funciones

1. Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva
Definici´on 1:(Inyectiva) Una funci´on f : Df → A ⊂ R, se dice inyectiva si, ∀x1, x2 ∈ Df se
cumple que
x1 = x2 =⇒ f(x1) = f(x2)
o equival´entemente si
f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2
Observaci´on: Geom´etricamente esto significa que todas las paralelas al eje x se intersectan con
el gr´afico de f en un ´unico punto.
Definici´on 2:(Sobreyectiva) Una funci´on f : Df → A ⊂ R, donde A es el conjunto de
llegada, se dice sobreyectiva si se cumple que
Rf = A
en un lenguaje simb´olico esto es
∀y0 ∈ A, ∃x0 ∈ Df de tal manera que se cumple f(x0) = y0
Definici´on 3:(Biyectiva) Una funci´on f : Df → A ⊂ R, si es Inyectiva y Sobreyectiva al
mismo tiempo.
Funciones Par e Impar
Definici´on 1:(Par) Una funci´on f se dir´a par si se cumple que
f(−x) = f(x) , ∀x ∈ Df
Definici´on 2:(Impar) Una funci´on g se dir´a impar si se cumple que
g(−x) = −g(x) , ∀x ∈ Dg
Obs: La funci´on f(x) = ex
con dominio Df = R, ¿es par o impar?
Funciones Crecientes y Decrecientes
Definici´on:(Creciente) Una funci´on se dice creciente o tambi´en estrictamente creciente, si para
cuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)
Por otra parte, se dir´a no decreciente si se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Definici´on:(Decreciente) Una funci´on se dice decreciente o tambi´en estrictamente decre-
ciente, si para cuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x2) < f(x1)
Por otra parte, se dir´a no creciente si se cumple
x1 < x2 =⇒ f(x2) ≤ f(x1)
1

2. Funci´on Inversa
Definici´on: Dada una fuci´on f : A → B, si existe una funci´on g : B → A, tal que:
1. (f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B (f ◦ g = IB)
2. (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A (g ◦ f = IA)
Se dice que f es una funci´on inversible y que la funci´on g es la funci´on inversa de f. Se
denota: g = f1
Propiedad: Una funci´on admite inversa si s´olo si es biyetiva.
Operaciones con Funciones
Definici´on 1:(Suma) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respectivamente, entonces
h = f + g es una funci´on llamada la suma de f y g definida por
h(x) = f(x) + g(x) , Dh = Df ∩ Dg
Definici´on 2:(Opuesto) El opuesto(tambi´en llamado inverso aditivo) de una funci´on f,
es una funci´on g definido por
g(x) = −f(x) , Dg = Df
Observaci´on: La gr´afica de la funci´on g es el reflejo sim´etrico de f respecto al eje x.
Definici´on 3:(Multiplicaci´on) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respecti-
vamente, entonces la funci´on h = f · g se llama funci´on producto y esta definida por
h(x) = f(x) · g(x) , Dh = Df ∩ Dg
Definici´on 4:(Rec´ıproca) Sea f , entonces la funci´on rec´ıproca es g = 1
f
definida por
g(x) =
1
f(x)
, Dg = D1
f
= Df − {x ∈ Df f(x) = 0}
Definici´on 5:(Cociente) Sean f y g dos funciones, la funci´on f · 1
g
denotada por f
g
, se llama
la funci´on cociente y est´a definida por
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
, Df
g
= Df ∩ D1
g
Composici´on de Funciones
Definici´on: Sean A, B y C conjuntos (no necesariamente diferentes), y sean f : A → B y
g : B → C, fuciones. Se llama composici´on de funci´on de g y f a la funci´on de A en C, denotado
por g ◦ f y definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) , Dg◦f = {x ∈ Df f(x) ∈ Dg}
Gr´afica de Funciones
2

3. Funci´on seno: La funci´on f(x) = sen(x) est´a representada por la siguiente gr´afica
−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
2
Cuyo dominio y rango son
Df = R , Rf = [−1, 1]
Funci´on arcoseno: La funci´on f(x) = arc sen(x) o tambi´en f(x) = sen−1
(x) est´a represen-
tada por la siguiente gr´afica
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
2
Cuyo dominio y rango son
Df = [−1, 1] , Rf = [−
π
2
,
π
2
]
Funci´on coseno: La funci´on f(x) = cos(x) est´a representada por la siguiente gr´afica
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
2
Cuyo dominio y rango son
Df = R , Rf = [−1, 1]
Funci´on arccoseno: La funci´on f(x) = arc cos(x) o tmabi´en f(x) = cos(x)−1
est´a repre-
sentada por la siguente gr´afica
3

4. −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Cuyo dominio y rango son
Df = [−1, 1] , Rf = [0, π]
Funci´on tangente: La funci´on f(x) = tan(x) esta representada por la siguiente gr´afica
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
Cuyo dominio y rango son
Df =
n∈Z
(2n − 1)
π
2
, (2n + 1)
π
2
, Rf = R
Funci´on arco tangente: La funci´on f(x) = arctan(x) o tambi´en f(x) = tan−1
(x) esta
representada por la siguiente gr´afica
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
4

5. Cuyo dominio y rango son
Df = R , Rf = −
π
2
,
π
2
Funci´on secante: La funci´on f(x) = sec(x) esta representada por el siguiente gr´afico
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
Cuyo dominio y rango son
Df =
n∈Z
(2n − 1)
π
2
, (2n + 1)
π
2
, Rf = R − −1, 1 = −∞, 1] ∪ [1, ∞
Funci´on arco secante: La funci´on f(x) = arcsec(x) esta representada por el siguiente
gr´afico
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
Cuyo dominio y rango son
Df = −∞, −1] ∪ [1, ∞ , Rf = [0,
π
2
∪
π
2
, π]
5