Este documento presenta un resumen del contenido de la asignatura Diseño de Máquinas II sobre engranajes. En la primera semana se introducen los engranajes, definiciones y tipos. Posteriormente se describen conceptos como acción conjugada, relación de contacto e interferencia. Finalmente, se explican engranajes rectos, nomenclatura, engranajes helicoidales y cónicos. El documento concluye con el examen del primero de cinco bloques temáticos de la asignatura.

1. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SECCIÓN: DISEÑO
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA PERÍODO: Enero – Marzo 2007
NOMBRE:
CARNET No.:
PROFESOR ORLANDO PELLICCIONI ASIGNATURA DISEÑO DE MÁQUINAS II (MC4132)
CUADERNO – EXAMEN 01
CONTENIDO
SEMANA FECHA CONTENIDO
1 10/Ene Introducción al curso.
Introducción a engranajes: definición y tipos.
Engranajes rectos: nomenclatura y definiciones.
2 15/Ene Acción conjugada: perfil evolvente y acción entre dientes.
Relación de contacto.
Interferencia.
Tipos de esfuerzos.
Caracterización de fallas.
Esfuerzos de flexión.
Esfuerzos de contacto.
17/Ene Engranajes helicoidales.
Ventajas y desventajas.
Geometría.
Relación de contacto.
Distancia entre centros.
3 22/ Ene Análisis de fuerzas.
Relación entre θn y θt.
Esfuerzos.
Engranajes cónicos.
Geometría y nomenclatura.
Dimensionamiento de una pareja.
Análisis de fuerzas.
24/ Ene Esfuerzos.
Engranajes sin fin.
Ventajas y desventajas.
4 29/ Ene Análisis de fuerzas.
Eficiencia.
Sistema autoblocante.
Esfuerzos.
31/ Ene Problemas
5 05/Feb Examen 01 (20%)

2. Introducción a engranajes: definición y tipos
Definición:
Los engranajes son ruedas cilíndricas dentadas que se emplean para transmitir
movimiento y potencia desde un eje o flecha giratorio a otro. Los dientes de un
engranaje impulsor se insertan, enlazándose con precisión, en los espacios entre
los dientes del engrane que es impulsado. Los dientes impulsores empujan a los
dientes que son impulsados, ejerciendo una fuerza perpendicular al radio del eje.
Por consiguiente se transmite un torque y, debido a que el engranaje está girando,
también se transmite potencia (Mott, pág. 377).
Para conseguir un funcionamiento correcto, este operador suele girar solidario
con su eje, por lo que ambos se ligan mediante una unión desmontable que
emplea otro operador denominado chaveta.
Este operador se puede emplear para dos funciones básicas:
Transmitir un movimiento giratorio entre dos ejes con la idea de modificar su
sentido de giro, velocidad o dirección, bien acoplándose directamente varias
ruedas dentadas entre sí (rueda dentada-linterna, tren de engranajes, sinfín-piñón)
o empleando una cadena articulada (mecanismo cadena-piñón).
Transformar movimientos giratorios en alternativos (o viceversa), empleando
mecanismos que combinan la rueda dentada con la cremallera (sistema
cremallera-piñón) Este montaje se emplea en cerraduras, juegos infantiles,
microscopios, taladros sensitivos, sacacorchos, motores fueraborda...

3. Durante la edad media se empleaban mecanismos de rueda dentada-linterna que
eran de uso común en todos los ingenios hidráulicos de la época (molinos,
mazos...). Permite acoplar ejes paralelos o cruzados a 90º.
El sistema de engranajes se emplea mucho en automóviles (cambio de marchas),
máquinas herramientas (taladros, tornos, fresadoras...), relojería... como reductor
de velocidad, pues permite acoplar ejes paralelos o que se crucen con cualquier
ángulo
El sinfín-piñón se emplea en los reductores de velocidad para motores
eléctricos; también se emplea en elementos de gran precisión (tornillos
micrométricos).

4. Este sistema no es reversible (el árbol conductor siempre tiene que estar unido al
sinfín) y presenta la ventaja de proporcionar una gran reducción de velocidad en
el mínimo espacio. Solamente permite acoplar ejes a 90º.
El sistema cadena-piñón podemos verlo en bicicletas, motos, puertas de apertura
automática (ascensores, supermercados, aeropuertos...), mecanismos internos de
motores...; pero solamente permite acoplar ejes paralelos entre si.
Material adicional: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/index.htm
Tipos de engranajes:
Los engranajes se pueden clasificar de acuerdo con varios criterios.
Por el número de dientes
Los engranajes de más de 15 dientes se llaman coronas y los de hasta 15 dientes
piñones. En dos engranajes que trabajan juntos, el de mayor tamaño es la corona
y el más pequeño se denomina piñón, independientemente del número de dientes
que tengan.

5. Piñón (derecha) y corona (izquierda)
Existen dos casos particulares:
El tornillo sin fin, que engrana con su corona perpendicularmente a su eje, y que
suele tener uno, dos o hasta tres dientes helicoidales.
La cremallera, que posee los dientes alineados sobre una superficie plana. Podría
considerarse como un engranaje de infinitos dientes y diámetro infinito.
Por la orientación relativa de sus ejes
Cilíndricos, cuando sus ejes son paralelos.
Cónicos, cuando sus ejes no son paralelos.
Corona tornillo sin fin, es un caso particular en el que sus ejes no se cruzan y
forman 90º

6. De arriba hacia abajo y de izquierda a derecha: cilíndrico, cónico, corona / tornillo sin fin, cilíndrico
Por la forma de los dientes
De dientes rectos.
De dientes helicoidales.
Dientes rectos (izquierda) y helicoidales (derecha)
Por el tamaño de diente
Los dientes de los engranajes tienen un tamaño específico; en el sistema métrico
se denomina módulo, un número proporcional al tamaño del diente.

7. Tamaños de dientes de engranajes. Note como el tamaño del diente está directamente relacionado al paso de
avance del engranaje
Material adicional: http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje
https://sdp-si.com/eStore/
Engranajes rectos: nomenclatura y definiciones
Los términos y símbolos se utilizan de conformidad con las normas de la
American Gear Manufacturers Association (AGMA). Para más detalle puede
revisarse la norma AGMA 1012-F90.
El paso circular p es la distancia, medida sobre la circunferencia de paso, entre
determinado punto de un diente y el correspondiente de uno inmediato. De
manera que el paso circular es igual a la suma del grueso del diente y el ancho del
espacio entre dos consecutivos.

8. El módulo m es la razón o relación del diámetro de paso dp al número de dientes
Z. La unidad de longitud que se utiliza habitualmente es el milímetro. El módulo
es el índice del tamaño de los dientes en el sistema SI.
El paso diametral P es la relación del número de dientes al diámetro de paso. En
consecuencia, es el recíproco del módulo. El paso diametral se emplea cuando se
consideran unidades inglesas, y por tanto, se expresa en dientes por pulgada (dte/
in).
El addendum a es la distancia radial entre el tope del diente (o la circunferencia
de addendum) y la circunferencia de paso. El deddendum b es la distancia radial
entre el fondo del espacio (o la circunferencia de deddendum) y la
circunferencia de paso. La altura total ht de un diente es la suma del addendum y
el deddendum.
La circunferencia de holgura de un engranaje es la circunferencia tangente a la
de addendum del otro engranaje conectado. La holgura c (o claro) es la
diferencia entre el deddendum de un engranaje dado que excede al addendum del
engranaje conectado. El juego es la diferencia del espacio entre dos dientes
consecutivos y el grueso del diente del otro engranaje, medidos sobre las
circunferencias de paso. (Extraído de Shigley & Mischke).
Características de los dientes de un engranaje de talla recta (Mott, pág. 381)
Material adicional: Mott, R., Diseño de elementos de máquina
Guía teórica del curso MC3142

9. Acción conjugada: perfil evolvente y acción entre dientes
Cuando los perfiles de los dientes se diseñan de modo que produzcan una
relación constante de velocidades angulares durante su funcionamiento en
contacto, se dice que tienen acción conjugada.
Cuando una superficie curva empuja a otra, el punto de contacto queda donde las
dos son tangentes entre sí y en cualquier instante, las fuerzas están dirigidas a lo
largo de la normal común a las dos curvas. Esta recta representa la dirección en
que actúan las fuerzas y recibe el nombre de línea de acción (o de presión).
La línea de acción corta a la línea de los centros entre el par de ruedas dentadas
en un punto P (punto de paso). La relación existente entre las velocidades
angulares de los brazos de dientes es inversamente proporcional a la de los radios
al punto de paso. Las circunferencias que se trazan en cada rueda desde el origen
al punto P se conocen como circunferencias de paso, y el radio de cada una
recibe el nombre de radio de paso. (Shigley, pág. 599)
La transmisión de potencia y la operación silenciosa de un engranaje depende del
uso óptimo de las formas geométricas disponibles. Muchos de los dientes de los
engranajes rectos usan el perfil evolvente como forma geométrica básica. Esto
permite que la acción resultante de los dos engranajes sea muy suave; si no fuera
así, habría incremento y disminución de velocidad a lo largo de su acción
conjunta y la aceleración resultante generaría vibración, ruido y oscilaciones de
torsión peligrosas en el sistema. En nuestro caso la evolvente es una línea curva
formada por la traza espiral de un punto sobre una cuerda que se desenrolla
alrededor del círculo que representa la rueda dentada (círculo base). Podrá notar
que en cualquier punto sobre la curva evolvente, una línea perpendicular a ella
será tangente al círculo base. La evolvente es un tipo de curva geométrica que
pertenece al grupo de las que se denominan curvas conjugadas.
Animación para el trazo de una curva evolvente (tocar la imagen)

10. Al dibujar otro círculo base a lo largo de la misma línea central en tal posición
que la evolvente que resulta es tangente a la primera, como se ilustra en la figura
siguiente, se demuestra que en el punto de contacto las dos líneas tangentes a los
círculos base coinciden y permanecerán en la misma posición conforme gire el
círculo base. Esto es lo que sucede cuando los dientes de dos engranajes están
enlazados.
Animación de evolventes que coinciden (Mott, pág. 380) (tocar la imagen)
Para estudiar la acción entre dientes podemos practicar con el ejemplo 13-1 de
Shigley, página 606.
Relación de contacto
Recuérdese que el contacto entre dientes comienza y termina en las
intersecciones de las dos circunferencias de addendum con la línea de presión. El
segmento de circunferencia de paso delimitado por la línea de acción se conoce
como arco de acción qt.
La relación de contacto mc se define como el promedio de dientes en contacto
de un par de engranajes, o lo que es igual la relación del arco de acción sobre el
paso circular. Un valor de mc=1 indica que el arco de acción coincide con el paso
circular y por lo tanto solamente un diente del engranaje impulsor estará
simultáneamente en contacto con un diente del engranaje impulsado.
Si consideramos un valor ligeramente mayor, por ejemplo mc=1.2, significa que
en un corto lapso de tiempo habrá dos pared de dientes en contacto

11. simultáneamente, uno en su fase inicial de recorrido y otro en su fase final. A
medida que avance el embonado de los engranajes, el par de dientes cercanos a la
fase final debe salir del contacto dejando sólo un par de dientes en contacto, y
luego, se repetirá la operación.
Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con relaciones de contacto
menores que 1.20 aproximadamente, porque las inexactitudes en el montaje
podrían reducir aún más la relación de contacto, acrecentando la posibilidad de
choques entre dientes, así como elevando el nivel de ruido. (Shigley, pág. 608)
Una manera fácil de determinar la relación de contacto consiste en medir la línea
de acción en vez del arco de acción. Ahora, como la línea de acción es tangente a
la circunferencia de base, al prolongarla debe utilizarse el paso base pb para
calcular mc en vez del paso circular:
mc= (longitud de la línea de acción) / (p cos Ø)
donde Ø define al ángulo de acción (o presión), entre la línea de acción y la
tangente al punto de paso.
Definición del ángulo de presión
Interferencia

12. El contacto de porciones de perfiles de dientes no conjugados se denomina
interferencia. Para ciertas combinaciones de números de dientes en un engrane
se presenta interferencia entre la punta del diente en el piñón y el chaflán o raíz
del diente en el engranaje. Es obvio que esto no puede tolerarse porque los
engranes no coincidirían.
La interferencia ocurre cuando el contacto entre dos dientes se produce fuera del
perfil evolvente del mismo. La guía teórica estudia el caso límite, que permite
deducir una expresión para el cálculo del número mínimo de dientes en los
engranajes:
z ≥ 2 / sen2Ø
Para un ángulo de presión normalizado de 20º, se tiene que el número mínimo de
dientes es zmin = 17.09 ≈18 dientes. Una tabla generalizada puede encontrarse en
el Shigley, página 610.
Algunas veces es necesario fabricar engranajes con un número de dientes inferior
al zmin y garantizar que no ocurra interferencia. Con esto en mente, el diseñador
puede pensar en reducir dimensiones, modificar la cabeza en el piñón o en la
corona, o bien, modificar la distancia central.
Reducir dimensiones es el proceso de cortar el material en el chaflán o raíz de
dientes de la corona, lo que alivia, en consecuencia, la interferencia. Resulta
evidente que este proceso debilita los dientes.
El problema de la interferencia puede atenuarse incrementando la cabeza del
piñón en tanto se disminuye la cabeza del engrane. La distancia central puede
permanecer igual que su valor teórico para el número de dientes en el par. Pero
los engranes resultantes no son, desde luego, estándar (Dudley, D. 1984). Es
posible hacer el piñón de un par de engranes más grande de lo estándar, mientras
la corona conserva su tamaño estándar, si se alarga la distancia central (Drago, R.
1988).
Tipos de esfuerzos
Los esfuerzos que producen las fuerzas de reacción sobre los dientes son de dos
tipos:
Esfuerzos de flexión sobre la base del diente, similares a los que se generan sobre
una viga en voladizo que pueden generar grietas y rupturas en la base de los
dientes.
Esfuerzos de contacto de Hertz sobre los distintos puntos instantáneos en las
superficies en contacto entre engranajes, capaces de generar caries en los dientes.

13. Una pareja de engranajes bien diseñada no debe fallar nunca por fatiga a flexión,
ya que el diseño puede hacerse suficientemente resistente para limitar los
esfuerzos de flexión a valores inferiores al límite de fatiga.
Por otra parte, no es posible diseñar una pareja de engranajes que tenga vida
infinita con respecto a los esfuerzos de contacto superficial, ya que la mayoría de
los materiales no exhiben un límite de fatiga ante éstos.
De este modo, los engranajes eventualmente fallarán debido a los esfuerzos de
contacto, a no ser que la lubricación sea inadecuada y entonces se presente
además, desgaste adhesivo y/o abrasivo, antes que la falla por fatiga superficial.
Caracterización de fallas
La falla por fatiga a flexión se inicia con la aparición de una grieta que
finalmente conlleva a la rotura del diente.
La falla por fatiga superficial se inicia con la aparición de una grieta, ya sea en la
superficie de contacto o a niveles subyacentes, la cual conlleva al desconche del
material.
La falla por desgaste adhesivo consiste en la soldadura localizada de las
superficies en contacto seguida de la ruptura de los mismos, mientras que el
desgaste abrasivo se refiere a la presencia de partículas sueltas y duras que
producen ralladuras.
Esfuerzos de flexión
Fórmula de Lewis:
Wilfred Lewis fue el primero que presentó una fórmula para calcular el esfuerzo
por flexión en dientes de engranajes, en la que interviene la forma de los mismos.
Esta fórmula fue publicada en 1982 y en la actualidad sigue siendo fundamental
para la mayor parte del diseño de engranajes.
La ecuación para la tensión en la base del perfil evolvente del diente es (ecuación
de Lewis):
σt = FtP / (bY)
En la ecuación de Lewis Ft es la fuerza tangencial, P el paso diametral del diente,
b es el espesor de la cara del diente y Y es el factor de forma de Lewis, que
depende de la forma del diente, el ángulo de presión, el paso diametral, el número
de dientes en el engranaje y el lugar en el que ejerce su acción Ft. En tanto

14. presenta la base teórica para el análisis de tensiones de los dientes de engranes, la
ecuación de Lewis debe modificarse para el diseño y el análisis prácticos. (Mott,
pág. 417). Ejemplos de valores para Y pueden encontrarse en el Shigley, página
664.
La ecuación de Lewis también puede presentarse en función del módulo m, que
sí es una variable nominal del engranaje (a diferencia del paso diametral):
σt = Ft / (m b Y)
Desventajas del uso de esta ecuación:
• Solamente considera flexión en el diente y se desprecia la compresión
debido a la fuerza radial.
• Los dientes no comparten la carga
• La forma máxima se aplica sobre la punta del diente.
La ecuación de Lewis ya no se aplica en su forma original, pero es la base para
una versión más avanzada de la AGMA. La ecuación de esfuerzos a flexión de la
AGMA corrige la ecuación original de Lewis con factores adicionales que
consideran mecanismos de falla que sólo posteriormente fueron descubiertos.
Fórmula de la AGMA:
Con el fin que se considere la variedad de condiciones que pueden encontrarse
durante el servicio para el diseño práctico de engranajes, una modificación
aplicada a la fórmula de Lewis es la que presenta la AGMA en el estándar 2001-
B88:
σt = Ka Kv Ks Km KB Ft / (m b J) ≤ Sat KL / (ψ KT KR)
Ft = fuerza tangencial
b = ancho del engranaje
m = módulo
J = factor geométrico de la resistencia por flexión
Ka = factor de sobrecarga o aplicación
Kv = factor dinámico
Ks = factor de tamaño
Km = factor de distribución de carga
KB = factor de espesor de borde
KL = factor de vida
KT = factor de temperatura
KR = factor de confiabilidad

15. Sat = esfuerzo permisible a flexión
Hipótesis para la ecuación de la AGMA:
• La relación de contacto está entre 1 y 2
• No hay interferencia en el acoplamiento
• Ningún diente es puntiagudo
• Existe un juego distinto de cero
• Los radios de la raíz son estándar, lisos y producidos por un proceso
generatriz
(ver más detalles en la guía teórica)
Esfuerzos de contacto
La propiedad más importante de los dientes de engranajes que proporciona
resistencia a la corrosión es la dureza de la superficie de los dientes. Cuanto más
dura sea la superficie, más alta es la resistencia a la corrosión del material.
Los esfuerzos superficiales en los dientes de los engranajes fueron estudiados por
primera vez de manera sistemática por E. Buckingham, quien utilizó dos
cilindros de igual radio de curvatura que los dientes en el punto de paso cargados
radialmente en contacto de rodadura para simular el acoplamiento de los
engranajes.
Conocidos como esfuerzos de contacto de Hertz, son tridimensionales y con
valores máximos en la superficie o ligeramente por debajo de ella, dependiendo
de la cantidad de deslizamiento en combinación con rodadura. Al igual que la
fórmula de Lewis para flexión, la ecuación de Buckingham sirvió de base para la
ecuación modificada de la AGMA (fuente: AGMA 218-01):
σC = Cp (Ka Kv Km Cf Ft / (dp b I))1/2 ≤ Sac KL CH / (ψ KT KR)
Ft = fuerza tangencial
b = ancho del engranaje
dp = diámetro de paso (primitivo)
I = factor geométrico de resistencia a desgaste superficial
Ka = factor de sobrecarga o aplicación
Kv = factor dinámico
Km = factor de distribución de carga
Cp = coeficiente elástico
Cf = factor de acabado superficial

16. CH = factor de razón de dureza
KL = factor de vida
KT = factor de temperatura
KR = factor de confiabilidad
Sac = esfuerzo permisible a desgaste superficial
Engranajes helicoidales
Los engranajes helicoidales y los de talla
recta se distinguen por la orientación de
sus dientes. En los engranes de talla recta
los dientes son rectos y están alineados
con el eje del engranaje. En los
engranajes helicoidales los dientes
presentan inclinación a un cierto ángulo
(ángulo helicoidal o ángulo de hélice).
Si el engranaje fuera muy ancho
parecería que los dientes se enrollan
alrededor del disco con que se fabrica el
engranaje, describiendo una trayectoria
helicoidal.
En los engranajes rectos se asume que las fuerzas actúan en un solo plano. En los
engranajes helicoidales no ocurre esto, puesto que los dientes no son paralelos al
eje (Mott, pág. 467).
El ángulo de hélice es el mismo en cada engranaje del par, pero un engranaje
debe tener una hélice derecha y el otro una hélice izquierda. Debido a la
naturaleza del ensamblaje entre engranajes helicoidales, la relación de contacto es
sólo de menor importancia, y es el área de contacto, -la que es proporcional al
ancho de la cara del engranaje-, que se vuelve significativa (Shigley, pág. 615).

17. Contacto entre engranajes helicoidales. Detalle de la hélice derecha e izquierda de igual ángulo de hélice.
Cuando dos o más engranajes helicoidales adyacentes están montados en el
mismo eje, la inclinación de los dientes (derecha, izquierda) de los engranajes
debe seleccionarse de manera que se produzca la mínima carga de empuje axial.
Cajas de reductores con engranes cilíndricos y cónicos. Una de ellas tiene dos pares de engranajes cilíndricos de
diente helicoidal y la otra posee además un par de engranajes cónicos de diente helicoidal (tocar la imagen)
Ventajas y desventajas
Ventajas:
• Sirven para transmitir potencia entre ejes paralelos y no paralelos
(cualquier ángulo), inclusive perpendiculares entre sí.

18. • Son más resistentes y silenciosos que los engranajes rectos.
• El contacto entre dientes se realiza en un punto, a diferencia de los
engranajes rectos, cuyo contacto se realiza en una línea. En otras palabras,
el engranaje helicoidal asume la carga en forma gradual. Debido a que más
de un diente entra en contacto en un momento en particular esto da por
resultado una carga promedio por diente más baja y una operación más
suave.
Desventajas:
• La desventaja principal de los engranajes helicoidales es que se genera un
empuje o carga axial por la orientación inclinada de los dientes.
• Requieren más cuidado en su fabricación.
• El costo es similar al de un engranaje recto si la producción es razonable,
pero si la producción es baja, resulta mucho más costoso.
Cuando las cargas de empuje o axiales se vuelven altas o son objetables por otras
razones, quizá convenga utilizar engranajes helicoidales dobles. Un engrane
helicoidal doble (o “espina de pescado”) es equivalente a dos engranes
helicoidales de sesgo, opuesto, montados lado a lado en el mismo eje. Estos
engranajes desarrollan reacciones de empuje opuestas, y por lo tanto, cancelan la
carga axial.
Vista en perspectiva de la geometría y las fuerzas en un Modelo de engranaje helicoidal doble utilizado en la
engranaje helicoidal (Mott, pág. 468) industria para transmisión de potencia (Tocar la
imagen)

19. Geometría
Supongamos una cremallera de dientes rectos. El engranaje helicoidal se genera al
pasar sobre la cremallera, el cilindro (cubo) que se encuentra a la izquierda en
dirección β respecto a la horizontal.
Así, los dientes que se tallan (por ejemplo, sobre plastilina o cera blanda) quedan
inclinados respecto al eje del engranaje en el ángulo de hélice.
pt = paso transversal
pn = paso normal
px = paso axial
β = ángulo hélice
β
β
Paso para un engranaje cilíndrico de dientes rectos Paso para un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales
Nomenclatura:
Paso transversal (pt): es el paso en engranajes helicoidales equivalente al que se
conoce para engranajes rectos.
Paso normal (pn): es la proyección del paso transversal sobre el plano normal, el
cual está inclinado β con respecto al plano transversal de la cremallera (en ésta
ocurre la forma del diente).
pn = pt cos β

20. Módulo normal (mn): es el módulo que se calcula para engranajes helicoidales y
debe ser el mismo para que dos engranajes sean pareja. Al igual que el paso
normal, se define en función del módulo conocido para engranajes rectos:
mn = mt cos β = ( dt / z ) cos β
Diámetro primitivo (dp): Se obtiene partiendo de la definición para engranajes
rectos:
dp = ( mn z ) / cos β
Número mínimo de dientes (zmin): Se obtiene a partir de la misma expresión
utilizada para engranajes rectos.
zmin ≥ ( 2 cos β ) / sen2Ø
El ángulo de hélice no es normalizado y usualmente oscila entre 10º y
45º. Su selección parte del compromiso entre niveles de ruido
menores y costos de fabricación, y el grado de afectación por la carga
axial.
Relación de contacto
Sigue existiendo una dirección transversal, pero el hecho de que los dientes están
inclinados respecto a la dirección de rotación, da lugar a una relación de contacto
normal Rcn que se define como:
Rcn = b / px
b = ancho de cara
px = paso axial
px = pn / sen β = pt cos β / sen β =π mn / sen β
Rcn = b sen β / ( π mn )

21. Distancia entre centros
Se define para el caso más genérico de engranajes helicoidales:
C = ( mn / 2 ) ( zpiñón / cos βpiñón + zcorona / cos βcorona )
En la imagen β1 y β2 representan los ángulos de hélice del piñón (en rojo) y la corona (en negro) respectivamente
Análisis de fuerzas (engranajes rectos)
Carga transmitida (Wt): fuerza que actúa
tangencial a la superficie de paso del
engranaje. Es la que en realidad transmite
torque y potencia desde el engranaje
impulsor hacia el impulsado. Actúa en
sentido perpendicular al del eje de la flecha
que soporta al engranaje. Se determina igual
que el Wt de engranajes para dientes rectos:
Wt = T / ( D / 2 )
Donde D es el diámetro de paso del
engranaje. Si se conocen la potencia
transmitida (en hp) y la velocidad de giro
Tomado del Mott, pág. 468 (en rpm), el torque en libras por pulgada se
calcula
T = 63000 (potencia) / (rpm del motor)

22. Carga axial (Wx): es aquella que se dirige en forma paralela al eje de la flecha
que soporta al engranaje. Conocida también como fuerza de empuje, es una
fuerza por lo general indeseable, a la que deben resistir los cojinetes de ejes o
flechas que tienen una capacidad de empuje. El ángulo de hélice o helicoidal es
quien establece la relación entre Wx y Wt:
Wx = Wt tan β
Observe que en el esquema de las fuerzas que actúan en el diente, la carga axial se
incrementa conforme aumenta el valor del ángulo de hélice. Por lo regular este
ángulo varía entre 15º y 45º.
Carga radial (Wr): es la fuerza que actúa hacia el centro del engrane, en sentido
radial. El sentido de la fuerza es siempre tal que tiende a separar los engranajes.
Para calcular su magnitud es necesario incorporar dos nuevas definiciones: el
ángulo de presión transverso θt (aparece en el plano que pasa por los dientes de
un engranaje en un sentido perpendicular al eje o flecha, plano transversal) y el
ángulo de presión normal θn (aparece en el plano que pasa por un engranaje en
un sentido normal respecto a los propios dientes, plano normal). Se puede
definir una relación entre Wr y Wt:
Wr = Wt tan θt
Relación entre θn y θt
Algunos engranajes helicoidales se fabrican con el ángulo de presión transverso
establecido a un ángulo específico, digamos 20º ó 14 ½º. Otros se fabrican con el
ángulo de presión normal establecido. La ecuación que relaciona estos dos
ángulos de presión para un ángulo helicoidal específico es:
(tan θn ) = (tan θt ) (cos β )
Observaciones:
• El contacto entre engranajes helicoidales no ocurre en un punto a la vez.
En realidad, lo que ocurre es que el contacto es progresivo, es decir, en
principio entra en contacto un punto y un momento después, un punto
posterior y así sucesivamente. De este mode se genera una línea de

23. contacto que se inicia con dos puntos, alcanza una longitud máxima que
depende de la geometría de los dientes, y desaparece al terminar el
contacto del último punto.
• Imaginemos un diente helicoidal compuesto por varios dientes rectos
puestos uno detrás del otro y desfasados regularmente un diferencial dy.
Por ejemplo, en un engranaje impulsado, el primer diente recto entra en
contacto arriba, un momento después el segundo diente entra en contacto
arriba y el primer diente está en contacto en un punto más abajo, así el
punto de inicio de contacto se va desplazando hacia atrás y a medida que
esto ocurre, los puntos de contacto anteriores van bajando a lo largo del
diente hasta abandonar el contacto con su pareja. Así la línea de contacto
aparece, crece hasta que el punto de contacto del primer diente recto o
plano desaparece y a partir de allí, comienza a decrecer hasta desaparecer
ella misma.
• Siempre que no se especifique el ángulo de presión o el paso circular con
algún subíndice, se debe asumir que corresponde al θt y pc respectivamente
(plano transverso).
• Las relaciones de contacto definidas corresponden a engranajes
helicoidales de ejes paralelos ( β1 = β2 = β ).
• El módulo normal mn es el módulo normalizado, tomándose los valores
reportados para engranajes rectos.
Esfuerzos en engranajes helicoidales
Las ecuaciones AGMA para esfuerzos a flexión y esfuerzos de contacto en
engranajes rectos también aplican para engranajes helicoidales. Los parámetros
Ka, Kv, Ks, Km, KB, KL, KT, KR, CH, Cf, Cp, Sat, siguen siendo los mismos que para
engranaje recto; no obstante, los factores geométricos J e I, introducen
diferencias:
Factor geométrico de resistencia a flexión J: este factor presenta una
dependencia adicional con el ángulo helicoidal del engranaje, de modo que se
determina para una combinación de θ y β.
Factor geométrico de resistencia a la falta superficial I: para la determinación
de este factor, se requiere la inclusión de un término adicional en la ecuación, que
queda como (ver detalles en la guía teórica):
Para engranajes de dientes rectos I = cos θ / [ (1/ ρp ± 1/ ρg) dp]

24. Para engranajes de dientes helicoidales I = cos θ / [ (1/ ρp ± 1/ ρg) dp b / lmin]
Engranajes cónicos
Geometría y nomenclatura
Dimensionamiento de una pareja
Análisis de fuerzas (engranajes cónicos)

25. REFERENCIAS
American Gear Manufacturers Association. Standard 1012-F90, Gear
Nomenclatura, Definitions of Terms with Symbols. Alexandria, Va.: American
Gear Manufacturers Association, 1990.
American Gear Manufacturers Association. Standard 2001-B88, Fundamental
Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear
Teeth. Alexandria, Va.: American Gear Manufacturers Association, 1988.
Clavijo, Andrés y Torrealba, Rafael, Elementos de Máquinas. Parte 2. Guía
teórica (2004).
Drago, Raymond J. Fundamentals of Gear Design, Butterworths, Boston (1988).
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