El documento explica las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su definición como ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Describe cómo factorizar ecuaciones cuadráticas invirtiendo el proceso de multiplicar binomios. También cubre cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante igualación a cero de cada factor y la fórmula cuadrática.

1. Ecuaciones cuadráticas
Lección 3

2. Definición
• Una ecuación cuadrática en x es una ecuación
que se puede escribir de la forma
ax2 + bx + c = 0 , donde a ≠ 0 .
• Ejemplos:
 4x2 = 8 – 11x
 x(3 + x) = 5
 4x = x2

3. Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto
de dos binomios.
• Producto
= 𝑥2
+ 6𝑥 + 3𝑥 + 18
= 𝑥2 + 9𝑥 + 18
• Factorización
𝑥2 + 9𝑥 + 18 = 𝑥2 + 3𝑥 + 6𝑥 + 18 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 6)
𝑥 + 3 𝑥 + 6 = 𝑥 𝑥 + 6 + 3(𝑥 + 6)

4. Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto
de dos binomios.
• Producto
= 𝑥2
+ 2𝑥 − 7𝑥 − 14
= 𝑥2
− 5𝑥 − 14
• Factorización
𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 𝑥2 + 2𝑥 − 7𝑥 − 14 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 2)
𝑥 − 7 𝑥 + 2 = 𝑥 𝑥 + 2 − 7(𝑥 + 2)

5. Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto
de dos binomios.
• Producto
= 𝑥2
+ 2𝑥 − 7𝑥 − 14
= 𝑥2
− 5𝑥 − 14
• Factorización
𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 𝑥2 + 2𝑥 − 7𝑥 − 14 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 2)
𝑥 − 7 𝑥 + 2 = 𝑥 𝑥 + 2 − 7(𝑥 + 2)

6. Factorización
• Invierte el proceso de buscar el producto
de dos binomios.
• Producto
= 6𝑥2
+ 10𝑥 − 9𝑥 − 15
= 6𝑥2
+ 𝑥 − 15
• Factorización
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)
2𝑥 − 3 3𝑥 + 5 = 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)
6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15
= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)

7. Resolver mediante factorización
• Si ax2 + bx + c se puede escribir como el
producto de dos expresiones lineales,
entonces la solución de la ecuación se
puede encontrar igualando cada factor a
cero y resolviendo cada ecuación lineal.

8. Resolver ecuaciones cuadráticas
Usando el ejemplo anterior:
• Resolver: 6𝑥2
+ 𝑥 − 15 =0
6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 0
2𝑥 − 3 3𝑥 + 5 = 0
2𝑥 − 3 = 0 3𝑥 + 5 = 0
2𝑥 = 3
𝑥 =
3
2
3𝑥 = −5
𝑥 =
−5
3

9. Ejemplo
• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .
El método AC
• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo
ax2 + bx + c = 0 con a=3 b = 1 y c = -10.
• La ecuación se puede factorizar si existen factores
de AC = -30 que sumen b = 1.
• Los factores son 6 y – 5 .

10. Ejemplo
• Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x .
Usando los factores son 6 y – 5 .

11. Ejemplo
• Resolver la ecuación 8x2 – 12= 4x .
El método AC
• La ecuación es cuadrática y sigue el modelo
ax2 + bx + c = 0 con a = 2 b = -1 y c = - 3 .
• La ecuación se puede factorizar si existen factores
de AC = -6 que sumen b = -1.
• Los factores son 2 y – 3 .
Notar que primeramente debemos el factor común de
4.

12. Ejemplo
Usando los factores son 2 y – 3 .

13. Ejemplo
• Resolver la ecuación x2 + 16 = 8x .
• Cómo x – 4 aparece como factor ,
llamamos a 4 una raiz doble o raiz de
multiplicidad 2 de esta ecuación.

14. Una Ecuación Cuadrática
Especial
• Si x2 = d , entonces la factorización de
x2 – d gives
• Por ejemplo, las soluciones de la ecuación
cuadrática x2 = 5 son
• Resolver: (x + 3)2 = 5
.x d 
5 .x  
3 5 ,x   
3 5 .x   

15. Una Ecuación Cuadrática
Especial
• Resolver: 2 (x + 5)2 = 32
(x + 5)2 = 16
𝑥 + 5 = ± 16
𝑥 + 5 = ±4
𝑥 = −5 ± 4
𝑥 = −5 + 4 𝑥 = −5 − 4
𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = −9

16. La Fórmula Cuadrática
• Para resolver la ecuación cuadrática
general: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 .
• Fórmula cuadrática:
2
4
.
2
b b ac
x
a
  


17. El Discriminante
• El número representado por la expresión
b2 – 4ac .
• El discriminante indica de qué tipo son las
raices de una ecuación cuadrática.

18. Fórmula Cuadrática
Resolver:
2
4
.
2
b b ac
x
a
  

𝒙 =
𝒙 =
𝒙 =

19. Ejemplo
• Resolver la ecuación 2x2 – 1 = 3x.
• 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0
• Método AC:
 a=2, b= - 3 , c = -1
 La ecuación factoriza si existen factores de ac
= -2 que sumen b= -3
 Los factores de -2 son (-2 x 1) ó (2 x -1)
 NO existen factores de -2 que sumen -3
 La ecuación no factoriza como el producto de
dos factores lineales con coeficientes racionales
 NO existe una solución RACIONAL.

20. Ejemplo
• Encontrar todos los ceros reales de:
2x2 – 1 = 3x.
• Resolver: 2𝑥2
− 3𝑥 − 1 = 0
 a=2, b= - 3 , c = -1
• Usar la fórmula cuadrática.
2
4
.
2
b b ac
x
a
  

𝑥 =
−(−3) ± (−3)2−4 ∙ 2 ∙ −1
2(2)
𝑥 =
3 ± 9 + 8
4
𝑥 =
3 ± 17
4

21. Fórmula Cuadrática
Resolver:
2
4
.
2
b b ac
x
a
  

2x2 – 4x – 3 = 0

22. La Fórmula Cuadrática
• Determinar si la ecuación dada tiene
raices reales o no:
• 9x2 + 12x + 4 = 0
• 3x2 + 4x + 2 = 0
• x2 + 2x – 1 = 0

23. Ecuaciones de tipo cuadrático
• Una ecuación es del tipo cuadrático si
se puede escribir de la forma
au2 + bu + c = 0 ,
donde a ≠ 0 y u es una expresión
en alguna variable.

24. Ecuaciones de tipo cuadrático
• Por ejemplo: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = 0
es del 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜 por que si
u = 𝑥2
, entonces se puede escribir
𝑢2
− 5𝑢2
+ 4 = 0 y resolver.
• Resolver: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = 0

25. Ecuaciones de tipo cuadrático
• Resolver: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = 0
• Sea u = 𝑥2
, entonces se puede escribir
𝑢2
− 5𝑢2
+ 4 = 0 y resolver.
• 𝑢2
− 5𝑢2
+ 4 = 𝑢 − 4 𝑢 − 1
• 𝑢 − 4 𝑢 − 1 = 0
• u=4 u=1; resolvimos primero por u
• u = 4 x2=4𝑥 = ± 4 = ±2
• u = 1 x2=1𝑥 = ± 1 = ±1

26. Ecuaciones de tipo cuadrático
• Resolver: 𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = 0
• Sea u = 𝑥2
, entonces se puede escribir
𝑢2
− 5𝑢2
+ 4 = 0 y resolver.
• 𝑢2
− 5𝑢2
+ 4 = 𝑢 − 4 𝑢 − 1
• 𝑢 − 4 𝑢 − 1 = 0
• u=4 u=1; resolvimos primero por u
• u = 4 x2=4𝑥 = ± 4 = ±2
• u = 1 x2=1𝑥 = ± 1 = ±1

27. Ecuaciones de tipo cuadrático
• Encontrar soluciones reales de
256𝑥4
− 625 = 0
• Sea u = 16𝑥2
, entonces se puede escribir
𝑢2 − 252 = 0 y resolver.
• 𝑢2
− 252
= 𝑢 + 25 𝑢 − 25 = 0
• u=25 u = -25; resolvimos primero por u
• Si u= 2516 x2=25𝑥 = ±
25
16
= ±
5
4
• u = -25 16x2= -25𝑥 = ±
−25
16
NO es real.