Explicacion de las Ondas de Corriente Alterna Senoidal y su paso de la representacion grafica a la formulacion.

1. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
1
ONDAS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL.
Actualmente la práctica totalidad de la energía eléctrica se produce y
utiliza siempre en forma de corriente alterna senoidal. Las causas que
justifican la utilización de este tipo de corriente son:
- La producción de energía eléctrica mediante alternadores es
más barata que si se produjera con dínamos. Los alternadores son más
sencillos constructivamente y tienen mucho menos mantenimiento.
- Se pueden variar los parámetros de la energía (tensión-
intensidad) mediante transformadores con un muy alto rendimiento,
con lo cual el transporte de la energía eléctrica también es mas barato.
- La derivada y la integral de una función senoidal es otra
función senoidal de la misma frecuencia. Por tanto, las respuestas que
produce un circuito eléctrico ante una excitación senoidal son también
senoidales y de la misma frecuencia, pero desfasadas en el tiempo 90
grados
Diremos que tenemos una excitación o respuesta de CORRIENTE
ALTERNA SENOIDAL si ésta varia con el tiempo según una formula:
T
t
tsenF=)t(f m 





+⋅⋅⋅
0··2π
ωω

2. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
2
f (ω·t) es el VALOR INSTANTÁNEO de la onda en función del tiempo.
Fm es la AMPLITUD, es decir, su valor máximo positivo o negativo.
T es el PERÍODO, es decir, el intervalo de tiempo que transcurre entre
que la onda toma dos valores iguales.
f es la FRECUENCIA, es decir, el número de veces que se repite un
período por segundo.
ω es la PULSACIÓN, o la velocidad de rotación de un vector giratorio.
α es la FASE INICIAL, el ángulo en que comienza la onda.
Fmed es el valor medio que para una función senoidal a lo largo de un
período es NULO.
Fef es el valor eficaz que para una función senoidal a lo largo de un
período. El valor eficaz de toda función senoidal es siempre igual a su
valor máximo dividido por 2 :
Demostración:
Hz.enmideSe
T
1
f =
f2= ⋅⋅πω
T
t2
=
t---
T---2
0
0
⋅⋅




⋅
π
α
α
π

3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
3
2
F=F
m
ef
El valor eficaz de una función senoidal es el mas representativo pues
su valor medio hemos visto que es cero y además este valor eficaz representa
un valor de la función tal, que produce los mismos efectos caloríficos sobre
una resistencia que el mismo valor en corriente continua constante.
La aplicación a un circuito de excitaciones de corriente alterna senoidal
da lugar a respuestas que para calcularlas se deben utilizar ecuaciones con
integrales y derivadas de difícil solución.
Para facilitar estas soluciones se utiliza el concepto de fasor.
Imaginemos que tenemos un vector de módulo constante "Fm" y que gira a
( ) ( )[ ]
2
F
2
4
F
1-1-0-2
4
F
dtt2cos-dt
4
F
dt
2
t2cos-1
2
)(
2
1
)(
T
1
m
2
m
2
m
2
0
2
0
2
m
2
0
2
2
0
22
0
2
=⋅
⋅
=⋅⋅
⋅
=
=





⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
⋅
⋅
=
=⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅⋅=
∫ ∫∫
∫∫
π
π
π
π
ω
π
ω
π
ω
π
π ππ
π
m
m
T
ef
F
dttsenFdttfF
W16=IR=P
1=R
A.4=
2
24
=I
tsen24=)t(i
2
efef ⋅











Ω
⋅
⋅⋅⋅⋅ ωω

4. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
4
una determinada velocidad angular "ω". La proyección de este vector sobre el
eje de ordenadas responderá a la formula:
Es decir, podemos representar una función senoidal por un vector
giratorio tal y como hemos visto, donde su velocidad angular le llamaremos
pulsación y será 2π veces la frecuencia de la señal senoidal.
Por otra parte, las respuestas a una función senoidal son también
funciones senoidales de igual frecuencia y, por tanto, también podíamos
representarlas de igual forma.
tsenF=)t(f
t=
t
=
senF=t(f
m
m
⋅⋅⋅







⋅⇒
⋅⋅
ωω
ωα
α
ω
αω )

5. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
5
Tenemos, pues, una serie de vectores girando con la misma velocidad
angular aunque no tienen porque pasar todos a la vez por cero, es decir,
pueden estar desfasados entre sí.
Como todos giran a la vez, podemos abstraernos del giro y estudiarlos
en un instante dado. Estos vectores giratorios fijados en una posición es lo
que conoceremos por FASORES.
Para definirlos sólo necesitaremos sus valores más significativos que
son: su VALOR EFICAZ y su ángulo de FASE INICIAL.
ααωω |
2
m
m
F
F)+t(senF=)t(f =⇔⋅⋅⋅
r

6. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
6
Este FASOR será un vector tal y como muestra la figura, representado
por un número complejo, que puede ser expresado en forma polar o en forma
binómica:
La suma de dos fasores es otro fasor cuya parte real será la suma de las
partes reales de los sumando e igual ocurrirá con la parte imaginaria:














⋅
⋅
















⋅
senF=F
F=F
F
F
tg=
F+F=F
Fj+F=F=F
I
R
R
I
2
I
2
R
IR
α
α
α
α
cos
arc
r





⋅
⋅⋅
B+A=C
B+A=C
Cj+C=C
)B+A(j+)B+A(=B+A=C
Bj+B=BAj+A=A
III
RRR
IR
IIRR
IRIR
r
rrr
rr
;

7. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
7
Ejemplo:
El producto de dos fasores es otro fasor cuyo módulo es el producto de
los módulos y su argumento es la suma de los argumentos:
Ejemplo:
El inverso de un fasor es otro fasor con un módulo igual al inverso del
primero y con un argumento igual al del primero cambiado de signo:
Ejemplo:
El conjugado de un número complejo "A* " es otro número complejo
que tiene su mismo módulo y el argumento cambiado de signo, es decir, tiene
igual parte real e imaginaria pero esta última está cambiada de signo:




 ⋅
⇒











⋅⋅
×
+
βαγ
γ
βα
β
α
+=
BA=C
C=C
BA=BA=C
B=B
A=A
r
rrr
r
r
( ) ( ) 27.5j4.33252.5j04.33
25j25By5.233.45 90º30º
+=+⋅++
==+==
=B+A=C
jA
rrr
rr
120º90º30º
90º30º
125255
25By5
=⋅⋅
==
+
=BA=C
A
rrr
rr
-
A
11
A αα =⇒=
A
A r
r
30º-30º
0.230º-
5
1
A
1
5 ==⇒= r
r
A

8. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
8
Ejemplo:
Si el fasor se encuentra en el denominador en forma binómica se puede
de multiplicar numerador y denominador por su conjugado:
Ejemplo:
Los números reales se entienden como fasores con argumento nulo, es
decir, sólo con parte real y parte imaginaria nula.
El fasor "j" tiene como módulo la unidad y como argumento 90º. El
fasor "-1" tiene como módulo la unidad y como argumento 180º.
ba - j= AAb= a + j= AA
*
⋅=⇒⋅ αα
r
30º-
*
30º
5A5A =⇒=
r
b+a
b
j-
b+a
a
=
b+a
bj-a
=
)bj-a()bj+a(
bj-a
=
bj+a
1
222222
⋅
⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅
30º2
30º
0.20.1j-0.173
25
2.5j4.33
6.2518.75
2.5j4.33
6.25j-j10.82j10.82-18.75
2.5j4.33
2.5)j(4.332.5)j(4.33
2.5j4.33
2.5j4.33
1
A
1
2.5j4.335A
==
−
=
+
−
=
+
−
=
−⋅+
−
=
+
=⇒+== r
r






⋅⋅−−
−⋅⋅
⇒









−
= −
90º-270º90º180º
180º90º90º
2
180º
90º
360º360º0º
1=1=11=j1=j
1=1=11=jj=j
1=1
1=j
11=1=1

9. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
9
Ejercicio:
Una señal de corriente alterna senoidal tiene 311V de amplitud y 50Hz
de frecuencia, determinar:
Su ecuación, periodo, pulsación, valor eficaz, valor de pico a pico y
valor instantáneo para t = 3 ms
V.senπsenπ tsenv
V)- (-)- (- VVV
V
V
V
πfπω
ms
f
T
T
f
π tsenαtfsen (Vαtsen (ωVv
ms
pp
ef
11,5940311103100311100311
622311311
220
2
311
2
1002
20
50
111
100311)2)
3
3
maxmax
max
maxmax
=⋅=⋅⋅⋅=⋅=
===
===
=⋅⋅=
===⇒=
⋅=−⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅=
−
π

10. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
10
CÁLCULO FASORIAL EN C.A. SENOIDAL.
La ley de Ohm en corriente alterna senoidal es la que hemos visto ya,
pero su aplicación resulta mucho más sencilla si se utiliza el cálculo fasorial.
Puesto que todas las respuestas de un circuito a una excitación de c.a.
senoidal son también de este tipo y, además, de la misma frecuencia,
podemos representar estas ondas con tan sólo dos datos:
- Su VALOR EFICAZ.
- Su ángulo de FASE INICIAL.
Este FASOR será un vector tal y como muestra la figura, representado
por un número complejo, que puede ser expresado en forma polar o
binómica:
Recordemos ahora la ley de Ohm para cada elemento de los circuitos y
veamos cual sería su aplicación atendiendo al cálculo fasorial, de forma que
siempre se cumpla la relación entre fases iniciales de tensión y de intensidad,
así como la relación entre sus valores de amplitud, obtenidas éstas por
aplicación directa de la forma general de la ley de Ohm para cada caso.
α
2
Fm=F
α)+t(ωsenF=)t(f m
r
⋅⋅














⋅
⋅
















⋅
senα= FF
α= FF
F
Fα = arc tg
F+FF =
F+ jF== FF
I
R
R
I
IR
IRα
cos22
r

11. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
11
βαβα
=⇒⋅=⋅= IRV;IR
rr
V
Las RESISTENCIAS responden a excitaciones de c.a., y también de
cualquier otro tipo de función, de forma inmediata, es decir, sin producir
variaciones en su fase inicial, por tanto podremos escribir su ley de Ohm en
forma fasorial de la siguiente manera:
BOBINA.- Si a través de una bobina circula una corriente alterna
senoidal, su tensión en bornes también es de carácter alterno senoidal de la
misma frecuencia pero adelantada en el tiempo 90 grados:
Comparando la ecuación anterior con la forma general de una onda
alterna senoidal:
)+t(senIL=v
tLI=v
dt
t)senI(d
L=v
tsenI=i
td
id
L=v
2m
m
m
m
π
ωω
ωω
ω
ω
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅







⋅⋅
⋅
cos
I
V
I
V
L=
I
IL
=
I
V
)+t(senV=v
)+t(senIL=v
m
m
m
m
m
m
m
2m
==⋅
⋅⋅





⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
2
2ω
ω
ϕω
ωω π

12. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
12
se observa que las bobinas presentan una "oposición" al paso de la corriente
de valor XL = ω·L, donde L es el coeficiente de autoinducción, ω es la
pulsación y XL recibe el nombre de REACTANCIA INDUCTIVA.
L= j ωX
X= jX=X=X
= βIX=V;IX=V
L
LLºL ºL
βL ºα
L
⋅
⋅
°+⇒⋅⋅
r
r
rr
1
90
9090
90 α
CONDENSADOR.- Si a un condensador aplicamos una tensión alterna
senoidal, la corriente que circula también es de carácter alterno senoidal de
la misma frecuencia pero adelantada en el tiempo 90 grados:
Comparando la ecuación anterior con la forma general de una onda
alterna senoidal:
I
V
I
V
C
1
=
VC
V
=
I
V
)+t(senI=i
+t(senVC=i
m
m
m
m
m
m
m
2m
==
⋅⋅⋅




⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
2
2
)
ωω
ϕω
ωω π
)+t(ωsenVCω=i
tωcosωCV=i
dt
)tωsenV(d
C=i
tωsenV=v
td
vd
C=i
2
π
m
m
m
m
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅







⋅⋅
⋅

13. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
13
se observa que los condensadores presentan una "oposición" al paso de la
corriente de valor XC = 1/ω·C, donde C es la capacidad del condensador, ω
es la pulsación y XC recibe el nombre de REACTANCIA CAPACITIVA.
Es de destacar que lo anteriormente expuesto SÓLO ES VALIDO
PARA CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL, y no para cualquier otro
tipo de corriente.
La "oposición al paso de la corriente" que presentará un circuito
completo, con resistencias, bobinas y condensadores, recibe el nombre de
IMPEDANCIA "Z" en c.a. senoidal y será también un fasor de la forma
siguiente:
La utilización de fasores permite analizar circuitos de una forma
muy similar a como se hace en c.c. con la única diferencia de que se
utilizan vectores para los cálculos y no solo valores reales. Así podemos
aplicar las leyes de Kirchhoff, mallas y nudos y los conceptos de serie y
paralelo, si bien para la potencia tendremos un tema aparte.
C
1
j-=X
Xj-=X11=X1=X=X
90-=IX=V;IX=V
C
CCCCC
CC
⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅
°⋅⋅
−−−−
−
ω
βαβα
r
r
rrr
º90º180º90º90
º90














⋅
⋅














⋅
senZ=X
Z=R
R
X
tg=
X+R=Z
Xj+R=Z=Z
22
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
arc
r

14. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
14
CUESTIONES
A un nudo concurren tres conductores. Por dos de ellos llegan dos
corrientes de valor i1 = 2·sen(100·π·t + 60º) e i2 = 2·sen(100·π·t - 60º).
Determinar el valor de la corriente que sale por el tercer conductor. Si
conectásemos tres amperímetros, uno en cada conductor, ¿Cuánto marcaría
cada uno de ellos?
La conexión en serie de una resistencia y una bobina ideal tiene una
impedancia equivalente de valor 5| 36.87º . Determinar el valor de la
resistencia y del coeficiente de autoinducción de la bobina que la forman
sabiendo que la frecuencia es de 1 kHz. ¿Qué valor tendría dicha
impedancia si la frecuencia fuera de 2 kHz?
Determinar el valor de la impedancia equivalente de 3 impedancias
iguales conectadas en serie de valor 3| 36.87º . ¿Y si estuvieran conectadas
en paralelo?
Una resistencia de valor 10 está conectada en serie con una bobina
ideal de valor 5 mH. y un condensador de valor 5 F. El conjunto es
alimentado por una fuente ideal de tensión de valor v = 10√2·sen(2000·π·t)
V. Determinar la tensión en cada elemento.
En el circuito de la figura obtener la tensión y la corriente en todos los
elementos, sabiendo que las fuentes de excitación son de corriente alterna
senoidal de frecuencia 5000 Hz.
IR