1. El documento describe los elementos básicos de los circuitos eléctricos, incluyendo elementos activos y pasivos, y las relaciones entre tensión e intensidad en resistencias, condensadores, bobinas y fuentes. 2. Explica cómo se pueden asociar elementos en serie y paralelo, y deriva las ecuaciones para calcular las tensiones, intensidades e impedancias equivalentes en dichas asociaciones. 3. También cubre temas como bobinas acopladas, transformadores ideales y la conversión de fuentes.

1. TEMA 1. ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
1.1.- Elementos ideales y reales.
1.2.- Elementos activos y pasivos.
1.3.- Relación entre tensión e intensidad en los elementos eléctricos
1.3.1.- Resistencia y conductancia.
1.3.2.- Condensador.
1.3.3.- Bobina.
1.3.4.- Bobinas acopladas magnéticamente.
1.3.5.- Transformador ideal.
1.3.6. - Fuentes.
1.4.- Asociación de elementos y conversión de fuentes.
1.4.1.- Asociación serie de elementos pasivos.
1.4.2.- Asociación serie de elementos activos.
1.4.3.- Asociación paralelo de elementos pasivos.
1.4.4.- Asociación paralelo de elementos activos.
1.5.- Topología de circuitos.
1
1.1.- ELEMENTOS IDEALES Y REALES.
La idealización consiste en considerar que:
• Sus componentes son parámetros localizados: no ocupan espacio físico.
• Sus propiedades eléctricas están concentradas en puntos.
• Se considera también que estos elementos están conectados mediante
conductores carentes de resistencias.
2

2. Elementos ideales:
1. Resistencias.
2. Condensadores.
3. Bobinas.
4. Bobinas acopladas magnéticamente.
5. Transformadores ideales.
6. Fuentes de tensión.
7. Fuentes de intensidad / corriente.
Ecuaciones de definición del elemento: ecuaciones que caracterizan un
elemento del circuito. Es la relación entre la intensidad que pasa a través de
él y la tensión que existe entre sus terminales
3
1.2.- ELEMENTOS ACTIVOS Y PASIVOS.
Elementos Activos: suministran energía al circuito. Pudiendo considerarse:
1. Generadores o fuentes de tensión
2. Generadores o fuentes de corriente.
Elementos Pasivos: reciben la energía que suministran los activos. Estos
elementos pueden ser de tres tipos:
1. Resistencias.
2. Bobinas.
3. Condensadores.
Circuito eléctrico ⇒ Uno o varios elementos activos
Uno o varios elementos pasivos.
4

3. 1.3.1. - Resistencia y conductancia.
R
+
_
i
v (t)
Representa la oposición que presenta un conductor al movimiento de carga
eléctrica en un medio conductor. Depende del tipo de material y de la
superficie y longitud del conductor.
ρ: resistividad del material. (Ω · mm2/m)
S
l
·R ρ=
v(t) = R · i(t ) (Ley de Ohm)
v(t): tensión en Voltios (V)
R: resistencia en ohmios (Ω)
i(t): intensidad en Amperios (A).
La tensión en los extremos de la resistencia es directamente proporcional a
la intensidad que circula por ella, .
Constante de proporcionalidad: R (resistencia).
i(t) = G · v(t) ⇒ G: Conductancia en Siemens
RR ZRz ==La impedancia de una resistencia es:
1.3.- RELACIÓN ENTRE TENSIÓN E INTENSIDAD EN LOS
ELEMENTOS ELÉCTRICOS.
5
1.3.2. - Condensador.
Es un elemento almacenador de energía, se almacena en campo eléctrico.
C
+
_
i
v (t)
la carga q(t) almacenada es directamente
proporcional a la diferencia de potencial en
sus extremos: q(t) = C · v(t)
v(t): tensión en Voltios (V)
C: capacidad en Faradios (F)
q(t): carga eléctrica en Culombios (C).
dt
dv(t)
·Ci(t)
dt
dq(t)
==Derivamos:
)v(tdti(t)·
C
1
v(t)
t
t
0
0
∫ +=Expresión de la tensión:
6

4. Constante de proporcionalidad: Capacidad del condensador (C) en
Faradios cuando la tensión se expresa en Voltios, la intensidad en
Amperios y el tiempo en segundos.
Si v(t) = V = cte, i(t) es nula





=
dt
dv(t)
·Ci(t)
Un condensador puro se comporta como un circuito abierto para el caso
de la corriente continua (constante).
Un condensador real se representa con una resistencia en paralelo, que
modela las posibles fugas de la carga eléctrica almacenada a través del
dieléctrico.
C R
7
Para evitar el trabajo con ecuaciones diferenciales (derivadas e integrales),
se hace una conversión trabajando con la “impedancia operacional”.
Se sustituye:






=
=∫
D
dt
d
D
1
La ecuación de la tensión en el condensador: ( ) i(t)·
DC
1
i(t)·Dz)t(v C ==
)v(tdti(t)·
C
1
v(t)
t
t 0
0
∫ +=
XC es la reactancia capacitiva, expresada en ohmios (Ω), cuando la
pulsación (ω) viene en rad/seg y la capacidad (C ) en Faradios (F).
Para trabajar con complejos, se vuelve a realizar otro cambio: D = j ω.
i·
C·
j-
i·
C·j
1
i·zv cc
ω
=
ω
==Nos quedará la ecuación:
CCc ZXj-
C·
j-
z ==
ω
=
La impedancia compleja del condensador es:
8

5. 1.3.3. - Bobina.
L
+
_
i
v (t)
Es un elemento almacenador de energía, se almacena en campo magnético.
Se construye enrollando un conductor y dándole un determinado número
de vueltas (espiras) al aire o a un núcleo de material magnético.
Al variar la intensidad se origina en la bobina
una fuerza electromotriz inducida que es
directamente proporcional a la variación con
respecto al tiempo de la intensidad,
verificándose que:
dt
di(t)
·Lv(t) = )i(tdtv(t)·
L
1
i(t)
t
t
0
0
∫ +=⇒
Constante de proporcionalidad: L es el coeficiente de inducción o
simplemente autoinducción o inducción. Si la tensión se expresa en
Voltios, la intensidad en Amperios y el tiempo en segundos, L viene
expresada en Henrios (H).
9
Si i(t) = I = cte ⇒ v(t) es nula
Una bobina pura se comporta como un cortocircuito para el caso de la
corriente continua (constante).
Una bobina real se representa con una resistencia en serie, que modela la
resistencia del conductor eléctrico con el que se fabrica la bobina.
L R
La ecuación de la tensión en la bobina: ( ) i(t)·DLi(t)·Dz)t(v LL ==
Sustituyendo D: i·L·ji·zv LL ω==
La impedancia compleja de la bobina es: LLL ZXjL·jz ==ω=
XL es la reactancia inductiva, expresada en ohmios (Ω), cuando la
pulsación (ω) viene en rad/seg y la inducción (L) en Henrios (H).
10

6. 1.3.4.- Bobinas acopladas magnéticamente.
L1
i1
+
_
v1 L2
i2
+
_
v2
M
1
1’
2
2’
L1, L2: inductancias propias o
Autoinductancia de cada bobina.
M: Inductancia mutua.
Acoplamiento:



+



•
•
entran)dos(las
porLenentrai
porLenentrai
22
11
dt
di
·M
dt
di
·Lv
dt
di
·M
dt
di
·Lv 12
22
21
11 +=+=
Expresión de las tensiones en las bobinas:
11
L1
i1
+
_
v1 L2
i2
+
_
v2
M
1
1’
2
2’
Acoplamiento negativo:



−



•
•
sale)otralaenyentrauna(en
porLensalei
porLenentrai
22
11
dt
di
·M
dt
di
·Lv
dt
di
·M
dt
di
·Lv 12
22
21
11 −=−=
Expresión de las tensiones en las bobinas:
12

7. 1.3.5.- Transformador ideal.
L1
i1
+
_
v1 L2
i2
+
_
v2
1
1’
2
2’a : 1
i·
a
1
-i
v·av
21
21
=
=
Siendo a la relación de transformación, , siendo N1 y N2 el número
de espiras de las bobinas 1 y 2. 2
1
N
N
a =
13
1.3.6.- Fuentes.
a) Fuente de intensidad.
A B
i (t)
Flecha interior: Sentido de la corriente eléctrica cuando i > 0
La ecuación característica de la fuente es i(t), es independiente de la tensión
entre los terminales A y B, aunque esta si que depende del circuito exterior.
A
3 Ω
10 A
+
_
V1
B
V3010·3I·RV1 ===
Intensidad constante nula: circuito abierto. A B
i(t) = 0 i(t) = 0
A
5 Ω
10 A
+
_
V2
B
V5010·5I·RV2 ===
14

8. b) Fuente de tensión.
B A
e(t)
+
Signo + : es la referencia de polaridad, vA > vB.
Cuando e(t) > 0 → vAB = e(t).
La ley de variación de tensión e(t) es la característica de la fuente e
independiente de la corriente que suministra, dependiente ésta del resto del
circuito.
A
3 Ω
30 V
B
I1
+
+
_
V
A103/30R/VI1 ===
A
10 Ω
30 V
B
I2
+
+
_
V
A310/30R/VI2 ===
A B
e(t) = 0Tensión constante nula: cortocircuito.
15
16
1.4.- ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS Y CONVERSIÓN DE
FUENTES.
Disponemos de n impedancias conectadas en serie.
z1
v1+ -
z2
v2+ -
zk
vk+ -
zn
vn+ -A B
i
v+ -










=
=
=
=
i·zv
.
i·zv
.
i·zv
i·zv
nn
kk
22
11
( ) i·zi·z...z...zzv...v...vvv eqnk21nk21 =+++++=+++++=
Por todos los elementos circula la misma intensidad i.
La tensión total de la rama es la suma de las tensiones que caen en los
elementos pasivos conectados en serie.
1.4.1.- Asociación serie de elementos pasivos.

9. 17
La impedancia equivalente de la rama será aquella en la que circulando la
misma intensidad caiga la tensión total de la rama.
zeq
v+ -A
i
B
nk21eq zzzzz +++++= LL
eq
k
nk21
kk
z
z
z...z...zz
z
v
v
=
+++++
=
Estos circuitos se denominan Divisores de tensión:
v·
z...z...zz
z
v
nk21
k
k
+++++
=
Podemos conocer cualquier tensión si conocemos los valores de las
impedancias conectadas en serie y la tensión que cae en la rama.
Si todas las impedancias
son iguales:
z·nzzz...z...zz eqnk21 =⇒======
n
v
v...v...vv nk21 ======
18
Resistencia Rz kk =
A B
i
v+ -
R1
v1+ -
R2
v2+ -
Rk
vk+ -
Rn
vn+ -
nk21eq R...R...RRR +++++= v·
R...R...RR
R
v
nk21
k
k
+++++
=
Bobina
siendo (ω : pulsación en rad/s, f: frecuencia en Hz)
ω= ·Ljz kk
f··2 π=ω
A B
i
v+ -
j L1ω
v1+ -
j L2ω
v2+ -
j Lkω
vk+ -
j Lnω
vn+ -
nk21eq L...L...LLL +++++= v·
L...L...LL
L
v
nk21
k
k
+++++
=

10. 19
Condensador
·C
j-
z
k
k
ω
=
A B
i
v+ -
-j/Ck ω
vk+ -
-j/C2 ω
v2+ -
-j/Cn ω
vn+ -
-j/C1 ω
v1+ -
nk21eq C
1
...
C
1
...
C
1
C
1
C
1
+++++=
Si todos los condensadores son iguales:
n/CCCC...C...CC eqnk21 =⇒======
k
eq
eq
k
nk21
kk
C
C
C
1
C
1
C
1
...
C
1
...
C
1
C
1
C
1
v
v
==
+++++
=Divisor de tensión:
20
+ + + +
A B
e1 e2 e3 e4
1.4.2.- Asociación serie de elementos activos.
Sólo se pueden conectar en serie
fuentes de corriente reales, no
ideales (salvo en el caso que sean
de una misma corriente).
i1 i2
z1 z2
A B
Fuentes de tensión
i1 i2
A B
Si i1 ≠ i2 IMPOSIBLE
Fuentes de intensidad
+
A B
e
2431 e-eeee ++=
+
A B
e
2431 eee-e-e +−=

11. 21
Disponemos de n impedancias/admitancias conectadas en paralelo.
v
+
-
A
y1
i1
i
B
y2
i2
yk
ik
yn
in
Por la aplicación de la primera ley de Kirchhoff: i...i...iii nk21 +++++=
En todos los elementos cae la misma tensión v.
1.4.3.- Asociación paralelo de elementos pasivos.










=
=
=
=
v·yi
.
v·yi
.
v·yi
v·yi
nn
kk
22
11
( ) v·yv·y...y...yyi...i...iii eqnk21nk21 =+++++=+++++=
z
1
y =
22
La admitancia equivalente de la rama será aquella en la que cayendo la
misma tensión circula la intensidad total de la rama.
v
+
-
A
yeq
i
B
( ) v·
z
1
...
z
1
...
z
1
z
1
v·y...y...yyi
nk21
nk21 





+++++=+++++=
z
1
...
z
1
...
z
1
z
1
y...y...yy
z
1
y
nk21
nk21
eq
eq +++++=+++++==
Estos circuitos se denominan Divisores de intensidad:
eq
k
nk21
kk
y
y
y...y...yy
y
i
i
=
+++++
=

12. 23
Resistencia (Conductancia)k
k
k G
R
1
y ==
G...G...GG nk21eq +++++=GConductancia equivalente:
i·
y
y
i·
y...y...yy
y
i
eq
k
nk21
k
k =
+++++
=
Podemos conocer la intensidad que circula por cualquier rama si
conocemos los valores de las impedancias/admitancias conectadas en
paralelo y la intensidad total.
nk21eq R
1
...
R
1
...
R
1
R
1
R
1
+++++=Resistencia equivalente:
Si todas las impedancias
son iguales:
n
z
z
z
n
y·
z
1
y eq
eq
eq =⇒=== n
n
i
i...i...ii nk21 ======
24
Bobina (Susceptancia inductiva)k
kk
k Bj-
·L
j-
·Lj
1
y =
ω
=
ω
=
B...B...BBB nk21eq +++++=Susceptancia equivalente:
nk21eq L
1
...
L
1
...
L
1
L
1
L
1
+++++=Coeficiente de inducción equivalente:
(Leq)
Condensador (Susceptancia capacitiva)kk
k
k Bj·Cj
·C
j-
1
y =ω=
ω
=
Si todos los condensadores
son iguales: C·nCCC...C...CC eqnk21 =⇒======
nk21eq C...C...CCC +++++=Capacidad equivalente:
nk21eq B...B...BBB +++++=Susceptancia equivalente:

13. 25
Si e1 ≠ e2 IMPOSIBLE
Sólo se pueden conectar en paralelo dos
fuentes reales de tensión, es decir, con
impedancia interna.
+
A
e1
+
e2
B
z1
z2
+
A B
e1
+
e2
1.4.4.- Asociación paralelo de elementos activos.
Fuentes de tensión
i
A B
i = - i1 + i2 - i3
i
A B
i = i1 – i2 + i3
i2
i3
i1
A B
Fuentes de intensidad
26
1.4.5.- Conversión de fuentes.
zg
+
eg
A
B
+
_
v zg
A
B
+
_
v
i i
ig
i·ze
z
e
i
ggg
g
g
g
g
g
g
g
z
i
z
e
=
=
Las fuentes de tensión y corriente son duales. Ambas ramas son
equivalentes respecto a los terminales A y B si al cargarlas con el mismo
receptor suministran la misma intensidad de corriente y mantienen la
misma tensión.

14. 27
1.5.- TOPOLOGÍA DE CIRCUITOS.
1.5.1.- Definiciones fundamentales.
Rama: es el elemento o grupo de elementos que
presenta dos terminales. Se denomina tb lado.
Únicamente consideramos que la agrupación de elementos con dos
terminales A y B forma una rama cuando se conocen los parámetros y la
relación que liga la tensión entre A y B con una intensidad que pasa a
través de esos terminales.
Camino: conjunto de ramas que van de un nudo a otro.
Árbol: dado un circuito conexo de n nudos, llamaremos árbol a cualquier
conjunto de sus ramas que sea conexo pero abierto, es decir sin lazos, y
que contenga a todos los nudos. Un árbol está formado por n-1 ramas.
1
2
3
4
5 6
7
9
8
Nudo: es el punto de unión de dos o más ramas. A veces se le llama vértice.
Lazo: es el conjunto de ramas que forman una línea cerrada.
28
Ramal: una rama del árbol.
Enlace: una rama que no está en el árbol.
Coárbol: conjunto de enlaces.
Bosque: conjunto de árboles.
1
2
3
4
5 6
7
9
8
Malla: es un lazo que no contiene ningún otro en su interior. En su interior
no interfiere ninguna rama.
1
2
3
4
5 6
7
9
8
1
2
3
4
5 6
7
9
8
1
2
3
4
5 6
7
9
8