Ejercicios de Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior

1. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Ingeniería en Mantenimiento Mecánico
Sede Barcelona
Asignatura:
Matemática Aplicada
Autor: Hender Sivira
C.l.25060456
Fecha: 26/04/2017
APLICACIONES EDO ORDEN SUPERIOR

2. Datos:
W: 4 lb
k:16lb/pie
T:?
Una masa que pesa 4 lb se une a un resorte cuya constante es
16lb/pie.
¿Cuál es el periodo de movimiento armónico simple?
Formulas:
W= m x g m=
𝐖
𝐠
m=
𝟒 𝐥𝐛
𝟑𝟐
𝒑𝒊𝒆
𝒔𝒆𝒈 𝟐
=
𝟏
𝟖
𝒔𝒍𝒖𝒈
Formulas:
m=
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 =- kx
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 = -16x
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 = -16x
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 +16x =0
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 + 𝟏𝟐𝟖 x =0
𝒎 𝟐 + 𝟏𝟐𝟖 = 𝟎
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏
𝒎 𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 m= 𝟏𝟐𝟖𝒊 = 8 𝟐𝒊

3. 𝒙 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟖 𝟐𝒕 + c2 sen 8 𝟐𝒕
Formula:
T=
2𝜋
𝜔
𝝎 =8 2
𝒕 =
𝟐𝝅
𝟖 𝟐
𝟐
𝟐
𝒕 =
𝟐𝜋
𝟖

4. Un resorte de 4 ft alcanza 8 ft al colgarle una pesa de 8 lb .
El medio a traves del cual se mueve ofrece una resistencia
numericamente igual a 𝟐 veces su velocidad instantanea.
Deduzca la ecuacion del movimiento si la pesa se suelta de
la posicion de equilibrio con una velocidad de 5 ft/seg hacia
abajo.
Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento
extremo respecto a la posición de equilibrio ¿Cuál es su
posicion en ese instante ?
DATOS:
X0= 4 Pies
X1= 8 pies
W= 8 libras
β= 𝟐
X(t)=?
X(0)=0
X’(0)= 5 pies/s
t (X extremo)=? X(extremo)=?

5. 2
8 1
.
32 / 4
W lb
W m g m m slug
g pie s
   
F = kX 8lb=k(8-4)pie k = 2 lb/pie
2
2
d x dx
m kx
dt dt
  
,
Ecuación del movimiento libre amortiguado.
2
2
1
2 2
4
d x dx
x
dt dt
  
2
2
1
2 2 0
4
d x dx
x
dt dt
  
2
2
4 2 8 0
d x dx
x
dt dt
  
Ecuación homogénea de segundo orden
2 4 2 32 32
4 2 8 0 2 2
2
m m m m
  
     

6. 2 2 2 2
1 2( ) t t
X t C e C te 
 
X(0)= 0 0=C1e0 +C2.0.e0 C1 =0
2 2
2
2 2 2 2
2 2
( )
'( ) 2 2
t
t t
X t C te
X t C te C e

 

  
0 0
2 25 2 2 0C e C e   C2 = 5X’(t)=5
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 5
'( ) 10 2 5 5 (1 2 2 )
t
t t t
X t te
X t te e e t

  

    
X’(t)=0
1 2
0 1 2 2
42 2
t t segundos   
2
2 2
4
2
( 2 / 4) 5 5 2 / 4 0,65
4
X e e pies

  

7. una masa de 1 kg esta unida a un resorte cuya constante es
16 N/m y todo el sistema se sumerge en un liquido que
imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual
a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones
de movimiento, si
A) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m debajo
de la posicion de equilibrio
B) El contrapeso se suelta partiendo de la posición de
equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba.
DATOS:
m= 1 kg k = 16 N/m β= 10
X(t)=? X(0)=1 m
X(t)=? X(0)= 1 v=X’(0)=-12m/s

8. 2
2
d x dx
m kx
dt dt
  
2
2
1 16 10
d x dx
x
dt dt
  
2
2
10 16 0
d x dx
x
dt dt
   m2 + 10m + 16= 0
(m+8)(m+2)=0, m1= -8 m2=-2, el movimiento es sobre amortiguado
1 2
8 2( ) t tX t Ce C e  
1 2
8 2'( ) 8 2t tX t C e C e   
1 2 1 2
0 01 C e C e C C    1 2 1 2
0 00 8 2 8 2C e C e C C     
a) X(0)=1 X’(0)=0
.

9. 1 2 1 2
1 2 2 2
2 2 1
1 1
8 2 0 8(1 ) 2 0
6 8 8 / 6 4 / 3 1 4 / 3 1/ 3
C C C C
C C C C
C C C
    

       
      
1 48 2( )
3 3
t tX t e e   
b) X(0)=1 X’(0)= -12m/s
1 2 1 2
0 01 C e C e C C    1 2 1 2
0 012 8 2 8 2C e C e C C      
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2 1
1 8 8 8
8 2 12 8 2 12
6 4
2 / 3 5/ 3
C C C C
C C C C
C
C C
   

       
 
  
5 28 2( )
3 3
t tX t e e  

10. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie lrc
cuando t=0.01 s, L=0.05 h, R= 2 Ω, C=0.01 f, E(t)=0 v , q(0)=5C
e i(0)=0 a. encuentre el primer momento en el que la carga en
el capacitor es cero.
Datos:
q(t)=?
t=0,01 s
L= 0,05h
R=2Ω
C=0,01f
E(t)=0V
q(0)=5C
i(0)=0
t=?
q(t)=0
𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
0,05
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0,01
𝑞 = 0
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
+ 40
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 2000𝑞 = 0
q’’+40q’+2000q=0

11. q= emx q’ =memx q’’= m2 emx
m2 emx +40memx +2000emx =0
emx (m2 +40m + 2000)=0 m2 +40m + 2000= 0 a =1 b=40 c= 2000
𝑚 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚 =
−40 ± 402 − 4.1.2000
2.1
= −20 ± 40𝑖
𝑞 𝑡 = 𝑒−20𝑡
(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40𝑡 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40𝑡)
i=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
q(0)=5 i(0)=0
5 = 𝑒−20.0(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40.0 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40.0) → C1 = 5

12. dq
dt
= i(t)
i(t)= -20e-20t 𝑪 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕 + 𝒆−𝟐𝟎𝒕
−𝟒𝟎𝑪 𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕 + 𝟒𝟎𝑪 𝟐 𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕
i(0)=0 0=-20e0(5Cos0+C2Sen0)+e0(-200Sen0+40C2Cos0)
0=-20(5)+40C2 C2= 2,5
𝒒 𝒕 = 𝒆−𝟐𝟎𝒕
(𝟓𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕 + 𝟐, 𝟓𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕)
q(0,01) = 𝒆−𝟐𝟎∗𝟎,𝟎𝟏 𝟓𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏 + 𝟐, 𝟓𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏
q(0,01)= 4,1078C