Ecuaciones de mecanica_de_fluidos_ii

MG. GORKI F. ASCUE SALAS - ING 1
ECUACIONES DE MECÁNICA DE FLUIDOS II
ÍNDICE
1. INTRODUCCION
2. OBJETIVOS
3. ECUACION DE BERNOULLI
1. historia de Daniel Bernoulli.
2. objetivos
3. fundamento teórico
4. ecuación de Bernoulli
5. desarrollo de la ecuación de Bernoulli
6. teorema de Bernoulli
7. aplicaciones.
8. condiciones y restricciones
4. NUMERO DE OSBORNE REYNOLDS
1. Reynolds historia.
2. experimento de Reynolds
3. caudales bajos
4. caudales intermedios
5. caudales altos
6. para el caso de tuberias
7. aplicación
8. restricciones
5. ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH
1. historia
2. fundamento teórico de la ecuación
3. en tubería cilíndrica
4. conclusión de la ecuación general
5. aplicaciones
6. COEFICIENTE DE FRICCIÓN - RÉGIMEN LAMINAR
1. flujo laminar
7. COEFICIENTE DE FRICCIÓN HENRY THOMAS COLEBROOK-WHITE
1. historia.
2. análisis de la ecuación
3. ecuación modificada de colebrook-white
8. COEFICIENTEDEFRICCIÓNDIAGRAMADEMOODY.
9. PÉRDIDAS MENORES.
1. las perdidas secundarias podemos calcularla por dos métodos:
2. casos
3. restricciones
4. aplicación
10. ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIANS
1. ecuación de hazen-williams
11. CONCLUSIONES

1. INTRODUCCION
La Mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus procesos de
interacción con los cuerpos sólidos. La Mecánica de Fluidos como hoy la conocemos es
una mezcla de teoría y experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de
los ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro del trabajo
de básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque analítico. Al
integrar en una única disciplina las experiencias de ambos colectivos, se evita la falta de
generalidad derivada de un enfoque estrictamente empírico, válido únicamente para cada
caso concreto, y al mismo tiempo se permite que los desarrollos analíticos matemáticos
aprovechen adecuadamente la información experimental y eviten basarse en
simplificaciones artificiales alejadas de la realidad
2. OBJETIVOS
El conocer y entender los principios básicos de la mecánica de fluidos es esencial en
el análisis y diseño de cualquier y sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. Hoy
en día el diseño de virtualmente todos los medios de transporte requiere la aplicación de la
mecánica de fluidos. Entre estos se incluyen tanto los aviones como maquinas terrestres,
barcos, submarinos y típicamente automóviles. El diseño de sistemas de propulsión para
vuelos especiales y cohetes está basado en los principios de la mecánica de fluidos.
También es bastante común realizar estudios en modelo reducido para determinar las
fuerzas aerodinámicas y estudiar el flujo alrededor de edificios, puentes y
otras estructuras complejas. El diseño de turbo maquinarias como bombas, hélices y
turbinas de todo tipo requieren claramente de conocimientos de mecánica de fluidos. Esto
ha dado origen a la aerodinámica y la hidráulica dos ramas importantes de la mecánica de
fluidos.

3. ECUACION DE BERNOULLI
HISTORIA DE DANIEL BERNOULLI.
Nació el 29 de enero de 1700 en Groningen, Holanda. Hijo de Jean Bernoulli y sobrino
de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al
primitivo desarrollo del cálculo.
Aunque consiguió un título médico en 1721, Daniel y su
hermano Nicolás fueron invitados a trabajar en la
Academia de Ciencias de St. Petersburgo, él como
profesor de matemáticas. Fue allí donde entró en
colaboración con Euler.
En 1731 comenzó a extender sus investigaciones para
cubrir problemas de la vida y de la estadística de la salud.
Dos años después regresó a Basilea donde enseñó
anatomía, botánica, filosofía y física. Como trabajo más
importante se destaca el realizado en hidrodinámica que
consideraba las propiedades más importantes del flujo de un fluido, la presión,
la densidad y la velocidad y dio su relación fundamental conocida ahora como El Principio
de Bernoulli o Teoría Dinámica de los fluidos. En su libro también da una explicación teórica
de la presión del gas en las paredes de un envase. Le concedieron, entre 1725 y 1749, diez
premios por su trabajo en astronomía, gravedad, mareas, magnetismo, corrientes del
océano y el comportamiento de una embarcación en el mar. Daniel Bernoulli falleció el 17
de marzo de 1782 en Basilea, Suiza.
PRINCIPIO DE BERNOULLI.
OBJETIVOS
Determinar la velocidad del flujo de un fluido en el interior de un tubo de sección variable.
FUNDAMENTO TEORICO
Se llama línea de corriente ala trayectoria descrita por una película de fluido en movimiento
y el flujo del fluido al conjunto de estas líneas atraviesan la sección transversal de un tubo:
Cuando la velocidad del fluido en cualquier punto se conserva constante en el transcurso
del tiempo o, el flujo del fluido se considera de régimen estacionario (laminar); si las
velocidades en función del tiempo, el flujo del fluido se considera de régimen variable
(turbulento).

El flujo del fluido, puede ser rotacional o irrotacional, según si elemento de fluido en cada
punto de su trayectoria no tenga una velocidad angular neta o si tenga respecto a este
punto.
El flujo de fluidos puede ser comprensible o incomprensible, los líquidos usualmente pueden
considerarse como fluyendo incompresiblemente, los gases son altamente compresibles.
∆𝑚
∆𝑡
= 𝜌1 𝐴1 𝑉2 ……………1
De manera similar, a través del área A2 el gasto es:
∆𝑚
∆𝑡
= 𝜌2 𝐴2 𝑉2 …………...2
En ausencia de fuentes y sumideros, se cumple:
El principio de Bernoulli establece que: "donde la velocidad de un fluido es alta la
presión es baja y donde la velocidad es baja la presión es alta".
Considerando el flujo laminar, estacionario, incompresible y que el cambio en su
viscosidad es lo suficientemente pequeña para despreciarla y aplicando e teorema
del trabajo y la energía, obtenemos:
𝑃1 +
1
2
𝜌𝑣1
2
+ 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2
+ 𝜌𝑔ℎ2 ……………3
Esta ecuación es llamada Ecuación de Bernoulli: donde P1 y P2 son la; presiones
absolutas, v1 y v2 las Velocidades del fluido y h1, h2 las alturas de los puntos 1 y 2
respectivamente.

1
2
𝜌𝑣2
, se llama presión dinámica
 𝑃 + 𝜌𝑔ℎ, se llama presión estática

 La ecuación (3) expresa un resultado de la conservación de la energía
aplicada a un fluido ideal.
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli, es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos
ideales y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se
considera que en el flujo existen tres tipos de energía.
 La energía cinética debida al movimiento.
 La energía potencial debida a la presión.
 La energía potencial gravitatoria debida a la elevación.
DESARROLLO DE LA ECUACION DE BENOULLI
 Consideremos un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida,
están en desnivel además de tener diferentes secciones: h1 ≠ h2 y A1 ≠ A2
 En el segmento inferior actúa una fuerza F1 que produce una presión P1, y se
cumple: 𝐹1 = 𝑃1 𝐴1
 A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F2 que produce una presión
P2, y se cumple: 𝐹2 = 𝑃2 𝐴2
 El trabajo realizado por F1 y F2 es:
∆𝐖𝟏 = 𝐅𝟏∆𝐗 𝟏 = 𝐏𝟏 𝐀 𝟏∆𝐗 𝟏
∆𝐖𝟏 = 𝐏𝟏∆𝐕𝟏
∆𝐖𝟐 = −𝐅𝟐∆𝐗 𝟐 = −𝐏𝟐 𝐀 𝟐∆𝐗 𝟐
∆𝐖𝟐 = −𝐏𝟐∆𝐕𝟐

 Luego, el trabajo realizado por las fuerzas es:
∆𝐖𝐟 = ∆𝐖𝟏 + ∆𝐖𝟐 = (𝐏𝟏 − 𝐏𝟐)∆𝐕
 La cantidad Δm sube desde h1 hasta h2 contra la gravedad. Por lo tanto; el trabajo
hecho por la fuerza gravitacional, es:
∆𝐖𝐠 = −∆𝐦. 𝐠(𝐡 𝟐 − 𝐡 𝟏)
∆𝐖𝐠 = −𝛒𝐦𝐕. 𝐠(𝐡 𝟐 − 𝐡 𝟏)
 Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δm es:
∆𝐊 = ∆𝐦(𝐕𝟐
𝟐
− 𝐕𝟏
𝟐
/𝟐
∆𝐊 = 𝛒∆𝐕(𝐕𝟐
𝟐
− 𝐕𝟏
𝟐
/𝟐
 Por el teorema del trabajo y energía, se tiene:
∆𝐖 = ∆𝐊
∆𝐖𝐟 + ∆𝐖𝐠 = ∆𝐊
 Por lo tanto:
∆𝐊 = (𝐏𝟏 − 𝐏𝟐)∆𝐕 − 𝛒∆𝐕𝐠(𝐡 𝟐 = 𝐡 𝟏)
∆𝐊 = 𝛒∆𝐕(𝐕𝟐
𝟐
− 𝐕𝟏
𝟐
)/𝟐
 Dividiendo por ΔV y ordenando se tiene la expresión:
𝐏𝟏 +
𝟏
𝟐
𝛒𝐯 𝟏
𝟐
+ 𝛒𝐠𝐡 𝟏 = 𝐏𝟐 +
𝟏
𝟐
𝛒𝐯 𝟐
𝟐
+ 𝛒𝐠𝐡 𝟐 ……. Ecuación de Bernoulli
 En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la
suma de las condiciones finales. Esto significa que:

𝐏 +
𝟏
𝟐
𝛒𝐕 𝟐
+ 𝛒𝐠𝐡 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
Donde:
 P = presión del fluido.
 ρ = densidad del fluido.
 v = rapidez del fluido.
 g = aceleración de gravedad.
 h = altura del fluido en el punto en estudio.
 Se puede deducir que en un sector:
 Si la velocidad del fluido aumenta, la presión disminuye.
 Si la velocidad del fluido disminuye, la presión aumenta.
 Si un fluido asciende su presión y su velocidad puede disminuir.
Teorema de Bernoulli
 Es una forma de expresión de la aplicación de la ley de conservación de la energía
al flujo de fluidos en una tubería.
 Sin embargo, existen pérdidas ocasionadas por el rozamiento del fluido con la tubería
y por obstrucciones que pudiera tener la línea misma.
𝐙 𝟏 +
𝐏𝟏
𝛒 𝟏 𝐠
+
𝐕𝟐
𝟏
𝟐𝐠
= 𝐙 𝟐 +
𝐏𝟐
𝛒 𝟐 𝐠
+
𝐕𝟐
𝟐
𝟐𝐠
+ 𝐡𝐥
APLICACIONES.
 Algunos de las aplicaciones de este sistema son en las chimeneas, las
tuberías, demuestran que si reducimos el área transversal de una tubería
para que aumente la velocidad del fluido, se reducirá la presión

CONDICIONES Y RESTRICCIONES
 Este teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos
permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo.
 El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli,
describe el comportamiento de un flujo laminar moviéndose a lo largo de
una corriente de agua.
 Esta ecuación se puede aplicar a los fluidos, puesto que la energía total del
sistema permanece constante.
4. NUMERO DE OSBORNE REYNOLDS
REYNOLDS HISTORIA.
Belfast, Irlanda del Norte, 23 de agosto de 1842 - Watchet, Inglaterra, 21 de
febrero de 1912), fue un ingeniero y físico irlandés que realizó importantes contribuciones
en los campos de la hidrodinámica y la dinámica de
fluidos, siendo la más notable la introducción
del Número de Reynolds en 1883.
Estudió matemáticas en la Universidad de
Cambridge, donde se graduó en 1867. Al año
siguiente fue nombrado profesor de
ingeniería del Owens College en Mánchester que,
posteriormente, se convertiría en la Victoria
University of Manchester, siendo titular de la
Cátedra de Ingeniería cuando, por aquellos años
tan sólo había dos de estas cátedras en toda
Inglaterra.
Reynolds consideraba que todos los estudiantes de ingeniería debían tener un
conjunto de conocimientos comunes basados en las matemáticas, la física y
particularmente los principios fundamentales de la Mecánica Clásica. A pesar de su
gran dedicación e interés por la educación, no era un buen profesor pues carecía
de dotes didácticas y pedagógicas. Sus asignaturas eran difíciles de seguir,
cambiando de tema sin ninguna conexión ni transición. Reynolds abandonaría su
cargo en1905.
EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Historiadamente se conocían dos tipos de flujo, los cuales se diferenciaban por su
comportamiento en lo concerniente en las pérdidas de energía. En 1840 Hagen
había establecido los principios y diferencias entre los dos tipos de flujo. Sin
embargó, la correcta descripción y formulación solo fue planteada entre los años de
1880 y 1884 por Reynolds.
Reynolds para realizar sus experimentos utilizo un dispositivo que le permitía
controlar la velocidad dentro de una tubería translucida, en los cual podía observar
cómo se desarrollaba el flujo.

Al abrir la válvula, Reynolds noto que se da cuatro tipos de flujos, tal como en la figura
siguiente en el cual se puede observar el comportamiento de la tinta trazadora.
CAUDALES BAJOS
……. Caudales bajos
CAUDALES INTERMEDIOS
……….. Caudales intermedios
CAUDALES ALTOS
……….. Caudales altos
………… Punto de mezcla

CAUDALES MAS ALTOS.
………. Punto de mescla
Reynolds observo que al aumentar el caudal (aumento de velocidad), el punto de mescla
se corre aguas arriba. Eventualmente la zona de inestabilidad desaparece, sin embargo, si
sigue aumentando el caudal (Q), El corrimiento del punto de mescla llega hasta un máximo
donde se detiene; para todo Q hay una zona donde la tinta noche mescla. REYNOLDS los
tipos de flujo de la siguiente forma.
FLUJO LAMINAR: Cuando la tinta noche mezcla, el flujo se mueve en capas sin
intercambio de paquetes de fluidos entre ella.
FLUJO TURBULENTO: Cuando la tinta se mescla completamente. Se presenta
intercambio de paquetes de fluidos entre las capas que se mueven a diferentes velocidades.
Las partículas no tienen vector velocidad bien definido. El flujo nunca es permanente, se
debe hablar de una velocidad media (flujo cuasi-permanente).
Filamento
avanzan
aisladamente
no hay
intercambio de
paquete de
moléculas (no
se tiñe)

………Intercambio de paquetes de
moléculas (se tiene)
FLUJO DE TRANSICION: Cuando el filamento de tinta comienza hacerse inestable, con
una serie de ondulaciones manifiesta. El caudal para el cual este fenómeno empieza a
ocurrir de pende de las condiciones de experimento.
NUMERO DE REYNOLDS
Reynolds repitió su experimento tanto como diferente diámetro de tuberías como diferentes
fluidos, encontrando resultados similares. Esto le llevo a pensar que los fenómenos debían
ser gobernado por las mismas leyes físicas; dedujo que, en un conjunto de experimentos
como el suyo, si se requiere reproducir las condiciones de uno de ellos en nosotros, las
condiciones de velocidad y geometría tenían que ser iguales y debían ser medidas en sitios
similares fue la primera persona que hablo del concepto de similitud en mecánica de fluidos.
Existen tres tipos de similitud en los fluidos:
 Similitud geométrica
 Similitud cinemática
 Similitud dinámica
Por consiguiente, las líneas de corriente deberían ser similares.

Para los dos campos de flujo de la figura anterior las líneas de corriente son iguales luego
el movimiento de las partículas 2 y 2´, por ejemplo debe está gobernado por fuerzas
similares en los dos experimentos en este caso las fuerzas importantes para producir
movimiento en las partículas son :
 Fuerzas de presión ( 𝐹𝑃 )
 Fuerzas viscosas (𝐹𝑉 )
 Fuerzas inerciales (𝐹𝐼 )
Las fuerzas de tensión superficial (𝐹𝑡𝑠) no existe por no haber superficies de contacto gas
líquido o liquido liquido y las fuerzas de comprensibilidad ( 𝐹𝑐 ) son muy pequeñas por que
la velocidad es sustancialmente menor ala del sonido.
Luego para las partículas 2 y 2´ se puede establecer el siguiente triangulo de fuerzas.
𝐅𝐢𝟐
𝐅𝐯𝟐
=
𝐅𝐢𝟐´
𝐅𝐯𝟐´
Para las fuerzas de inercia.
F = m a
𝝉 = 𝝁
𝒅𝒗
𝒅𝒚
………ley de viscosidad de newton
𝑭 𝒗
𝑨
= 𝝁
𝒅𝒗
𝒅𝒚
𝐅𝐕 = 𝐀𝛍
𝐝𝐯
𝐝𝐲
… … … . . 𝐅𝐕 ∝ 𝐋𝟐
𝛍
𝐯
𝐋
𝑭 𝑽 ∝ 𝑳𝝁𝑽

ENTONCES:
𝑭𝒊
𝑭 𝒗
∝
𝝆𝑽 𝟐
𝑳 𝟐
𝑳𝝁𝑽
DONDE:
𝑑𝑦 =distancia ( longitud )
𝐹𝑉 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝐸𝑌𝑁𝑂𝐿𝐷𝑆
PARA EL CASO DE TUBERIAS:
𝐍𝐑 =
𝐕𝐃𝛒
𝛍
…………… NR < 2000 ( EL FLUJO ES LAMINAR )
NR > 4000( EL FLUJO ES TURBULENTO )
2000 < NR4000 < (TRANSICION )
POR LO TANTO:
𝐍𝐑 =
𝐕𝐃𝛒
𝛍
Donde:
 NR: Numero de Reynolds ( adimesional )
 V: Velocidad media (
m
s
)
 L: Longitud media ( m )
 ρ: Densidad (
N
m3
)
 μ: Viscosidad absoluta ( Pas )
APLICACIÓN:
En Hidráulica, en la construcción de canales con determinadas pendientes, en
procesos de separación. Teniendo los datos de los fluidos que se usaran, las
condiciones que debe llevar el proceso (separación, mezclado) se planea y diseña
el proyecto.

RESTRICCIONES:
Para evaluar la velocidad del flujo se utiliza el número de Reynolds, que es un
número adimensional que expresa la relación interna entre fuerzas viscosas
durante el flujo. Generalmente este número es usado en la hidráulica, para
clasificar el flujo como laminar (baja velocidad) o turbulento (alta velocidad).
5. ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH
HISTORIA
Henry Philibert Gaspard Darcy (foto de la izquierda en la Figura 2), nació en 1803 en Dijon,
Francia. Con 18 años ingresó en la Escuela Politécnica de París. Tras su graduación, ocupó
varios puestos como ingeniero, y realizó
experimentos sobre flujos y pérdidas por fricción
en tuberías, que constituyeron la base de la
ecuación de Darcy– Weisbach.
Realizó también un nuevo diseño del tubo de
Pitot, y estudió las propiedades de los flujos en
medios porosos que le condujeron a formular la
famosa “Ley de Darcy”. Falleció en 1858 en
París.
FUNDAMENTO TEÓRICO DE LA ECUACION
A continuación, se deducirá la ecuación de Darcy-Weisbach, que es la ecuación general
para explicar la pérdida de energía durante el movimiento de fluidos.
Suponemos una tubería por la que circula un líquido incompresible de peso específico γ, y
en ella el volumen comprendido entre las secciones 1 y 2, separadas una distancia L.
El elemento de tubería considerado forma un ángulo Ө respecto a la horizontal.

Las fuerzas que actúan sobre este volumen son:
Peso de la masa del líquido (P), aplicado en el cdg (G):
Fuerzas de presión (P1×S y P2×S): que sería la fuerza que ejerce el resto del líquido sobre
las secciones 1 y 2, respectivamente.
Fuerza de rozamiento (F): en sentido contrario al movimiento y debida al rozamiento (t)
del líquido con las paredes de la tubería.
F = t ×Superficie con la que roza
La superficie lateral del cilindro considerado es un rectángulo de base L y altura c, siendo c
el perímetro de la sección circular.
F = t × c ×L
Proyectando sobre el eje hidráulico las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado:
Dividiendo por S.:

El primer miembro de la igualdad, es la diferencia de las alturas piezométricas entre los
puntos 1 y 2, es decir, la pérdida de carga que se produce en ese trayecto.
Entonces:
En tubería cilíndrica:
Por lo que
Llamando 4. λ = f; coeficiente de fricción de Darcy – Weisbach
En conclusión, la ecuación general de Darcy-Weisbach es:
hc: pérdidas por fricción en [m]
f: coeficiente de fricción o factor de fricción de Darcy- Weisbach
L: longitud del tramo de la tubería
D: diámetro de la tubería
V: velocidad media del flujo
g: aceleración de la gravedad
La fórmula de Darcy–Weisbach puede ser escrita, en función del caudal , como:

APLICACIONES
 Esta fórmula se puede aplicarse a todos los tipos de flujo hidráulico (laminar,
transicional y turbulento), debiendo el coeficiente de fricción tomar los valores
adecuados, según corresponda.
 Es la fórmula más utilizada en Europa para calcular pérdidas de cabeza.
 Con esta ecuación se pueden calcular las pérdidas de cabeza para cualquier
fluido newtoniano, siempre y cuando se utilicen las viscosidades y densidades
apropiadas. Esto constituye, la principal ventaja de esta fórmula, ya otras
fórmulas son empíricas y sólo pueden aplicarse bajo condiciones muy
específicas.
 No es aplicable para fluidos compresibles.
6. COEFICIENTE DE FRICCIÓN - RÉGIMEN LAMINAR
Una vez establecida la ecuación general para las pérdidas por fricción en tuberías,
Weisbach pudo determinar el factor de fricción para el caso de flujo laminar. Para
hacer esto utilizó la ecuación de Hagen-Poisedulle:
𝑸 =
𝝅𝒅 𝟒
𝟏𝟐𝟖
∗
𝝆𝒈𝒉 𝒇
𝝁𝑳
 Se puede despejar de la energía por unidad de peso perdido
𝒉𝒇 =
𝟏𝟐𝟖𝝁𝑳𝝁𝒗
𝟒𝒅 𝟒 𝝆𝒈
 Dela ecuación
𝒉𝒇 = 𝒇 ∗
𝟏
𝟒𝑹
∗
𝑽
𝟐𝒈
𝒉𝒇 = 𝒇 ∗
𝟏
𝟒𝑹
∗
𝑽
𝟐𝒈
Donde:
 hf: perdidas por cortante
 f: factor por pedidas por cortante
 g: aceleración de la gravedad
 D: diámetro del tubo
 L: longitud del tubo
 V: velocidad media en el tubo

Esta última ecuación indica que para flujo laminar en tuberías es factor de fricción
únicamente es función del número de Reynolds. En este caso, la rugosidad relativa del
ducto no influye en las pérdidas por fricción.
FLUJO LAMINAR
Las partículas se desplazan siguiendo trayectorias paralelas, formando así en conjunto
capas o láminas de ahí su nombre, el fluido se mueve sin que haya mezcla significativa de
partículas de fluido vecinas. Este flujo se rige por la ley que relaciona la tensión cortante
con la velocidad de deformación angular
La viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier
tendencia a ser turbulento.
El flujo puede depender del tiempo de forma significativa, como indica la salida de una
sonda de velocidad que se observa en la figura
Flujo estable laminar
La resistencia al flujo de un líquido, puede ser caracterizada en términos de la viscosidad
del fluido si el flujo es suave. En el caso de una placa moviéndose en un líquido, se ha
encontrado que hay una
capa o lámina que se
mueve con la placa, y
una capa que está
esencialmente
estacionaria si está
próxima a una placa
inmóvil.

Hay un gradiente de velocidad a medida que se va desde la placa estacionaria a la placa
móvil, y el líquido tiende a moverse en capas con velocidades sucesivamente mayores. A
esto se llama flujo laminar o algunas veces flujo. Para el flujo laminar, se puede modelar la
resistencia viscosa al fluido, pero si la lámina se rompe en turbulencia, es muy difícil poder
caracterizar el flujo del fluido.
La aplicación común del flujo laminar, debería ser para el suave flujo de un líquido viscoso
a través de una tubería. En ese caso, la velocidad del flujo varía desde cero en las paredes
del tubo, hasta un máximo vm a lo largo de la línea central del conducto. El perfil de flujo
laminar en un tubo, se puede calcular dividiendo el flujo en finos elementos cilíndricos, y
aplicándoles a estos la fuerza viscosa.
A la diferencia de le denomina pérdida de carga HL en el flujo laminar
Presión p1-p2 en los extremos del tubo horizontal dividida entre la densidad del fluido,
Siendo L y D la longitud y el diámetro del tubo horizontal y la viscosidad del fluido.
La ecuación (2) teniendo en cuanta las expresiones de las pérdidas de carga HL en el flujo
laminar y las pérdidas Hl debidas a la entrada y salida del fluido por el tubo horizontal, se
expresa
:

7. COEFICIENTE DE FRICCIÓN HENRY THOMAS COLEBROOK-WHITE
HISTORIA
Era el tercer hijo de sir George Colebrooke, segundo barón. Fue educado en su casa; recién
a los quince tomó clases de los clásicos y de matemática. De los doce a los dieciséis residió
en Francia.
En 1782 obtuvo un trabajo de escribiente de barco en
la India. Un año después, trabajó en un estudio
de contadores en Calcuta. Tres años más tarde, en
1786, se mudó por un trabajo en Tirhut. En 1789 llegó
a Purnia, donde investiga los recursos de esa parte del
país, publicando su Señales de la ganadería y del
comercio de Bengala, impreso privadamente en 1795,
cuando se avoca a mercadear libremente entre Gran
Bretaña e India.
Después de once años de residencia india, Colebrooke
comienza estudios del idioma sánscrito; y traduce el
gran Digesto de leyes indias, monumental estudio de las
leyes de la India que no habían sido terminadas por
sir William Jones.
En 1805, fue profesor de leyes hindúes y de sánscrito
en la Facultad de Fort William (India). Durante su
residencia en Calcuta, escribió su Gramática
sanscrita (1805), algunos ensayos sobre las
ceremonias religiosas de los hindúes, y su Ensayo sobre los “Vedas” (1805), que por un
largo tiempo fue el trabajo estándar en inglés sobre ese tema. En1807 se convirtió en
miembro del concilio, retornando a Inglaterra siete años después (1814).
ANALISIS DE LA ECUACION
En 1850, Darcy-Weisbach dedujeron experimentalmente una ecuación para calcular las
pérdidas por cortante (“fricción”), en un tubo con flujo permanente y diámetro constante:
𝒉𝒇 = 𝒇 ∗
𝟏
𝟒𝑹
∗
𝑽
𝟐𝒈
……………1
Donde:
 hf: perdidas por cortante
 f: factor por pedidas por cortante
 g: aceleración de la gravedad
 D: diámetro del tubo
 L: longitud del tubo
 V: velocidad media en el tubo
Para calcular el factor de pérdidas “f” en la región laminar Poiseuille propuso en 1846 la
siguiente ecuación:
𝒇 =
𝟔𝟒
𝑹𝒆
…………………2

Dónde:
Re: número de Reynolds
Y para el cálculo del factor de pérdidas “ f” , en régimen turbulento, normalmente se usa la
ecuación de Colebrook-White
Dónde:
𝜀: Rugosidad absoluta del tubo
ECUACIÓN MODIFICADA DE COLEBROOK-WHITE
En 1850, Darcy-Weisbach dedujeron experimentalmente una ecuación para calcular las
pérdidas por cortante (“fricción”), en un tubo con flujo permanente y diámetro constante:
Donde:
e/ D: rugosidad relativa del tubo
G y T: parámetros de ajus
 La dificultad principal de esta ecuación radica en que se presenta de forma
implícita, y su resolución requiere el empleo de métodos numéricos, lo que
complica el cálculo de manera sensible.
 Para el cálculo de la pérdida de presión por rozamiento en tuberías de
agua se emplea de manera habitual la ecuación de Darcy-Weisbach, que
requiere conocer el factor de fricción f, también llamado factor de Darcy.
 El factor de fricción de Darcy puede obtenerse a partir de ecuaciones
empíricas o semi-empíricas, siendo la más popular, al pasar por ser la
más precisa, la de Colebrook-White. De hecho, la norma UNE
149201:2008, referencia para el cálculo de las instalaciones interiores de
agua, indica que el factor de fricción debe obtenerse a partir de la
ecuación de C-W.

8. COEFICIENTE DE FRICCIÓN DIAGRAMA DE MOODY.
El Diagrama de Moody es con toda probabilidad el gráfico más famoso de la mecánica de fluidos. A
continuación,ilustramosdicho diagrama:
La primera parte de este diagrama, nos muestra una relación lineal que se mantiene aproximadamente
hastaunnúmerodeReynoldsdeaproximadamente2300,queeselvalorendondeseinicialatransiciónal
régimen turbulento para los tubos. Por debajo de estos valores del número de Reynolds, podemosdecir
quetodoelflujoeslaminaryorganizadoypuederegirseporlarelación:
𝒇 =
𝟔𝟒
𝑹𝒆
Esta relaciónesválidahastaque sealcanzalazona críticadelimitadapor lapresenciadeuna líneavertical
entrecortada.
Paraelanálisisdelazonaderégimenturbulento(dondeReexcede2300),esnecesariohacerunanálisisde
las relaciones de paredes lisas y flujo dominado por la rugosidad. El flujo rodeado de paredes lisas fue
modelado matemáticamente por el científico alemán Ludwig Prandtl, quien obtuvo la siguiente relación
paracalcularlaspérdidasporfricción:

𝟏
𝒇
𝟏
𝟐
= 𝟐. 𝟎 𝐥𝐨𝐠 (𝑹𝒆 𝑫 𝒇
𝟏
𝟐 ) − 𝟎. 𝟖
Mástarde,algunosdiscípulos dePrandtlderivaronuna expresión similar, pero para elflujo turbulento en
paredesrugosas:
𝟏
𝒇
𝟏
𝟐
= 𝟐. 𝟎𝐥𝐨𝐠(
𝜺
𝒅
𝟑.𝟕
)
Vemos que se introduce un nuevo parámetro ε /d,queesunparámetroadimensionalquemidela
rugosidaddelassuperficies y que es conocido como rugosidad relativa.
El valor de ε varía en funcióndelmaterial,lacondicióndelmaterialyvieneenunidadesdepies(ft)para
elsistemainglésydemilímetros(mm)paraelSI.
En1939,C.F.Colebrookcombinólasexpresionesparaflujoturbulentoenunconductoparaparedeslisasy
rugosasenunasolaecuaciónparaobtener:
𝟏
𝒇
𝟏
𝟐
= −𝟐. 𝟎𝐥𝐨𝐠(
𝜺
𝒅
𝟑. 𝟕
+
𝟐. 𝟓𝟏
𝑹𝒆 𝒅 𝒇
𝟏
𝟐
)
Estafórmulaesapropiadaparaelcómputodelcoeficientedefricciónparaelflujoturbulentoyen1944fue
representadagráficamenteporL.FMoodyaquiendebesunombreeldiagramadescritoenesteresumen.
Estediagramaeselmásútildelamecánicadefluidosysuelesermuyfiablecuandosuserroressoninferiores
al15%enelrangomostradoenlafigura.Lasaplicacionesdeestediagramaseextiendenaflujoenconductos
circularesynocirculares,ademásdecanalesturbulentosyaplicacionesrelacionadasconlateoríadecapas
límiteturbulentas.
El procesopara obtenerun coeficientede fricción através dela ecuaciónde Colebrookpuede ser lento y
engorroso,a menosquenose dispongade un softwarecomoEES,Matlab,ExceloMath Cad que llevea
cabolasiteraciones.Porlogeneralelnúmerodeiteracionesnodebepasarde100,yaquesicomenzamos
aiterardesdeunvalordelcoeficientedefricciónde0.008enincrementosde0.001llegaremoshastaelvalor
máximode0.10en93iteraciones.
Es recomendable ir tanteando valores en ambos ladosde la ecuación de Colebrook hasta que converjan
haciaunmismovalor,esdecirquesudiferenciaseadecero(0).Estolopodremoscomprobarsitabulamos

losdatosyobservamosuncambioensignoparaladiferenciadeambosladosdelaexpresión,entonesserá
elmomentodedetenerlasiteracionesyseleccionarelvalorinmediatamenteanterioralprimernegativo.
Si,porejemplo,tenemosquecalcularelcoeficientedefricciónparaelairequepasaporunatuberíacircular
de4mmendiámetroaunavelocidadde50m/sbajocondicionesestándarparatemperaturaypresión.
Buscandoenunatabladedatos,laspropiedadesdelaireenlascondicionesmencionadasson:
𝜌 = 1.23
𝑘𝑔
𝑚3
𝜇 = 1.79(10−5
)
𝑁. 𝑠
𝑚2
ElnúmerodeReynoldsparaestasituaciónes:
𝑅𝑒 =
(1.23
𝑘𝑔
𝑚3)(50
𝑚
𝑠
)(0.004𝑚)
1.79(10−5)
𝑁. 𝑠
𝑚2
= 13.700
Vemosque13,700esmuchomayorque2,300queeselvalorcrítico,portantoelflujoen
Cuestión es turbulenta. Necesitamos el parámetro de rugosidad relativa y buscando ε en la
tabla correspondiente obtenemos ε=0.0015 mm para una tubería de acero
Industrial.Usandoestedato:
𝜀
𝑑
=
0.0015𝑚𝑚
4𝑚𝑚
= 0.000375
Ahorausaremoslaecuaciónde Colebrookcomenzandodesdeun valorde0.008paraelfactordefricción.
Laexpresión1es:
1
𝑓
1
2
=
1
√0.008
= 11.18
Laexpresión2es:
−2.0 log (
𝜀
𝑑
3.7
=
2.51
𝑅𝑒 𝑑 𝑓
1
2
) = −2.0 log (
0.000375
3.7
+
2.51
(13.700)(0.008)
1
2
) = 5.34
Sirestamosambasexpresiones,tendremos:11.18-5.34=5.84
Estevalorestálejosdecero,debemositerarmásveceshastalograrunaconvergencia:

Tambiénpodemosusarunmediográficoparadeterminarelcoeficientedefricción,soloqueestemedioes
menosexactoyesmásfácilcometererrores.
9. PÉRDIDAS MENORES.
La pérdida de carga por fricción solo es parte de la perdida de carga total que debe
superarse en las líneas de tuberías y en otros circuitos de flujo de fluidos. Otras pueden
ocurrir a causa de la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que producen un
cambio en la dirección del flujo o en el tamaño del conducto del flujo. (Welty, 2001)
Cualquier obstáculo en la tubería cambia la dirección de la corriente en forma total o parcial,
altera la configuración característica de flujo y ocasiona turbulencia, causando una pérdida
de energía mayor de la que normalmente se produce en un flujo por una tubería recta. Ya
que las válvulas y accesorios en una línea de tuberías alteran la configuración de flujo,
producen una pérdida de presión adicional. La pérdida de presión total producida por una
válvula (o accesorio) consiste en:
 La pérdida de presión dentro de la válvula.
 La pérdida de presión en la tubería de entrada es mayor de la que se produce
normalmente si no existe válvula en la línea. Este efecto es pequeño.
 La pérdida de presión en la tubería de salida es superior a la que se produce
normalmente si no hubiera válvula en la línea. Este efecto puede ser muy grande.
Figura 1. Perdida de energía debida a la presencia de accesorios. Fuente: Crane, 1976
La Figura 1 nos muestra dos tramos de tubería del mismo diámetro y longitud. El tramo
superior contiene una válvula de globo. Si las pérdidas de presión ΔP1, y ΔP2 se miden
entre los puntos indicados, se encuentra que ΔP1, es mayor que ΔP2. Para que ΔP2 sea
igual a ΔP1 se debe aumentar la longitud de la tubería.
Las perdidas secundarias podemos calcularla por dos métodos:
Primer método: por una formula especial y un coeficiente de perdidas adimensional de
perdidas secundarias.
Segundo método: por la misma fórmula de las perdidas primarias (Ecuación de Darcy-
Weisbach), sustituyendo en dicha formula la longitud de la tubería L, por la longitud
equivalente Le.

Primer método: Ecuación fundamental de las pérdidas secundarias
Una primera aproximación se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios
puede ser:
Donde K es el coeficiente de resistencia para válvulas y accesorios, este valor expresa los
cabezales de velocidad que se pierden debido a la fricción cuando un fluido fluye a través
de uno de estos elementos. Este método también es conocido como Método CRANE.
Según este método, por ejemplo, para una válvula de compuerta
Para un codo de 90º
Donde ft es el factor de fricción para un régimen de turbulencia total (completamente
desarrollado tal como se estudió en la primera parte de este tema)
Teóricamente, el coeficiente de resistencia es independiente del factor de fricción o del
número de Reynolds, y se le puede tratar como una constante para cualquier obstrucción
dada en un sistema de tubería con cualquier régimen de flujo.
Cuando las condiciones actuales existentes en la tubería no corresponden a flujo turbulento
completamente desarrollado, PDVSA en sus prácticas de diseño recomienda hacer la
corrección.
Donde
KA= Coeficiente de resistencia para las condiciones actuales de flujo
KT= Coeficiente de resistencia para flujo turbulento completamente desarrollado (En el
Apéndice A-24 del Crane encontramos los coeficientes de resistencia válidos para válvulas
y accesorios, los cuales son mostrados en la guía de tablas y gráficos de la Unidad I. Flujo
en fase liquida).
fA = Factor de fricción para las condiciones actuales de flujo (Podemos obtenerlo mediante
el Diagrama de Moody).
fT = Factor de fricción para flujo completamente turbulento (Podemos obtenerlo mediante el
Diagrama de Moody en la zona de turbulencia total, gráficos y tablas ilustrados en la guía
de tablas y gráficos de la Unidad I. Flujo en fase liquida).
Segundo método: Método de la longitud equivalente

Este segundo método consiste en considerar las pérdidas secundarias como longitudes
equivalentes, es decir longitudes en metros de un trozo de tubería del mismo diámetro que
produciría las mismas perdidas de carga que los accesorios en cuestión.
CASO
 Cuando un fluido pasa desde un estanque o depósito hacia una tubería, se generan
pérdidas que dependen de la forma como se conecta la tubería al depósito
(condiciones de entrada):
 Las pérdidas por fricción en una contracción repentina están dadas por:

 Las pérdidas por fricción en una expansión repentina están dadas por:
 El flujo a través de un difusor es muy complicado y puede ser muy dependiente de
la razón de áreas A2/A1 , de detalles específicos de la geometría y del número de
Reynolds:
 Las válvulas controlan el caudal por medio por medio de un mecanismo para ajustar
el coeficiente de pérdida global del sistema al valor deseado. Al abrir la válvula se
reduce KL, produciendo el caudal deseado.

RESTRICCIONES
 No se aplica a canales abiertos.
 No es aplicable para fluidos compresibles.
APLICACIÓN
 La utilización de perdidas menores es en toda la tubería cerrada.
 Es de suma importancia el cálculo de perdidas menores en sistemas de sifón.
10. ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIANS
HISTORIA
Allen Hazen nació en 1869 en su finca familiar situada cerca del río Connecticut cerca de
la pequeña ciudad de Norwich, Vermont. Asistió a la Universidad de Hampshire Nueva de
Agricultura y Artes Mecánicas (que estaba afiliado a la Universidad
de Dartmouth) y se graduó con una licenciatura en ciencias a los
15 años de edad.
Durante un año pasado en el MIT (1887-8), Hazen estudió química
y entró en contacto con el profesor William T. Sedgwick, el Dr.
Thomas M. Drown y compañeros George W. Fuller y George C.
Whipple.
ECUACIÓN DE HAZEN-WILLIAMS.
La ecuación de Hazen-Williams es una relación empírica que relaciona el caudal de agua
en un tubo con las propiedades físicas de la tubería y la caída de presión causada por la
fricción. Se utiliza en el diseño de sistemas de tuberías de agua, como los sistemas de
rociadores contra incendios, las redes de abastecimiento de agua y sistemas de riego. Lleva
el nombre de Allen Hazen y Gardner Stewart Williams.
La ecuación de Hazen-Williams tiene la ventaja de que el coeficiente C no es una función
del número de Reynolds, pero tiene la desventaja de que sólo es válido para el agua.
Además, no tiene en cuenta la temperatura o viscosidad del agua.
Esta fórmula, establecida tanto para tuberías como para canales abiertos, ha sido muy
usada para tuberías. La selección de los exponentes se hizo con la idea de conseguir una
variación mínima del coeficiente para todos los conductos del mismo grado de rugosidad.
La fórmula de Hazen-Williams puede ser aplicada a conductos libres o conductos forzados,
ha sido usada para tuberías de agua y alcantarillados.
En el sistema técnico de unidades se expresa como:

𝑽 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟖𝑪 𝑯𝑾 𝑹𝒉 𝟎.𝟓𝟑
𝑺 𝟎.𝟓𝟒
Dónde:
Rh: radio hidráulico (m)
S: pendiente de la línea de energía
CHW: coeficiente de Hazen-Williams, adimensional
 Para tuberías funcionando a presión tenemos:
𝑹𝒉 =
𝑫
𝟒
; 𝑺 =
𝒉 𝒇
𝒍
 Por lo que la ecuación de Hazen-William, se escribirá:
𝑽 = 𝟏. 𝟓𝟑𝟖𝑪 𝑯𝑾(
𝑫
𝟒
) 𝟎.𝟔𝟑
(
𝒉 𝒇
𝒍
) 𝟎.𝟓𝟒
 Despejando
𝒉 𝒇 = 𝟐. 𝟐𝟕𝟏
𝑽 𝟏.𝟖𝟓
𝒍
𝑪 𝑯𝑾
𝟏.𝟖𝟓
𝑫 𝟏.𝟏𝟔
 Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por l/D, tendremos:
𝒉 𝒇 = 𝟐. 𝟐𝟕𝟏
𝑽 𝟏.𝟖𝟓
𝑪 𝑯𝑾 𝑫 𝟏.𝟏𝟔
𝒍
𝑫
 De la misma manera, multiplicamos y dividimos el segundo miembro por ,
tenemos:
𝒉 𝒇 = [
𝟒𝟒. 𝟓𝟔
𝑪 𝑯𝑾
𝟏.𝟖𝟓
𝑫 𝟏.𝟏𝟔 𝑽 𝟎.𝟏𝟓
]
𝒍
𝑫
𝑽 𝟐
𝟐𝒈
= [
𝟒𝟒. 𝟓𝟔
𝑪 𝑯𝑾
𝟏.𝟖𝟓
(𝑫 𝑽) 𝟎.𝟏𝟓
]
𝒍
𝑫
𝑽 𝟐
𝟐𝒈

 multiplicando y dividiendo por ,
𝒉 𝒇 = [
𝟒𝟒. 𝟓𝟔
𝑪 𝑯𝑾
𝟏.𝟖𝟓
𝑫 𝟏.𝟏𝟔 𝑹𝒆 𝟎.𝟏𝟓 𝑽 𝟎.𝟏𝟓
]
𝒍
𝑫
𝑽 𝟐
𝟐𝒈
 Igualando esta ecuación a la ecuación de Darcy-Weisbach, tendremos
𝒉 𝒇 = [
𝟒𝟒. 𝟓𝟔
𝑪 𝑯𝑾
𝟏.𝟖𝟓
𝑫 𝟏.𝟏𝟔 𝑹𝒆 𝟎.𝟏𝟓 𝑽 𝟎.𝟏𝟓
]
 Para el CHW, existen distintos valores dependiendo de los materiales, en la tabla se
muestran valores para algunos tipos de materiales.
CONCLUSIONES
Las principales ramas de la mecánica de fluidos son la aerodinámica, supersónica
entre otras, además de diversos conceptos como. Las ondas de choque y la
maximización de la eficiencia.
Según Jerry D. Wilson la mecánica de fluidos es tan extensa como el número de
líquidos y fluidos que conozcamos en nuestro entorno; ya que según el enfoque que
se le dé al estudio de dicho fluido dependerá también las ramificaciones que se
deriven de este tema que se halla escogido.

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