2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana
3. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
En esta secci´on estudiaremos la clasificaci´on y la descripci´on de los puntos
cr´ıticos de una funci´on de varias variables f, puntos en los cuales el plano
tangente a la superficie definida por una funci´on f es paralelo al plano xy,
nos centraremos en la clasificaci´on de los puntos cr´ıticos de un funci´on en R2
usando el m´etodo de la “segunda derivada.”
FIGURA: (0, 0) es un maximo de f(x, y) = 4 − x2
+ y2
4. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CR´ITICOS
CLASIFICACI ´ON DE PUNTOS CR´ITICOS
DEFINICI ´ON
Una funci´on de dos variables tiene un m´aximo local en (a, b), si
f(x, y) ≤ f(a, b) donde (x, y) est´a en un abierto de (a, b). El n´umero f(a, b)
es llamado un valor m´aximo local. Si f(x, y) ≥ f(a, b) donde (x, y) est´a en
un abierto de (a, b), entonces f tiene un m´ınimo local en (a, b) y el n´umero
f(a, b) es llamado un valor m´ınimo local.
FIGURA: M´ınimo y m´aximo en dos funciones parab´olicas
5. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CR´ITICOS
TEOREMA
Si f(x, y) tiene un m´aximo o un m´ınimo local en (a, b) y las derivadas de
primer orden de f existen, entonces
∂f
∂x
(a, b) = 0 y
∂f
∂y
(a, b) = 0
DEFINICI ´ON
Un punto (a, b) es llamado un punto critico (o punto estacionario) de f si
fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0 o si una de sus derivadas parciales no existe
EJEMPLO
1 Determinar si la funcion f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14 tiene
m´aximos o m´ınimos.
2 Hallar los valores extremos de f(x, y) = y2 − x2.
6. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CR´ITICOS
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Supongamos que las segundas derivadas de f son continuas sobre una bola
abierta de centro (a, b), y supongamos que ∂f
∂x (a, b) = 0 y ∂f
∂y (a, b) = 0. Sea
H = H(a, b) =
∂2f
∂x2 (a, b) ∂2f
∂x∂y (a, b)
∂2f
∂y∂x(a, b) ∂2f
∂y2 (a, b)
1 Si H > 0 y ∂2f
∂x2 (a, b) > 0 entonces f(a, b) tiene un m´ınimo local.
2 Si H > 0 y ∂2f
∂x2 (a, b) < 0 entonces f(a, b) tiene un m´aximo local.
3 Si H < 0 entonces f(a, b) no tiene ni m´aximo ni m´ınimo local.
(Punto de silla).
4 Si H = 0 el criterio no de informaci´on sobre los puntos cr´ıticos.
7. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CR´ITICOS
VOLUMEN M ´AXIMO
Calcule el volumen de la caja rectangular m´as grande en el primer octante con
tres caras en los planos coordenados y un v´ertice en el plano x + 2y + 3x = 6.
representemos los lados de la caja por las variables x, y, z, de esta manera la
funci´on (volumen) que debemos maximizar es V (x, y, z) = xyz con la
condici´on x + 2y + 3z = 6. Si despejamos la variable z de la condici´on y la
reemplazamos en V , entonces obtenemos la funci´on
V (x, y) =
1
3
xy(6 − 2y − x)
De aqu´ı tenemos que
∂V
∂x
=
1
3
(6y − 2y2
− 2xy)
∂V
∂y
=
1
3
(6x − x2
− 4xy)
8. PUNTOS CR´ITICOS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES PUNTOS CR´ITICOS
VOLUMEN M ´AXIMO
Al igualar a cero las anteriores derivadas, (para encontrar los puntos cr´ıticos)
obtenemos los siguientes 4 sistemas de ecuaciones.
y = 0
x = 0
y = 0
6 − 4y − x = 0
x = 0
6 − 2y − 2x = 0
6 − 4y − x = 0
6 − 2y − 2x = 0
solo nos sirve la soluci´on dada por el ´ultimo sistema (¿Por qu´e?), la soluci´on
de este sistema es (2, 1), de donde obtenemos que el volumen m´aximo es 4
3.
