Integrales: longitud de una curva

1. INTEGRALES: LONGITUD DE UNA
CURVA

2. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una
curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva
o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos
irregulares; aunquefueron usados varios métodos para curvas específicas, la
llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones
cerradas para algunos casos.
La planta de una vía al igual que el perfil de la misma está constituida por
tramos rectos que se empalman por medio de curvas. Estas curvas deben de
tener características tales como la facilidad en el trazo, económicas en su
construcción y obedecer a un diseño acordea especificaciones técnicas. Estas
curvas pueden ser:
Simples: Cuyas deflexiones pueden ser derechas o izquierdas acorde a la
posición que ocupa la curva en el eje de la vía.
Compuestas: Es curva circular constituida con una o más curvas simples
dispuestas una después de la otra las cuales tienen arcos de circunferencias
distintos.

3. Inversas: Se coloca una curva después de la otra en sentido contrario con la
tangente común.
DEDUCCION DE UNA FORMULA PARA EL CALCULO DE
UNA VARIABLE
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva
derivada que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco
delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones
dependientes de t como e , la longitud del arco desde el
punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada
radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del
arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)

4. En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será
necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta
fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de
segundaespecie. Entrelas curvas con soluciones cerradas están la catenaria,
el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola
semicúbica y la línea recta.
Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas
curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas
por un tensor métrico donde la longitud de una curva
viene dada por:
(4)
Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo
DEDUCCION DE LA FORMULA PARA LAS FUNCIONES
DE UNA VARIABLE
Suponiendo que se tiene una curva
rectificable cualquiera, determinada por
una función , y suponiendo que se
quiere aproximar la longitud del arco de
curva que va desde un punto a uno .
Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos
cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como
se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se
puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de
manera que para cada uno existirá un cateto asociado, dependiendo del
tipo de curva y del arco elegido, siendo
Entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de
Pitágoras. Así, una aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas
aquellas hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

5. Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada
hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la
aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que
tienda a cero. Así, se convierte en , y cada cociente incremental
se transforma en un general, que es por definición .
Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria
más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos
infinitesimales;