Diagrama momento-curvatura de secciones de concreto armado

ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
DIAGRAMA MOMENTO –
CURVATURA NO CONFINADO
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA DE UNA SECCIÓN
DE CONCRETO ARMADO NO CONFINADO
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
1. INTRODUCCIÓN
Figura 1. Elemento a flexión con comportamiento Frágil
Figura 2. Elemento a flexión con comportamiento Dúctil
Figura 3. Comportamiento de la curva carga – deflexión de un elemento a flexión
En la figura 3 aparecen algunos tipos del comportamiento de la curva carga-
deflexión de elementos de concreto armado hasta y más allá de la carga última y se
comparan el comportamiento frágil y dúctil. La consideración de las características de la
curva carga-deformación de los elementos es necesaria por las siguientes razones:

1. No debe ocurrir la falla frágil de los elementos. En el caso extremo de que una
estructura se cargue hasta la falla, debe poder desarrollar grandes deflexiones bajo
cargas cercanas a la máxima, lo que puede salvar vidas al advertir la falla e impedir
el desplome total.
2. Las distribuciones posibles de momento flector, fuerza cortante y carga axial, que
podrían utilizarse en el diseño de estructuras estáticamente indeterminadas,
dependen de la ductilidad de los elementos en las secciones críticas. Se puede
lograr una distribución de momentos flectores que difiera de la obtenida de un
análisis estructural elástico lineal, si puede ocurrir una redistribución de momentos.
Es decir que, conforme se aproximan a la carga última, algunas secciones pueden
alcanzar sus momentos resistentes últimos antes que otras; pero si allí puede
ocurrir la rotación plástica, mientras se mantiene el momento último, se puede
transmitir carga adicional conforme los momentos en otras partes se elevan hasta
su valor último.
La carga última de la estructura se alanza cuando, después de la formación de
suficientes articulaciones plásticas, se desarrolla un mecanismo de falla. La
mayoría de los códigos dan margen a cierta redistribución de momentos en el
diseño, según la ductilidad de las secciones. Utilizar una redistribución de
momentos puede dar ventajas debido a una reducción en la congestión del refuerzo
en los apoyos de los elementos continuos, ya que permite reducir los picos de los
momentos flectores en las envolventes de los momentos flectores.
3. En las regiones expuestas a sismos, una consideración muy importante en el
diseño es la ductilidad de la estructura cuando se la sujeta a cargas de tipo sísmico.
Ello se debe a que la filosofía del diseño sísmico se apoya en la absorción y
disipación de energía, mediante la deformación inelástica para la supervivencia en
los sismos intensos. En consecuencia, las estructuras que no se pueden comportar
en forma dúctil y se deben diseñar para fuerzas sísmicas muchos mayores si se
desea evitar el desplome.
Las características de carga y deformación de los elementos a flexión en la fluencia
y en la rotura dependen principalmente de la relación momento-curvatura de las
secciones, ya que la mayoría de las deformaciones de los elementos de proporciones
normales se deben a las deformaciones asociadas con la flexión.

2. NOTACIÓN

3. CURVATURA DE UN ELEMENTO
Figura 4. Deformación de un elemento a flexión
La figura muestra una parte inicialmente recta de un elemento de concreto armado
con momentos de extremos y fuerzas axiales iguales. El radio de curvatura R se mide
hasta el eje neutro. El radio de curvatura R, la profundidad del eje neutro c, la
deformación del concreto en la fibra extrema a compresión εc y la deformación del
acero a tracción εs, varían a lo largo del elemento debido a que entre las grietas el
concreto toma cierta tracción. Considerando solamente un pequeño tramo de longitud
dx del elemento y utilizando la notación de la figura, las siguientes relaciones
proporcionan la curvatura de una sección (rotación por longitud unitaria del elemento) y
está dada por el símbolo φ.
c

La curvatura varía físicamente a lo largo del elemento debido a la fluctuación de la
profundidad del eje neutro y las deformaciones entre las grietas. Si la longitud del
elemento es pequeña y abarca una grieta, la curvatura está dada por la ecuación 1, con
εc y εs como las deformaciones en la sección agrietada. Si se miden las deformaciones
en la sección crítica de una viga de concreto armado en una corta longitud calibrada
conforme se aumenta el momento flector hasta la falla, de la ecuación 1 se puede
calcular la curvatura, lo que permite obtener la relación momento – curvatura para la
sección.
Figura 5. Relaciones momento – curvatura para vigas simplemente reforzadas.
(a) Sección que falla a tracción (ρ < ρb). (b) Sección que falla a compresión (ρ > ρb)
En la figura se muestran dos de esas curvas obtenidas de mediciones en vigas
simplemente reforzadas que fallan en tracción y compresión. Ambas curvas son lineales
en las etapas iniciales, y la ecuación clásica de la elástica proporciona la relación entre
el momento M y la curvatura φ en que EI es la rigidez a flexión de la sección.

Al aumentar el momento, el agrietamiento del concreto reduce la rigidez a flexión de
las secciones, la reducción de rigidez es mayor para la sección reforzada ligeramente
que para la sección reforzada más fuertemente. El comportamiento de la sección des
después del agrietamiento depende principalmente de la cuantía de acero.
Las secciones reforzadas ligeramente producen una curva prácticamente lineal de
M-φ hasta el punto de fluencia del acero. Cuando éste fluye, ocurre un aumento grande
en la curvatura a momento flector casi constante, y el momento se eleva lentamente
hasta un máximo debido a un aumento en el brazo de palanca interno, y luego decrece.
Por otra parte, en las secciones fuertemente reforzadas, la curva M-φ deja de ser lineal
cuando el concreto entra a la parte inelástica de la relación esfuerzo – deformación, y la
falla puede ser bastante frágil, a menos que se confine el concreto mediante estribos
cerrados con separación pequeña entre ellos. Si no se confina el concreto, este se
aplasta a una curvatura relativamente pequeña antes de que fluya el acero,
ocasionando una disminución inmediata en la capacidad de tomar momentos. Para
asegurar el comportamiento dúctil en la práctica, siempre se utilizan en las vigas
cuantías de acero inferiores al valor de la cuantía balanceada.
4. DETERMINACIÓN TEÓRICA DE LA RELACIÓN MOMENTO – CURVATURA
Es posible deducir curvas teóricas momento – curvatura para secciones de
concreto reforzado con flexión y carga axial, en base a suposiciones semejantes a las
utilizadas para la determinación de la resistencia a flexión. Se supone que las secciones
planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión y que se conocen
las curvas esfuerzo-deformación para el concreto y el acero. Las curvaturas asociadas
con un rango de momentos flectores y cargas axiales pueden determinarse utilizando
estas suposiciones y a partir de los requerimientos de compatibilidad de deformación y
equilibrio de las fuerzas.
Figura 6. Esfuerzo - deformación del concreto no confinado a compresión

Figura 7. Esfuerzo - deformación del acero a tracción y compresión
En las figuras 3.4 y 3.5 se muestran curvas típicas esfuerzo – deformación para el
concreto no confinado y acero de refuerzo, en que fy es el esfuerzo de fluencia del
acero y f’c es la resistencia a compresión del concreto no confinado en un elemento.
Figura 8. Sección y diagrama de deformaciones
La figura muestra una sección de concreto armado. Para determinada deformación
del concreto no confinado en la fibra extrema a compresión εc y una profundidad c del
eje neutro, se puede determinar las deformaciones del acero εs1, εs2, εs3, …, εsi por
triángulos semejantes del diagrama de deformaciones. Por ejemplo, para la varilla i la
profundidad di.
( )

Figura 9. Sección y diagrama de esfuerzos y fuerzas internas
La figura muestra una sección de concreto armado con carga axial y flexión. Ahora
se pueden encontrar los esfuerzos fs1, fs2, fs3, …, fsi correspondientes a las
deformaciones εs1, εs2, εs3, …, εsi a partir de la curva esfuerzo - deformación para el
acero. En seguida se pueden encontrar las fuerzas del acero S1, S2, S3, …, Si a partir
de los esfuerzos del acero y las áreas del mismo. Por ejemplo, para la varilla i, la
ecuación de la fuerza es:
Se puede encontrar la distribución del esfuerzo del concreto en la parte comprimida
de la sección de la figura 2.4 a partir del diagrama de deformaciones y la curva esfuerzo
- deformación para el concreto. Para cualquier deformación dada del concreto εc en la
fibra extrema a compresión, se puede definir la fuerza de compresión del concreto C y
su posición en términos de los parámetros y en que:
Actúa a la distancia de la fibra extrema a compresión. Se puede determinar el factor
α del esfuerzo medio y el factor del centroide para cualquier deformación εc en la fibra
extrema a compresión para secciones rectangulares a partir de la relación esfuerzo-
deformación como sigue:
∫
∫
∫

En consecuencia, si se puede escribir el esfuerzo fc en el concreto en términos de
la deformación εc (es decir, si se conoce la curva esfuerzo deformación), usando las
ecuaciones 6 y 7 se puede determinar la fuerza del concreto y su línea de acción. Se
pueden escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas como:
∑
∑ ( )
La curvatura está dada, por similitud con la ecuación 1.
Se puede determinar la relación teórica momento – curvatura para un nivel dado de
carga axial, incrementado la deformación del concreto en la fibra εc extrema a
compresión. Para cada valor de ec se encuentra la profundidad c del eje neutro que
satisface el equilibrio de las fuerzas ajustando c hasta que las fuerzas internas
calculadas utilizando las ecuaciones 4 y 5. Satisfaga la ecuación 8.
Nótese que en el caso de flexión solamente Pa = 0. Entonces se utilizan las fuerzas
internas y la profundidad del eje neutro encontrado de esa manera para determinar el
momento M y curvatura φ a partir de las ecuaciones 7, 9 y 10 que correspondan a ese
valor de εc. Desarrollando el cálculo para una diversidad de valores de εc se puede
graficar la curva momento - curvatura. El cálculo es extenso y de ser necesario se
realiza mejor utilizando una computadora digital.

5. MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO NO CONFINADO
La curva de Hognestad tiene puntos característicos, comienza con una parábola
invertida en el origen y tiene un vértice en las coordenadas ( ; ), donde el valor de
, se considera como 0.002, luego la curva se convierte en línea recta de pendiente
negativa hasta que la deformación de ruptura se da para un valor de = 0.004 y un
esfuerzo del 0.85 .
Figura 10. Curva esfuerzo-deformación del concreto no confinado
{
[ ( ) ]
Donde:
: Esfuerzo del concreto no confinado
: Esfuerzo máximo del concreto no confinado
: Deformación del concreto
: Deformación del concreto asociada al ( =0.002)
: Deformación máxima del concreto no confinado ( =0.004)
Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del
elemento y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto a la parte superior se
calculan coeficientes, denominados y , que van a representar porcentajes de área
rectangular y de distancia respectivamente.

El coeficiente de es un porcentaje del área por debajo de la curva con respecto al
área de un rectángulo de valor .
{
∫ [ ( ) ]
∫ [ ( ) ] ∫ [ ]
{
El coeficiente de es un porcentaje de distancia de con respecto al valor de la
deformación .
{
[
∫ [ ( ) ]
∫ [ ( ) ]
]
[
∫ [ ( ) ] ∫ [ ]
∫ [ ( ) ] ∫ [ ]
]
{
Finalmente estos coeficientes y nos servirán para evaluar la fuerza resultante
generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de la
fuerza, respectivamente.

6. MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL ACERO DE REFUERZO
Es común que en el diseño y evaluación sísmica se utilice una aproximación de la
curva esfuerzo-deformación llamado “modelo elastoplástico perfecto”, (Fig. 11).
Figura 11. Curva esfuerzo-deformación del modelo elastoplástico
perfecto para el acero sometido a tracción.
: Esfuerzo del acero
: Esfuerzo de fluencia del acero
: Módulo de elasticidad del acero
: Deformación del acero
: Deformación de fluencia del acero
: Deformación máxima del acero
Las principales desventajas de utilizar el modelo elastoplástico perfecto para
propósitos de diseño o evaluación sísmica son las siguientes:
- Se ignora la capacidad del acero para tomar esfuerzos mayores al de fluencia fy.
- Existe la posibilidad de que el concreto se aplaste sin que el acero haya fluido,
provocando así una falla frágil por compresión.
- Al considerarse la misma curva para el acero a compresión, se ignora el incremento
de resistencia y disminución de la deformación.

7. EJEMPLO DE APLICACIÓN
1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
f 'c: Esfuerzo de compresión del concreto (MPa) 27.6 As (mm2
) d (mm)
εco: Deformación del concreto no confinado 0.002 1014 75
εcm: Deformación máxima del concreto no confinado 0.004 1521 475
fy: Esfuerzo de fluencia del acero (MPa) 414
Es: Módulo de elasticidad del acero (MPa) 200000
εsu: Deformación última del acero 0.075
Δc: Incremento de la deformación del concreto 0.0001
2. PROPIEDADES DE LA SECCIÓN
b: Base de la sección (mm) 300.00
h: Altura de la sección (mm) 550.00
Pa: Carga axial actuante en la sección (N) 0.00
3. DIAGRAMA MOMENTO - CURVATURA
εc α γ c (mm) M (KN-m) Ø (m-1
)
0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.00 0.0000
0.0001 0.0492 0.6653 145.35 29.15 0.0007
0.0002 0.0967 0.6638 146.22 57.74 0.0014
0.0003 0.1425 0.6623 147.11 85.76 0.0020
0.0004 0.1867 0.6607 148.02 113.19 0.0027
0.0005 0.2292 0.6591 148.94 140.03 0.0034
0.0006 0.2700 0.6574 149.89 166.28 0.0040
0.0007 0.3092 0.6557 150.85 191.92 0.0046
0.0008 0.3467 0.6538 151.84 216.96 0.0053
0.0009 0.3825 0.6520 152.85 241.37 0.0059
0.0010 0.4167 0.6500 152.62 263.24 0.0066
0.0011 0.4492 0.6480 141.19 265.16 0.0078
0.0012 0.4800 0.6458 132.00 266.70 0.0091
0.0013 0.5092 0.6436 124.50 267.95 0.0104
0.0014 0.5367 0.6413 118.32 269.00 0.0118
0.0015 0.5625 0.6389 113.17 269.87 0.0133
0.0016 0.5867 0.6364 108.86 270.60 0.0147
0.0017 0.6092 0.6337 105.21 271.23 0.0162
0.0018 0.6300 0.6310 102.13 271.75 0.0176
0.0019 0.6492 0.6280 99.50 272.20 0.0191
0.0020 0.6667 0.6250 97.26 272.56 0.0206
0.0021 0.6824 0.6217 95.36 272.85 0.0220
0.0022 0.6963 0.6182 93.75 273.07 0.0235
0.0023 0.7087 0.6146 92.37 273.24 0.0249
0.0024 0.7197 0.6110 91.18 273.36 0.0263
0.0025 0.7296 0.6074 90.14 273.45 0.0277
0.0026 0.7384 0.6039 89.24 273.51 0.0291
0.0027 0.7463 0.6004 88.44 273.55 0.0305
0.0028 0.7533 0.5970 87.74 273.57 0.0319
0.0029 0.7596 0.5937 87.11 273.58 0.0333
0.0030 0.7653 0.5904 86.56 273.57 0.0347
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE UNA SECCIÓN DE C°A°
Hognestad (Concreto) y Elastoplástico (Acero)
EJECUTAR
BORRAR

8. CONCLUSIONES
- Mediante el diagrama momento – curvatura podemos predecir el comportamiento a
la flexión de una sección de concreto armado sin confinar.
9. BIBLIOGRAFÍA
- R. Park y T. Paulay. Estructuras de Concreto Reforzado. (1983)

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