Definicion de Derivada Direccional, Propiedades

1. DERIVADA
DIRECCIONA
L

2. DEFINICIÓN
CADA VECTOR DEL ESPACIO ORDINARIO TIENE UN MÓDULO Y UNA
DIRECCIÓN. CUANDO SE FIJA UN VECTOR DR =( ) DX,DY,DZ = DXI + DYJ +
DZK DANDO VALORES CONCRETOS A DX,DY,DZ , SE FIJA SU MÓDULO Y SU
DIRECCIÓN. CADA VALOR DE LA DIFERENCIAL DE LA FUNCIÓN F EN UN
PUNTO ( ) X, Y,Z ES EL PRODUCTO ESCALAR DE SU GRADIENTE EN ESE
PUNTO POR UN VECTOR DR, ES DECIR, ∇F ⋅ DR = ∂ F ∂X DX + ∂ F ∂Y DY+ ∂ F
∂Z DZ = DF EN CADA PUNTO ( ) X, Y,Z EL GRADIENTE ∇F ES FIJO, TIENE UN
VALOR CONCRETO; PERO EL VECTOR DR PUEDE SER CUALQUIERA;
PUEDE TENER CUALQUIER MÓDULO Y CUALQUIER DIRECCIÓN.

3. DEFINICIÓN (DERIVADA DIRECCIONAL EN UN PUNTO): SEA F UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN UN
ENTORNO DEL PUNTO P O Y U → UNA DIRECCIÓN. SE DEFINE LA DERIVADA DIRECCIONAL DE F EN
EL PUNTO P O COMO EL VALOR DEL SIGUIENTE LÍMITE EN EL CASO DE QUE EXISTA:
LIM T→0 F( P O +T U → )−F( P O ) T⁡
NOTACIÓN: LA DERIVADA DIRECCIONAL SE DENOTA
POR D U F( P O )= F U ' ( P O )= F Φ ' ( P O ) SIENDO U → =( COSΦ,SENΦ ) .⁡
OBSERVACIONES:
LA EXISTENCIA DE ESTA DERIVADA DIRECCIONAL SIGNIFICA QUE LA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
H( T )=F( P O +T U → ) ES DERIVABLE EN T=0: D U F( P O )=H'( 0 ) .
EN EL CASO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES TENEMOS:
LA DERIVADA DIRECCIONAL EN LA DIRECCIÓN U → =( 1,0 ) ES LA DERIVADA PARCIAL RESPECTO
A X
LA DERIVADA DIRECCIONAL EN LA DIRECCIÓN U → =( 0,1 ) ES LA DERIVADA PARCIAL RESPECTO
A Y.

4. PROPIEDADES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
SEAN F Y G DOS FUNCIONES REALES DE N VARIABLES REALES, U → UN VECTOR UNITARIO Y C UN
NÚMERO REAL. ENTONCES SI LAS DERIVADAS DIRECCIONALES DE F Y G EN LA DIRECCIÓN
U → EXISTEN EN P O ENTONCES LAS FUNCIONES:
CF F+G F⋅G F/G (ESTE ÚLTIMO CASO SIEMPRE QUE G( P )≠0 PRÓXIMOS A P O ) SON DERIVABLES EN
LA DIRECCIÓN U → EN EL PUNTO P O . ADEMÁS:
D U ( CF )( P O )=C D U F( P O )
D U ( F+G )( P O )= D U F( P O )+ D U G( P O )
D U ( F⋅G )( P O )=G( P O )⋅ D U F( P O )+F( P O )⋅ D U G( P O)
D U ( F G )( P O )= G( P O )⋅ D U F( P O )−F( P O )⋅ D U G( P O) [ G( P O ) ] 2