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2. Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de F´ısica
30 de junio de 2012
Pauta Control 3
Profesor: Hugo Arellano S.
Auxiliares: Cristian J´auregui, Lorenzo Plaza, Rodrigo Sabaj.
Problema 1
Sean v la velocidad del prot´on antes del choque, v1 su velocidad tras el choque, v2 la velocidad de la part´ıcula
tras el choque y M la masa de ´esta. Conservando el momentum lineal tenemos
pi = pf
mv i + 0 i = −mv1 i + Mv2 i
Como el choque es el´astico, conservamos la energ´ıa cin´etica.
K + 0 = K1 + K2
El prot´on pierde 5
9 de su energ´ıa, la cual es traspasada a la part´ıcula de masa desconocida, por lo que se
cumple
K1 =
4
9
K =
4
9
1
2
mv2
K2 =
5
9
K =
5
9
1
2
mv2
Reemplazando, despejamos las velocidades finales.
1
2
mv2
1 =
4
9
1
2
mv2
v1 =
2
3
v
1
2
Mv2
2 =
5
9
1
2
mv2
v2 =
5
9
m
M
v
Reemplazando estas rapideces en la ecuaci´on de momentum
mv = −mv1 + Mv2
mv = −
2
3
mv +
5
9
m
M
Mv
Desarrollando
m +
2
3
m =
5
9
m
M
M
1

3. Universidad de Chile
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Departamento de F´ısica
30 de junio de 2012
5
3
m =
5
9
m
M
M
25
9
m =
5
9
m
M
M2
M = 5m
Problema 2
Problema 3
Considerando a la part´ıcula ubicada en la posici´on que define el radio en la figura, se pueden realizar ciertas
consideraciones geom´etricas.
El trazo r se encuentra mediante la relaci´on
r = β2R − R ⇒ r = R(2β − 1) .
Luego, utilizando trigonometr´ıa
sin θ = 2β − 1 .
Por otra parte, se pueden encontrar las ecuaciones de movimiento en el siguiente DCL:
Considerando que el movimiento es de tipo circunferencial, en el eje radial se tiene:
N + mg sin θ = m
v2
R
.
Imponiendo que N = 0, la velocidad en ese punto es:
v2
= gR(2β − 1) .
Se ha de notar que para una soluci´on Real de v, se debe cumplir β ≥ 1/2. Adem´as, β > 1 implicar´ıa que la
bolita escapa del riel, lo cual no es factible. Por consiguiente, el rango f´ısicamente posible es:
β ∈
1
2
, 1 .
Con lo anterior se puede determinar la Energ´ıa Mec´anica Em en el instante que la normal es nula.
Em = U + K
= mg(β2R) +
1
2
mv2
Reemplazando la expresi´on determinada para v2
, se tiene:
Em = mgR2β +
1
2
mgR(2β − 1)
= mgR(2β + β −
1
2
)
Finalmente,
Em = (3β −
1
2
)mgR .
2