiva, es simplemente
igual en todas partes del sistema.
La relación entre la temperatura medida en grados y la energía cinética promedio de las moléculas se
establece mediante una constante que garantice la conversión correcta de las unidades de medida. La
formula usada es:
(6.9)
Donde hemos introducido la denominada constante de Boltzman, que ya habíamos utilizado en (3.2a) y cuyo
valor numérico es:
Debemos hacer notar que la fórmula (6.10) está dada para las moléculas que consideramos como esferas
duras muy pequeñas (puntos materiales) y que poseen movimiento de translación, que pueden
descomponerse en movimientos a lo largo de los tres ejes. En otras palabras las moléculas poseen tres
grados de libertad.

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A causa del movimiento caótico de las moléculas puede asumirse que la energía de las moléculas se
distribuye uniformemente por todas las tres componentes del movimiento de translación. En otras palabras
a cada grado de libertad le corresponde una misma cantidad de energía, que de acuerdo con (6.9) será:
Este hecho se le denomina principio de equipartición de la energía.
Tanto la presión (6.7) como la temperatura (6.9) se relacionan con magnitudes que deben ser calculadas
mediante la operación de promediar sobre un gran número partículas. Por esta razón no tiene sentido
hablar de la presión o temperatura de unas pocas partículas, para que estos conceptos tengan significado
físico deben referirse a sistemas macroscópicos constituidos por un número de las moléculas del orden del
número de Avogadro. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes estadísticas y serán tratadas con
más detalles el capítulo 10.
Combinando las expresiones (6.7) y (6.9) y teniendo en cuenta que la densidad de partículas es n = N/ V
obtenemos la ecuación de estado del gas ideal (3.2a).
(6.10) P•V=N•K•T