Derivadas, por alumnos de 3° de polimodal.

2.  Al modelizar situaciones en disciplinas
como economía, biología o
arquitectura, entre otras, se utilizan
funciones cuyo comportamiento es
necesario conocer. El análisis de las
funciones derivadas de esas
funciones permite realizar un estudio
adecuado y, en consecuencia, tomar
decisiones concernientes a la
disciplina en cuestión

3.  En matemáticas, la derivada de
una función es una medida de la rapidez
con la que cambia el valor de dicha
función según cambie el valor de
su variable independiente. La derivada de
una función es un concepto local, es decir,
se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en un cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado
para la variable independiente se toma
cada vez más pequeño. Por ello se habla
del valor de la derivada de una cierta
función en un punto dado.

4.  Para que exista la derivada de una
función esta debe ser continua y no
contener puntos angulosos o de
esquina.
 Si una función tiene derivada en X=Xo
se dice que la función es derivable en
ese punto.
 Si una función es derivable en X=Xo
entonces se puede concluir que la
función esta definida en X=Xo y
además es continua en ese punto.

5. 

6. f´(x)= 3x² + 5x +4
Desarrollado a continuación:

9.  La derivada de una función en un punto es el
limite de la razón (división) entre: el
incremento de función (∆x), cuando el
incremento de la variable tiende a cero
(La derivada de la función en el punto marcado equivale
a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la
función está dibujada en negro; la tangente a la curva
está dibujada en rojo)…

11.  Hallar la derivada de la función f(x) =
3x2 en el punto x = 2.

12. Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
 Paso 1. Incrementar las 2 variables
(Variables X y Y).
Acá se les pone el Incremento Delta (∆)
representado por un triangulo a cada
variable.
●Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x)
–1

16. Cuando la función es creciente, la
recta tangente ala curva en un
punto forma con el eje de las x un
ángulo menor que 90˚
Como la tangente trigonométrica
de dicho ángulo es positiva, será
también el valor de la derivada
en ese punto positiva.

17. Cuando la función es
decreciente, la recta tangente
ala curva en un punto forma
con el eje de las x un ángulo
mayor que 90˚
como la tangente trigonométrica
de dicho ángulo es negativa,
será también el valor de la
derivada en ese punto negativa

18. -Si f(x) mayor a 0 para todo x
que pertenezca al intervalo
(a;b) entonces f(x) es
creciente en dicho intervalo
-Si f(x) menor a 0 para todo x
que pertenezca al intervalo
(a;b) entonces f(x) es
decreciente en dicho
intervalo

20. f(x0) = 0 y f ´´ (x0) > 0
(siendo f´´ continua)
resulta que f´ es
creciente.
Como f´ (x0) = 0 resulta
que las pendientes de
las rectas pasan
creciendo de
negativas a positivas,
esto es, las rectas
tangentes son como
en la figura. Así x0 es
un MÍNIMO.

21.  Si f(x0) = 0 y f´´ (x0)
>0 (siendo f´´
continua) resulta
que f´ es
decreciente.
 Como f´(x0) = 0
resulta que las
pendientes de las
rectas pasan
decreciendo de
positivas a
negativas, esto es,
las rectas
tangentes son
como en la figura.
Así x0 es
un MÁXIMO.