Estadística descriptiva

Estadística Descriptiva
Prof. Eliana Guzmán U.
Compilado por: Ma. del Carmen
Gómez

Concepto de Estadística
 Se refiere a un conjunto de
métodos para manejar la
obtención, presentación y
análisis de observaciones
numéricas.
Tema1.Introducción

Concepto de Estadística
 Sus fines son describir al conjunto
de datos obtenidos y tomar
decisiones o realizar
generalizaciones acerca de las
características de todas las
observaciones bajo consideración.
Tema1.Introducción

Áreas que conforman a la Estadística
 Estadística Descriptiva (Deductiva):
es la encargada de la organización,
condensación, presentación de los
datos en tablas y gráficos y del
cálculo de medidas numéricas que
permitan estudiar los aspectos más
importantes de los datos.
Tema1.Introducción
DESCRIBIRDESCRIBIR

Áreas que conforman a la Estadística
 Estadística Inferencial o Inferencia
Estadística: está definida por un
conjunto de técnicas, mediante las
cuales se hacen generalizaciones o
se toman decisiones en base a
información parcial obtenida
mediante técnicas descriptivas.
Tema1.Introducción
INFERIRINFERIR

Áreas de Aplicación de la Estadística
 El uso de la Estadística es muy amplio.
Resulta difícil nombrar un área en la cual no
se emplee.
 Los métodos estadísticos han encontrado
aplicación en:
 Gobierno
 Negocios
 Ciencias Sociales
 Ingeniería
 Ciencias Física y Naturales
 Control de Calidad
 Procesos de Manufactura
 Muchos otros campos de la actividad intelectual.
Tema1.Introducción

Áreas de Aplicación de la Estadística
 Esto se debe a la creciente facilidad
con la cual se pueden manejar
grandes cantidades de datos
numéricos, debido al uso de …
Tema1.Introducción

Conceptos de Población y Muestra
 Población: es la colección de todas
las posibles mediciones u
observaciones que pueden hacerse
de una variable bajo estudio.
Tema1.Introducción

 Se clasifica en dos categorías:
 Finita: es aquella que incluye una
cantidad limitada contable de
observaciones, individuos o medidas.
Siempre que sea posible alcanzar
(contar) el número total de todas las
posibles mediciones, se considera como
finita la población.
Tema1.Introducción

 Infinita: es aquella que incluye un gran
conjunto de observaciones o
mediciones que no pueden alcanzarse
por conteo. Al menos, hipotéticamente,
no existe límite en cuanto al número de
observaciones que el experimento
puede generar.
Tema1.Introducción

 Muestra:
 es un conjunto de mediciones u
observaciones tomadas a partir de una
población.
 es un subconjunto de la población.
Tema1.Introducción

 Muestra aleatoria: se considera
aleatoria siempre y cuando cada
observación, medición o individuo
de la población tenga la misma
probabilidad de ser seleccionado.
Tema1.Introducción

Tipos de datos y escalas de medida
 Variables:
 son las características o lo que se
estudia de cada individuo de la
muestra. Ej: sexo, edad, peso,
estatura, color de ojos, estado civil,
temperatura, cantidad de nacimientos,
presión, grosor, diámetro, ...
 Datos:
 son los valores que toma la variable en
cada caso.
Tema1.Introducción

Tipos de datos
 Cualitativos: son datos que solo toman
valores asociados a las cualidades o
atributos, clasificándolos en una de varias
categorías, es decir, no son valores
numéricos. Ej:
 Sexo: f/m.
 Hábito de fumar: Fumador/No fumador
 Color de ojos: negro, azul, marrón, …
 Religión: católica, evangélica, …
 Estado civil: soltero, casado, divorciado,…
Tema1.Introducción

Tipos de datos
 Cuantitativos: provienen de variables que
pueden medirse, cuantificarse o
expresarse numéricamente. Ejemplos:
 Peso
 Edad
 Estatura
 Presión
 Humedad
 Intensidad de un sismo
 Cantidad de hermanos
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Tipos de variables cuantitativas:
 Discretas: es aquella que solo puede
tomar un número finito o infinito
numerable de valores. Ejemplo:
cantidad de hermanos.
 Continuas: es la variable que puede
tomar cualquier valor en una escala
continua. Ejemplo: cantidad de líquido
contenido en un recipiente.
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala Nominal.
 Escala Ordinal.
 Escala de Intervalos.
 Escala de Razón o Proporción.
 Escala Absoluta.
Variables Cualitativas
Variables
Cuantitativas
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala nominal: los datos se
pueden agrupar en categorías que
no mantienen una relación de
orden entre si, por lo tanto no
están definidas las operaciones
lógicas (>, <, ≤, ≥) sino solo las de
igualdad o diferencia.
 Ejemplos: color de ojos, sexo,
profesión, estado civil, religión.
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala ordinal: existe un cierto
orden o jerarquía entre las
categorías (>, <, ≤, ≥).
 Ejemplos: grados militares,
organigrama de una empresa,
escalafón de los profesores
universitarios, grados de disnea,
estadiaje de un tumor.
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala de Intervalos: valores numéricos
de las variables y además de las
relaciones de orden (>, <, ≤, ≥), se
pueden establecer distancias, es decir,
tienen sentido las operaciones de suma y
resta. Tiene dos propiedades:
 Existe una unidad de medida que se mantiene
constante para todos los valores que toma la
variable.
 Existe un valor patrón u origen relativo que
no significa la ausencia de valor en la
variable.
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Ejemplo: temperatura, nivel de
ruido, movimientos sísmicos.
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala de razón o proporción: es la
más completa y general de todas las
escalas. Se caracteriza porque los
valores de la variable son números
entre los cuales, además de las
relaciones de orden (>, <, ≤, ≥) y
distancia (+,-), se pueden establecer
múltiplos y proporciones.
 Ejemplos: peso, altura, volumen…
Tema1.Introducción

Escalas de medida
 Escala Absoluta: se caracteriza
porque los valores que toma la
variable son el resultado de contar y
por lo tanto, está constituida por los
enteros positivos y el cero.
 Ejemplos: número de hermanos,
cantidad de autos vendidos,
cantidad de accidentes en una
intersección, cantidad de hijos,…
Tema1.Introducción

Datos Univariantes y Multivariantes
 Univariantes o unidimensionales:
sólo recogen información sobre una
característica (Ej: edad de los
alumnos de una clase).
 Bivariantes o bidimensionales:
recogen información sobre dos
características de la población. (Ej:
edad y estatura de los alumnos de
una clase).
Tema1.Introducción

Datos Univariantes y Multivariantes
 Multivariantes o pluridimensionales:
recogen información sobre tres ó
más características. (Ej: edad,
estatura y peso de los alumnos de
una clase).
Tema1.Introducción

Abusos que se pueden cometer con la
Estadística
 Conclusiones erróneas debido a que los
datos son numéricamente insuficientes.
 Representaciones gráficas engañosas
(escalas).
 Datos muestrales no representativos:
 Muestra que no incluye a elementos de toda la
población.
 Ciertas categorías de personas no responden
correctamente.
 Respuestas voluntarias (sesgadas).
Tema1.Introducción

TEMA 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Organización de los datos
 Una vez que se ha
realizado la
recolección de los
datos, se obtienen
datos en bruto,
los cuales rara vez
son significativos
sin una
organización y
tabulación.
Tema2.EstadísticaDescriptiva

 Formas de organizar los datos:
 Un arreglo: es la forma más sencilla de
organizar los datos en bruto, consiste en
colocar las observaciones en orden según su
magnitud: ascendente o descendente.
 Poco práctica cuando se tiene una gran
cantidad de datos.

 Una distribución de frecuencias: es un
arreglo de los datos que permite expresar
la frecuencia de ocurrencias de las
observaciones en cada una de las clases,
mostrando el patrón de la distribución de
manera más significativa.
Clase Pto.
Medio
fi Fi fri FRi

 La Distribución de Frecuencias:
 Se recomienda su uso cuando se tienen
grandes cantidades de datos (n).
 Su construcción requiere, en primer
lugar, la selección de los límites de los
intervalos de clase.
 Para definir la cantidad de intervalos
de clase (k), se puede usar:
 La regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n)
 k = √n

 La cantidad de clases no puede ser tan
pequeño (menos de 5) o tan grande (más
de 20), que la verdadera naturaleza de la
distribución sea imposible de visualizar.
 La amplitud de todas las clases deberá ser
la misma. Se recomienda que sea impar y
que los puntos medios tengan la misma
cantidad de cifras significativas que los
datos en bruto.
 Los límites de las clases deben tener una
cifra significativa más que los datos en
bruto.

 Determinar:
 Punto medio = (Li+Ls)/2.
 Frecuencia absoluta de la clase (fi).
 Frecuencia acumulada de la clase (Fi).
 Frecuencia relativa de la clase (fri):
 fri = fi/n
 Frecuencia relativa acumulada de la
clase (FRi).

A continuación se presentan
las calificaciones de 60
estudiantes que
presentaron la PINA en el
año 2009:
Ejemplos de Distribución de
Frecuencias

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36
80 77 81 95 41 65 92 85 55 76
52 10 64 75 78 25 80 98 81 67
41 71 83 54 64 72 88 62 74 43
60 78 89 76 84 48 84 90 15 79
34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
a) Construya una distribución de frecuencias.
b) Qué puede concluir de estos datos.
Ejemplos de Distribución de
Frecuencias

Representación gráfica de los datos
 Los gráficos permiten visualizar en forma
global y rápida el comportamiento de los
datos.
 Para datos cuantitativos agrupados en
clases, comúnmente se utilizan tres
gráficos:
 Histogramas.
 Polígono de frecuencias.
 Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas.

Histograma

Histograma y Polígono de Frecuencias

Ojiva

 Para datos cualitativos se usan:
 Curvas
 Barras
 Sectores

Barras
Barras

Curvas

Sectores, torta o circular

Ejemplos de construcción
de gráficos

Medidas de tendencia central o
posición
 Corresponden a valores que
generalmente se ubican en la parte
central de un conjunto de datos.
 Forma como los datos pueden
condensarse en un solo valor
central alrededor del cual todos los
datos muestrales se distribuyen.

Medidas de tendencia central o
posición
 Las medidas de tendencia central
más importantes son:
 Media: Aritmética y Aritmética
ponderada.
 Mediana.
 Moda.

Media Aritmética
 Es la suma de todas las observaciones dividida entre
el número total de observaciones.
 Expresada de forma más intuitiva, podemos decir
que la media aritmética es la cantidad total de la
variable distribuida a partes iguales entre cada
observación. (wikipedia)
 Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas,
la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería
el resultado de tomar todo el dinero de los tres y
dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es
decir, la media es una forma de resumir la
información de una distribución (dinero en el bolsillo)
suponiendo que cada observación (persona) tendría
la misma cantidad de la variable. (wikipedia)

Cálculo de la media aritmética
 Para datos no agrupados:
n
x
X
n
i
i∑=
= 1
 Para datos agrupados:
n
fm
X
k
i
ii∑=
= 1
Donde: mi: punto medio de la clase i
fi: frecuencia absoluta de la clase i
k: cantidad de clases

Mediana
 Es el valor que ocupa la posición
central de un conjunto de
observaciones, una vez que han
sido ordenados en forma
ascendente o descendente.
 Divide al conjunto de datos en dos
partes iguales.

Cálculo de la mediana
 Para datos no agrupados:
 Si n es impar: posición donde se ubica
la mediana es igual a (n+1)/2.
 Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por
lo tanto la mediana será igual al
promedio de las dos posiciones
centrales.

Cálculo de la mediana
 Datos agrupados: clase mediana es la
que contiene a la observación que
ocupa la posición n/2.
Cm
xf
xF
n
LmMd
m
m
)(
)(
2
1
1−−
+
+=
Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana.
F(xm-1): frecuencia acumulada de la clase
anterior a la clase mediana.
f(xm): frecuencia absoluta de la clase mediana.
Cm: amplitud de la clase mediana.

Moda
 Observación o clase que tiene la
mayor frecuencia en un conjunto de
observaciones.
 Un conjunto de datos puede ser
unimodal, bimodal o multimodal.
 Es la única medida de tendencia
central que se puede determinar
para datos de tipo cualitativo.

Cálculo de la moda
 Para datos no agrupados: es simplemente
la observación que más se repite.
 Para datos agrupados:
CmLimMo
21
1
∆+∆
∆
+=
Donde: Lim: límite inferior de la clase modal.
∆1: diferencia entre fi de la clase modal y la
anterior.
∆2: diferencia entre fi de la clase modal y la
posterior.
Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor
frecuencia).

Relación entre la media, la mediana y
la moda
Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md

Propiedades, ventajas y desventajas
de la media
Propiedades:
 La suma de las diferencias entre las
media muestral y el valor de cada
observación es cero.
 La media de una constante es la
constante.
 Si todas las observaciones xi se
multiplican por una constante a, la X
también se debe multiplicar por ese
mismo valor constante.

de la media
 Si se somete a una variable
estadística X a un cambio de origen
y escala, Y = a + bX, la media
aritmética de dicha variable X varía
en la misma proporción.
 La media de la suma de dos
variables es igual a la suma de sus
medias.

de la media
Ventajas:
 Emplea en su cálculo toda la
información disponible.
 Se expresa en las mismas unidades
que la variable en estudio.
 Es el centro de gravedad de toda la
distribución, representando a todos
los valores observados.
 Es una valor único.

de la media
 Se trata de un concepto familiar
para la mayoría de las personas.
 Es útil para llevar a cabo
procedimientos estadísticos como la
comparación de medias de varios
conjuntos de datos.

de la media
Desventajas:
 Se ve adversamente afectada por valores
extremos, perdiendo representatividad.
 Si el conjunto de datos es muy grande
puede ser tedioso su cálculo manual.
 No se puede calcular para datos
cualitativos.
 No se puede calcular para datos que
tengan clases de extremo abierto, tanto
superior como inferior.

Ventajas y desventajas de la mediana
Ventajas:
 Fácil de calcular si el número de
observaciones no es muy grande.
 No se ve influenciada por valores
extremos, ya que solo influyen los
valores centrales.
 Fácil de entender.

 Se puede calcular para cualquier
tipos de datos cuantitativos, incluso
los datos con clase de extremo
abierto.
 Es la medida de tendencia central
más representativa en el caso de
variables que solo admiten la escala
ordinal.

Desventajas:
 No utiliza en su “cálculo” toda la
información disponible.
 No pondera cada valor por el
número de veces que se ha
repetido.
 Hay que ordenar los datos antes de
determinarla.

Ventajas y desventajas de la moda
Ventajas:
 No requiere cálculos.
 Puede usarse para datos tanto
cuantitativos como cualitativos.
 Fácil de interpretar.
 No se ve influenciada por valores
extremos.
 Se puede calcular en clases de
extremo abierto.

Desventajas:
 Para conjuntos pequeños de datos su
valor no tiene casi utilidad, si es que
de hecho existe. Solo tiene significado
en el caso de una gran cantidad de
datos.
 No utiliza toda la información
disponible.
 No siempre existe, si los datos no se
repiten.

 En ocasiones, el azar hace que una
sola observación se no
representativa se el valor más
frecuente del conjunto de datos.
 Difícil de interpretar si los datos
tiene 3 o más modas.

Medidas de dispersión, variación o
variabilidad.
 Son valores numéricos que indican
o describen la forma en que las
observaciones están dispersas o
diseminadas, con respecto al valor
central.

variabilidad.
 Son importantes debido a que dos
muestras de observaciones con el
mismo valor central pueden tener
una variabilidad muy distinta.

variabilidad.
 Rango.
 Varianza.
 Desviación Típica.
 Coeficiente de variación.

Medidas de dispersión: Rango
Rango (amplitud o recorrido):
 Está determinado por los dos
valores extremos de los datos
muestrales, es simplemente la
diferencia entre la mayor y menor
observación.
 Es una medida de dispersión
absoluta, ya que depende
solamente de los datos y permite
conocer la máxima dispersión.

Medidas de dispersión: Rango
 Casi no se emplea debido a que
depende únicamente de dos
valores.
 No proporciona una medida de
variabilidad de las observaciones
con respecto al centro de la
distribución.
 Notación: R

Medidas de dispersión: Varianza
 Es un valor numérico que mide el
grado de dispersión relativa porque
depende de la posición de los datos
x1,x2,…,xn con respecto a la media.
 Es el promedio al cuadrado de las
desviaciones de cada observación
con respecto a la media.
 Notación: s2
, σ2
, var(X)

 Si la varianza de un conjunto de
observaciones es grande se dice que los
datos tiene una mayor variabilidad que
un conjunto de datos que tenga un
varianza menor.
( )
2
1
2
2
1
2
2
x
n
x
s
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
−=
−
=
∑
∑
=
=
Para datos NO
agrupados:

Para datos agrupados en una
distribución de frecuencias:
( )
( )21
2
2
1
2
2
x
n
fm
s
n
fxm
s
k
i
ii
k
i
ii
−
×
=
×−
=
∑
∑
=
=

Medidas de dispersión: Desviación
Típica
 Es la raíz cuadrada de la varianza.
 Notación: s, σ.
2
ss =

Medidas de dispersión: Coeficiente de
Variación
 Es una medida de dispersión relativa que
permite comparar el nivel de dispersión
de dos muestras de variables estadísticas
diferentes.
 No tiene dimensiones.
 Notación: CV
%100×=
x
s
CV

Ventajas y Desventajas del Rango
Ventajas:
 Útil cuando se quiere conocer la
extensión de las variaciones
extremas (valor máximo de la
dispersión).
 Fácil de calcular.

Ventajas y Desventajas del Rango
Desventajas:
 No es una MD con respecto al
centro de la distribución.
 Solo emplea dos valores en su
cálculo.
 No se puede calcular en
distribuciones de límite de clase
abierto.

Propiedades, Ventajas y Desventajas
de la Varianza
Propiedades:
1. Siempre es mayor o igual a cero y
menor que infinito.
2. La varianza de una constante es
cero.
3. Si a una variable X la sometemos a
Y=a+bX, la varianza de Y será
Var(Y) = b2
Var(X)

Propiedades, Ventajas y Desventajas
de la Varianza
Ventajas:
 Es útil cuando se compara la variabilidad
de dos o más conjuntos de datos.
 Utiliza toda la información disponible.
Desventajas:
 No proporciona ayuda inmediata cuando
se estudia la dispersión de un solo
conjunto de datos.
 Difícil de interpretar por tener sus
unidades elevadas al cuadrado.

Ventajas y Desventajas de la
Desviación Típica
Ventajas:
 Esta expresada en las mismas
unidades que la variable en estudio.
 Utiliza todas las observaciones en
su cálculo.
 Fácil de interpretar.
Desventajas:
 No tiene.

Ventajas y Desventajas del Coeficiente
de Variación
Ventajas:
 Es la única MD que permite
comparar el nivel de dispersión de
dos muestras de variables
diferentes.
 Emplea toda la información
disponible en su cálculo.
 Fácil de calcular.

Ventajas y Desventajas del Coeficiente
de Variación
Desventaja:
 No es una MD con respecto al
centro de la distribución de los
datos.

Medidas de Forma
 Son medidas numéricas que
permiten determinar la forma que
tiene la curva de los datos, por lo
tanto, sirven para corroborar lo que
los gráficos muestran.
Medidas
de forma
-Asimetría
-Kurtosis o apuntamiento
Coeficiente de Pearson
Coeficiente de Fisher

Medidas de Forma: Asimetría
 Permiten estudiar la forma de la
curva, dependiendo de cómo se
agrupan los datos.

Coeficiente de Asimetría de Pearson:
 Fácil de calcular e interpretar.
 Cálculo:
( )
s
MdX
ASP
−
=
3
o Interpretación:
ASP
= 0, X=Md Simétrica
> 0, X>Md Asimétrica Positiva
< 0, X<Md Asimétrica Negativa

Coeficiente de Asimetría de Fisher:
 No es de fácil cálculo, pero si su
interpretación.
( )
( )
3
1
3
3
1
3
ns
fxM
ASF
ns
Xx
ASF
k
i
ii
n
i
i
∑
∑
=
=
×−
=
−
= Datos NO agrupados
Datos Agrupados

o Interpretación:
ASF
= 0, Simétrica
> 0, Asimétrica Positiva
< 0, Asimétrica Negativa

Medidas de Forma: Kurtosis
 Miden si los valores de la
distribución están más o menos
concentrados alrededor de los
valores medios de la muestra (zona
central de la distribución).
 Se definen tres tipos de distribución
según su grado de Kurtosis:

 Mesocúrtica: grado de concentración
medio alrededor de los valores
centrales de la variable.
 Leptocúrtica: grado de concentración
elevado.
 Platicúrtica: grado de concentración
reducido.

( )
( )
3
3
4
1
4
4
1
4
−
×−
=
−
−
=
∑
∑
=
=
ns
fXM
CK
ns
Xx
CK
k
i
ii
n
i
i
Datos No Agrupados
Datos Agrupados
Interpretación:
CK
=0 Mesocúrtica
>0 Leptocúrtica
<0 Platicúrtica

Referencias:
 Wikipedia(
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:P
)
 Walpole y Myers. Probabilidad y
Estadística. Mc Graw-Hill.
 Triola, Mario F. Estadística. Pearson.

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