Este documento presenta un resumen del curso básico de estadística descriptiva. Explica conceptos clave como variables cualitativas y cuantitativas, escalas de medida, distribuciones unidimensionales y bidimensionales, y métodos para tabular y representar gráficamente datos como diagramas de barras y escaleras. El objetivo es preparar al lector para analizar conjuntos de datos mediante la descripción estadística.
La FASB establece estándares para los reportes financieros y la conversión de monedas extranjeras. Provee guías para contabilizar subsidiarias que usan monedas extranjeras y para ajustar las normas en economías altamente inflacionarias. Los objetivos incluyen establecer normas de conversión y revelación de ganancias o pérdidas por conversión de moneda.
Prog. analisis de estado financiero (ciclo general)Rafael Verde)
Este documento presenta el plan de estudios de un curso sobre análisis de estados financieros. El curso consta de 7 unidades que cubren temas como la clasificación y comparación de partidas en estados financieros, el análisis de tendencias, capital de trabajo, razones financieras e impacto de la inflación. Cada unidad incluye objetivos, contenido y bibliografía relevante. El curso busca que los estudiantes aprendan a interpretar y evaluar la situación financiera de una empresa a través del análisis de sus estados cont
El documento resume los principales índices bursátiles de la Bolsa de Nueva York. Describe el Dow Jones Industrial Average, compuesto por 30 acciones importantes; el índice Nasdaq, que incluye empresas tecnológicas; y el S&P 500, que sigue el desempeño de 500 grandes empresas estadounidenses. Explica la composición, historia y propósito de cada índice.
El documento describe los ciclos económicos, incluyendo las cuatro fases de una recesión, recuperación, pico y fondo, y cómo afectan la tasa de desempleo. Explica que el desempleo puede ser frictional, estructural o cíclico dependiendo de la causa, y que la tasa de desempleo puede subestimar u sobreestimar la desocupación real.
MLG - Modelo Lineal General de regresiónMiguel Jerez
Este documento presenta el modelo lineal general y su estimación mediante mínimos cuadrados ordinarios. Introduce el modelo lineal general, sus formulaciones matriciales y la interpretación de los coeficientes. Explica que el modelo plantea problemas de estimación, inferencia, previsión y diagnóstico, requiriendo hipótesis como linealidad, normalidad de errores y homoscedasticidad. Finalmente, desarrolla el método de mínimos cuadrados ordinarios, mostrando que bajo las hipótesis, el estimador es eficiente, normal e inses
El documento resume la evolución del concepto de divisas y el mercado de divisas. Explica que originalmente se basaba en el patrón oro de tipos de cambio fijos, pero que luego evolucionó a sistemas más flexibles como el patrón dólar y el Sistema Monetario Europeo, hasta llegar al sistema actual de tipos de cambio flotantes regidos por la oferta y la demanda. También describe cómo los cambios más significativos en el mercado se han debido a situaciones de tensión económica.
El documento resume la evolución de las teorías clásica y neoclásica del comercio internacional. La teoría clásica, desarrollada por Ricardo y Mill, explica las ventajas del comercio basadas en la ventaja comparativa de los países. La teoría neoclásica, con el modelo Heckscher-Ohlin-Samuelson, añade que los países tienden a exportar los bienes intensivos en los factores abundantes e importar los intensivos en factores escasos. Sin embargo, esta teoría tiene supuestos restrictivos y no explica complet
La FASB establece estándares para los reportes financieros y la conversión de monedas extranjeras. Provee guías para contabilizar subsidiarias que usan monedas extranjeras y para ajustar las normas en economías altamente inflacionarias. Los objetivos incluyen establecer normas de conversión y revelación de ganancias o pérdidas por conversión de moneda.
Prog. analisis de estado financiero (ciclo general)Rafael Verde)
Este documento presenta el plan de estudios de un curso sobre análisis de estados financieros. El curso consta de 7 unidades que cubren temas como la clasificación y comparación de partidas en estados financieros, el análisis de tendencias, capital de trabajo, razones financieras e impacto de la inflación. Cada unidad incluye objetivos, contenido y bibliografía relevante. El curso busca que los estudiantes aprendan a interpretar y evaluar la situación financiera de una empresa a través del análisis de sus estados cont
El documento resume los principales índices bursátiles de la Bolsa de Nueva York. Describe el Dow Jones Industrial Average, compuesto por 30 acciones importantes; el índice Nasdaq, que incluye empresas tecnológicas; y el S&P 500, que sigue el desempeño de 500 grandes empresas estadounidenses. Explica la composición, historia y propósito de cada índice.
El documento describe los ciclos económicos, incluyendo las cuatro fases de una recesión, recuperación, pico y fondo, y cómo afectan la tasa de desempleo. Explica que el desempleo puede ser frictional, estructural o cíclico dependiendo de la causa, y que la tasa de desempleo puede subestimar u sobreestimar la desocupación real.
MLG - Modelo Lineal General de regresiónMiguel Jerez
Este documento presenta el modelo lineal general y su estimación mediante mínimos cuadrados ordinarios. Introduce el modelo lineal general, sus formulaciones matriciales y la interpretación de los coeficientes. Explica que el modelo plantea problemas de estimación, inferencia, previsión y diagnóstico, requiriendo hipótesis como linealidad, normalidad de errores y homoscedasticidad. Finalmente, desarrolla el método de mínimos cuadrados ordinarios, mostrando que bajo las hipótesis, el estimador es eficiente, normal e inses
El documento resume la evolución del concepto de divisas y el mercado de divisas. Explica que originalmente se basaba en el patrón oro de tipos de cambio fijos, pero que luego evolucionó a sistemas más flexibles como el patrón dólar y el Sistema Monetario Europeo, hasta llegar al sistema actual de tipos de cambio flotantes regidos por la oferta y la demanda. También describe cómo los cambios más significativos en el mercado se han debido a situaciones de tensión económica.
El documento resume la evolución de las teorías clásica y neoclásica del comercio internacional. La teoría clásica, desarrollada por Ricardo y Mill, explica las ventajas del comercio basadas en la ventaja comparativa de los países. La teoría neoclásica, con el modelo Heckscher-Ohlin-Samuelson, añade que los países tienden a exportar los bienes intensivos en los factores abundantes e importar los intensivos en factores escasos. Sin embargo, esta teoría tiene supuestos restrictivos y no explica complet
El documento proporciona información sobre varios índices bursátiles importantes de Europa y Asia. Describe los índices DAX de Alemania, CAC 40 de Francia, IBEX 35 de España, Euro Stoxx 50 de la zona euro, FTSE 100 del Reino Unido, Italia 40 de Italia, Nikkei 225 de Japón, Hang Seng de Hong Kong, S&P/ASX 200 de Australia y NIFTY 50 de India. Se explica brevemente la composición y metodología de cálculo de cada índice.
Los indicadores de solvencia y liquidez permiten evaluar la capacidad de una empresa para responder a eventos a corto plazo. Una solvencia entre 1,6-1,8 y una liquidez mayor a 0,5 indican una buena situación financiera. Los días a mano de cuentas por cobrar y de inventarios deben ser consistentes con las políticas de la empresa y la industria para garantizar una alta calidad en la solvencia. Estos indicadores deben compararse con estándares de la industria para determinar el desempeño relativo de la empresa
El documento describe los diferentes tipos de análisis financieros que se pueden realizar, incluyendo el análisis horizontal y vertical. El análisis horizontal compara datos financieros entre períodos para identificar tendencias, mientras que el análisis vertical estudia las relaciones entre partidas dentro de un mismo período. También se explican diferentes clasificaciones de razones financieras como liquidez, rentabilidad y apalancamiento, y cómo estas razones pueden usarse para evaluar el desempeño y posición financiera de una empresa.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos del mercado de valores. Explica que el mercado de valores facilita la transferencia de capitales para la inversión a través de la negociación de valores. Define qué es un valor y sus características principales. También describe las ventajas de acudir al mercado de valores y los agentes que intervienen, incluyendo emisores, inversionistas e intermediarios.
El acuerdo transpacífico de cooperación económica tppZuly Lz Campos
Este documento describe el Acuerdo Transpacífico de Cooperación Económica (TPP), un bloque económico entre países de la región Asia-Pacífico. Explica que el TPP busca reducir barreras comerciales y establecer estándares comunes. Luego detalla los 11 países que forman parte del acuerdo y los objetivos generales y específicos del TPP. Finalmente, discute algunas oportunidades y riesgos que el acuerdo puede presentar para países de América Latina.
El documento introduce los conceptos básicos de los acuerdos internacionales, incluyendo diferentes tipos de acuerdos de integración económica como acuerdos bilaterales, multilaterales, regionales y de alcance parcial. También explica conceptos como áreas de libre comercio, uniones aduaneras, tratados de libre comercio y mercado común.
Etapas del comercio internacional y sus caracteristicasjazminnut
El documento describe las diferentes etapas del comercio internacional, incluyendo áreas de libre comercio, uniones aduaneras, mercados comunes y uniones económicas. Define cada una y proporciona ejemplos como Mercosur, NAFTA y la Unión Europea. Explica que una unión económica representa la forma más avanzada de integración al requerir la armonización total de las políticas económicas entre los países participantes.
i) El análisis de series de tiempo surge en 1970 con la obra pionera de Box y Jenkins. Es una herramienta útil para el análisis económico aplicado.
ii) Un proceso estacionario en sentido amplio es aquel cuya media, varianza y autocovarianzas son invariantes en el tiempo. Los ruidos blancos y algunos otros procesos cumplen con estas condiciones.
iii) La función de autocorrelación describe cómo la variable se correlaciona consigo misma en distintos momentos de tiempo y es clave para determinar la estacionari
El documento describe la evolución de los procedimientos de control, manejo, seguridad y operación en las aduanas nacionales de México. Explica que se han implementado diversas tecnologías y equipos como escáneres de rayos X, binomios caninos, y el Sistema de Supervisión y Control Vehicular para inspeccionar mercancías y personas. También menciona que México debe continuar actualizando sus marcos normativos y procedimientos para alinearse mejor con los estándares internacionales propuestos por organizaciones como la OMA.
Este documento explica los conceptos básicos de los tipos de cambio, incluyendo las cotizaciones europea e indirecta, divisas comunes y su abreviaturas, y cómo se calculan los tipos de cambio comprador, vendedor y cruzado. Describe que el tipo de cambio es el precio de una moneda en términos de otra, y cómo los intermediarios fijan precios de compra y venta con una pequeña ganancia. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.
Código Orgánico Monetario y Financiero.pptxLeamsiRpg
Este documento presenta un resumen del Código Orgánico Monetario y Financiero del Ecuador. Establece que el código es un instrumento normativo clave para transformar las relaciones de poder económico y financiero en el país. Describe las funciones del Banco Central del Ecuador y la Junta de Política Monetaria y Financiera en la regulación e implementación de políticas monetarias, crediticias y financieras. También presenta algunos objetivos y características generales del código.
Este documento describe el Código Aduanero Uniforme Centroamericano (CAUCA) y su Reglamento. El CAUCA fue creado para unificar las economías de Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua y Costa Rica e impulsar el desarrollo de Centroamérica. Describe los servicios aduaneros, regulaciones de importación/exportación, regímenes aduaneros, abandono y subasta de mercancías, entre otros aspectos clave del comercio exterior en Centroamérica.
Este documento define qué es un arancel y describe los diferentes tipos de aranceles como ad valorem, específicos y mixtos. Luego proporciona ejemplos de 10 subpartidas arancelarias como ácido acético, parabrisas de autos y gelatinas. También resume brevemente los aranceles de Colombia, Centroamérica, Estados Unidos y la Unión Europea.
La teoría cuantitativa del dinero establece que existe una relación directa entre la cantidad de dinero y el nivel general de precios. La política monetaria usa la cantidad de dinero como variable para controlar la estabilidad económica mediante decisiones sobre el mercado monetario y las tasas de interés, con el objetivo de controlar la inflación. El Banco de México es el encargado de establecer las políticas monetarias en el país.
El documento presenta una introducción al comercio exterior y a la Ley de Comercio Exterior de México. Explica que el comercio exterior es el intercambio de bienes y servicios entre países y está regulado por tratados internacionales. Luego resume las facultades del Ejecutivo Federal, la Secretaría de Economía y la Comisión de Comercio Exterior en materia de comercio exterior según la ley. Finalmente, aborda conceptos como aranceles, reglas de origen de mercancías y medidas de regulación no arancelarias.
Informe del panel arbitral de la OMC en el caso de Costa Rica contra Repúblic...comexcr
El documento resume el informe del panel arbitral de la OMC en el caso de Costa Rica contra República Dominicana por la aplicación de una salvaguardia a las exportaciones de sacos y tejidos. Resume la investigación realizada por República Dominicana, los argumentos de las partes, y las conclusiones del Grupo Especial de que República Dominicana no demostró adecuadamente el daño grave o la relación de causalidad para aplicar la salvaguardia.
Este documento describe los procesos y elementos del cobro documentario y el forfaiting. El cobro documentario permite negociar pagos diferidos en las ventas internacionales a través de un banco intermediario y ofrece mayor seguridad. El forfaiting permite financiar créditos y operaciones a mediano y largo plazo comprando letras del importador. Ambos métodos involucran la transferencia de documentos entre bancos y el pago diferido, pero el forfaiting se usa para plazos más largos de hasta 7 años.
Las notas explicativas fueron desarrolladas por la Organización Mundial de Aduanas para describir los aspectos científicos y comerciales de las principales mercancías importadas y exportadas, así como sus usos. Estas notas proveen la interpretación oficial del Sistema Armonizado y son obligatorias para determinar la clasificación de mercancías. Existen diferentes tipos de notas legales como restrictivas, definitorias e inclusivas que ayudan a clasificar mercancías. Cada país puede estructurar el Sistema Armonizado de acuerdo con
El documento describe las funciones y responsabilidades de varias agencias gubernamentales mexicanas en relación con el comercio exterior. Estas incluyen promover y regular las importaciones y exportaciones, establecer aranceles aduaneros, inspeccionar puertos y fronteras, y negociar acuerdos comerciales internacionales.
El documento describe cómo la inflación y la devaluación afectan la situación financiera de una empresa. La inflación distorsiona las cifras contables en los estados financieros y afecta la evaluación de proyectos, productividad, contabilidad, análisis financiero y toma de decisiones. La devaluación también impacta a las empresas importadoras, exportadoras y con deudas en moneda extranjera. Se recomienda ajustar cifras por inflación y devaluación para analizar proyectos en términos reales.
El documento describe la evolución de la econometría desde sus inicios hasta la actualidad. Se divide la historia en cuatro etapas: 1) la pre-econométrica, donde la estadística y la economía sentaron las bases; 2) el nacimiento, con los primeros estudios econométricos en demanda y ciclos; 3) las aportaciones básicas desde 1930-1945, con la constitución de sociedades importantes y modelos de ecuaciones simultáneas; 4) el desarrollo posterior de métodos. La econometría ha permitido
Este documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría aplica métodos estadísticos a datos económicos para probar teorías económicas. Describe los tres tipos de datos que se usan: datos de corte transversal, series de tiempo y paneles. Además, introduce conceptos clave como variables, relaciones y define la econometría como la aplicación cuantitativa de la estadística a la teoría económica.
El documento proporciona información sobre varios índices bursátiles importantes de Europa y Asia. Describe los índices DAX de Alemania, CAC 40 de Francia, IBEX 35 de España, Euro Stoxx 50 de la zona euro, FTSE 100 del Reino Unido, Italia 40 de Italia, Nikkei 225 de Japón, Hang Seng de Hong Kong, S&P/ASX 200 de Australia y NIFTY 50 de India. Se explica brevemente la composición y metodología de cálculo de cada índice.
Los indicadores de solvencia y liquidez permiten evaluar la capacidad de una empresa para responder a eventos a corto plazo. Una solvencia entre 1,6-1,8 y una liquidez mayor a 0,5 indican una buena situación financiera. Los días a mano de cuentas por cobrar y de inventarios deben ser consistentes con las políticas de la empresa y la industria para garantizar una alta calidad en la solvencia. Estos indicadores deben compararse con estándares de la industria para determinar el desempeño relativo de la empresa
El documento describe los diferentes tipos de análisis financieros que se pueden realizar, incluyendo el análisis horizontal y vertical. El análisis horizontal compara datos financieros entre períodos para identificar tendencias, mientras que el análisis vertical estudia las relaciones entre partidas dentro de un mismo período. También se explican diferentes clasificaciones de razones financieras como liquidez, rentabilidad y apalancamiento, y cómo estas razones pueden usarse para evaluar el desempeño y posición financiera de una empresa.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos del mercado de valores. Explica que el mercado de valores facilita la transferencia de capitales para la inversión a través de la negociación de valores. Define qué es un valor y sus características principales. También describe las ventajas de acudir al mercado de valores y los agentes que intervienen, incluyendo emisores, inversionistas e intermediarios.
El acuerdo transpacífico de cooperación económica tppZuly Lz Campos
Este documento describe el Acuerdo Transpacífico de Cooperación Económica (TPP), un bloque económico entre países de la región Asia-Pacífico. Explica que el TPP busca reducir barreras comerciales y establecer estándares comunes. Luego detalla los 11 países que forman parte del acuerdo y los objetivos generales y específicos del TPP. Finalmente, discute algunas oportunidades y riesgos que el acuerdo puede presentar para países de América Latina.
El documento introduce los conceptos básicos de los acuerdos internacionales, incluyendo diferentes tipos de acuerdos de integración económica como acuerdos bilaterales, multilaterales, regionales y de alcance parcial. También explica conceptos como áreas de libre comercio, uniones aduaneras, tratados de libre comercio y mercado común.
Etapas del comercio internacional y sus caracteristicasjazminnut
El documento describe las diferentes etapas del comercio internacional, incluyendo áreas de libre comercio, uniones aduaneras, mercados comunes y uniones económicas. Define cada una y proporciona ejemplos como Mercosur, NAFTA y la Unión Europea. Explica que una unión económica representa la forma más avanzada de integración al requerir la armonización total de las políticas económicas entre los países participantes.
i) El análisis de series de tiempo surge en 1970 con la obra pionera de Box y Jenkins. Es una herramienta útil para el análisis económico aplicado.
ii) Un proceso estacionario en sentido amplio es aquel cuya media, varianza y autocovarianzas son invariantes en el tiempo. Los ruidos blancos y algunos otros procesos cumplen con estas condiciones.
iii) La función de autocorrelación describe cómo la variable se correlaciona consigo misma en distintos momentos de tiempo y es clave para determinar la estacionari
El documento describe la evolución de los procedimientos de control, manejo, seguridad y operación en las aduanas nacionales de México. Explica que se han implementado diversas tecnologías y equipos como escáneres de rayos X, binomios caninos, y el Sistema de Supervisión y Control Vehicular para inspeccionar mercancías y personas. También menciona que México debe continuar actualizando sus marcos normativos y procedimientos para alinearse mejor con los estándares internacionales propuestos por organizaciones como la OMA.
Este documento explica los conceptos básicos de los tipos de cambio, incluyendo las cotizaciones europea e indirecta, divisas comunes y su abreviaturas, y cómo se calculan los tipos de cambio comprador, vendedor y cruzado. Describe que el tipo de cambio es el precio de una moneda en términos de otra, y cómo los intermediarios fijan precios de compra y venta con una pequeña ganancia. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.
Código Orgánico Monetario y Financiero.pptxLeamsiRpg
Este documento presenta un resumen del Código Orgánico Monetario y Financiero del Ecuador. Establece que el código es un instrumento normativo clave para transformar las relaciones de poder económico y financiero en el país. Describe las funciones del Banco Central del Ecuador y la Junta de Política Monetaria y Financiera en la regulación e implementación de políticas monetarias, crediticias y financieras. También presenta algunos objetivos y características generales del código.
Este documento describe el Código Aduanero Uniforme Centroamericano (CAUCA) y su Reglamento. El CAUCA fue creado para unificar las economías de Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua y Costa Rica e impulsar el desarrollo de Centroamérica. Describe los servicios aduaneros, regulaciones de importación/exportación, regímenes aduaneros, abandono y subasta de mercancías, entre otros aspectos clave del comercio exterior en Centroamérica.
Este documento define qué es un arancel y describe los diferentes tipos de aranceles como ad valorem, específicos y mixtos. Luego proporciona ejemplos de 10 subpartidas arancelarias como ácido acético, parabrisas de autos y gelatinas. También resume brevemente los aranceles de Colombia, Centroamérica, Estados Unidos y la Unión Europea.
La teoría cuantitativa del dinero establece que existe una relación directa entre la cantidad de dinero y el nivel general de precios. La política monetaria usa la cantidad de dinero como variable para controlar la estabilidad económica mediante decisiones sobre el mercado monetario y las tasas de interés, con el objetivo de controlar la inflación. El Banco de México es el encargado de establecer las políticas monetarias en el país.
El documento presenta una introducción al comercio exterior y a la Ley de Comercio Exterior de México. Explica que el comercio exterior es el intercambio de bienes y servicios entre países y está regulado por tratados internacionales. Luego resume las facultades del Ejecutivo Federal, la Secretaría de Economía y la Comisión de Comercio Exterior en materia de comercio exterior según la ley. Finalmente, aborda conceptos como aranceles, reglas de origen de mercancías y medidas de regulación no arancelarias.
Informe del panel arbitral de la OMC en el caso de Costa Rica contra Repúblic...comexcr
El documento resume el informe del panel arbitral de la OMC en el caso de Costa Rica contra República Dominicana por la aplicación de una salvaguardia a las exportaciones de sacos y tejidos. Resume la investigación realizada por República Dominicana, los argumentos de las partes, y las conclusiones del Grupo Especial de que República Dominicana no demostró adecuadamente el daño grave o la relación de causalidad para aplicar la salvaguardia.
Este documento describe los procesos y elementos del cobro documentario y el forfaiting. El cobro documentario permite negociar pagos diferidos en las ventas internacionales a través de un banco intermediario y ofrece mayor seguridad. El forfaiting permite financiar créditos y operaciones a mediano y largo plazo comprando letras del importador. Ambos métodos involucran la transferencia de documentos entre bancos y el pago diferido, pero el forfaiting se usa para plazos más largos de hasta 7 años.
Las notas explicativas fueron desarrolladas por la Organización Mundial de Aduanas para describir los aspectos científicos y comerciales de las principales mercancías importadas y exportadas, así como sus usos. Estas notas proveen la interpretación oficial del Sistema Armonizado y son obligatorias para determinar la clasificación de mercancías. Existen diferentes tipos de notas legales como restrictivas, definitorias e inclusivas que ayudan a clasificar mercancías. Cada país puede estructurar el Sistema Armonizado de acuerdo con
El documento describe las funciones y responsabilidades de varias agencias gubernamentales mexicanas en relación con el comercio exterior. Estas incluyen promover y regular las importaciones y exportaciones, establecer aranceles aduaneros, inspeccionar puertos y fronteras, y negociar acuerdos comerciales internacionales.
El documento describe cómo la inflación y la devaluación afectan la situación financiera de una empresa. La inflación distorsiona las cifras contables en los estados financieros y afecta la evaluación de proyectos, productividad, contabilidad, análisis financiero y toma de decisiones. La devaluación también impacta a las empresas importadoras, exportadoras y con deudas en moneda extranjera. Se recomienda ajustar cifras por inflación y devaluación para analizar proyectos en términos reales.
El documento describe la evolución de la econometría desde sus inicios hasta la actualidad. Se divide la historia en cuatro etapas: 1) la pre-econométrica, donde la estadística y la economía sentaron las bases; 2) el nacimiento, con los primeros estudios econométricos en demanda y ciclos; 3) las aportaciones básicas desde 1930-1945, con la constitución de sociedades importantes y modelos de ecuaciones simultáneas; 4) el desarrollo posterior de métodos. La econometría ha permitido
Este documento presenta una introducción a la econometría. Explica que la econometría aplica métodos estadísticos a datos económicos para probar teorías económicas. Describe los tres tipos de datos que se usan: datos de corte transversal, series de tiempo y paneles. Además, introduce conceptos clave como variables, relaciones y define la econometría como la aplicación cuantitativa de la estadística a la teoría económica.
La econometría combina la teoría económica, la economía matemática, la estadística económica y la estadística matemática para dar contenido empírico a las teorías económicas. El método econometrico tradicional incluye 1) plantear una teoría económica, 2) especificar un modelo matemático, 3) estimar parámetros con datos, 4) probar hipótesis y hacer predicciones, y 5) utilizar el modelo para fines de política. El documento presenta un ejemplo de estimar
Este documento describe los modelos autorregresivos (AR), de medias móviles (MA) y ARMA para pronosticar series de tiempo. Explica que el método Box-Jenkins identifica modelos iterativamente para describir una serie, y que los modelos ARIMA generalizan los AR y MA al incluir diferenciación para hacer series estacionarias. Finalmente, muestra cómo aplicar estos modelos en Gretl.
Este documento proporciona una introducción a la econometría. Explica que la econometría cuantifica, explica y predice procesos económicos a través de modelos. Detalla dos tipos de modelos: de regresión y clásicos. Luego describe los pasos para construir un modelo de regresión: identificar variables, recoger datos, estimar el modelo, validarlo y usarlo para predicciones.
El documento describe diferentes métodos para realizar pronósticos, incluyendo técnicas cualitativas como encuestas a clientes y jurados de expertos, así como técnicas cuantitativas como modelos de series de tiempo y suavizado exponencial. Explica que los pronósticos son importantes para la planificación de negocios y pueden clasificarse según su horizonte temporal o por si predicen demanda, recursos o factores económicos y tecnológicos.
1) El documento introduce la econometría y define su relación con la economía, las matemáticas y la estadística. 2) Explica que un modelo econométrico incorpora perturbaciones aleatorias a un modelo económico para tener en cuenta factores no incluidos. 3) Discutes las utilidades de los modelos econométricos como el análisis estructural, la predicción y la simulación de políticas.
Este documento presenta un curso básico de estadística descriptiva. Explica conceptos clave como variables cualitativas y cuantitativas, escalas de medida, distribuciones unidimensionales y bidimensionales. También describe métodos para tabular y graficar datos, como tablas de frecuencias, diagramas de barras e histogramas. El objetivo final es analizar conjuntos de datos y extraer conclusiones sobre el comportamiento de las variables estudiadas.
Teoria 1 y 2 Introducción Estadistica descriptiva Broma 2023.pptxssuserafa633
El documento presenta los objetivos de la asignatura Estadística de la Licenciatura en Bromatología. Los objetivos incluyen adquirir habilidades para recolectar y analizar datos estadísticos de manera univariada y bivariada, así como desarrollar pensamiento crítico y habilidades de redacción con términos estadísticos. También busca fomentar el aprendizaje cooperativo. La asignatura cubrirá estadística descriptiva, distribuciones de probabilidad e inferencia estadística.
Este documento describe conceptos básicos de estadística descriptiva como variables, poblaciones, muestras, escalas y distribución de frecuencias. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para resumir y describir conjuntos de datos, mientras que la estadística inferencial proporciona métodos para analizar la información recopilada. También define términos como variable, población, muestra, escalas nominal, ordinal, de intervalo y de proporción, y describe cómo se agrupan y resumen los datos en distribuc
Este documento describe los principios básicos de la organización de datos estadísticos. Explica que la recolección de datos es el primer paso, seguido de la organización de los datos en tablas de frecuencias. Detalla los diferentes tipos de variables (cualitativas y cuantitativas) y métodos para organizar cada tipo de variable, incluyendo tablas y gráficos. Concluye enfatizando la importancia de comprender estos conceptos para tomar decisiones informadas basadas en el análisis de datos.
Este documento describe los métodos para organizar y presentar datos estadísticos. Explica que los datos deben clasificarse, ordenarse y tabularse para facilitar su análisis e interpretación. Describe dos tipos de organización: para datos cualitativos usando tablas y diagramas, y para datos cuantitativos usando distribuciones de frecuencias y gráficos como histogramas y polígonos de frecuencia. El objetivo es sistematizar la información para analizar tendencias y tomar decisiones basadas en la evidencia.
Este documento presenta los conceptos básicos de estadística descriptiva, incluyendo variables, tipos de datos, tablas de frecuencias y gráficos. Explica que la estadística es útil para la toma de decisiones en diversos campos como la medicina, ciencias sociales y los negocios. También define conceptos como variables cualitativas y cuantitativas, datos nominales, de intervalo y de razón, y métodos para organizar y resumir datos como tablas de frecuencias.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva. Explica que la estadística descriptiva se encarga de organizar, resumir y presentar datos numéricos mediante tablas y gráficos para estudiar sus aspectos más importantes. Describe las escalas de medida para variables cualitativas y cuantitativas, así como los tipos de datos, poblaciones y muestras. También cubre temas como distribuciones de frecuencias y formas de representar gráficamente los datos.
El documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva. Explica que la estadística se refiere a métodos para manejar datos numéricos con el fin de describir conjuntos de datos y realizar generalizaciones. Se dividen sus áreas en estadística descriptiva, encargada de organizar y resumir datos, y estadística inferencial, que permite generalizar información parcial. También define conceptos como población, muestra, variables, escalas de medida y tipos de datos, y describe métodos para organizar y representar datos
El documento describe conceptos básicos de estadística descriptiva como frecuencias, medidas de posición central como la media, mediana y moda, y medidas de posición no central como cuartiles, deciles y percentiles. Explica cómo se calculan y aplica estos conceptos a un ejemplo de datos sobre la estatura de estudiantes.
El documento proporciona una introducción al concepto de estadística, dividiéndola en estadística descriptiva e inductiva. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para recopilar, organizar y presentar datos, mientras que la estadística inductiva permite deducir conclusiones sobre una población a partir del análisis de una muestra. También describe los conceptos básicos de población, muestra, variables cualitativas y cuantitativas, y distribución de frecuencias.
Este documento trata sobre estadística descriptiva. Explica conceptos como variables estadísticas, población y muestra, recuento y representación gráfica de datos, agrupación de datos en intervalos, y medidas de posición como la media, moda, mediana y cuartiles. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema.
Este documento trata sobre estadística descriptiva. Explica conceptos como variables estadísticas, población y muestra, recuento y representación gráfica de datos, agrupación de datos en intervalos, y medidas de posición como la media, moda, mediana y cuartiles. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema.
El documento introduce conceptos básicos de estadística como unidad estadística, variable, población y muestra. Explica que la estadística se divide en descriptiva e inferencial. La descriptiva resume datos mediante tablas, gráficos y medidas como promedio y desviación estándar. La inferencial generaliza conclusiones de una muestra a una población usando técnicas probabilísticas. También define tipos de variables y componentes de tablas y gráficos.
El documento introduce conceptos básicos de estadística, incluyendo definiciones de estadística descriptiva e inferencial, y tipos de variables y conceptos como unidad estadística, población y muestra. Explica cómo la estadística descriptiva resume datos mediante cuadros, gráficos y medidas numéricas, mientras que la inferencial permite generalizar sobre una población a partir de una muestra.
El documento habla sobre conceptos básicos de estadística descriptiva como frecuencias, medidas de posición central como la media, mediana y moda, y medidas de posición no central como cuartiles, deciles y percentiles. Explica que la estadística descriptiva analiza series de datos para extraer conclusiones sobre el comportamiento de variables.
El documento habla sobre conceptos básicos de estadística descriptiva como frecuencias, medidas de posición central como la media, mediana y moda, y medidas de posición no central como cuartiles, deciles y percentiles. Explica que la estadística descriptiva analiza series de datos para extraer conclusiones sobre el comportamiento de variables.
Este documento presenta una introducción a la estadística. Explica que la estadística es una ciencia que se utiliza para recolectar, analizar y estudiar datos con el fin de establecer comparaciones y comprender fenómenos. Luego describe los tipos de estadística, sus aplicaciones en diversas áreas como la educación, contabilidad y administración, y conceptos clave como hipótesis, variable, datos, población y muestra. Finalmente, introduce la distribución de frecuencias y concluye que la estadística perm
2. - 2 -
ÍNDICE
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
Tema 1: Introducción a la estadística
- 1.1. Introducci ón a la estadística descriptiva
- 1.2. Nociones básicas
o 1.2.1. Nociones teóricas
o 1.2.2. Ejemplos prácticos
- 1.3. Distribuciones unidimensionales
o 1.3.1. Nociones teóricas
o 1.3.2. Ejemplos prácticos
- 1.4. Distribuciones bidimensionales
o 1.4.1. Nociones teóricas
o 1.4.2. Ejemplos prácticos
3. CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
1.1. Introducción a la estadística descriptiva
Tradicionalmente la aplicación del término estadística se ha utilizado en tres
ámbitos:
a) Estadística como enumeración de datos.
b) Estadística como descripción, es decir, a través de un análisis de
conjuntos coherentes de datos para su posterior comparación y análisis.
(ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA)
c) Estadística matemática o inferencia, unida a la teoría de de
probabilidades. Se encarga de extraer conclusiones a partir de una
muestra al total de la población con un pequeño margen de error.
(ESTADÍSTICA INDUCTIVA)
Por tanto se podría definir la estadística como “la ciencia que permite
estudiar las regularidades o patrones en un conjunto de datos para tomar
decisiones racionales”.
Todo análisis estadístico requiere seguir una serie de etapas:
1) Definición del problema de estudi o y objetivos del mismo.
2) Selección de la información necesaria para realizar el estudio.
3) Recogida de la información que va a depender del presupuesto con el
que contemos y de la calidad de los datos exigida.
4) Ordenación y clasificación de la información en tablas y gráficos.
5) Resumen de los datos mediante medidas de posición, dispersión,
- 3 -
asimetría y concentr ación.
6) Análisis estadístico formal obteniendo hipótesis y contrastándolas.
7) Interpretación de resultados y extracción de conclusiones.
8) Extrapolación y predicción.
4. 1.2. Nociones básicas de estadística descriptiva
La estadística descriptiva es la ciencia que analiza series de datos (por
ejemplo, edad de una población, peso de los trabajadores de un determinado
centro de trabajo, temperatura en los meses de verano, etc) y trata de extraer
conclusiones sobre el comportamiento de estos elementos o vari ables.
Las variables que se observan y analizan pueden ser de dos tipos:
a) Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente,
representan características o atributos de las variables (por ejemplo:
nacionalidad, sexo, religión).
b) Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, altura, precio de un
producto, ingresos anuales).
Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar atendiendo
a los valores que pueden tomar en discretas y continuas:
Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por
ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por
ejemplo, nunca podr á ser 3,45).
Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por
ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57
km/h...etc.
Cualitativas
- 4 -
Tipo de
variables
Cuantitativas
(recogidas en valor
o en intervalo)
Discretas
Continúas
5. Según sea de un tipo u otro la variable podrá medirse de distinta manera, o lo
que es lo mismo en la terminología estadística, tendrán distintas escalas de
medida.
Cualitativas
Escala nominal: Identifica la pertenencia de
un elemento sujeto u objeto a un grupo u
otro, a niveles generalmente mutuamente
excluyentes. Permite la distinción entre
elementos pero no su ordenación.
Escala ordinal: Identifica a cada elemento en
una posición de escala respecto a los otros.
Escala por intervalo: Identifica la posición
ordinal de cada elemento y permite además
medir las distancias entre unos y otros
utilizando una escala de medida subjetiva.
La información que se recoge de una o varias variables se presenta en tablas
que representan la distribución de dichas variables y también se pueden
clasificar en:
a) Distribuciones unidimensionales: sólo recogen información sobre una
característica (por ejemplo: edad de los al umnos/as de una clase).
b) Distribuciones bidimensionales: recogen información sobre dos
características de cada elemento de la población simultáneamente (por
ejemplo: edad y al tura de los alumnos/as de una clase) .
c) Distribuciones multidimensionales: recogen información sobre tres o más
características de cada elemento (por ejemplo: edad, altura y peso de los
alumnos/as de una clase).
- 5 -
Tipo de
variables
Cuantitativas
Escala de proporción: Permite medir las
distancias entre elementos utilizando una
escala de objetiva y, por lo tanto, posibilita
la utilización de razones o ratios
comparativos.
6. 1.3. Distribuciones unidimensionales
Después de una primera aproximación a los conceptos estadísticos más
importantes y básicos, el analista de información estará preparado para
abordar una de las fases más importantes que todo análisis estadístico
requiere. Es decir, una vez que hemos definido los objetivos que queremos
cubrir con el análisis y obtenido la información relevante, debemos presentarla
en tablas y gráficos para conocer mejor el problema que estamos analizando.
Las primeras herramientas para conocer y por tanto describir el problema que
estamos analizando nos las proporciona la estadística descriptiva a través de
las siguientes maneras de clasificar la información:
1.3.1. Tabulación de la información
Consiste en presentar la información organizada en tablas
v Valores de la variable sin agrupar
xi ni fi Ni Fi
X1 n1 N1/N N1 F1 = f1
X2 n2 N2/N N2 = n1 + n2 F2 = f1+ f2
Xn nn nn/N Nn = N Fn = 1
- 6 -
Σ n = N Σ fi = 1
· xi Valor de la variable
· ni Frecuencia absoluta: Número de veces que aparece un
determinado valor de x
· fi Frecuencia relativa: Número de veces que aparece un
determinado valor de x respecto al total
· Ni Frecuencia absoluta acumulada: Suma de la frecuencia
absoluta cor respondiente más todas l as anteriores
7. · Fi Frecuencia relativa acumulada: Suma de la frecuencia
relativa correspondiente más todas l as anteriores
· N Tamaño de la muestra
· Distribución
Representa los valores de la variable y la frecuencia con que
aparecen dichos valores (xi , ni)
- 7 -
· Recorrido
Diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la variable
Se utiliza este tipo de distribución cuando el número de valores
diferentes que toma la variable no es grande, generalmente menos de
15 ó 20 valor es (por ejemplo número de hijos).
v Datos de la variable agrupados
Cuando el número de valores diferentes que puede tomar la variable es
demasiado grande para que resulte fácil presentar la información de
manera reducida se utilizan los ‘intervalos’ (por ejemplo estatura de un
grupo de alumnos).
En el caso en que tengamos variables agrupadas en intervalos,
introducimos el concepto de marca de clase que es el punto medio del
intervalo. En el caso de variables agrupadas en intervalos las
frecuencias hacen referencia al intervalo y nunca a valores concretos de
dicho intervalo. Puede haber intervalos de la misma o distinta amplitud
(ci). La distribución en este caso viene dada por el extremo inferior (Li-1),
el extremo superior (Li) y la frecuencia (Li-1- Li, ni).
8. Ejemplo 1: Supongamos que queremos hacer un estudio en una clase
de universitarios. Entre otras cosas, se les pregunta lo siguiente.
Pregunta 1: Edad del encuestado
Pregunta 2: Ingresos anual es familiares
A la hora de tabular la información la primera pregunta, al referirse a una
clase de universitarios donde aproximadamente casi todos los alumnos
tienen la misma edad, se hace más interesante recoger la información
sin agrupar, es decir, la tabulación quedará de la siguiente manera:
-Cuadro 1-
- 8 -
Edad Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
xi ni fi Ni Fi
18 78 0,78 78 0,78
19 15 0,15 93 0,93
20 3 0,03 96 0,96
21 2 0,02 98 0,98
43 1 0,01 99 0,99
45 1 0,01 100 1
N 100
A la hora de tabular la segunda pregunta, y como cada familia puede
tener unos ingresos distintos, si representásemos los datos sin agrupar
nos podríamos encontrar con una tabla con un dato por individuo, por lo
que es más recomendable presentar la información de la variable
agrupada en intervalos. De tal manera que la tabla resultante quedará de
la siguiente manera:
9. -Cuadro 2-
- 9 -
Ingresos Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
xi ni fi Ni Fi
Menos de 18.000 € 5 0,05 5 0,05
[ 18.000€ - 24.000€ ) 10 0,10 15 0,15
[ 24.001€ - 30.000€ ) 10 0,10 25 0,25
[ 30.001€ - 36.000€ ) 30 0,30 55 0,55
[ 36.001€ - 42.000€ ) 30 0,30 85 0,85
Más de 42.000 € 15 0,15 100 1
N 100
1.3.2. Representaciones gráficas de la información
Las representaciones gráficas de los datos ofrecen una idea más
intuitiva y más fácil de interpretar de un conjunto de datos sometidos a
investigación. Por ello las representaciones gráficas se convierten en un
medio muy eficaz para el análisis ya que las regularidades se recuerdan
con más faci lidad cuando se obser van gráficamente.
v Representaciones gráficas para datos sin agrupar
Diagrama de barras: representa frecuencias sin acumular. Estos
gráficos son válidos para datos cuantitativos (de tipo discreto) y
cualitativos. En el eje ‘y’ se pueden representar tanto las
frecuencias absolutas como relativas
10. -Gráfico 1- Diagrama de barras
-Frecuencia absoluta de la edad de los alumnos-
-Frecuencia absoluta acumulada de la edad de los alumnos-
- 10 -
80
60
40
20
0
18 19 20 21 43 45
Diagrama de escalera: representa frecuencias acumuladas de un
conjunto de datos. Este gráfico puede representar tanto las
frecuencias absolutas como relativas.
-Gráfico 2- Diagrama de escalera
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
18 19 20 21 43 45
11. v Representaciones gráficas para datos agrupados
Histograma: representa frecuencias sin acumular. Este gráfico es
válido para datos cuantitativos de tipo continuo o discreto si tiene
un gran número de datos. El histograma está formado por
rectángulos de área igual o proporcional a la frecuencia
observada.
Área = base * al tura
ni = ci * altura
altura = densidad de fr ecuencia = ni/ci
Es decir la altura del rectángulo vendrá dada por ni y será
proporcional a dicho valor (también se llama función de densidad).
Por tanto en el caso de inter valos iguales, la altura nos está dando
una idea de cual es el intervalo más frecuente (aquel cuya barra
del histograma sea más alta). En el caso de construir el
histograma utilizando fi la suma total del área del histograma será
igual a 1.
A continuación vamos a ver unos ejemplos de histogramas en los
dos casos comentados anteriormente, es decir, con intervalos
iguales y con intervalos distintos.
- 11 -
13. Polígono de frecuencias acumuladas: representa frecuencias
acumuladas. Su construcción se realiza levantando sobre las
marcas de clase, localizadas en el eje de abscisas, puntos de
altura igual a la frecuencia observada. La unión de estos puntos
da lugar a una línea poligonal denominada ‘polígono de
frecuencias’.
-Gráfico 5- Polígono de frecuencias acumuladas
- 13 -
Ingresos Frecuencia
absoluta Marca de clase Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
xi ni fi Ni Fi
Menos de 18.000 € 5 15.000 0,05 5 0,05
[ 18.000€ - 24.000€ ) 10 21.000 0,10 15 0,15
[ 24.001€ - 30.000€ ) 10 27.000 0,10 25 0,25
[ 30.001€ - 36.000€ ) 30 33.000 0,30 55 0,55
[ 36.001€ - 42.000€ ) 30 39.000 0,30 85 0,85
Más de 42.000 € 15 45.000 0,15 100 1
N 100
40
30
20
10
0
Menos de 18.000
€
[ 18.000
€ - 24.000
€ )
[ 24.001
€ - 30.000
€ )
[ 30.001
€ - 36.000
€ )
[ 36.001
€ )
Más de 42.000
€ - 42.000
€
Tanto los histogramas como los polígonos de frecuencia se pueden
realizar con frecuencias absolutas o relativas.
14. - 14 -
Gráficos de sectores
Estos gráficos se basan en un círculo o bien en un semicírculo y
consiste en dividir el círculo o semicírculo en sectores cuyas áreas
sean proporcionales a cada uno de los términos de la serie.
Generalmente se utilizan para representar series de atributos o
series cuantitativas presentadas en pocos intervalos.
-Gráfico 6- Gráfico de sectores
Xi ni
1-2 10
3-4 22
5-6 8
40
25%
55%
20%
1-2 3-4 5-6
Diagramas Gannt
Estos diagramas nos permiten conocer la evolución de una
variable en estudio desde una situación inicial hasta el momento
actual. Es un gráfico de mucha utilidad para analizar crecimientos,
tendencias, en definitiva, la evolución de la serie en el tiempo.
16. 1.3.3. Medidas resumen de las distribuciones de frecuencias
El siguiente paso que debe dar el analista de la información es resumir la
información que tiene disponible una vez que la ha organizado y representado
mediante la tabulación y los gráficos. Para resumir la información dispone de
las siguientes medidas que son distintas funciones de la variable:
- Medidas de posición
- Medidas de dispersión
- Medidas de asimetría
- Medidas de apuntami ento o curtosis
- Medidas de concentr ación
x x f
- 16 -
a) Medidas de posición
v Medidas de posición central
Estas medidas pretenden caracterizar la distribución de la variable/s que
estamos analizando por los valores del centro. Es decir, son valores
representativos de todos los valores que toma la variable.
Ø Media aritmética:
Representa el centro de gravedad de una distribución y se define como la
suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuenci as relativas y
lo denotaremos por y se calcula mediante la expresión:
å å
= =
= =
n
i
x n
i i
n
i
i i N
1 1
*
*
17. dónde xi representa el valor de la variable en distribuciones no agrupadas o
la marca de clase en distribuciones agrupadas. Es decir, en este último
caso, se hace el supuesto que la frecuencia del intervalo está agrupada en
la marca de clase.
El inconveniente de la media aritmética es que es muy sensible a los
valores extremos de una di stribución.
Ø Media aritmética simple y ponderada
Hay veces donde hay que obtener una media aritmética de variables cuyos
valores observados tienen distinta importancia y por tanto se deben
ponderar de distinta manera para obtener la media.
En el caso de que la ponderación sea distinta estaremos hablando de una
media ponderada y los valores por los cuales se ponderan los distintos
valores se llaman pesos o ponderaci ones (wi)
å
= = n
x w
å
=
i
- 17 -
i
n
i
i i
w
x
1
1
Ø Mediana
La mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra
ordenada en orden creciente o decreciente, el valor que divide en dos
partes la muestra. Para calcular la mediana debemos tener en cuenta si la
variable es discreta o continua.
18. Cálculo de la mediana en el caso discreto:
Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra.
· Si N es Impar, hay un término central, el término
+ N X que será el valor de la mediana.
N -
N
Me L ´
- 18 -
1
2
· Si N es Par, hay dos términos centrales,
+ N N X X la
1
,
2 2
mediana será la media de esos dos valores
Cálculo de la mediana en el caso de datos en i ntervalo:
Para determinar el valor de la mediana en el caso de tener representada
los valores de la variable en intervalos hay que par tir de una hipótesi s: ‘la
variable evoluciona de manera continúa y uniforme dentro del propio
intervalo’.
En este caso el cálculo de la mediana consta de dos fases, la
determinación del intervalo que contiene la mediana y el cálculo de su
valor.
1º Para determinar el intervalo en el que se encuentra la mediana se
acumulan las frecuencias y el primer intervalo cuya frecuencia
acumulada (Ni) sea mayor o igual a
N es el intervalo que contiene la
2
mediana. Si llamamos Li y Li+1 a los límites del intervalo que contiene la
mediana, ni a la frecuencia ordinaria de dicho intervalo, Ni a la frecuencia
acumulada, Ni-1 la frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior y ci la
amplitud del inter valo entonces la fórmula es la siguiente:
i
i
i
i c
n
= +
-
-
1
1
2
19. Para calcular la mediana no es preciso que todos los intervalos estén
definidos. Del único intervalo que necesitamos conocer la amplitud es
del intervalo modal.
n
i *
1 1
- 19 -
Ø Moda
La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta,
la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene
sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la
realización de ningún cálculo.
Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o
más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta
máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal
según el caso.
Cuando los datos están agrupados en intervalos se puede tomar la
marca de clase o realizar una aproximación mediante la siguiente
fórmula:
c
1
+
+
n n
Moda L
i i
1
- +
= +
donde :
Li = límite inferior de la clase modal
c = amplitud del intervalo
La moda se puede utilizar para datos cualitativos pero no tiene porqué
situarse en la zona central del gráfico.
20. v Medidas de posición no central
Estas medidas dividen a la población en partes iguales y sirven para
clasificar a un individuo dentro de una determinada muestra o población
(mismo concepto que la mediana)
N -
N
Q L ´
N -
N
D L ´
- 20 -
Ø Cuartiles
Medidas de localización que divide a la población en cuatro partes
iguales (Q1, Q2 y Q3).
Q1: Valor de la distribución que deja el 75% de los valores por encima
Q2: Valor de la variable que deja el 50% de los valores de la variable por
encima (coincide con la medi ana)
Q3: Valor de la variable que deja el 25% de los valores de la variable por
encima
i
i
i
t i c
n
= +
-
-
1
1
4
Ø Deciles
Medidas de localización que divide a la población en diez partes iguales
dk = Decil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el
k·10 % de la distribución.
i
i
i
t i c
n
= +
-
-
1
1
10
21. N -
N
P L ´
- 21 -
Ø Percentiles
Medidas de localización que divide a la población en cien partes iguales.
El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado
por el noventa y nueve por ciento restante.
Pk = Percentil k-ésimo es aquel valor que deja a su izquierda el K*1% de
la distribución
i
i
i
t i c
n
= +
-
-
1
1
100
22. Reflexiones sobre las medidas de posición central
a) La media, la mediana y la moda coinciden en toda distribución
simétrica o normal
b) La media aritmética es la medida de posición que más se utiliza pues
normalmente es la que mejor representa los datos, al intervenir todos
ellos en su deter minación. Por otra parte permite la aplicación del cálculo
de probabilidades. Ahora bien, tiene el inconveniente de que en el caso
de que exista una gran diferencia entre los valores extremos pierda gran
parte de su utilidad al estar afectada por ellos. Por ello en este caso es
más conveniente el uso de la mediana.
c) Un promedio puede actuar como medida de tendencia central
solamente si existe una cantidad considerable de concentración en la
distribución de frecuencias, es decir, que la variación no es demasiado
grande.
d) Un promedio sirve como una medida útil de localización para
comparar dos o más distribuciones de frecuencias solamente si las que
se comparan tienen aproximadamente la misma forma.
- 22 -
23. n
M x o
- 23 -
b) Medidas de dispersión
Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la
distribución, pero también es importante conocer si los valores en
general están cerca o alejados de estos valores centrales, para ver si
estos valores son o no son representativos. Es por esto por lo que surge
la necesidad de estudiar medidas de dispersión.
Los momentos son valores específicos de la distribución y van
íntimamente ligados a las medidas de dispersión y se hallan con la
siguiente fórmula:
Momento de orden r å=
= -
i
n
r i
r i t N
1
( )
Momentos respecto al origen (a1, a2...) Cuando Ot = 0
Momentos respecto a la media (m1, m2…) Cuando Ot = x
El momento de orden r es el promedio de las desviaciones de los valores
de una variable, con respecto al origen o a la media, elevadas a la
potencia r.
Relación entre momentos:
m0 = a0
a1= media
m1= 0
24. v Medidas de dispersión absolutas
- 24 -
Ø Rango o recorr ido
Es la diferencia entre el mayor valor de una variable y el menor.
Depende mucho de los val ores extremos y esto puede dar una impresión
falsa de la dispersión, por lo que se suele utilizar el rango intercuartílico
que es la diferencia entre el tercer y primer cuartel (Q3 – Q1)
Ø En valor absoluto
Estas medidas tienen las mismas unidades de medidas que la variable a
la que hacen r eferencia (Xi)
X promedio n N i
n
i
! i | /
1 å=
-
Con estas medidas de dispersión, sólo se pueden comparar, en principio
distribuciones con las mismas unidades de medi da.
25. n
- 25 -
Ø Cuadráticas
Las unidades de medida son las de la vari able elevada al cuadrado
Varianza (σ2, s2): es la media aritmética de los cuadrados de las
desviaciones respecto a la media
X promedio n N i
n
i
( i ) / 2
1 å=
-
Al igual que la media, en el caso de que los datos estén agrupados en
clases, se tomará la marca de clase como xi.
El problema de estas medidas es que para comparar variables sí tienen
diferentes unidades de medida no se pueden comparar. La solución por
tanto es eliminar las unidades de medida y por tanto necesito medidas
que no estén af ectadas por las unidades.
Para solucionar este inconveniente se hace lo siguiente:
Desviación típica = σ= s = + X promedio n N i
i
i ( ) 2 /
1 å=
-
Ambas medidas, tanto la varianza como la desviación típica siempre son
positivas.
La desviación típica es la mejor medida de dispersión y la más
empleada. Cuando las distribuciones de frecuencias se aproximan a una
distribución simétrica o normal entonces se verifica una propiedad muy
importante que consi ste, en que aproximadamente:
26. Þ El 68% de los valores de la variable están comprendidos entre
- 26 -
x ± s
Þ El 95% de los valores de la variable están comprendidos entre
x ± 2s
Þ El 99% de los valores de la variable están comprendidos entre
x ± 3s
v Medidas de dispersión relativas
Estas medidas no tienen unidades de medida
Recorrido relativo Rr
Número de veces que el recorrido contiene a la media
Rr = Re
x
Recorrido semintercuartílico Rş
c -
c
3 1
+
1 3
=
c
Rd
Coeficiente de apertura Ap
x
Ap = n
1 x
Coeficiente de variación de Pearson
A veces interesa comparar la variabilidad o dispersión de una población
desde dos puntos de vista diferentes e incluso comparar la variabilidad
de dos poblaciones o muestras distintas. Cuando no podemos utilizar la
desviación típica (porque las distribuciones son muy diferentes o porque
las variables presentan distintas unidades de medida) se utiliza el
27. coeficiente de variación ya que se obtienen medidas homogéneas y por
tanto comparables. Aquélla que mayor CV tenga nos indica una mayor
dispersión en la distribución
CV = S
n
- 27 -
x
c) Medidas de asimetría
v Asimetría
Estas medidas tratan de ver como se distribuye la variable en torno a un
eje de simetría. Este eje de simetría se fija en una recta que pase por la
media aritmética de la distribución. La asimetría también se utiliza para
comparar distribuciones por que se pretende que estas medidas
carezcan de unidades.
La medida que da el grado de asimetría de una distribución de datos es
el sesgo. Existen varias fórmulas para hallar el sesgo.
Ø Coeficiente de asimetría: cuantía de las desviaciones por encima de la
media y la cuantía de las desviaciones por debajo.
Coeficiente de asimetría de Fisher: momento de orden 3 respecto a la
media dividido por la desviación típica elevada al cubo. Este coeficiente
se calcula para distribuciones acampanadas y en for ma de ‘u’.
3
m
g1 = 3
3
1
( )3
S
S
N
x x
n
i
i
=
- å=
28. g1 > 0 Asimétrica positiva (Asimétrica por la izquierda)
g1 = 0 Simétrica
g1 < 0 Asimétrica negativa (Asimétrica por la derecha)
Ø Coeficiente de asimetría de Pearson: Este coeficiente se calcula para
distribuciones en forma de campana.
Ap x Mo
c c Me
+ -
2
3 1 c c
- 28 -
-
S
=
Ap > 0 Asimétrica por la derecha (Mo > x)
Ap = 0 Simétrica
Ap < 0 Asimétrica por la izquierda (Mo < x)
Ø Coeficiente de asimetría de Bowley
3 1
Ab
-
=
Ab > 0 Asimétrica por la derecha
Ab = 0 Simétrica
Ab < 0 Asimétrica por la izquierda
29. d) Medidas de apuntamiento o curtosis
Con el coeficiente de Curtosis se pretende observar como se distribuyen los
valores centrales de nuestra variable. Para ello se compara la distribución
que se esté analizando con la distribución normal. Estas medidas nos van a
indicar si la distribución tiene una forma de campana más o menos
apuntada que la distribución normal.
4
g m
2 = -
k Q
3 1 Q - Q
- 29 -
3
4
s
g2> 0 Leptocúrti ca (perfil estirado)
g2 = 0 Mesocúrtica (perfil intermedio)
g2 < 0 Pleticúrtica (perfil achatado)
El apuntamiento tiene como unidad de medida la curtosis. Para medir la
curtosis (K) pueden utilizarse los cuartiles y per centiles:
P -
P
90 10 =
donde:
K= coeficiente de curtosis percentílico
Q= rango semiintercuartílico (
2
)
P90= Percentil 90
P10= Percentil 10
30. - 30 -
e) Medidas de concentración
Estas medidas tienen por finalidad medir la uniformidad del reparto de la
frecuencia total de una variable. Por ejemplo, si un grupo de trabajadores,
percibieran el mismo salario, la uniformidad de la variable sería absoluta;
por el contrario, en un caso hipotético, si la masa total de los salarios fuera
percibida por un solo trabajador, entonces la falta de uniformidad sería total-en
este caso diremos que la concentración es máxima. Lógicamente,
cuando se tiende a la uniformidad absoluta, la media aritmética es
perfectamente representativa de la distribución de frecuencias,
contrariamente a lo que sucede cuando la concentración es máxima.
Las medias más habituales para la medición de la concentración de una
distribución de frecuencia son:
v Curva de Lorenz: Medida gráfica
La curva de Lorenz es una representación gráfica que se obtiene de colocar
en los ejes de abscisas y coordenadas los porcentajes acumulados del
número de observaciones y del total del valor de la variable analizada. Por
ser idénticos tanto la escala como el campo de variación de cada uno de los
ejes, la curva de Lorenz encaja perfectamente en un cuadrado. Se
representa también la diagonal que arranca desde el origen, que se toma
como punto de r eferencia de la curva.
Si la variable analizada fuese totalmente uniforme, la curva de lorenz
coincidiría con el dibujo de la diagonal dibujada. En el caso opuesto, la
curva de Lorenz estaría formada por los lados inferior y derecho del
cuadrado.
31. - 31 -
v Índice de Gini
La curva de Lorenz es ilustrativa de la concentración de una distribución.
Sin embargo, es conveniente disponer de un indicador que nos permita
valor numéricamente dicha concentración y, al mismo tiempo, facilite la
comparación entre dos distribuciones. Este es el Índice de Gini o índice de
concentración.
El índice de Gini se define como el cociente entre el área rayada entre la
curva de Lorenz y la diagonal principal y el área comprendida entre uno de
los dos triángulos obtenidos por la diagonal principal.
El Índice de Gini, por tanto, varía entre 0 y 1, aproximándose a 1 cuando la
concentración tiende a ser máxima, y a 0 en caso con trario.
Numéricamente, el índice de Gini sólo se puede calcular a través de un
sistema de cál culo de áreas.
32. 1.4. Distribuciones bidimensionales
La mayoría de los fenómenos que se estudian en cualquier disciplina están
determinados por la observación de distintas variables relativas a dicho
fenómeno. Es decir, si queremos estudiar las características de un producto y
compararlo con los de la competencia normalmente se recogerá información
sobre distintos atributos del producto como por ejemplo tamaño, color, precio,
unidades vendidas, etc. Es decir, todas estas características son variables
referentes a nuestro producto y por tanto tendremos distribuciones que no
serán unidimensionales. En concreto vamos a analizar las distribuciones
bidimensionales que consiste en el estudio de dos características a la vez en
una muestra.
Los dos caracteres observados no tienen por qué ser de la misma clase, así
nos podemos encontr ar con las siguientes situaciones:
Tipos variables ( X, Y ) Ejemplo
Variables cualitativas Categórica / Categórica Sexo y clase social
- 32 -
Variables cuantitativas
Discreta / Discreta Número de hermanos y número de hijos.
Continua / Continua Peso y altura
Discreta / Continua Pulsaciones y temperatura cuerpo
Cualitativa y cuantitativa
Categórica / Discreta Sexo y número de cigarrillos
Categórica / Continua Sexo e ingresos
Otro factor a tener en cuenta es que el número de modalidades distintas que
adopta el carácter X no tiene por qué ser el mismo que el que adopta el
carácter Y:
X = { x1, x2, x3, ..., xj} ; Y = { y1, y2, y3, ..., yk}
33. n
f ij
ij =
- 33 -
a) Tabulación cruzada
En el caso de distribuciones bidimensionales a la hora de organizar los datos y
observar la relación entre dos variables se utilizan las tablas de doble entrada.
Estas tablas t ienen la siguiente estructura:
y
x
Y1 Y2 . Yj . Yk ni.
X1 n11 n12 n1j n1k n1.
X2 n22 n2j n2k n2.
.
Xi nij ni.
.
Xh nh1 nh2 nhk nh.
n.j n.1 n.2 n.j n.k N
Ø nij : Frecuencia conjunta
Número de veces que aparece el valor Xi con Yj
Ø ni.: Frecuencia marginal de la variable X
Ø n.j: Frecuencia marginal de la variable y
Ø N: Suma del total de las observaciones
Ø (xi yj nij): Distribución conjunta
Ø (xi ni.): Distribución marginal de X
Ø (yj nj.): Distribución marginal de y
En este tipo de representación también podemos representar las frecuencias
relativas. Basta con dividir las frecuencias conjuntas entre el número total de
observaciones:
N
34. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de pares observados
(N):
åå
= =
=
h
i å = . ; n N
. = ;
- 34 -
h
i
k
j
nij N
1 1
La suma de l as frecuencias relativas es igual a la unidad:
åå åå
= = = =
n
= =
i
k
j
ij
h
i
k
j
ij N
f
1 1 1 1
1
Una tabla de doble entrada también se puede expresar como una tabla simple
o marginal, de forma que siempre es posible pasar de una a otra según
convenga.
Distribuciones Marginales
Si en una tabla de doble entrada utilizamos solamente los valores
correspondientes a X, sin que para nada intervengan los valores de la variable
y, esta distribución se denomina distribución marginal de la variable X.
Análogamente cuando tomamos los valores de la variable y sin tener en cuenta
los valores de la variable x estamos ante l a distribución marginal de y.
De las frecuencias absolutas marginales se obtienen las frecuencias relativas
marginales. Y de igual forma podemos obtener las medias, varianzas y
desviaciones típicas marginales.
Frecuencias absolutas marginales
n N
i
j å . =
j
Frecuencias relativas marginales
n
f i
i
.
N
n
f j
N
j
.
. =
35. n x Y y
( / = )
n y X x
( / )
- 35 -
Medias marginales
=
x n
i åi = 1
N
x
h
i
.
;
y =
n
j i = å1
N
y
k
j
.
Varianzas marginales
x x n
N
s
h
i
i i
x
å=
-
= 1
.
2
.
2
( )
;
y y n
N
s
k
j
j j
y
å=
-
= 1
.
2
.
2
( )
Desviaciones típicas marginales
x x n
N
s
h
i
i i
x
å=
-
= 1
.
2
. ( )
;
y y n
N
s
k
j
j j
y
å=
-
= 1
.
2
. ( )
Distribuciones condicionadas
En ocasiones podemos necesitar condicionar los valores de la variable Y a un
determinado valor de X o viceversa. Estas distribuciones así obtenidas se
denominan: distribución de la variable Y condicionada a X=xi o distribución de
la variable X condicionada a Y=y j
{ } { } i j j j ij hj n(x /Y y n , n ,..n , n 1 2 = =
{ } { } j i i i ij ik n(y / X x n , n ,..n , n 1 2 = =
( i / j ) n x Y = y =
i j
n
j
.
j i
.
n y X x
( / )
i
j i n
=
= =
36. Dependiendo del tipo de variables con el que estemos construyendo la tabla
hablamos de tabl as de contingenci a o tablas de correlación:
- 36 -
Tipo de
variables
Cualitativas
(al menos 1)
Cuantitativas
b) Representación gráfica
v DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
TABLAS DE CONTINGENCIA
TABLAS DE CORRELACIÓN
El diagrama de dispersión es la representación sobre unos ejes cartesianos de
los distintos valores de la variable (X, Y). En el eje de abscisas representamos
los valores de X y en el de ordenadas los valores de Y, de tal forma que cada
par viene representado por un punto del plano XY.
En el caso de que las dos variables estén agrupadas en intervalos el diagrama
se construye mediante casillas que tienen dentro tantos puntos como el valor
de la frecuencia absoluta correspondiente a los intervalos X e Y.
Si las variables que componen el par son una discreta y otra continua se
utilizan las marcas de clase, si endo un caso si milar al primero
Los diagramas de di spersión también se conocen como nube de puntos.
37. - 37 -
v DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS
Como en un diagrama de dispersión no puede quedar reflejado las veces que
se repite un par o un intervalo, hemos de recurrir a una representación en tres
dimensiones de (X, Y). Dos son para la variable bidimensional y una dimensión
para expresar las frecuenci as.
La figura adjunta representa los datos del ejemplo 1. La variable X toma los
valores 10, 15,... y la variable Y los valores 0, 1,2,...; en el eje Z están
representadas las fr ecuencias absolutas del par (X, Y).
38. c) Medidas de resumen y asociación
A continuación vamos a estudiar las medidas de resumen para el caso de
distribuciones bidimensionales con variables cuantitativas.
Ø Cuando hay pocos datos o están muy agr upados (tablas de 2 o 3 columnas)
Aparece un parámetro nuevo que es la covarianza que es la media aritmética
de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias
respectivas. Es decir, representa la variación conjunta de las dos variables que
se estén analizando y pueden tener cualquier signo. Viene representada por la
siguiente expresión:
x x y y
- 38 -
Sxy = m11 = åå
= =
- -
n
i
k
j
ij
n
i j N
1 1
( )( )
Sí Sxy es mayor que 0 las dos variables se mueven en el mismo sentido (D x D
y)
Sí Sxy es menor que 0 las dos variables se mueven en distinto sentido (D x D y)
Ø Cuando hay muchos datos (tablas de doble entrada)
Puede pasar que se quiera medir la relación que existe entre dos conjuntos de
datos, es decir la dependencia o independencia estadística entre dos variables
de una distribución bidimensional. Por ejemplo, si se analiza la estatura y el
peso de los alumnos de una clase es muy posible que exista relación entre
ambas variables: mientras más alto sea el alumno, mayor será su peso.
Entonces vamos a obtener la correlación o dependencia entre dos variables.
Según sean los diagramas de dispersión podemos establecer los siguientes
casos:
39. o Independencia funcional o correlación nula: cuando no existe ninguna
relación entre las variables. (r = 0)
o Dependencia funcional o correlación funcional: cuando existe una
función tal que todos los valores de la variable la satisfacen (a cada valor
de x le corresponde uno solo de y o a la inversa) (r = ± 1)
o Dependencia aleatoria o correlación lineal: cuando los puntos del
diagrama se ajustan a una línea recta o a una curva, puede ser positiva
o directa, o negativa o inversa (-1<r<0 ó 0<r<1)
Para establecer estas relaciones tenemos las siguientes medidas
1. Coeficiente de correlación lineal: es una forma de cuantificar más precisa el
tipo de correlación que hay entre las dos variables.
2. Regresión: consiste en ajustar lo más posible la nube de puntos de un
diagrama de dispersión a una curva. Cuando esta es una recta obtenemos la
recta de regresión lineal, cuando es una parábola, regresión parabólica, cuando
es una exponencial, r egresión exponenci al, etc. (lógicamente r debe ser distinto
de 0 en todos los casos).
- 39 -
1. Coeficiente de correlación lineal
El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de esta posible
relación entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que
puede existir entre las variables es lineal (es decir, si representáramos en un
gráfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se
aproximaría a una recta).
40. No obstante, puede que exista una relación que no sea lineal, sino exponenci al,
parabólica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlación lineal mediría mal
la intensidad de la relación las variables, por lo que convendría utilizar otro tipo
de coeficiente más apropiado. Para ver, por tanto, si se puede utilizar el
coeficiente de correlación lineal, lo mejor es representar los pares de valores en
un gráfico y ver que forma describen.
El coeficiente de correlación lineal se calcula aplicando la siguiente fórmula:
- 40 -
Es decir:
Numerador: se denomina covarianza. Se suma el resultado obteni do de todos
los pares de valores y este resultado se divide por el tamaño de la muestra.
Denominador: es la raíz cuadrada del producto de las varianzas de "x" y de
"y".
Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación "r" son: -1 < r < 1
Si "r" > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube
el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se apr oxime a 1.
Por ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más.
41. Si "r" < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable
disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto
más se aproxime a -1.
Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos más gordos suelen correr menos.
Si "r" = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir
otro tipo de correlación (parabólica, exponencial, etc.)
De todos modos, aunque el valor de "r" fuera próximo a 1 o -1, tampoco esto
querría decir obligatoriamente que exi ste una relación de causa-efecto entre las
dos variables, ya que este resultado podría haberse debido al puro azar.
- 41 -
2. Regresión lineal
Si representamos en un gráfico los pares de valores de una distribución
bidimensional: la variable "x" en el eje horizontal o eje de abcisa, y la variable
"y" en el eje vertical, o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue
una tendenci a lineal:
El coeficiente de correlación lineal nos permite determinar si, efectivamente,
existe relación entre las dos variables. Una vez que se concluye que sí existe
relación, la regresión nos permite definir la recta que mejor se ajusta a esta
nube de puntos.
42. Una recta viene definida por la siguiente fórmula:
y = a + bx
Donde "y" sería la variable dependiente, es decir, aquella que viene definida a
partir de la otra variable "x" (variable independiente). Para definir la recta hay
que determinar los valores de los parámetr os "a" y "b":
El parámetro "a" es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la
variable independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje
vertical. El parámetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de
inclinación. La regresión lineal nos permite calcular el valor de estos dos
parámetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.
El parámetro "b" viene determinado por la siguiente fórmula:
Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza de la variable "x".
El parámetro "a" viene determinado por:
a = ym - ( b * xm )
Es la media de la variable "y", menos la media de la variable "x" multiplicada
por el parámetro "b" que hemos cal culado.
- 42 -
43. - 43 -
Ejercicios:
1. El curso MEB de ESCP-EAP obtiene las siguientes puntuaciones en un test
de habilidad mental
43 40 41 50 62 35 38 50 32 35 36 45 58 30 33 45 49 46 47 51 64 36 39 51 51
48 49 53 66 38 41 43 71 45 46 55 68 40 53 55 52 49 50 59 62 45 48 60 32 30
40 39 42 30 35 40 38 36 46 45 68 50 69 69
Se pide:
a) Formar una distribución de frecuencias con 14 intervalos
b) Hacer la representación gráfica del polígono de frecuencias
c) Hacer la representación gráfica del histograma
d) Hacer la representación gráfica de las frecuencias acumuladas relativas
2. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos de Primaria en un
test de habi lidad sicomotora, ha dado las puntuaciones siguientes:
x xi ni ni xi Ni fi Fi
60-63 61,5 2 123 2 1% 1%
56-59 57,5 12 690 14 7% 8%
52-55 53,5 18 963 32 10% 18%
48-51 49,5 36 1782 68 21% 39%
44-47 45,5 38 1729 106 22% 61%
40-43 41,5 20 830 126 11% 72%
36-39 37,5 18 675 144 10% 82%
32-35 33,5 10 335 154 6% 88%
28-31 29,5 8 236 162 5% 93%
24-27 25,5 6 153 168 3% 96%
20-23 21,5 4 86 172 2% 98%
16-19 17,5 2 35 174 1% 99%
12-15 13,5 0 0 174 0% 99%
8-11 9,5 0 0 174 0% 99%
4-7 5,5 1 5,5 175 1% 100%
N 175 7642,5 100%
44. - 44 -
Se pide:
a) Hallar la media
b) Hallar la mediana
c) Hallar Q1 y Q3
d) Hallar los percentiles 18 y 84
e) Hallar la moda
3. El primer curso de soci ología ha obteni do una nota media al final del curso
de 5,7 de un total de 110 alumnos. El segundo curso una nota media de
6,6 de un total de 60 alumnos y el curso tercero una nota media de 5,1 de
un total de 48 alumnos. ¿Cuál es la nota media de los tres cursos?
4. Dada la tabl a siguiente:
15 19 31 30 23 76 13 35 27 32 77 35 24 18 18 15 45 76 81 27 76 23 18 18
75 15 69 14 75 63 29 19 81 15 29 81 45 17 15 41 18 31
Se pide:
a) El recorrido de los datos
b) Agrupar los datos en 8 intervalos
c) Calcular la amplitud de los intervalos
d) La desviación media
e) La desviación típica
f) Los cuatro momentos
g) La asimetría
h) La curtosis
45. 5. Dada la siguiente distribución calcular todos los coeficientes de asimetría
y explicar el significado de su val or :
- 45 -
Puntuaciones ni
80-84 8
75-79 7
70-74 5
65-69 6
60-64 12
55-59 6
50-54 9
45-49 4
40-44 5
62