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El valor eficaz de una función senoidal es el mas representativo pues
su valor medio hemos visto que es cero y además este valor eficaz representa
un valor de la función tal, que produce los mismos efectos caloríficos sobre
una resistencia que el mismo valor en corriente continua constante.
La aplicación a un circuito de excitaciones de corriente alterna senoidal
da lugar a respuestas que para calcularlas se deben utilizar ecuaciones con
integrales y derivadas de difícil solución.
Para facilitar estas soluciones se utiliza el concepto de fasor.
Imaginemos que tenemos un vector de módulo constante "Fm" y que gira a
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Corriente Alterna
- 1. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 1 ONDAS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL. Actualmente la práctica totalidad de la energía eléctrica se produce y utiliza siempre en forma de corriente alterna senoidal. Las causas que justifican la utilización de este tipo de corriente son: - La producción de energía eléctrica mediante alternadores es más barata que si se produjera con dínamos. Los alternadores son más sencillos constructivamente y tienen mucho menos mantenimiento. - Se pueden variar los parámetros de la energía (tensión- intensidad) mediante transformadores con un muy alto rendimiento, con lo cual el transporte de la energía eléctrica también es mas barato. - La derivada y la integral de una función senoidal es otra función senoidal de la misma frecuencia. Por tanto, las respuestas que produce un circuito eléctrico ante una excitación senoidal son también senoidales y de la misma frecuencia, pero desfasadas en el tiempo 90 grados Diremos que tenemos una excitación o respuesta de CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL si ésta varia con el tiempo según una formula: T t tsenF=)t(f m +⋅⋅⋅ 0··2π ωω
- 2. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 2 f (ω·t) es el VALOR INSTANTÁNEO de la onda en función del tiempo. Fm es la AMPLITUD, es decir, su valor máximo positivo o negativo. T es el PERÍODO, es decir, el intervalo de tiempo que transcurre entre que la onda toma dos valores iguales. f es la FRECUENCIA, es decir, el número de veces que se repite un período por segundo. ω es la PULSACIÓN, o la velocidad de rotación de un vector giratorio. α es la FASE INICIAL, el ángulo en que comienza la onda. Fmed es el valor medio que para una función senoidal a lo largo de un período es NULO. Fef es el valor eficaz que para una función senoidal a lo largo de un período. El valor eficaz de toda función senoidal es siempre igual a su valor máximo dividido por 2 : Demostración: Hz.enmideSe T 1 f = f2= ⋅⋅πω T t2 = t--- T---2 0 0 ⋅⋅ ⋅ π α α π
- 3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 3 2 F=F m ef El valor eficaz de una función senoidal es el mas representativo pues su valor medio hemos visto que es cero y además este valor eficaz representa un valor de la función tal, que produce los mismos efectos caloríficos sobre una resistencia que el mismo valor en corriente continua constante. La aplicación a un circuito de excitaciones de corriente alterna senoidal da lugar a respuestas que para calcularlas se deben utilizar ecuaciones con integrales y derivadas de difícil solución. Para facilitar estas soluciones se utiliza el concepto de fasor. Imaginemos que tenemos un vector de módulo constante "Fm" y que gira a ( ) ( )[ ] 2 F 2 4 F 1-1-0-2 4 F dtt2cos-dt 4 F dt 2 t2cos-1 2 )( 2 1 )( T 1 m 2 m 2 m 2 0 2 0 2 m 2 0 2 2 0 22 0 2 =⋅ ⋅ =⋅⋅ ⋅ = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ =⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = =⋅⋅⋅⋅ ⋅ =⋅⋅= ∫ ∫∫ ∫∫ π π π π ω π ω π ω π π ππ π m m T ef F dttsenFdttfF W16=IR=P 1=R A.4= 2 24 =I tsen24=)t(i 2 efef ⋅ Ω ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ωω
- 4. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 4 una determinada velocidad angular "ω". La proyección de este vector sobre el eje de ordenadas responderá a la formula: Es decir, podemos representar una función senoidal por un vector giratorio tal y como hemos visto, donde su velocidad angular le llamaremos pulsación y será 2π veces la frecuencia de la señal senoidal. Por otra parte, las respuestas a una función senoidal son también funciones senoidales de igual frecuencia y, por tanto, también podíamos representarlas de igual forma. tsenF=)t(f t= t = senF=t(f m m ⋅⋅⋅ ⋅⇒ ⋅⋅ ωω ωα α ω αω )
- 5. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 5 Tenemos, pues, una serie de vectores girando con la misma velocidad angular aunque no tienen porque pasar todos a la vez por cero, es decir, pueden estar desfasados entre sí. Como todos giran a la vez, podemos abstraernos del giro y estudiarlos en un instante dado. Estos vectores giratorios fijados en una posición es lo que conoceremos por FASORES. Para definirlos sólo necesitaremos sus valores más significativos que son: su VALOR EFICAZ y su ángulo de FASE INICIAL. ααωω | 2 m m F F)+t(senF=)t(f =⇔⋅⋅⋅ r
- 6. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 6 Este FASOR será un vector tal y como muestra la figura, representado por un número complejo, que puede ser expresado en forma polar o en forma binómica: La suma de dos fasores es otro fasor cuya parte real será la suma de las partes reales de los sumando e igual ocurrirá con la parte imaginaria: ⋅ ⋅ ⋅ senF=F F=F F F tg= F+F=F Fj+F=F=F I R R I 2 I 2 R IR α α α α cos arc r ⋅ ⋅⋅ B+A=C B+A=C Cj+C=C )B+A(j+)B+A(=B+A=C Bj+B=BAj+A=A III RRR IR IIRR IRIR r rrr rr ;
- 7. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 7 Ejemplo: El producto de dos fasores es otro fasor cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos: Ejemplo: El inverso de un fasor es otro fasor con un módulo igual al inverso del primero y con un argumento igual al del primero cambiado de signo: Ejemplo: El conjugado de un número complejo "A* " es otro número complejo que tiene su mismo módulo y el argumento cambiado de signo, es decir, tiene igual parte real e imaginaria pero esta última está cambiada de signo: ⋅ ⇒ ⋅⋅ × + βαγ γ βα β α += BA=C C=C BA=BA=C B=B A=A r rrr r r ( ) ( ) 27.5j4.33252.5j04.33 25j25By5.233.45 90º30º +=+⋅++ ==+== =B+A=C jA rrr rr 120º90º30º 90º30º 125255 25By5 =⋅⋅ == + =BA=C A rrr rr - A 11 A αα =⇒= A A r r 30º-30º 0.230º- 5 1 A 1 5 ==⇒= r r A
- 8. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 8 Ejemplo: Si el fasor se encuentra en el denominador en forma binómica se puede de multiplicar numerador y denominador por su conjugado: Ejemplo: Los números reales se entienden como fasores con argumento nulo, es decir, sólo con parte real y parte imaginaria nula. El fasor "j" tiene como módulo la unidad y como argumento 90º. El fasor "-1" tiene como módulo la unidad y como argumento 180º. ba - j= AAb= a + j= AA * ⋅=⇒⋅ αα r 30º- * 30º 5A5A =⇒= r b+a b j- b+a a = b+a bj-a = )bj-a()bj+a( bj-a = bj+a 1 222222 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ 30º2 30º 0.20.1j-0.173 25 2.5j4.33 6.2518.75 2.5j4.33 6.25j-j10.82j10.82-18.75 2.5j4.33 2.5)j(4.332.5)j(4.33 2.5j4.33 2.5j4.33 1 A 1 2.5j4.335A == − = + − = + − = −⋅+ − = + =⇒+== r r ⋅⋅−− −⋅⋅ ⇒ − = − 90º-270º90º180º 180º90º90º 2 180º 90º 360º360º0º 1=1=11=j1=j 1=1=11=jj=j 1=1 1=j 11=1=1
- 9. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 9 Ejercicio: Una señal de corriente alterna senoidal tiene 311V de amplitud y 50Hz de frecuencia, determinar: Su ecuación, periodo, pulsación, valor eficaz, valor de pico a pico y valor instantáneo para t = 3 ms V.senπsenπ tsenv V)- (-)- (- VVV V V V πfπω ms f T T f π tsenαtfsen (Vαtsen (ωVv ms pp ef 11,5940311103100311100311 622311311 220 2 311 2 1002 20 50 111 100311)2) 3 3 maxmax max maxmax =⋅=⋅⋅⋅=⋅= === === =⋅⋅= ===⇒= ⋅=−⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅= − π
- 10. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 10 CÁLCULO FASORIAL EN C.A. SENOIDAL. La ley de Ohm en corriente alterna senoidal es la que hemos visto ya, pero su aplicación resulta mucho más sencilla si se utiliza el cálculo fasorial. Puesto que todas las respuestas de un circuito a una excitación de c.a. senoidal son también de este tipo y, además, de la misma frecuencia, podemos representar estas ondas con tan sólo dos datos: - Su VALOR EFICAZ. - Su ángulo de FASE INICIAL. Este FASOR será un vector tal y como muestra la figura, representado por un número complejo, que puede ser expresado en forma polar o binómica: Recordemos ahora la ley de Ohm para cada elemento de los circuitos y veamos cual sería su aplicación atendiendo al cálculo fasorial, de forma que siempre se cumpla la relación entre fases iniciales de tensión y de intensidad, así como la relación entre sus valores de amplitud, obtenidas éstas por aplicación directa de la forma general de la ley de Ohm para cada caso. α 2 Fm=F α)+t(ωsenF=)t(f m r ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ senα= FF α= FF F Fα = arc tg F+FF = F+ jF== FF I R R I IR IRα cos22 r
- 11. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 11 βαβα =⇒⋅=⋅= IRV;IR rr V Las RESISTENCIAS responden a excitaciones de c.a., y también de cualquier otro tipo de función, de forma inmediata, es decir, sin producir variaciones en su fase inicial, por tanto podremos escribir su ley de Ohm en forma fasorial de la siguiente manera: BOBINA.- Si a través de una bobina circula una corriente alterna senoidal, su tensión en bornes también es de carácter alterno senoidal de la misma frecuencia pero adelantada en el tiempo 90 grados: Comparando la ecuación anterior con la forma general de una onda alterna senoidal: )+t(senIL=v tLI=v dt t)senI(d L=v tsenI=i td id L=v 2m m m m π ωω ωω ω ω ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ cos I V I V L= I IL = I V )+t(senV=v )+t(senIL=v m m m m m m m 2m ==⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2ω ω ϕω ωω π
- 12. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 12 se observa que las bobinas presentan una "oposición" al paso de la corriente de valor XL = ω·L, donde L es el coeficiente de autoinducción, ω es la pulsación y XL recibe el nombre de REACTANCIA INDUCTIVA. L= j ωX X= jX=X=X = βIX=V;IX=V L LLºL ºL βL ºα L ⋅ ⋅ °+⇒⋅⋅ r r rr 1 90 9090 90 α CONDENSADOR.- Si a un condensador aplicamos una tensión alterna senoidal, la corriente que circula también es de carácter alterno senoidal de la misma frecuencia pero adelantada en el tiempo 90 grados: Comparando la ecuación anterior con la forma general de una onda alterna senoidal: I V I V C 1 = VC V = I V )+t(senI=i +t(senVC=i m m m m m m m 2m == ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2 ) ωω ϕω ωω π )+t(ωsenVCω=i tωcosωCV=i dt )tωsenV(d C=i tωsenV=v td vd C=i 2 π m m m m ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
- 13. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 13 se observa que los condensadores presentan una "oposición" al paso de la corriente de valor XC = 1/ω·C, donde C es la capacidad del condensador, ω es la pulsación y XC recibe el nombre de REACTANCIA CAPACITIVA. Es de destacar que lo anteriormente expuesto SÓLO ES VALIDO PARA CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL, y no para cualquier otro tipo de corriente. La "oposición al paso de la corriente" que presentará un circuito completo, con resistencias, bobinas y condensadores, recibe el nombre de IMPEDANCIA "Z" en c.a. senoidal y será también un fasor de la forma siguiente: La utilización de fasores permite analizar circuitos de una forma muy similar a como se hace en c.c. con la única diferencia de que se utilizan vectores para los cálculos y no solo valores reales. Así podemos aplicar las leyes de Kirchhoff, mallas y nudos y los conceptos de serie y paralelo, si bien para la potencia tendremos un tema aparte. C 1 j-=X Xj-=X11=X1=X=X 90-=IX=V;IX=V C CCCCC CC ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ °⋅⋅ −−−− − ω βαβα r r rrr º90º180º90º90 º90 ⋅ ⋅ ⋅ senZ=X Z=R R X tg= X+R=Z Xj+R=Z=Z 22 ϕ ϕ ϕ ϕ cos arc r
- 14. CIRCUITOS ELÉCTRICOS CORRIENTEALTERNA SENOIDAL 14 CUESTIONES A un nudo concurren tres conductores. Por dos de ellos llegan dos corrientes de valor i1 = 2·sen(100·π·t + 60º) e i2 = 2·sen(100·π·t - 60º). Determinar el valor de la corriente que sale por el tercer conductor. Si conectásemos tres amperímetros, uno en cada conductor, ¿Cuánto marcaría cada uno de ellos? La conexión en serie de una resistencia y una bobina ideal tiene una impedancia equivalente de valor 5| 36.87º . Determinar el valor de la resistencia y del coeficiente de autoinducción de la bobina que la forman sabiendo que la frecuencia es de 1 kHz. ¿Qué valor tendría dicha impedancia si la frecuencia fuera de 2 kHz? Determinar el valor de la impedancia equivalente de 3 impedancias iguales conectadas en serie de valor 3| 36.87º . ¿Y si estuvieran conectadas en paralelo? Una resistencia de valor 10 está conectada en serie con una bobina ideal de valor 5 mH. y un condensador de valor 5 F. El conjunto es alimentado por una fuente ideal de tensión de valor v = 10√2·sen(2000·π·t) V. Determinar la tensión en cada elemento. En el circuito de la figura obtener la tensión y la corriente en todos los elementos, sabiendo que las fuentes de excitación son de corriente alterna senoidal de frecuencia 5000 Hz. IR