The Burger's equation is derived from the Navier-Stokes equation and includes the advective and diffusive terms. In this paper, a finite element approximation is implemented for the one-dimensional form of the Burger viscous equation. For this, the standard Galerkin method is implemented and compared with the Petrov-Galerkin method, which is the most suitable for problems with diffusive and advective terms, and different simplifications are proposed. Finally, four different schemes for time discretization are analyzed together with the influence of the Viscosity, time step and boundary conditions in the fluid stability. So that the conditions under which a shock wave is formed can be deduced.

1. An´alisis de estabilidad en una aproximaci´on a la
ecuaci´on viscosa de Burgers por elementos
finitos
Facultad de Ingenier´ıa
Universidad Nacional de Colombia
Maveryck A. Garz´on E.
Estudiante, Ingenier´ıa Mec´anica
Departamento de Mec´anica
Correo: magarzone@unal.edu.co
ABSTRACT
The Burger’s equation is derived from the Navier-Stokes equation and includes the advective and diffusive
terms. In this paper, a finite element approximation is implemented for the one-dimensional form of the Burger
viscous equation. For this, the standard Galerkin method is implemented and compared with the Petrov Galerkin
method, which is the most suitable for problems with diffusive and advective terms, and different simplifications
are proposed. Finally, four different schemes for time discretization are analyzed together with influence of the
Viscosity, time step and boundary conditions in the fluid stability. So that the conditions under which a shock wave
is formed can be deduced.
1 Introducci´on
La ecuaci´on de Burgers es utilizada en diversos campos de las matem´aticas como mec´anica de fluidos, modelos para el
flujo de tr´afico, din´amica de gases y sistemas ac´usticos no lineales. Esta se describe como un sistema disipativo a la cual se le
puede agregar ruido y se obtiene la forma estoc´astica de la ecuaci´on de Burgers. Adem´as, al despreciar el t´ermino difusivo se
obtiene la ecuaci´on simplificada con la que se describe la formaci´on de ondas de choque, tambi´en llamada inviscid Burger’s
equation.
La ecuaci´on viscosa de Burgers se define como:
∂u
∂t
+R·u
∂u
∂x
−ν
∂2u
∂x2
= 0 (1)
En donde, en el t´ermino difusivo, ν es la viscosidad cinem´atica del fluido, la cual cumple el papel de disipar la energ´ıa
de la onda y de esta manera las ondas de choque, por lo cual, para una bajo valor en la viscosidad, se tiene un fluido
inestable y las soluciones a esta condici´on requieren otro tipo de m´etodos num´ericos. El segundo t´ermino corresponde a la
advecci´on,la cual se define como la variaci´on de un escalar por efecto de un campo vectorial, por ejemplo la concentraci´on
de un contaminante en un fluido, la temperatura, etc.
Adem´as se tienen las condiciones de frontera u(0,t) = u(N,t) = 0, aunque para algunas configuraciones especiales se
tendr´an condiciones de contorno con valores diferentes, pero siempre ser´an condiciones tipo Dirichlet.
2 Objetivos
Deducir una soluci´on por elementos finitos utilizando el m´etodo de Petrov-Galerkin para la ecuaci´on de Burgers y
validar esta aproximacion tomando en cuenta la soluci´on analitica.
Analizar cada uno de los esquemas temporales y proponer la aplicaci´on de cada uno.
Proponer problemas adicionales que podr´ıan resolverse utilizando el mismo m´etodo planteado.
Analizar la influencia de los t´erminos advectivo y difusivo en el comportamiento de la onda.

2. 3 Discretizaci´on del tiempo
El primer t´ermino de la ecuaci´on de Burgers determina el cambio de la funci´on u respecto al tiempo y a fin de analizar
la influencia de diferentes esquemas, se ha planteado la ecuaci´on a discretizar de la siguiente manera.
un+1 −un
∆t
= θ ν
∂2u
∂x2
−u
∂u
∂x
n+1
+(1−θ) ν
∂2u
∂x2
−u
∂u
∂x
n
(2)
En donde el valor de θ tiene cuatro posibles valores, para los cuales se tienen diferentes esquemas:
θ = 0: Forward Euler. Esquema totalmente explicito.
θ = 1: Backward Euler. Esquema totalmente Implicito.
θ = 1/2: Metodo Crank-Nicolson. Esquema semi-Implicito.
θ = 2/3: Metodo de Galerkin. Esquema Implicito.
Ahora, se aplica el m´etodo de Galerkin Petrov a la ecuaci´on 2. Para ello se definen las funciones de peso como:
W = N +α
dN
dx
De esta forma, se tienen 3 funciones de forma de orden dos, como se ven en la figura 1. Obs´ervese que para un valor
α = 0 la expresi´on anterior se convierte en el m´etodo Bubnov-Galerkin.
Fig. 1: Funciones de forma lineales y cuadr´aticas.
Ahora, las funciones de forma se definen de la siguiente manera:
Ni = ξ
ξ
2
−
1
2
N j = −(ξ−1)(ξ+1)
Nk = ξ
ξ
2
+
1
2
(3)
Luego, las funciones de peso, quedan definidas como:

3. Wi = ξ
ξ
2
−
1
2
+α ξ−
1
2
W j = −(ξ−1)(ξ+1)−2αξ
Wk = ξ
ξ
2
+
1
2
+α ξ+
1
2
(4)
Las funciones de forma est´an definidas en el intervalo [−1,1] ya que cada elemento se traslada a este dominio, para
poder aplicar la cuadratura de Gauss al momento de realizar las integrales. De esta manera, puede integrarse cualquier
expresi´on como sigue:
xj
xi
F(x)dx =
1
−1
F(ξ)·Jdξ
En donde J es el Jacobiano de la transformaci´on, que para este m´etodo se define como:
J =
dx
dξ
=
d (xiNi +xjNj +xkNk)
dξ
En donde xi es el primer nodo de cada elemento, xk el nodo final y xj es un punto que est´a exactamente en la mitad del
elemento.
Luego, reemplazando las ecuaciones de las funciones de forma y derivando respecto a ξ se llega a la expresi´on para el
Jacobiano de la transformaci´on, que adem´as deber´a tenerse en cuenta a la hora de derivar las funciones de peso Wi.
J =
xk −xi
2
4 Discretizaci´on por el m´etodo Petrov-Galerkin
Partiendo de la ecuaci´on 2, se aplica residuos ponderados y se reemplaza la variable u por la aproximaci´on de la forma
Ni·u
xj
xi
W
un+1 −un
∆t
dx =
xj
xi
Wθ ν
∂2u
∂x2
−u
∂u
∂x
n+1
dx+
xj
xi
W(1−θ) ν
∂2u
∂x2
−u
∂u
∂x
n
dx
xj
xi
W
Niun+1 −Niun
∆t
dx =
xj
xi
Wθ ν
∂2Niu
∂x2
−u
∂Niu
∂x
n+1
dx+
xj
xi
W(1−θ) ν
∂2Niu
∂x2
−u
∂Niu
∂x
n
dx
Obs´ervese que el t´ermino u que acompa˜na a la primera derivada no fue reemplazada ya que este puede asumirse como
constante a lo largo de cada elemento. Esta afirmaci´on se evaluar´a m´as adelante.
Se debilita el t´ermino con la segunda derivada, de all´ı se obtienen unas condiciones de contorno que a partir de este punto
no se tendr´an en cuenta ya que estas solo afectan a los nodos inicial y final del dominio, pero estos valores son reemplazados
por las condiciones Dirichlet establecidas anteriormente.
ν
∂2Niu
∂x2
= ν W
dNiu
dx
xn
x0
−ν
xj
xi
dW
dx
dNiu
dx
dx

4. xj
xi
W
Niun+1 −Niun
∆t
dx =
xj
xi
θ −ν
dW
dx
dNiu
dx
−uW
∂Niu
∂x
n+1
dx+
xj
xi
(1−θ) −ν
dW
dx
dNiu
dx
−uW
∂Niu
∂x
n
dx
Se realiza la transformaci´on al dominio [−1,1] para poder utilizar la cuadratura de Gauss y con ello facilitar el c´alculo
de las integrales:
1
−1
W
Niun+1 −Niun
∆t
Jdξ =
1
−1
θ −
ν
J
dW
dξ
dNiu
dξ
−uW
∂Niu
∂ξ
n+1
dξ
(5)
+
1
−1
(1−θ) −
ν
J
dW
dξ
dNiu
dξ
−uW
∂Niu
∂ξ
n
dξ
N´otese la presencia del t´ermino J, el cual es implementado debido a la transformaci´on. Este se encuentra dividiendo en
algunos t´erminos, en donde resulta como producto de la derivada interna de las funciones W y N.
Por simplicidad, se denota el anterior sistema en forma matricial, en donde cada una de las matrices representa una
contribuci´on de cada t´ermino a la matriz elemental con la cual se formar´a la matriz global.
J
∆t
[A]un+1
−
1
∆t
[A]un
= θ −
ν
J
[B]u−ue
[C]u
n+1
+(1−θ) −
ν
J
[B]u−ue
[C]u
n
En donde [A], [B] y [C] son matrices que no cambian con el tiempo y se obtienen al realizar las integrales planteadas.
A =








4
15 − α
2
2
15 + 2α
3
−1
15 − α
6
2
15 − 2α
3
16
15
2
15 + 2α
3
−1
15 + α
6
2
15 − 2α
3
4
15 + α
2








B =






7
6
−4
3
1
6
−4
3
8
3
−4
3
1
6
−4
3
7
6






C =








−1
2 + 7α
6
−2
3 − 4α
3
1
6 + α
6
2
3 − 4α
3
8α
3
−2
3 − 4α
3
−1
6 + α
6
2
3 − 4α
3
1
2 + 7α
6








Obs´ervese que existen el t´ermino ue evaluado en un tiempo n y tambi´en existe este t´ermino en un tiempo n+1 lo cual
dificulta el problema, entonces, para facilitar los c´alculos se asumira que el cambio en un elemento respecto al tiempo es
despreciable, sin embargo este valor debe cambiar, por ello se resolver´a una iteraci´on asumiendo que ue tiene el mismo valor

5. en el tiempo n+1. Despu´es, el sistema de ecuaciones ser´a retroalimentado y el valor de ue ser´a el valor de los nodos hallados
en el vector un+1.
Finalmente se tiene el siguiente sistema matricial, en donde un es un vector con valores conocidos y dados por la
condici´on inicial, por ejemplo u(0,x) = sen(πx). El vector un+1 contiene las inc´ognitas, es decir, los valores en cada nodo.
J
∆t
[A]+θ
ν
J
[B]+θue
[C] un+1
=
J
∆t
[A]−(1−θ)
ν
J
[B]−(1−θ)ue
[C] un
5 An´alisis de estabilidad en el m´etodo Petrov-Galerkin modificado
Se ha llamado a este m´etodo Petrov-Galerkin modificado, ya que el valor de α se tomar´a como constante para todos
los elementos, pero en el m´etodo, originalmente α cambia, pues no todos los elementos tienen la misma velocidad y por lo
tanto el n´umero de Peclet es diferente para cada elemento. El valor de α est´a determinado por el n´umero de Peclet, el cual
se define como la raz´on entre la advecci´on y la difusi´on. El n´umero de Peclet influye sobre el valor de α como se ve en la
figura 2, en donde se observa que con un bajo n´umero de Peclet se requiere un valor de α cercano a cero.
Pe =
uh
2k
Donde h es la longitud caracter´ıstica del elemento, de donde se deduce que el m´etodo de Bubnov-Galerkin es adecuado
cuando se tienen elementos peque˜nos y el valor de α puede tomarse como cero, sin embargo esto puede no ser pr´actico
cuando se tiene un dominio muy grande, ya que implica tener muchos elementos y un gran costo computacional.[1]
Fig. 2: Comportamiento del αcr. y αopt para diferentes numeros de Peclet
Para comprobar que α reduce el costo computacional, se ha planteado una sencilla simulaci´on, con una condici´on inicial
senoidal y para un n´umero de elementos en que la soluci´on se vuelve inestable. Inicialmente se utiliz´o una valor α = 0.0, lo
cual corresponde al m´etodo de Bubnov Galerkin, con el cual, al tener solo 51 elementos se observa una desestabilizaci´on de
la soluci´on. A continuaci´on se cambia el valor de α a 0.5, lo cual corresponde a un m´etodo modificado de Petrov-Galerkin,
con lo cual se observa una estabilidad considerablemente mayor para el mismo n´umero de elementos. En la figura 3 se
observa esta diferencia entre ambos m´etodos.
Como se estableci´o que un valor de α estabiliza la soluci´on con un n´umero menor de elementos y adem´as no afecta a la
soluci´on, se utilizara una valor α = 0.5 en las posteriores simulaciones, esto con el fin de disminuir el costo computacional.
6 Validaci´on del m´etodo
A fin de validar el modelo propuesto y la aproximaci´on por elementos finitos, a continuaci´on se plantean 4 casos
diferentes distribuidos en 3 problemas en los que se compara la soluci´on obtenida por el m´etodo planteado en el presente
documento y la solucion analitica obtenida en otros trabajos. [2]

6. Fig. 3: Comparaci´on entre el m´etodo BG (izquierda) y PG modificado (derecha) utilizando en ambos casos 51 elementos y
un paso de tiempo ∆t = 0.0001s.
6.0.1 Problema 1.
Este problema consiste en definir el comportamiento de una onda ante las condiciones iniciales u(x,0) = sen(πx),
u(x0,t) = 0 y u(xN,t) = 0. Se obtiene una buena aproximaci´on a la soluci´on analitica , sin embargo, como se observa en la
figura 4, las zonas en donde la pendiente aumenta se presenta el mayor error, esto puede deberse a la aproximaci´on que se
ha hecho al proponer que un elemento no cambia considerablemente en cada paso de tiempo.
Fig. 4: Comparaci´on de resultados para el problema 1. ν = 0.1
A continuaci´on se disminuye la viscosidad, esto implica aumentar el n´umero de Reynolds a 100. Al aumentar el n´umero
de Reynolds, aumenta la velocidad con la que el fluido se mueve lo que implica cambios m´as r´apidos en el perfil de la ola.
Lamentablemente, al igual que en el caso anterior, la consideraci´on del elemento ha afectado la aproximaci´on en la zona
donde la pendiente del perfil es mayor, mientras que en las zonas anteriores al pico m´aximo, la aproximaci´on es muy buena.
6.0.2 Problema 2.
Se analiza el comportamiento de una onda ante una discontinuidad. La condiciones iniciales son u(x0,t) = 0 y u(xN,t) =
1. Debido a la pendiente tan pronunciada que presenta el perfil, es conveniente tener bajos n´umeros de Reynold con el fin de
dar suficiente tiempo al m´etodo para que se aproxima a una soluci´on un paso de tiempo adelante. En la figura 6 se observa
una buena correspondencia entre la solucion analitica y la soluci´on obtenida por elementos finitos.

7. Fig. 5: Comparaci´on de resultados para el problema 1. ν = 0.01, Re = 100
Fig. 6: Comparaci´on de resultados para el problema 2. ν = 0.0, Re = 1
6.0.3 Problema 3.
Al igual que en el caso anterior se analiza el comportamiento ante una discontinuidad, esta vez, no tan pronunciada.
Se obtiene un perfil como se observa en la figura 7 En este caso se tiene un n´umero de Reynolds de 10, debido al valor
relativamente alto de la viscosidad, lo que lleva a que el perfil no cambie considerablemente rapido y el m´etodo empleado se
adapte bastante bien.
Fig. 7: Comparaci´on de resultados para el problema 3. ν = 0.1 y Re = 10

8. 7 Formaci´on de ondas de choque
Se vari´o el valor de la viscosidad con el fin de determinar la influencia que esta tiene sobre el comportamiento de la
onda. Con una baja viscosidad, como se observa en la figura 8, se obtiene una desestabilidad al cabo de un segundo, esto se
interpreta como la formaci´on de una onda de choque, mientras que un fluido con mayor viscosidad tiende a ser m´as estable
y es menos probable que pueda formarse esta onda de choque.
Fig. 8: Comparaci´on entre diferentes valores de ν (ν = 0.001 izquierda, ν = 0.01 derecha) utilizando en ambos casos 501
elementos y un paso de tiempo ∆t = 0.0001s.
8 Esquemas para la discretizaci´on del tiempo
Como se mencion´o en la primera parte del presente documento, se analizan 4 esquemas temporales diferentes, partiendo
de la ecuaci´on discretizada
J
∆t
[A]+θ
ν
J
[B]+θue
[C] un+1
=
J
∆t
[A]−(1−θ)
ν
J
[B]−(1−θ)ue
[C] un
Y en donde θ determina el esquema temporal. A continuaci´on se proponen dos problemas; en el primero se tiene una
baja viscosidad, es decir un alto n´umero de Reynolds y mayor inestabilidad; en el segundo caso se analiza una discontinuidad
como la planteada en el problema 3 del apartado 5. Ambos casos se resuelven utilizando los cuatro esquemas temporales a
fin de determinar cu´al de ellos es el m´as estable.
θ = 0: Forward Euler. Esquema totalmente explicito.
θ = 1: Backward Euler. Esquema totalmente Implicito.
θ = 1/2: Metodo Crank-Nicolson. Esquema semi-Implicito.
θ = 2/3: Metodo de Galerkin. Esquema Implicito.
8.0.1 Caso 1. Condici´on inicial senoidal.
Se tiene un perfil senoidal como condici´on inicial y una viscosidad ν = 0.001. Se sabe que esta es una condici´on cr´ıtica
y por ello se ha escogido este valor para ν a fin de determinar si alguno de los esquemas temporales es capaz de estabilizar
la soluci´on. Los resultados se muestran en la figura 9. R´apidamente se deduce que los esquemas Backward Euler y Galerkin
son m´as estables, siendo el m´etodo de Backward Euler un poco m´as estable.

9. (a) Crank Nicolson (b) Forward Euler
(c) Backward Euler (d) Galerkin
Fig. 9: Comparaci´on entre diferentes esquemas temporales para el caso 1. Re = 1000, ν = 0.001, 501 elementos, ∆t = 0.001s.
8.0.2 Caso 2. Discontinuidad cercana a la cr´ıtica.
Se tiene una discontinuidad en el perfil y en simulaciones adicionales se estableci´o que una pendiente un poco m´as
pronunciada desarrolla una inestabilidad en la soluci´on. Por lo tanto este se considera un caso cr´ıtico, muy cercano a la
inestabilidad. En este caso se utilizara una viscosidad ν = 0.1. Las condiciones iniciales para este caso est´an dadas como:
u(0,t) = 1
u(N,t) = 0
Adem´as, para la condici´on de perfil inicial u(x,0) = f(x), el perfil est´a definido con una funci´on a trozos como sigue:
f(x) =



1 si x ≤ −1
−x si −1 < x < 0
0 si x ≥ 0

10. Los resultados se muestran en la figura 10. Se observa que los cuatro esquemas temporales son suficientemente estables
para este caso debido al bajo n´umero de Reynolds. Adem´as en todos los casos la soluci´on es la misma, de donde se deduce
que el esquema temporal solo influye en la estabilidad de la soluci´on.
(a) Crank Nicolson (b) Forward Euler
(c) Backward Euler (d) Galerkin
Fig. 10: Comparaci´on entre diferentes esquemas temporales para el caso 2. Re = 10, ν = 0.1, 501 elementos, ∆t = 0.001s.
9 Influencia de la constante R
En la ecuaci´on de Burgers existe un t´ermino de advecci´on, el cual est´a acompa˜nado por una constante R. A fin de
determinar c´omo influye la advecci´on en el comportamiento de la ola se ha variado el valor de R, adem´as se ha tomado una
valor constante para la viscosidad ν = 1, con lo cual se ha observado diferentes comportamientos para diferentes niveles de
advecci´on como se presenta en la figura 11, de donde se concluye:
R 1: Se tienden a formar frentes de ola y es m´as probable la aparici´on de una onda de choque.
R 1: El fluido es bastante estable debido a que la energ´ıa cin´etica es muy peque˜na.
∂u
∂t
+R·u
∂u
∂x
−ν
∂2u
∂x2
= 0
Obs´ervese que se ha utilizado un valor muy alto en la viscosidad, lo cual se traduce en una gran difusi´on y por lo tanto
la disipaci´on de la energ´ıa ser´a apreciable tambi´en lo que convierte al fluido a una condici´on bastante estable.

11. (a) R = 0.01 (b) R = 0.1
(c) R = 1.0 (d) R = 2.0
Fig. 11: Influencia de la advecci´on en el comportamiento de la ola. ∆t = 0.001s, ν = 1.0 y 201 elementos.
10 Variaci´on en las condiciones iniciales
Una vez validado el m´etodo, se han implementado diferentes configuraciones para el perfil en t = 0, con lo cual se
observan diferentes comportamientos de la onda. Para eliminar posibles inestabilidades se ha trabajado con una viscosidad
ν = 0.1 lo cual representa un fluido bastante viscoso y se traduce tambi´en como un n´umero de Reynolds Re = 10.
Para el primer caso se tiene un perfil senoidal en el que se observa un comportamiento de la onda que podr´ıa considerarse
sim´etrico.
En el segundo caso se tiene un solit´on invertido (se llama soliton a la formaci´on con forma abultada), esto con el fin de
determinar si el m´etodo aplicado tambi´en comprende valores negativos, de donde se observa que se tiene el mismo compor-
tamiento que en un solit´on con magnitud positiva.
Para el tercer y cuarto caso, se tienen varios solitones, de donde se deduce que los solitones vecinos disipan las inestabili-
dades de los otros cuando est´an suficientemente cerca, de otro modo, cuando los solitones est´an cr´ıticamente alejados, no
tienen influencia entre s´ı.

12. (a) Perfil senoidal (b) Soliton invertido
(c) Serie de 4 solitones (d) Solitones criticamente separados
Fig. 12: Comportamiento de la ola para diferentes perfiles como condici´on inicial. ∆t = 0.001s, ν = 0.1 y 301 elementos.
11 Trabajo futuro
Una vez establecido un modelo para la ecuaci´on de Burgers, la cual comprende t´erminos advectivos y difusivos, con el
conocimiento adquirido, puede extrapolarse el procedimiento para aproximar ecuaciones similares, por ejemplo la ecuaci´on
6, tambi´en llamada ecuaci´on de Korteweg-de vries, la cual describe el movimiento de una ola. El primer t´ermino de la
ecuaci´on denota la evoluci´on temporal de la perturbaci´on o campo υ (se puede considerar como la elevaci´on de la superficie
del agua relativa a su posici´on de equilibrio), el segundo es considerado el t´ermino no lineal debido a la multiplicaci´on entre
υ y su primer derivada parcial con respecto al espacio, y el tercer t´ermino es el dispersivo debido a la tercera derivada parcial
espacial de υ.
∂υ
∂t
+υ
∂υ
∂x
+µ
∂3υ
∂x3
= 0 (6)
Puede adem´as considerarse la ecuaci´on de advecci´on 7, la cual describe el cambio de un campo escalar debido al efecto
de la advecci´on (Por ejemplo la concentraci´on de contaminante en un fluido, la temperatura de un fluido, etc). El primer
t´ermino denota la evoluci´on temporal de la perturbaci´on o campo ψ. El segundo t´ermino denota la evoluci´on espacial, donde

13. ux es la velocidad en el eje x.
∂ψ
∂t
+ux
∂ψ
∂x
= 0 (7)
Finalmente, considerando un espacio tridimensional, puede utilizarse una aproximaci´on por elementos finitos para en-
contrar la soluci´on al conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de la superficie del agua, tambi´en llamadas
Shallow water equations. Cabe mencionar que esto ya se ha hecho y por lo tanto se sabe que es factible.
∂h
∂t
+H
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0 (8)
(9)
∂u
∂t
− fv = −g
∂h
∂x
−bu
(10)
∂v
∂t
+ fu = −g
∂v
∂y
−bv
12 An´alisis de resultados y conclusiones
El t´ermino advectivo tiene mayor influencia en el comportamiento de la onda para valores altos en el n´umero de
Reynolds, debido a que el t´ermino difusivo se vuelve menor, sin embargo, para valores demasiado altos la soluci´on se
vuelve inestable, esto se define como la formaci´on de una onda de choque en donde el m´etodo de los elementos finitos no es
suficientemente estable y se requiere m´etodos m´as complejos como el m´etodo de los vol´umenes finitos.
Cualquiera de los esquemas temporales propuestos es apto para bajos n´umeros de Reynolds, esto puede interpretarse
como un lapso de tiempo mayor para que el m´etodo se adapte a la soluci´on en cada instante de perfil. Por otro lado, para
un n´umero alto de Reynolds, el perfil de la onda cambia demasiado r´apido y no da tiempo al m´etodo para adaptarse, esto se
soluciona aumentando el paso de tiempo, lo cual si abarca el cambio repentino en cada elemento.
References
[1] Carlos Galeano. Tecnicas de soluci´on n´umerica de la ecuaci´on de difusi´on-advecci´on-reacci´on. 2009.
[2] EROL VAROGLU and W. D. LIAM FINN. Space-time finite elements incorporating characteristics for the burgers’
equation. 1980.

14. 13 Anexo 1. C´odigo computacional.