Este documento introduce la composición de funciones vectoriales de variable vectorial. Explica que si g es una función vectorial de Rm a Rn y f es una función de Rn a R, entonces la función compuesta f∘g mapea de Rm a R. También presenta la regla de la cadena para calcular derivadas parciales de funciones compuestas. Proporciona ejemplos ilustrativos de aplicar estas definiciones y teoremas para determinar funciones compuestas y derivadas parciales.

1. PRIMERA UNIDAD
CAPÍTULO II: FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
TEMA:
FUNCIONES COMPUESTAS Y REGLA DE LA
CADENA

2. Objetivos
Identificar la composición de funciones vectoriales
de variable vectorial y aprender a derivar la
composición de funciones.

3. Definición.-
Sea 𝑔: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚
→ ℝ𝑛
que asocia a cada vector 𝑋 ∈ ℝ𝑚
un vector
𝑔 𝑋 = 𝑔1 𝑋 , 𝑔2 𝑋 , … , 𝑔𝑛 𝑋 , es llamada función vectorial de variable vectorial,
donde cada 𝑔𝑖 𝑋 : ℝ𝑚
→ ℝ , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 (funciones coordenadas de 𝑔).
Ejemplo:
La función 𝑔: 𝑅2
→ 𝑅3
, dada por 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 𝑦2
, 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 , 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑦
Tiene por funciones coordenadas a 𝑔1, 𝑔2, 𝑔3: ℝ2
→ ℝ , talque
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 𝑦2
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦
𝑔3 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑦
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL

4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Definición.-
Sean 𝑔: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚
→ ℝ𝑛
, 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛
→ ℝ talque 𝑔 𝑉 ⊆ 𝑈. Entonces la función
composición 𝑓 ∘ 𝑔: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚
→ ℝ , está definida como:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑋 = 𝑓 𝑔 𝑋

5. Ejemplo:
Determinar la función compuesta 𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑢, 𝑣 si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 ,
𝑔 𝑢, 𝑣 = 𝑢2
𝑣, 𝑢𝑣 .
Solución:
𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑢, 𝑣
𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑓 𝑔 𝑢, 𝑣
𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑓 𝑢2
𝑣, 𝑢𝑣
𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢2
𝑣 + 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑣

6. TEOREMA: REGLA DE LA CADENA

7. REGLA DE LA CADENA
Equivalentemente:
Supongamos que 𝑧 = 𝑓 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛 y que cada 𝑦𝑖 estadado por:
𝑦1 = 𝑔1 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚 ; 𝑦2= 𝑔2 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚 ; … ; 𝑦𝑛= 𝑔𝑛 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚
Si las funciones 𝑓 ,𝑔1, 𝑔2, …, 𝑔𝑛 son diferenciables, entonces:
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗
= ෍
𝑖=1
𝑛
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑖
∙
𝜕𝑦𝑖
𝜕𝑥𝑗
, ∀𝑗 = 1, … , 𝑚

9. Ejemplo:
Si 𝑤 = 𝑓 𝑢, 𝑣 = 𝑢𝑣 + 𝑣2
, 𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 , 𝑣 = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
Hallar:
𝜕𝑤
𝜕𝑥
y
𝜕𝑤
𝜕𝑦
Solución:
𝜕𝑤
𝜕𝑥
=
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑢 + 2𝑣 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑦2
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

10. Ejemplo:
Si 𝑤 = 𝑓 𝑢, 𝑣 = 𝑢𝑣 + 𝑣2, 𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 , 𝑣 = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
Hallar:
𝜕𝑤
𝜕𝑥
y
𝜕𝑤
𝜕𝑦
Solución:
𝜕𝑤
𝜕𝑦
=
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑣 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + (𝑢 + 2𝑣)(𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑦𝑠𝑒𝑛2
𝑥

11. Ejemplo:
Dada la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥2
+ 𝑦3
, 2𝑥2
− 𝑦2
halle sus derivadas parciales.
Solución:
Sea 𝑢 = 𝑥2
+ 𝑦3
; 𝑣 = 2𝑥2
− 𝑦2
𝜕𝐹
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙ 2𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙ 4𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑓𝑢 + 4𝑥𝑓𝑣

12. Ejemplo:
Dada la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥2
+ 𝑦3
, 2𝑥2
− 𝑦2
halle sus derivadas parciales.
Solución:
Sea 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦3 ; 𝑣 = 2𝑥2 − 𝑦2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙ 3𝑦2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙ −2𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 3𝑦2
𝑓𝑢 − 2𝑦𝑓𝑣

13. GRACIAS