1. Temario
7. Deflexiones
7.1 Introducción
7.2 Deflexión instantánea
7.3 Ejemplo de aplicación 1:
7.3 Ejemplo de aplicación 2:
7.3 Ejemplo de aplicación 3:
7.4 Grietas en elementos sometidos a flexión
2. Logro de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante calcula deflexiones en vigas, reconoce
las fisuraciones en elementos de concreto armado y traza el diagrama de
interacción para la sección de una columna reconociendo la influencia de la
esbeltez en el comportamiento de una columna.
4. 7. Deflexiones
7.1 Introducción
Los miembros de concreto reforzado sometidos a flexión deben ser diseñados por seguridad y serviciabilidad. Los
miembros serán seguros si ellos son diseñados de acuerdo a las ecuaciones y limitaciones del código del ACI.
Consecuentemente, el tamaño de cada miembro y el refuerzo requerido son determinados con el fin de mantener la
capacidad de momento interno mayor que o igual que la del momento externo. Además, rigidez adecuada del
miembro es necesaria para prevenir grietas y deflexiones excesivas.
La deflexión permisible se rige por muchos factores, como el tipo de edificio, la apariencia de la estructura, la
presencia de techos y particiones enlucidos, el daño esperado debido a la deflexión excesiva y el tipo y la magnitud
de la carga viva.
El uso de acero y concreto de alta resistencia da como resultado secciones más pequeñas y una reducción en la
rigidez del miembro sometido a flexión, en consecuencia, aumenta su deflexión.
5. 7. Deflexiones
7.1 Introducción
Las deflexiones calculadas de acuerdo con 24.2.3 hasta 24.2.5 no deben exceder los límites establecidos en la Tabla
24.2.2
24.2.3 (Cálculo de deflexiones inmediatas). 24.2.4 (Cálculo de deflexiones dependientes del tiempo). 24.2.5.
Cálculo de las deflexiones de construcción en concreto compuesto.
6. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
Curvas Deflexión vs Carga (Teóricas y
Experimentales).
Deflexión de una viga de concreto reforzado.
Variación del
momento de inercia
de la viga.
10. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
La deflexión de los miembros estructurales se debe principalmente a la carga muerta más una fracción de o toda la
carga viva. La deflexión que ocurre inmediatamente después de la aplicación de la carga se llama deflexión
inmediata o instantánea. Bajo cargas sostenidas, la deflexión aumenta apreciablemente con el tiempo. Hay varios
métodos disponibles para calcular las deflexiones en estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas. Los
cálculos de deflexión instantánea se basan en el comportamiento elástico de los miembros sometidos a flexión.
Las deflexiones de vigas con diferentes cargas y diferentes condiciones de extremo son dadas en los libros de
análisis estructural.
El problema es calcular el módulo de elasticidad 𝐸 y el momento de inercia 𝐼 del miembro o la rigidez a la flexión
del miembro 𝐸𝐼.
7.2.1.- Módulo de elasticidad
El código del ACI, sección 19.2.2, especifica que el módulo de elasticidad del concreto 𝐸𝑐 podría ser tomado como:
11. 𝑐
7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑤𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1440 𝑦 2560 𝑘𝑔/𝑚3
𝐸𝑐 = 𝑤1.50.043
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝐸𝑐 = 4700
1.2.2.- Relación modular
La relación modular se define como la relación del módulo de elasticidad del acero al módulo de elasticidad del
concreto 𝑛 = 𝐸𝑠/𝐸𝑐, y es usado en el concepto de área transformada.
𝑛 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐
𝐸𝑠: módulo de elasticidad del acero de refuerzo
𝐸𝑐: módulo de elasticidad del concreto
𝑎
𝑏
𝑒𝑛 𝑀𝑝𝑎 19.2.2.1. 𝑎
𝑒𝑛 𝑀𝑝𝑎 19.2.2.1. 𝑏
12. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.3.- Momento de agrietamiento
Una viga de concreto reforzado simplemente apoyada con carga pequeña, desarrolla un momento flexionante
pequeño, y los esfuerzos en las fibras de tracción extremas serán menos que el módulo de ruptura del concreto 𝑓𝑟. Si
la carga es incrementada hasta que los esfuerzos de tracción almacenen un esfuerzo promedio del módulo de
ruptura, 𝑓𝑟, grietas se desarrollarán. Si el esfuerzo de tracción es más grande que 𝑓𝑟, la sección se agrietará, y una
caso de sección agrietada se desarrollará. Esto significa que hay tres casos a ser considerados.
1.- Cuando el esfuerzo de tracción, 𝑓𝑡, es menos que 𝑓𝑟, la sección entera sin agrietar es considerada para calcular
las propiedades de la sección. En este caso, el momento de inercia bruto, 𝐼𝑔, es usado: 𝐼𝑔 =
es la sección de concreto entera.
𝑏ℎ3, donde 𝑏ℎ
2.- Cuando el esfuerzo de tracción, 𝑓𝑡, es igual al módulo de ruptura, 𝑓𝑟, una grieta podría iniciar a desarrollarse, y
el momento que causa este esfuerzo es llamado momento de agrietamiento. Usando la fórmula de flexión,
1/12
13. 𝑐
7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.3.- Momento de agrietamiento
𝑐
𝑓 = 𝑀 o 𝑀 = 𝑓 𝐼𝑔
𝑟 𝑐𝑟
𝐼𝑔
𝑐𝑟 𝑟
𝑐
donde 𝐼𝑔 es el momento de inercia bruto, y 𝑐 es la distancia desde el eje neutral a las fibras de tracción extremas.
Por ejemplo, para una sección rectangular,
𝐼𝑔
=
1
𝑏ℎ3
o 𝑐 =
ℎ
12 2
3.- Cunado el momento externo aplicado excede el momento de agrietamiento, 𝑀𝑐𝑟, un caso de sección
agrietada es desarrollado, y el concreto en la zona de tracción es despreciado. Una sección agrietada
transformada es usada para calcular el momento de inercia por agrietamiento, 𝐼𝑐𝑟, usando el área de
concreto en compresión y el área de acero transformada 𝑛𝐴𝑠.
El módulo de ruptura 𝑓𝑟 , podría ser tomado como 𝑓𝑟 = 2𝜆 𝑓′, donde 𝜆 es un factor de modificación por
tipo de concreto.
14. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.4.- Momento de inercia
El momento de inercia, en adición al módulo de elasticidad, determina la rigidez del miembro a la flexión. Bajo
cargas pequeñas, el momento máximo producido será pequeño, y los esfuerzos de tracción en las fibras de tracción
extremas serán menos que el módulo de ruptura del concreto; en este caso, la sección agrietada transformada bruta
será efectiva al proporcionar la rigidez. Con cargas de trabajo o superiores, se forman grietas de tracción por
flexión. En la sección agrietada, la posición del eje neutro es más baja (más cerca del acero de tracción). En ambas
ubicaciones sólo las secciones agrietadas trasformadas son efectivas al determinar la rigidez del miembro; por lo
tanto, el momento de inercia efectivo varía considerablemente a lo largo del tramo. En momento de flexión
máximo, el concreto se agrieta, y su porción en la zona de tracción es despreciada en los cálculos del momento de
inercia. Cerca de los puntos de inflexión los esfuerzos son bajos, y la sección entera podría estar sin agrietamiento.
Para esta situación y en el caso de vigas con profundidad variable, las soluciones exactas son complicadas.
15. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.4.- Momento de inercia
El momento de inercia efectivo dado por el código del ACI es:
3 3
𝐼𝑒 = 𝐼𝑔 + 1 − 𝐼𝑐𝑟 ≤ 𝐼𝑔
donde 𝐼𝑒 es el momento de inercia efectivo, el momento de agrietamiento es dado como
Y el módulo de ruptura como
𝑀𝑐𝑟 =
𝑓𝑟 = 2𝜆
Valores de 𝜆 para concreto liviano con base en la densidad de equilibrio
𝑤𝑐 𝑘𝑔/𝑚3
≤ 1600
1600 < 𝑤𝑐 ≤ 2160
> 2160
𝜆
0.75
0.00047𝑤𝑐 ≤ 1.0
1.0
𝑓 𝐼
16. 7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.4.- Momento de inercia
𝑀𝐴 = Momento máximo sin factorizar en miembros en la etapa para el cual la deflexión está siendo calculada.
𝐼𝑔 = Momento de inercia de la sección transversal bruta del concreto alrededor del eje centroidal, despreciando el
acero de refuerzo.
𝐼𝑐𝑟 = Momento de inercia de la sección transversal transformada agrietada.
𝑌𝑡 = Distancia desde el eje centroidal de la sección transversal, despreciando el acero de refuerzo, a la cara de
tracción.
17. 𝑥 𝑜 𝑘𝑑
7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.5.- Propiedades de la sección
Para determinar el momento de inercia de las secciones brutas y agrietadas, es necesario calcular la distancia a partir
de las fibras en compresión a el eje neutral .
1.- Momento de inercia bruto 𝐼𝑔 (desprecia todo el acero en la sección):
a) Para una sección rectangular de ancho 𝑏 y una altura total ℎ, 𝐼𝑔
=
1
𝑏ℎ3.
12
b) Para una sección 𝑇 con un ancho efectivo del ala (desde la parte superior del ala) 𝑏𝑒, ancho del alma 𝑏𝜔 y
espesor del ala ℎ𝑓, calcular 𝑦 (distancia al eje centroidal).
Luego:
𝐼𝑔 =
𝑦 =
+ 𝑏
𝑒 ℎ𝑓
2
+ 𝑏𝜔 + 𝑏𝜔
ℎ + ℎ𝑓 /2
ℎ − ℎ𝑓
𝑏𝑒ℎ3
12
𝑦 −
2
𝑦 − ℎ𝑓
3
ℎ − 𝑦
3
18. 𝑑 − 𝑥
𝑑 − 𝑥
𝑠
7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.5.- Propiedades de la sección
2.- Momento de inercia agrietado 𝐼𝑐𝑟: considere 𝑥 como la distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión
.
a) Para una sección rectangular con acero en tracción 𝐴𝑠 únicamente:
i. Calcular 𝑥 a partir de la ecuación
i. Calcular
𝑏𝑥2
2
− 𝑛𝐴𝑠 = 0
𝑏𝑥3
𝐼𝑐𝑟 =
3
+ 𝑛𝐴𝑠
b) Para una sección rectangular con acero en tracción 𝐴𝑠 y acero en compresión 𝐴′ :
i. Calcular 𝑥 a partir de la ecuación
𝑏𝑥2
2
+ ′
𝑠 − 𝑛
𝐴 𝑠 = 0
𝑥 = 𝑘𝑑
𝑑 − 𝑥
𝑛 − 1 𝑥 − 𝑑′
𝐴
2
19. 𝑥 − ℎ𝑓
𝑑 − 𝑥
7. Deflexiones
7.2 Deflexión instantánea
7.2.5.- Propiedades de la sección
ii. Calcular 𝐼𝑐𝑟:
𝐼𝑐𝑟 =
𝑏𝑥3
3
+ ′
𝑠
2 + 𝑛
𝐴 𝑠
2 = 0
c) Para una sección 𝑇 con acero en tracción 𝐴𝑠 únicamente:
i. Calcular 𝑥 a partir de la ecuación
ii. Calcular 𝐼𝑐𝑟:
𝐼𝑐𝑟 =
𝑏𝑒ℎ𝑓
+ 𝑏
𝑒 ℎ𝑓
+ 𝑏𝜔
2
2
− 𝑛𝐴𝑠
+ 𝑏𝜔
= 0
+ 𝑛𝐴𝑠
2
𝑛 − 1 𝑥 − 𝑑′ 𝑑 − 𝑥
𝑥 −
2
𝑑 − 𝑥
12
𝑥 −
2
𝑥 − ℎ𝑓
3
𝐴
20. 7. Deflexiones
7.3 Ejemplo de aplicación 1: Calcule la deflexión instantánea en el tramo medio de la viga simplemente apoyada.
Considere 𝑓′ = 280 𝑘ℎ𝑔/𝑐𝑚2, 𝑃 = 3853.82 𝑘𝑔𝑓 y 𝑊 = 23.49 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚.
𝑐 𝑢 𝑢
𝑃𝑢
Solución:
Deflexión en el tramo medio debido a la carga distribuida y puntual
Módulo de elasticidad del concreto
𝐸𝑐 = 15000
5𝜔𝑢𝐿4
Δ =
384𝐸𝑐𝐼𝑒
= 15000
𝑃𝑢𝐿3
+
48𝐸𝑐𝐼𝑒
= 250998.01 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2
𝑐𝑎𝑝𝑎 2 (4 ∅ 7/8")
𝑐𝑎𝑝𝑎 1 (4 ∅ 7/8")
280
30. 𝑐
7. Deflexiones
7.3 Ejemplo de aplicación 3: Para la viga de 40 𝑐𝑚 𝑥 90 𝑐𝑚, calcule la deflexión total (carga viva + carga muerta).
Se muestran los diagramas de momento flexionante por carga muerta y viva en la viga. Considere 𝑓′ = 280 𝑘𝑔𝑓/
𝑐𝑚2, 𝑓𝑦 = 4,200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2, 𝐸𝑠 = 2,100,000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 y 𝜀𝑐𝑢 = 0.003.
54. 7. Deflexiones
7.4 Grietas en elementos sometidos a flexión
Grietas principales en una viga de concreto reforzado.
55. 7. Deflexiones
7.4 Grietas en elementos sometidos a flexión
Espaciamiento de grietas en una viga de concreto reforzado.
56. Referencias
▪ James K. Wigth and James G. MacGregor. REINFORCED CONCRETE MECHANICS &
DESIGN. Sexta edición. PEARSON.
▪ Jack. C McCormac y Russell H. Brown. DISEÑO DE CONCRETO REFORZADO. Octava
edición. ALFAOMEGA.
▪ David. A. Fanella. REINFORCED CONCRETE STRUCTURES ANALYSIS AND DESIGN.
Primera Edición. McGraw Hill.
