ecuaaciones

2. 101
Sean x, x + 1 y x + 2 los tres números
naturales consecutivos buscados.
El problema nos indica que
x2
+ ( x + 1 )2
+ ( x + 2 )2
= 365
x2
+ x2
+ 2 x + 1 + x2
+ 4x + 4 = 365
3 x2
+ 6x – 360 = 0
hemos llegado a una ecuación algebraica de
segundo orden ó ecuación cuadrática.
Ecuaciones cuadráticas con una incógnita
DEFINICIÓN
Las ecuaciones cuadráticas con una incógnita son
ecuaciones de la forma : ax2
+ bx + c = 0 con a ≠ 0
ó cualquier otra equivalente a ella.
EJEMPLOS :
3 x2
+ x + 1 = 0
x2
+ 3 = 0
¡Un número con misterio!
El número 365 tiene la
característica de ser la suma de los
cuadrados de tres números
naturales consecutivos.
Pero eso no es todo !!
La suma de los cuadrados de los
dos números naturales que siguen a
los anteriores también es 365.
¿Puedes averiguar tales números?

3. 102
Queremos confeccionar una caja sin tapa con una hoja de cartón cuadrada.
La caja debe tener 3cm de altura y su volumen igual a 48 cm3
.
¿Qué medidas debe tener, como mínimo, la hoja de cartón?
3
x
Pensemos en algún otro ejemplo.
La superficie de la base de la caja es ( x – 6 )2
.
La altura de la caja es 3 cm.
El volumen es 48 cm3
.
3 ( x – 6 )2
= 48 ( * )
operando ( x – 6 )2
= 16
x – 6 = ± 4
despejamos x x = ± 4 + 6
obtenemos dos valores para x x = 2 y x = 10 ( soluciones de ( * ) )
El valor x = 2 debemos descartarlo pues la caja debe tener altura igual a 3.
Solución del problema: se requiere una hoja de cartón de 10 cm. de lado
como mínimo.
¿Puedes resolver de esta manera el problema del misterioso número 365?
Seguramente que no !!!
¿Cómo podemos resolver este tipo de ecuaciones ?
x
Recuerda que el
volumen de una caja se
calcula multiplicando
la superficie de la base
por la altura de la caja.

4. 103
Trataremos de resolver el problema del número misterioso. ¿ Lo recuerdas?
Completamos cuadrados x2
+ 2x + 1 – 1 – 120 = 0
( x + 1 )2
– 121 = 0
Operamos ( x + 1 )2
= 121
x + 1 = ± 11
Las soluciones son: x = 10 y x = -12
El valor x = - 12 debe descartarse pues se buscan números naturales consecutivos.
Solución para el problema: Los números buscados son 10, 11 y 12.
¿ 132
+ 142
también será igual a 365 ?
Algunas ecuaciones de segundo grado de fácil resolución
1- Falta el término en x
La ecuación es de la forma: ax2
– c = 0
con a.c > 0.
Soluciónes: x =
a
c
±
EJEMPLO:
2 x2
– 8 = 0
x2
= 4
soluciones: x = ± 2
2- Falta el término independiente
La ecuación es de la forma: ax2
+ bx = 0
Una ecuación equivalente es: x (ax + b) = 0
Soluciones: x = 0 y x =
a
b
−
EJEMPLO:
x2
– 3x = 0
x ( x – 3 ) = 0
soluciones: x = 0 y x= 3
3- Trinomio cuadrado perfecto
La ecuación es de la forma: (ax + b )2
= c;
c > 0
Soluciones: x =
a
cb- ±
EJEMPLO:
La caja
La dificultad para resolver la ecuación obtenida: 3x2
+ 6x – 360 = 0
radica en no poder “despejar x” en forma inmediata. Para salvar esta
dificultad debemos completar cuadrados.
Tengamos en cuenta la ecuación equivalente: x2
+ 2x – 120 = 0

5. 104
El método que hemos usado para resolver esta ecuación puede generalizarse
para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Sea la ecuación cuadrática : a x2
+ b x + c = 0
Sacamos a como factor común de los
dos primeros términos
Sumamos y restamos 2
2
a4
b
Agrupamos en forma conveniente
Operamos
Como a ≠ 0 dividimos por a
Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros
Hacemos un pasaje de términos
a x2
+ bx + c = 0
a ( x2
+ 0c)x
a
b
=+
a ( x2
+ 0c)
a4
b
-
a4
b
x
a
b
2
2
2
2
=++
c-
a4
b
)
a2
b
x(a
2
2
=+
a4
4ac-b
)
a2
b
x(a
2
2
=+
2
2
2
a4
4ac-b
)
a2
b
x( =+
2
2
a4
4ac-b
a2
b
x ±=+
a2
4ac-b
a2
b
-x
2
±=
0c
a4
b
-)
a4
b
x
a
b
x(a
2
2
2
2
=+++
Resolución de la ecuación cuadrática

6. 105
Las soluciones de la ecuación cuadrática son x1,2 =
a2
4ac-bb- 2
±
Dos soluciones reales y distintas.
Soluciones reales coincidentes
¿Qué característica tienen las soluciones de la ecuación cuadrática?
b2
- 4ac > 0
a2
4ac-bb-
x
2
1
+
=
a2
4ac-b-b-
x
2
2 =
b2
- 4ac = 0
b2
- 4ac < 0
a2
b-
x =
No tiene solución real
Al número b2
– 4ac se lo llama discriminante justamente por el rol que juega.

7. 106
Las soluciones de la ecuación cuadrática a x2
+ b x + c = 0 son las raíces del polinomio
P(x) = a x2
+ b x + c.
Consideremos los polinomios
P(x) = x2
– 4 Q(x) = (x - 2)2
T(x) = ( x – 1 )2
+ 1
Observa que puedes hallar fácilmente las raíces de los polinomios P(x) y Q(x) , como así
también notar que todos los valores numéricos del polinomio T(x) son estrictamente
positivos.
Indica cuáles son las raíces de P(x) y Q(x).
Las gráficas de estos polinomios son las siguientes parábolas
EJERCICIOS
Interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación cuadrática
¿Cómo podríamos interpretar geométricamente esta situación?
Q(x) = ( x – 2 )2
Resuelve completando cuadrados y grafica
a) 2 x2
– 3 x + 1 = 0
b) x2
+ 3x + 3 = 0
c) 3 x2
– 18x + 27 = 0
d) ( x – 1 ) ( x – 3 ) = 1
P(x) = x2
- 4
T(x) = (x – 1)2
+ 1