Lecture 5 formateo de señales analógicas

Universidad Nacional de Ingeniería
Comunicación II
Conferencia 5: Formateo de Señales Analógicas.
UNIDAD II: FORMATEO DE SEÑALES Y CODIFICACIÓN FUENTE
Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications Management
Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
COM II I. Zamora U n i II - Conf5: Cod. Fte.y F1omat

Outline
• Codificación de Señal: Formateo
• Formateo en un sistema de comunicación banda base
• Generación Pulsos Digitales
• Formateo A/D
• Esquema básico de un sistema digital banda base
• Teorema del muestro
• Muestreo Instantáneo o Ideal
• Muestreo natural
• Efecto Alias
• Operación muestreo y retención
• Implementación muestreo y retención
• Cuantización: uniforme, redondeo, implementación
• Función de Transferencia
• Codificación Binaria
• Fuentes de corrupción
• Error de cuantización
• Cálculo del error de cuantización

Codificación de Señal: Formateo
SISTEMA REPRODUCTOR DE AUDIO:
EJEMPLO

Formateo en un sistema de comunicación banda base
Secuencia binaria ...10110110001...
Muestreador Cuantificador Codificado
r
Binario
Codificado
r de línea
Transmisor
Filtro
pasabajos
Decodificador
Binario
Detector
de línea
Receptor
Medio de
transmisión
Información Digital Binaria
Información Textual o Caracteres
Información
Analógica
Información
Analógica
Información Textual o Caracteres
Información Digital Binaria
Formas de
Onda de
pulsos
Pulsos digitales
de voltaje/corriente
La Codificación de
Línea la estudiaremos
en conferencias
posteriores.
Formateo: Codificación Fuente
Formateo: Codificación Fuente

Generación de pulsos Digitales
ESQUEMA DEL TRANSMISOR
Conversión A/D Códigos
Binarios
Generador
de Pulsos
Codificador de línea
Codificador de línea
A
1 1
0 0
1
0 Tb
“1” lógico
0 Tb
-A
“0” lógico
Salida de pulsos
digitales
Entrada
totalmente
analógica
Señal
Cuantizada
Señal muestreadora (fS):
Tren de pulsos

Formateo A/D
•Procesos fundamentales en el formateo de señales analógicas:
•Muestreo (y Retención), Cuantización y Codificación Binaria
•Muestreo: Se ocupa de la representación en tiempo discreto de la señal
mensaje de acuerdo al teorema de muestreo.
•Retención: Permite que los pulsos muestreados de duración muy breve puedan
ser extendidos en el tiempo (retenidos) hasta la ocurrencia de la
próxima muestra. El resultado es una serie de pulsos PAM de amplitud
plana.
•Cuantización: En el sentido de la amplitud, es el proceso de transformar la muestra
de amplitud continua en el tiempo (aunque discreta en el tiempo) de
una señal mensaje en una amplitud discreta tomada de un conjunto
finito de amplitudes posibles.
•Codificación binaria: Es el proceso mediante el cual las muestras cuantizadas
(discretas en el tiempo y la amplitud) son mapeadas y
sustituidas por un código binario (secuencia de bits).

Esquema básico de un sistema Digital Bandabase
Filtro
Pasabajos
Muestreador/
Retenedor
Cuantizador
Codificador
Binario
Los elementos básicos de un sistema PCM
Fuentes de
señales de
Mensaje
continuas en el
tiempo
Señal Digital
BB
Aplicadas a la
entrada del
medio
a) Transmisor de transmisión
Señal Digital BB
distorsionada
producida a la
salida del canal
Repetidor
regenerativo
Repetidor
regenerativo
Señal PCM regenerada
Aplicada al receptor
b) Trayectoria de transmisión
Circuito de
regeneración Decodificador
Filtro de
reconstrucción Destino
c) Receptor
Generador
de Pulso

Teorema del muestro
• Teorema del muestreo establece:
– Una señal limitada en frecuencia que no posee componentes espectrales encima de fm
Hz puede ser determinada sin ambigüedades a través de valores de su amplitud
analógica que sean muestreados a intervalos uniformes de TS segundos, donde:
T 1
2f
m
S £
conocido como el teorema del muestreo uniforme
• Teorema o criterio de Nyquist:
– Establece que la frecuencia de muestreo mínima para representar una señal
analógica a través de sus muestras debe ser al menos igual a dos veces su ancho
de banda efectivo (frecuencia máxima):
³
f 2f ,
S m
=
la frecuencia de muestreo f 2f es denominda
frecuencia de Nyquist.
S m

Muestreo Instantáneo o Ideal

Muestreo Ideal
• Matemáticamente es posible comprobar que utilizando una serie de
impulsos de dirac como señal muestradora es posible recuperar
unívocamente la señal en el receptor. Este caso, por ser una
implementación meramente matemática se conoce como muestreo ideal.
• Consideremos la forma de onda analógica x(t) acotada en el intervalo
å¥
(-fm, fm) como se muestra en la figura y cuyo espectro es X(f). Las muestras
de x(t) corresponden, matemáticamente, al producto entre x(t) y la serie de
impulsos x(t), formada por impulsos periodicos (dTs).
x (t) = x(t) × x (t) con x (t) = d
(t - nT
) s d d s =-¥
n
å å¥
x (t) = x(t) × d (t - nT ) = x( nT ) d
(t - nT
) s s s =-¥
¥
=-¥
n
s
n
COM II I. Zamora U n i II - Conf5: Cod. Fte.y F1o0mat

Muestreo Ideal: par de transformadas
å¥
x (t) = d
(t - nT ) d å¥
s =-¥
n
x (t) x(t)x (t) S d =
d = d
=-¥
s n
T s X (f) 1 (f - nf
s X )
)
T s X (f) 1 (f - nf
å¥
=-¥
=
s n
Aplicando transformada de Fourier:

Muestreo Ideal
x(t) |X(f)|
fm -fm
(a)
0 t 0 f
T s X (f) 1 (f - nf
) s nT - (t (t) x å¥
å¥
d = d
=-¥
n
-4T 0 t S -2TS 2TS 4TS
t
x (t) x(t)x (t) S d =
-4T 0 S -2TS 2TS 4TS
d = d
=-¥
s n
)
-2f 0 f S -fS fS 2fS
T s X (f) 1 (f - nf
å¥
s X )
=-¥
=
s n
(b)
(c)

Muestreo Natural
• Idealmente, el muestreo debiera generarse a través de
un tren de impulsos (delta de Dirac), pero su
implementación electrónica es impráctica.
• Los circuitos de muestreo se basan en la generación de
un tren de pulsos periódicos (TS) de duración finita y tan
breve como sea posible (t). Note que fS =1/TS.
• Para una serie de pulsos xP(t) y una señal analógica
fuente x(t), se tiene la versión muestreada (señal PAM)
de x(t), como resultado de la multiplicación:
x (t) x(t) x (t) S P = ×

Muestreo Natural
• Donde: å¥
x (t) = c e × n ×
S
P n
=-¥
n
j2π f t
æ
senc n
T
ö
c t t = ÷ ÷ø
ç çè
con: = 1
n f senc n f
• Y se tiene que:
( ) S S
å¥
T
S S
= × ×
x (t) x(t) c e S
S n
=-¥
n
j2π f t

Muestreo Natural
• Estas relaciones en el dominio de la frecuencia, y aplicando la
transformada de Fourier provee la relación siguiente:
¥
å
X (f) x(t) c e
S n
=-¥
×
î í ì
= Á ×
n
j2π f t
S
å ¥
{ }
= Á
X (f) c x(t)e
S n
=-¥
×
þ ý ü
n
j2π f t
S
• De la propiedad de desplazamiento :
( ) å¥
=-¥
X (f) = f senc ntf × X ( f -
f
) S S S S n

Muestreo Natural
x(t) |X(f)|
fm -fm
(a)
0 t 0 f
|XP(f)| å¥
=-¥
= × ×
x (t) c e S
P n
n
j2π n f t
0 t
t
t
-4TS -2TS 2TS 4TS
x (t) x(t)x (t) S P =
-4T 0 S -2TS 2TS 4TS
|XS(f)|
(b)
(c)

Efecto Alias o Solapamiento
Aliasing o Solapamiento:
OCURRE CUANDO NO SE CUMPLE
CON EL CRITERIO DE NYQUIST, Y
SE MUESTREA A UNA TASA
INFERIOR:
•En la práctica, ni las formas de ondas de
interés ingenieril, ni los filtros de banda
limitada implementables electrónicamente,
son perfecta y estrictamente de banda
limitada.
•Es decir, la señales realizables, aun cuando
se supongan que son de banda limitada, en
realidad siempre presentarán un nivel de
solapamiento.
•Estas señales y filtros, no obstante, se
pueden considerar como “esencialmente” de
banda limitada.
•Con esto se quiere decir, que un ancho de
banda puede ser definido como aquél que
va mas allá donde las compomentes
espectrales de frecuencias son atenuados a
un nivel que pueden ser despreciables.
S m Con f ³ 2f
S m Con f < 2f

S m Con f = 2f
2fm
0 fm 0 fS 2fS 3fS
DSP bandabase
S m Con f < 2f
0 fm
DSP para señal muestreada a la frecuencia de Nyquist fS=2fm
<2fm
0 fS 2fS 3fS
DSP para una señal con efecto de Aliasing debido a fS<2fm
DSP bandabase

fA (max) debe leerse como fm

Implementación Muestro Natural
CIRCUITO DE MUESTREO
NATURAL

Operación de muestreo y retención
• Se ha visto que tanto en el muestreo ideal como en el muestreo natural, la
señal muestreada en el dominio del tiempo es una señal de impulsos o pulsos
periódicos, con duración infinitesimal en el primer caso, y con duración t
segundos en el segundo caso.
• Igualmente, puede observarse que las amplitudes siguen siendo valores
continuos (teorema de densidad de los números).
• La retención persigue extender la duración de tales impulsos o pulsos, por un
tiempo exactamente igual a Ts, el periodo de muestreo, de modo que permita
un aprovechamiento en tiempo para la sincronización, y un aplanamiento de
las crestas de tales muestras, de modo que se contribuya al proceso de
digitalización de la amplitud de la señal muestreada.
• La forma mas simple de demostrar matemáticamente el método de muestreo y
retención es describirlo como una convolución entre el tren de pulsos o
impulsos, y un pulso unitario rectangular p(t) de duración Ts.
x (t) [x(t) x (t)] s&h d = p( t )* ×
ù
= é × d
å å¥
p( t )* ) x( nT ) ) s&h s s x (t) x(t) (t - nT (t - nT
= d =-¥
úû
¥
=-¥
êë
n
s
n

• La transformada de Fourier, Xs(f), de la convolución en el dominio del tiempo
es precisamente igual en el dominio de la frecuencia al producto aritmético
de la transformada de P(f) del pulso rectangular y la señal espectral
periódica correspondiente a la señal muestreada:
P( f ) x( t ) ) s s X (f) (t - nT
é
X (f) = P( f ) X( f ) å¥
1 d (f - nf
s s P( f ) s s X (f) 1 (f - nf
þ ý ü
î í ì
d Á = å¥
n=-¥
þ ý ü
î í ì
ù
úû
êë
s n=-¥
)
T
å¥
=-¥
=
s n
X )
T
• Puede notarse que la forma de onda del pulso P(f) en el dominio de la frecuencia es
Tssinc(fTs).

• El efecto de esta operación producto de espectros resulta en un espectro de
apariencia similar al del muestreo natural mostrado en las diapositivas 11/14.
• El efecto mas obvio de la operación de retención es su atenuación
considerable en las réplicas de frecuencias mas altas, lo cual es un efecto
deseado en realidad.
• Normalmente se requiere de etapas adicionales de filtrado a posteriori para
mejorar el proceso de filtrado y recuperación de la señal, procurando atenuar
aún mas las componentes espectrales residuales que se ubican a
frecuencias múltiples de la tasa de muestreo.
• Un efecto secundario de la operación de muestreo es la ganancia no
uniforme en el espectro del pulso P(f) que se aplica al espectro bandabase
deseado.
• La operación de postfiltrado puede ser compensada por esta atenuación al
incorporar la función inversa de P(f) (ecualización) a lo largo de la señal
pasabanda.

Implementación Muestro y Retención
Y RETENCIÓN

Y RETENCIÓN
i = C dv ó C = i dt
τ = RC
dv
dt
Precisión (%) Tiempo de
Carga
10.00 3t
1.00 4t
0.10 7t
0.01 9t
C = Capacitancia máxima (valor para C1).
i = Corriente máxima de salida desde Z1.
dv= Cambio máximo en voltaje a través de C1,
dt= Tiempo de carga, el cual es igual al tiempo
de apertura.
t= Constante de tiempo de carga.
R= Impedancia de Salida de Z1 mas la resistencia
de encendido (“on”) de Q1.

FORMAS DE ONDA MUESTREADA Y RETENIDA
Formas de Onda
Muestreadas y Retenidas:
(a) Entrada analógica,
(b) Pulso muestreado,
(c) Voltaje del Capacitor
Nota:
“on”: Encendido
“off”: Apagado

Implementación mas
elaborada

Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención
Implementación mas
elaborada

Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención

Cuantización
• La cuantización de amplitud se define como el proceso de
transformación de las amplitudes de las muestras {x(nTS)},
de una señal mensaje x(t) en el tiempo t= nTS en una
amplitud discreta xq(nTS) tomado de un conjunto finito de
posibles amplitudes.
• La señal de amplitud x se especifica por el índice k si éste
cae dentro de la partición:
: {x x x }, k 1,2,...,L k k -1 k Â < £ =
• Donde L es el número total de niveles de amplitud usado en
el cuantizador. Las muestras x de la señal mensaje
corresponden a una variable aleatoria con media cero y
varianza sx
2.

xq(nTs): quantized values
t
Quant. levels
x(nTs): sampled values
Ts: sampling time
amplitude
x(t)
boundaries
3.1867
2.2762
1.3657
0.4552
-0.4552
-1.3657
-2.2762
-3.1867
Ilustración Cuantización Uniforme

CUANTIZACIÓN UNIFORME: EJEMPLO

Cuantización
En la fingura:
•Cuantizador lineal de L niveles para una
señal analógica
•Voltaje pico a pico: Vpp=Vp-(-Vp)=2Vp
•Pulsos cuantizados pueden ser positivos o
negativos
•El temaño de paso o escalón es igual a “D”.
•Cuando los niveles de cuantización están
uniformemente distribuidos (o sea que “D” es
constante), el cuantizador se denomina
“Cuantizador Uniformeo Lineal”.
•El objetivo es aproximar cada valor de
amplitud de la muestra retenida al nivel de
cuantización mas cercano, de modo que se
minimice el error de redondeo.
•El error de redondeo no puede ser mayor
de |D/2|
•La degradación (“error”) de la señal debido
al proceso de cuantización estará limitado
por la mitad del cuantil de intervalo, es decir
|D/2|.
ERRATA: La variable “q” sustitúyase por “D”

CUANTIZACIÓN UNIFORME: MAPEO
Umbrales de decisión xk
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Rango de amplitud
de la señal analógica
Tamaño de paso
D
Â1 Â2 Â3 Â4 Â5 Â6 Â7
D
Â8
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
Representación de los niveles yk
Âk : Regiones
de decisión { }
x x x x , x x Δ, k k k k k
Â = < £ - = - -
1 1
para £ k £
L
1

Cuantización
• Las amplitudes discretas xk, con k=0,1,2,...,L, en la
entrada del cuantizador, se denominan niveles de
decisión o umbrales de decisión.
• A la salida, el índice k se transforma en una amplitud yk
que representa todas las amplitudes del conjunto Âk;
las amplitudes discretas yk, con k=1,2,...,L, son llamadas
niveles de representación o niveles de reconstrucción,
y la separación entre dos niveles de representación
adyacentes se llama quantum o tamaño de paso D .
y y Δ, para k L k k - = £ £ - 1 1

Niveles de Cuantización: Redondeo
• La muestra x debe redondearse a nivel mas cercano, es
decir yk ó yk+1 de acuerdo con la figura de abajo.
Cuantizador
Q(*)
Muestras
Continuas
x=x(nTs)
q
y
x
Muestras
Discretas
y=xQ(nTs)
yk-2 yk-1 yk yk+2
Âk-1 Âk Âk+1
Âk : Regiones
de decisión
NOTA: Aquí “q” denota la variable
aleatoria que toma valores < |D/2|.
q: error o ruido de
cuantización

Cuantización
• Se nota que yk es el nivel seleccionado el cual podemos
relacionarlo con los niveles o umbrales de decisión de modo que:
x , si x - x <
x - x
k -1 k -1 k
x , si x - x x - x
y
>
k k -1 k
ïí ì
=
k ïî
• La diferencias |x- xk-1| y |x- xk| representan errores de precisión en el
proceso de cuantización con relación a la señal muestreada. Estas
diferencias se denotan qi y se observa el valor yk se escoge de
modo que el valor de qi minimize. Matemáticamente se expresa
como:
( )
( )
x y donde y
k k
x + min q si x - x >
x - x
x -min q si x - x x - x
ïî
ïí ì
( ) { } i k-1 k
i k -1 k
i k-1 k
min q =
min x - x , x - x
<
Þ =

Cuantización
• Los cuantizadores pueden ser del tipo uniformes o no-uniforme.
• En un cuantizador uniforme, las representaciones de los niveles se
muestran uniformemente espaciados; de otra manera el cuantizador se
considera no-uniforme.
• La función de transferencia de un cuantizador puede ser del tipo paso-medio
(midtread) o escalón-medio (midrise).
• La figura (a) de la próxima diapositiva (40) muestra la función característica
de entrada-salida de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio
(midtread), el cual se denomina así debido a el origen descansa a la mitad
del paso de la gráfica que asemeja escalones.
• La figura (b) de la diapositiva 39 muestra la función característica entrada-salida
correspondiente para un cuantizador uniforme del tipo escalón-medio
(midriser), en cuyo caso el origen descansa en la mitad del escalón de
elevación de la gráfica que asemeja escalones. Note que ambos
cuantizadores paso-medio (midtread) y escalón-medio (midrise) ilustrados
en las figuras (a) y (b) son simétricos respecto al origen.

Función de Transferencia de Cuantizadores
CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDRISER
= b =
Midriser : L 2 ó b log L 2
x k , k , , , k = D = 0 ±1 ± 2
1 y xk xk k
k
2 1
= - + = - D
2
2
{ x x x }
,
{ }
{ } 8 7
Â = -¥ < £
1 1
x x x x
Â = < £
k k k
1
k
-
1 £ £
7
x x x
para
Â = ³
D
-D
2D 3D 4D
-4D -3D -2D
7D/2
5D/2
3D/2
D/2
-D/2
-3D/2
-5D/2
-7D/2
x
y
Rango dinámico
del cuantizador
Excursión pico a
pico de la señal
(Rango dinámico)
(x: Entrada)
(Salida)
Ejemplo de un esquema de
cuantización de L=8 niveles.
En este caso las regiones de
cuantización están dadas por:
figura (a)

Función de Transferencia de Cuantizadores
CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDTREAD
= b = +
Midtread : L 2 -1 ó b log (L 1) 2
x = 2k +1D k = ± ± k
, 0, 1, 2,
2
y = xk+ - 1
xk = kD
k 2
Ejemplo de un esquema de
cuantización de L=7 niveles.
En este caso las regiones de
cuantización están dadas por:
{ x x x
}
{ }
{ } 8 6
Â = -¥ < £
1 1
x x x x
Â = < £
k k -
1
k
k
£ £
para 1 6
,
x x x
Â = ³
3D
2D
D
y
(Salida)
-7D/2 -5D/2 -3D/2 -D/2 x
D/2 3D/2 5D/2 7D/2
-D
-2D
-3D
(x:
Entrada)
Rango dinámico
del cuantizador
Excursión pico a
pico de la señal
(Rango dinámico)
figura (b)

Codificación Binaria (y de línea(*))
El número “L”
de niveles
cuantificados
depende del tipo de
cuantificador:
L=2b para Midriser
L=2b -1 para Midtread
con “b” el número de
bits de código binario
(*) El tema de la codificación de línea
Se estudiará en las próximas
conferencias
Códigos de línea

Ilustración Codificación binaria (y cuantización)
xQ(nTs): quantized values
t
Quant. levels
x(nTs): sampled values
Ts: sampling time
amplitude
x(t)
boundaries
111 3.1867
110 2.2762
101 1.3657
100 0.4552
011 -0.4552
010 -1.3657
001 -2.2762
000 -3.1867
PCM
codeword 110 110 111 110 100 010 011 100 100 011 PCM sequence

Otra ilustración: Cuantización Uniforme y Codificada Binaria

Ilustración Muestreo/retención, Cuantización, Codificación Binaria y generación
de pulsos binarios.
Pulse-code modulation:
(a) Signal sampling
(b) Quantization
(c) Binary pulse coding

Fuentes de corrupción
• Efectos relacionados al muestreo
– Ruido o error de Cuantización
– Saturación del Cuantizador
– Jitter en el temporizador
• Efectos relacionados al canal
– Ruido de canal
– Interferencia intersímbolo
– Razón Señal-a-Ruido para pulsos cuantizados

Error de cuantificación
Señal cuantificada
Nivel cuantificado
Error de
cuantificación
(Error de cuantificación) = (Señal analógica original) - (Señal cuantificada)

Error de Cuantización
Léase:
1. L niveles
2. L-1 pasos
3. D
D
+D/2
-D/2 D

Regiones de operación del cuantizador
• Hemos considerado la operación normal del cuantizador, bajo el supuesto que el
rango dinámico de la señal analógica de entrada (Vpp) calza bien en el rango
dinámico del cuantizador. Esto no siempre es así por diversas razones (la señal de
entrada es aleatoria).
• La región de operación normal del cuantizador, donde realiza apropiadamente su
función de transferencia, es la región de operación conocida como REGIÓN DE
ERROR (RUIDO) GRANULAR.
• Este error ya se espera y controlable por medio del diseño apropiado del
cuantizador.
• Cuando las señales analógica de entrada al cuantizador superan el rango dinámico
del mismo, se genera saturación, que produce serias distorsiones a la señal que se
recupera en el receptor. La región de operación donde ocurre este tipo de error se
conoce como REGIÓN DE ERROR DE SATURACIÓN o DE SOBRECARGA.
• Las ilustraciones en las diapositias 49 y 50 muestran las dos regiones de operación.

Regiones de operación del cuantizador
q(n)
REGIÓN DE OPERACIÓN CON
RUIDO GRANULAR
REGIÓN DE
OPERACIÓN CON
RUIDO SATURACIÓN
REGIÓN DE
OPERACIÓN CON
RUIDO SATURACIÓN

Regiones de Operación
REGIÓN DE
ERROR GRANULAR
REGIÓN DE
ERROR
GRANULAR REGIÓN DE
ERROR GRANULAR
REGIÓN
ERROR
DE
SATURACIÓN
REGIÓN
ERROR
DE SATURACIÓN
OCI MÁNI D OGNAR

Error de cuantificación “q”
• Error o ruido de cuantificación “q”
– Diferencia entre la señal analógica original y versión
cuantificada
– Mayor la diferencia, mas sensible a recuperación incorrecta
– Es intolerable en sistemas que demandan alta fidelidad
• Parámetros que influyen en el error de cuantificación
“q”
– Elección incorrecta de frecuencia de muestreo “fs”
– Tamaño de paso “D”
– Número de niveles de cuantificación “L”

Error de cuantificación “q”
• Error de cuantización: La diferencia entre la entrada y la salida del
quantizador. q(t) x(t) x (t) q = -
Proceso de ruido de cuantización
Cuantizador
y x Q(x) q = =
x(t) y(t) x (t) q =
+
Modelo de ruido de cuantización
x(t) x (t) q
q(t)
q t = x t -
x t q
( ) ( ) ( )
x t y t
= -
( ) ( )
AGC
x
AGC: Automatic Gain Control
q(t)

Error de Cuantización
• El uso de cuantización introduce un error q definido como la
diferencia entre la señal de entrada x y la salida cuantizada que la
representa yk. Este error es normalmente llamado error de
cuantización. La figura de la siguiente diapositiva ilustra una
variación típica típica del ruido de cuantización como función del
tiempo, asumiendo el uso de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio
(midtread).
• Como se indicó antes, la entrada del cuantizador x es una muestra
de la variable aleatoria X con media cero. Si dejamos que el error de
cuantización q sea representado por una variable aleatoria Q,
podemos denotar como sigue,
q = x - y
k • o, correspondientemente,
Q = X-Y
k • donde Yk es la variable aleatoria de las muestras cuantificadas de la
variable aleatoria X.

Cálculos del ruido de cuantificación(1/3)
•Consideraciones
• x es el valor muestreado de una variable aleatoria X con media
cero y varianza sx
2 (valor cuadrático medio de la señal analógica).
• x pertenece al conjunto de valores en Âk = {xk-1 < x £ xk} con k =
1,2, ..., L (niveles)
• xk y xk-1 son los umbrales de decisión para cada evento
•Salida del cuantizador y toma los valores discretos yk, con k = 1,
2, ..., L, es decir, y = yk , Si x cae en el intervalo Âk.
•Definamos a eq como el error de cuantización, con valores en el
rango -D /2 £ q £ D /2.
•Entonces podemos escribir: yk = x + q, si x cae en el intervalo Âk
•Denotemos el error de cuantización a través de la variable
aleatoria Q, y q denota su valor muestra.

Cálculos del ruido de cuantificación(2/3)
•Asumimos que la variable aleatoria Q es uniformemente
distribuida sobre los posibles rango -D /2 a D /2, entonces
podemos escribir su pdf por:
ïî
ïí ì
- D £ £ D
1 ,
f (q) q Q
= D
2 2
0, en otra parte
fQ(q)
- D
q
1
D
D
2
2
PDF del la variable aleatoria Q.

Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)
• Una importante figura de mérito, en general, es la varianza del ruido de
cuantización, llamado también valor cuadrático medio, está definido
como:
{[ ] } 2 2
2 [ 2 ] ( ) 2 2 ( ) Q Q L in Sat s = E Q = E x - q x = òq f q dq =s +s
s = Error granular Error de saturación
L in f x q
• Para el caso de tamaño de paso uniforme, y sabiendo que en la mayoría de
los casos el valor promedio de error de cuantización es cero, su varianza
sQ
2 (en este caso también denominada valor cuadrático medio), está dada
por:
2 2 2 2 =D
= = ò = ò
E Q q f q dq q dq Q Q s
12
[ ] ( ) 1
2 2
2
D
D
-D
¥
-¥
,
¥
-¥
Q l l
L
l
ql ( )
12
2
( 2) 1
0
2
2
, å-
=
Este error de saturación puede evitarse
o al menos reducirse con etapas de compresión
antes de cuantizar, por tanto, en general
puede despreciarse.
l l l q = x - x Con: +1 Tamaño de paso

Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)
•Por tanto podemos definir la razón señal a ruido de cuantización
(SQR) para el caso de cuantización uniforme puede aproximarse
como :
{[ ] }
{[ ] }
{ 2
}
{[ ]2}
2
2
2
SQR s
E x E x
= = -
s
( ) ( )
x
2
E x
E x q x
E x q x
-
=
( ) ( )
Q
-
2
SQR = s
= s
X X
/12
2
( ) 2
2
D
s
Q
2X s
•La potencia o valor cuadrático medio de la
señal deseada es su varianza (señal ergódica):
=E(x) =0 x m
•El valor medio de la
señal se asumido
igual a cero:

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