La función real de dos variables asigna a cada par ordenado (x, y) un único número real. La derivada parcial mide la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a una variable independiente manteniendo las demás constantes. Para funciones de dos variables se pueden medir dos tasas de cambio, una cuando varía y y otra cuando varía x. Las derivadas parciales se utilizan en funciones de varias variables tomando una variable para derivar y manteniendo las demás constantes.

1. Definición.-Sea D un conjuntode pares
ordenados,(x, y), de númerosreales, D
R2. Una funciónreal de dos variables reales es
una regla que asignaa cadapar
ordenado(x, y) en D un único número real,
denotado porf (x, y). ElconjuntoD es llamado el
dominiode la funcióny el conjuntode todoslos
valores de
la funciónes el rango de la función.
Derivadas parciales

2. Formasde reconocera una derivadaparcial
La derivada de una función de una variable
mide la rapidez de cambio de la
variable dependiente respecto a la variable
independiente. Para funciones de dos
variables x e y podemos medir dos razones
de cambio: una según cambia y, dejando
a x fija y otra según cambia x, dejando a y
fija.

3. Formasde reconocera una derivadaparcial
Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y
fija, digamos y=b, en donde b es una
constante. Entonces, en verdad estamos en
presencia de una función de una sola
variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una
derivada en a entonces la llamamos la
derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De
forma análoga podemos hacerlo
para y variable y x fija.

4. Diferenciasentre derivadasordinariasy
derivadasparciales
• las derivadas ordinarias se realizan a
funciones con una variable
independiente
•las derivadas parciales se realizan en
funciones de varias variables
tomando una variable para derivar y
tomando al resto de variables como
constantes para poder derivar.

5. Derivadasparcialesdeordensuperior(definición)
• Una derivada parcial de una función de diversas variables, es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las
otras como constantes. ... Utilidad: Para graficar una función
tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina: 4.
Teorema de Schwartz (igualdad de las derivadas mixtas).
• Conviene tener presente en todo lo que sigue que para que
una función f sea derivable (aunque sea parcialmente) en un
punto a es preciso que este definida en un entorno de a.
Recordemos también que la derivada parcial
∂f /∂xj (a), coincide con la derivada en el punto aj de la
aplicación:
xj → f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an).

6. Derivadasparcialesdeordensuperior(definición)
Sea f : A ⊂ R n → F, a ∈ A. Llamaremos
derivada parcial segunda de
f respecto a xi y xj en el punto a, a la
derivada respecto xi de la función.

7. Ejerciciodederivadasparcialesdeordensuperior