aplicación de las derivadas

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Instituto universitario tecnológico “Antonio José De Sucre”
Extensión San Cristóbal.
Aplicación de la derivada
Alumna:
Andry Carolina Gamboa Montilba
CI: V- 26.988.057
Materia:
Matemática 1
Sección:
A
San Cristóbal Julio del 2021

2. Introducción.
Principalmente es importante resaltar que es una derivada te permite conocer lo sensible que es al
cambio una variable con respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades,
aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de materia, son ejemplos
sencillos), en ingeniería y en economía, también las derivadas expresan la variación de una
magnitud en “infinitas cantidades infinitesimales”, matemáticamente, la derivada de una función
en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto, físicamente miden la
rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra. Dicho esto, en este escrito resaltaremos
la aplicación de estas mismas para llegar a un entendimiento mayor.

3. La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente
a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores
máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o
un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades
de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos: y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
Como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un
mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio: Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo
abierto (a,b) existe al menos un número c∈(a,b) tal que:
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

4. En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo
se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo
valor real siendo la derivada:
Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).
Si f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre a y b tal que: F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2+ 8x-7
f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

5. f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:
Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no
se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al
menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:
Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x=image023pero dicho punto no
pertenece al intervalo abierto image025 y como además:

6. Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del
mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:
Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales
Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función
f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis». Por las propiedades de la
función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.

7. Ejemplo:
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina
límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje
X y las rectas paralelas x = a y x = b

8. Bibliografía
https://www.tusclases.pe/blog/tabla-derivadas-integrales
https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/