En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1​ hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

1. SEGUNDA UNIDAD
CAPÍTULO IV: EXTREMOS DE
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
TEMA:
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA
EXISTENCIA DE EXTREMOS LOCALES

2. Objetivo
RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PARA FUNCIONES REALES DE VARIAS
VARIABLES.

3. INTRODUCCIÓN
La determinación de extremos de funciones de dos variables esmuy
importante en diferentes áreas. Por ejemplo:
▪ Podemos calcular la utilidad máximade una empresa,
▪ Determinar las dimensiones de un tanque para tener el
máximo volumen,
▪ Hallar los extremos de una funcióntemperatura,
▪ etc,….

4. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN
Sea f : U ⊂ Rn → R, sea X0 ∈U. Decimos
que:
• f alcanza un máximo local (o relativo)
en X0 si existe r> 0 tal que:
f(X ) ≤ f(X0), ∀X∈B(Xo, r)
• falcanza un mínimolocal (o relativo) en
X0 si existe r > 0 tal que :
f(X ) ≥ f(X0), ∀X∈B(X0, r)
Aquí:
B(X0, r) = {X ∈Rn :ǁX − X0ǁ < r} esuna bola
abierta decentro X0 y radio r>0.

5. EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
Sea f:U ⊂ Rn → R una funcióny sea 𝑥0 ∈ U.
Decimosque:
• f alcanza un máxímoabsoluto en 𝑥0 si:
f(X) ≤ f(𝑥0), ∀X ∈U.
• f alcanza un mínimoabsoluto en 𝑥0 si:
f(X ) ≥ f(𝑥0), ∀X∈U.

6. PUNTO CRÍTICO DE UNA FUNCIÓN
Sea f : U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈ U. Decimos que 𝑥0 es un punto crítico ( o punto
estacionario) de f si todas las primeras derivadas parciales de f en 𝑥0 se
anulan, esdecir:
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑥0 = 0,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑥0 = 0,
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
𝑥0 = 0, … ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
𝑥0 = 0

7. PUNTO SILLA DE UNA FUNCIÓN
Sea f:U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈ U.
Si cualquierbola B (de Rn) con
centro 𝑥0 contiene puntos Y ∈B
tales que f(Y ) > f(𝑥0) y puntos
Z ∈B tales que f(Z ) < f(𝑥0),
entonces se dice que 𝑥0 esun
punto de ensilladura (o punto
silla) de la función f.

8. MATRIZ HESSIANA
Sea f:U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈U. Suponga que las derivadas parciales de segundoorden
existen en 𝑥0 . Se llama matriz Hessiana (osimplemente Hessiana) de la función f en
𝑥0 (denotada por Hf(𝑥0)) a la matriz cuadrada de orden n dada por:
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA
DE EXTREMOS

9. DETERMINANTES DE SUBMATRICES ANGULARES
Sea Hf(𝑥0) la matriz Hessiana de f en 𝑥0 . Definimos los determinantes de las submatrices
angularesde Hf(𝑥0 ), denotada por ∆i , para todo i= 1,2,...,n, como:
∆11=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1
2 ; ∆22=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑥1
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
2
; ∆33=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥1𝜕𝑥3
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑥1
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑥3
𝜕2𝑓
𝜕𝑥3𝜕𝑥1
𝜕2𝑓
𝜕𝑥3𝜕𝑥2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥3
2
;
…∆𝑛𝑛= 𝐻𝑓 𝑥0

10. Sean f:U ⊂ Rn → R , 𝑥0 ∈U un punto crítico de f. Sean ∆1, ∆2,..., ∆n los
determinantes de las submatrices angulares de la matriz Hessiana Hf(𝑥0),
entonces:
1. Si ∆1 > 0, ∆2 > 0, ..., ∆n > 0, entonces f tiene un mínimo local en 𝑥0.
2. Si ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ..., entonces f tiene un máximolocal en 𝑥0.
TEOREMA

11. OBSERVACIONES:
1. Si ∆𝑛𝑛= 0 , nada se puede decir (Punto degenerado)
2. En los demás casos se dice que no hay ni máximo ni mínimo
(Punto de ensilladura).

13. GRACIAS