En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
2. Objetivo
Calcular la integral doble sobre regiones generales, por
medio de integrales iteradas y el teorema de Fubini.
Resolver adecuadamente diferentes integrales dobles en
los cuales deba realizar un cambio en el orden de
integración para obtener una integral más sencilla de
realizar.
4. REGIONES DE INTEGRACIÓN
REGIONES DE TIPO (II)
𝐷2 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜓1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜓2(𝑦)
REGIONES DE TIPO (I)
𝐷1 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2(𝑥)
5. TEOREMA DE FUBINI PARA REGIONES DE
INTEGRACIÓN
Supongamos que 𝑓 es continua en 𝐷.
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
𝑐
𝑑
න
𝜓1(𝑦)
𝜓2(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
𝑎
𝑏
න
𝜙1(𝑥)
𝜙2(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
11. CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Como se vio en temas anteriores para regiones rectangulares al cambiar el orden de
integración, los límites de las integrales por ser constantes se mantienen iguales.
𝑅
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦=0
1
0
2
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0
2
0
1
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
Sin embargo cuando tenemos regiones generales, éstas no siempre se pueden
resolver fácilmente con cualquier orden de integración.
න
0
2
න
𝑥
2
𝑒−𝑦2
𝑑𝑦𝑑𝑥
Es decir que cuando la región es de forma general en algunos casos existe un orden de
integración mas conveniente que otros y es importante identificarlo para facilitar el
cálculo de la integral.
12. CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Al hacer el cambio de orden de integración se debe tener en cuenta que los límites
variables sólo pueden estar presentes en la integral interna y éstos deben estar en
función del diferencial externo; los limites de la integral externa serán valores
constantes.
0
2
𝑦2
6−𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites externos son constantes, pero los límites
internos NO son función del diferencial externo
1
𝑦
1+𝑥
4−𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites internos son función del diferencial externo,
pero los límites externos NO son constantes.
3
4
3−𝑥
𝑥2−2
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites internos son función del diferencial externo
y los límites externos son constantes.
13. Ejemplos: En las siguientes integrales cambiar el orden de integración
y evaluar la integral resultante
•
1.
0
2
𝑦
2
1
𝑒𝑥2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Solución:
De la integral doble tenemos:
0 ≤ 𝑦 ≤ 2 ;
𝑦
2
≤ 𝑥 ≤ 1
Con lo que hacemos el gráfico.
Luego en el gráfico observamos:
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥
14. Planteando la integral doble como una región tipo I
න
0
1
න
0
2𝑥
𝑒𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
0
1
𝑒𝑥2
න
0
2𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
1
𝑒𝑥2
𝑦 𝑦=0
𝑦=2𝑥
𝑑𝑥
=
0
1
𝑒𝑥2
2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
𝑒𝑥2
0
1
න
0
1
න
0
2𝑥
𝑒𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
1
2
𝑒 − 1