Todo lo relacionado a funciones cuadráticas.

1. Funciones Cuadráticas
Polinomios
Prof. R. Padilla

2. “Si todo te da igual,
estás haciendo mal
las cuentas”
Albert Einstein

3. Definición
• Una función cuadrática se escribe de la forma
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎 ≠ 0.

4. Solución de ecuaciones por inspección
• Solución de ecuaciones de la forma 𝑥² = 𝑎
• Si 𝑥² = 𝑎 ‫ٿ‬ 𝑎 ≥ 0 ⇒ 𝑥 = 𝑎 ‫ٿ‬ 𝑥 = − 𝑎
⋁𝑥 = ± 𝑎

5. Propiedades de las raíces cuadradas
• Si 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0:
• Producto:
𝑎𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
• Cociente:
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
• Racionalización:
1
𝑎
=
1
𝑎
∙
𝑎
𝑎
=
𝑎
𝑎

6. Ejercicios de Práctica
• Resuelve cada ecuación:
1. 𝑥² = 121 2. 𝑥² = 32 3. 3𝑥² = 49
4. 4𝑥² = 20 5. 4𝑡² = 1 6. 1
2
𝑥² = 6
7. 2
3 𝑎² = 13 8. 𝑥² + 5 = 41 9. 𝑥² − 37 = 0
10. 2𝑥² − 5 = 6 11. 4𝑥² + 5 = 20 12. 10 − 3𝑥² = 4
13. (𝑥 − 5)² = 16 14. (𝑡 + 2)² = 7 15. 1
3
𝑡² − 15 = 37
16. 4 𝑠2
+ 7 − 9 = 39 17. 7 = 2 𝑟 + 1 2 − 3

7. Factorizando
• Para factorizar una expresión
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎 = 1, buscamos 𝑟‫𝑠ٿ‬ ∈ ℤ tal que
𝑟 ∙ 𝑠 = 𝑐 ‫ٿ‬ 𝑟 + 𝑠 = 𝑏 ⟹
𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑟)(𝑥 + 𝑠)

8. Ejemplos
1) 𝑥² + 5𝑥 + 6 2) 𝑥² − 7𝑥 − 30
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) (𝑥 − 10)(𝑥 + 3)
3) 6𝑥² + 11𝑥 + 3
(3𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)

9. Diferencias de cuadrados
𝑎² − 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

10. Trinomios de
cuadrados perfectos
𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²

11. Ejemplos
1) 𝑥² − 16 2) 4𝑥² − 24𝑥 + 36
𝑥² − 4²
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
4(𝑥² − 6𝑥 + 9)
4(𝑥 − 3)²

12. Propiedad de Producto Cero
• Si 𝑝𝑞 = 0 ⟹ 𝑝 = 0 ⋁ 𝑞 = 0
𝑥 + 5 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = −5 𝑥 = 1

13. Práctica
1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 11𝑥 = 0 2) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 14𝑥 + 45 = 0

14. Factoriza cada expresión cuadrática
1) 2𝑥2 − 8𝑥 = 0 2) 2𝑦² − 6𝑦 = 0
3) 5𝑎𝑥² − 15𝑎2
𝑥 = 0 4) 4𝑥 𝑥 + 3 − 7(𝑥 + 3) = 0
5) 4𝑟 + 7 3 − 4𝑟 + 7 2𝑟 = 0
6) 9𝑥 − 5 8𝑥 + 3(9𝑥 − 5) = 0

15. Factoriza cada expresión cuadrática (#2)
1) 𝑥² + 5𝑥 + 6 = 0 2) 𝑥² + 8𝑥 + 7 = 0
3) 𝑦² − 5𝑦 + 4 = 0 4) 𝑥² − 4𝑥 − 12 = 0
5) 𝑦² − 9𝑦 − 36 = 0 6) 𝑥² + 10𝑥 − 24 = 0

16. Guía general para factorizar expresiones
cuadráticas
• Observa si existe un factor común en todos los términos y
divida.
• Observe diferencias de cuadrados.
• Observa trinomios de cuadrados perfectos.
• Observa factores enteros de la constante cuya suma es el
coeficiente del término lineal.

17. Guía general para factorizar expresiones
cuadráticas
• Observa cada factor para determinar si factoriza.
• Verifica tu factorización multiplicando.
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Si el signo es positivo, entonces
los signos en los paréntesis son
iguales.
Si el signo es negativo, entonces
los signos en los paréntesis son
diferentes.
Signo que se repite,
o el signo del factor mayor

18. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión:
1) 3𝑥 + 6 = 0
2) 3𝑥² + 18𝑥 = 0
3) 10𝑛 − 𝑛² = 0
4) 𝑥 − 4𝑥² = 0
5) 6𝑥 − 2𝑥² = 0
6) − 3𝑦2 − 15𝑦 = 0
7) 5𝑥 𝑥 − 2 − 3(𝑥 − 2) = 0
8) 𝑥 + 3 2𝑥 + 𝑥 + 3 7 = 0
9) 𝑎²𝑥 + 5𝑎²𝑥² − 2𝑎𝑥 = 0
10) 4𝑎𝑏2 − 6𝑎2 𝑏 = 0

19. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión cuadrática:
1) 𝑥² − 16𝑥 + 15 2) 𝑥² + 8𝑥 + 16 3) 𝑥² − 26𝑥 + 48
4) 𝑥² + 4𝑥 − 32 5) 𝑥² + 7𝑥 − 30 6) 𝑥² − 10𝑥 − 24
7) − 22𝑥 − 48 + 𝑥² 8) 2𝑥 + 𝑥² − 24 9) 𝑥² − 56 − 10𝑥

20. Factorizar cuando 𝑎 ≠ 1
• Para factorizar 2𝑥² − 17𝑥 − 9 buscamos los factores
de 9×2 o 18 que restado (basado en el signo del
término constante) para obtener 17, coeficiente de
x. Reescribe -17x:
2𝑥² − 18𝑥 + 𝑥 − 9 2𝑥 𝑥 − 9 + 1(𝑥 − 9)
(2𝑥 + 1) 𝑥 − 9

21. Factoriza
1) 2𝑥² + 9𝑥 + 10 = 0
2) 3𝑥² + 5𝑥 + 2 = 0
3) 5𝑥² + 13𝑥 − 6 = 0
4) 8𝑥² + 24𝑥 − 14𝑥 − 42
5) 12𝑟² + 21𝑟 − 8𝑟 − 14 = 0
6) 72𝑥² − 56𝑥 − 36𝑥 + 28 = 0

22. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión cuadrática:
1) 56 + 10𝑥 − 𝑥² 2) 30 + 𝑥 − 𝑥² 3) 24 + 10𝑥 − 𝑥²
4) 3𝑥² + 10𝑥 + 3 5) 2𝑥² + 5𝑥 + 2 6) 2𝑥² + 3𝑥 + 1
7) 3𝑥² + 7𝑥 + 2 8) 12𝑥² − 3𝑥 − 9 9) 3𝑥² − 5𝑥 − 2

23. Completar el cuadrado
• Recordar:
– Un trinomio de cuadrado perfecto es de la forma:
𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 𝑚2 = (𝑥 + 𝑚)²

24. Completar el cuadrado
• Ejemplo: Factoriza completando el cuadrado.
𝑥2
+ 10𝑥 + 25 = 49

25. Práctica
• Factoriza completando el cuadrado.
1) 𝑥2
− 12𝑥 + 36 = 25 2) 𝑥2
− 16𝑥 + 64 = 49

26. Completando el cuadrado
• Para completar el cuadrado de cualquier expresión
cuadrática de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 solo debemos seguir
los siguientes pasos.
– 1. Identificar el coeficiente de x → (b)
– 2. Dividir este coeficiente entre 2 →
𝑏
2
– 3. Elevar tu resultado al cuadrado →
𝑏
2
2
– 4. Añade el resultado de paso 3 a ambos lados de la
ecuación 𝑥2
+ 𝑏𝑥 +
𝑏
2
2
= 𝑛 +
𝑏
2
2

27. Completando el cuadrado
• Halla el valor de c que hace mi expresión
𝑥2
+ 12𝑥 + 𝑐 un cuadrado perfecto.

28. Completando el cuadrado
• Resuelve la siguiente ecuación completando el
cuadrado: 𝑥2
+ 8𝑥 − 20 = 0

29. Práctica
• Resuelve cada ecuación completando el cuadrado
1) 𝑥2
− 10𝑥 + 24 = 0 2) 𝑥2
+ 10𝑥 + 9 = 0

30. Fórmula cuadrática
• Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

31. Ejemplo
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 8 = 0
𝑎 = 1
𝑏 = 2
𝑐 = −8
𝑥 =
−2 ± 22 − 4(1)(−8)
2(1)
𝑥 =
−2 ± 4 + 32
2
=
−2 ± 36
2
𝑥 =
−2 ± 6
2
𝑥 =
−2 − 6
2
= −
8
2
𝑥 =
−2 + 6
2
=
4
2
𝑥 = −4
𝑥 = 2

32. Utiliza la fórmula cuadrática para resolver
las siguientes ecuaciones
1) 𝑥2
+ 5𝑥 − 6 = 0 2) 2𝑥2
− 5𝑥 + 3 = 0
3) 2𝑥2
− 𝑥 − 15 = 0 4) 𝑥2
− 4𝑥 − 12 = 0
5) 8𝑥2
− 4𝑥 − 18 = 0 6) 8𝑥2
+ 6𝑥 + 5 = 0
7) 3𝑥2
− 6𝑥 + 3 = 0 8) 4𝑥2
+ 𝑥 − 8 = 0

33. ECUACIONES CÚBICAS
Factorización por agrupación

34. Factorización por agrupación
8𝑟³ − 64𝑟2
+ 𝑟 − 8
8𝑟²(𝑟 − 8) + 1(𝑟 − 8)
(8𝑟2
+ 1)(𝑟 − 8)

35. Factoriza por agrupación
1) 12𝑝³ − 21𝑝2
+ 28𝑝 − 49 = 0
2) 12𝑥³ − 2𝑥2
− 30𝑥 − 5 = 0
3) 6𝑣³ − 16𝑣2
+ 21𝑣 − 56 = 0
4) 63𝑛³ + 54𝑛² − 105𝑛 − 90 = 0
5) 96 𝑛³ − 84𝑛2
+ 112𝑛 − 98 = 0
6) 25𝑥³ + 5𝑥² + 30𝑥 + 6 = 0
7) 105𝑛³ + 175𝑛² − 75𝑛 − 125 = 0

36. Factoriza por agrupación
8) 21𝑘³ − 84𝑘2
+ 15𝑘 − 60 = 0
9) 28𝑥³ + 16𝑥² − 21𝑥 − 12 = 0
10) 4𝑦³ − 12𝑦2
− 5𝑦 + 15 = 0
11) 49𝑥³ − 35𝑥2
+ 56𝑥 − 40 = 0
12) 24𝑝³ + 15𝑝² − 56𝑝 − 35 = 0
13) 24𝑚³ − 64𝑚2
− 21𝑚 + 56 = 0
14)56𝑥𝑤 + 49𝑥𝑘² − 24𝑦𝑤 − 21𝑦𝑘² = 0

37. Factoriza por agrupación
15) 42𝑚𝑐 + 36𝑚𝑑 − 7𝑛2
𝑐 − 6𝑛2
𝑑
16) 12𝑥²𝑢 + 3𝑥²𝑣 + 28𝑦𝑢 + 7𝑦𝑣
17) 40𝑎𝑐² + 25𝑎𝑘² + 32𝑏𝑐² + 20𝑏𝑘²
18) 12𝑏𝑐 − 4𝑏𝑑 − 15𝑥𝑐 + 5𝑥𝑑
19) 16𝑚𝑛 − 4𝑚2
+ 28𝑛 − 7𝑚
20) 56𝑥𝑦 − 35𝑥 + 16𝑟𝑦 − 10𝑟
21) 21𝑥𝑦 + 15𝑥 + 35𝑟𝑦 + 25𝑟