Ecuaciones diferenciales

Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH
José Juan Rincón Pasaye
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
Curso PropedéuticoCurso Propedéutico
Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica:Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica:
Opciones sistemas Eléctricos y Sistemas de ControlOpciones sistemas Eléctricos y Sistemas de Control

ContenidoContenido
 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones diferenciales de primer orden
 Solución geométricaSolución geométrica
 Métodos de solución analíticaMétodos de solución analítica
 Variables separadasVariables separadas
 Variables separablesVariables separables
 HomogéneasHomogéneas
 LinealesLineales
 Ecuación de BernoulliEcuación de Bernoulli
 Ecuación de RiccatiEcuación de Riccati
 Ec. Dif. ExactaEc. Dif. Exacta
 Factor integranteFactor integrante
 Teorema de existencia y unicidadTeorema de existencia y unicidad
 Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1

IntroducciónIntroducción

¿¿Qué esQué es una ecuación diferencial? una ecuación diferencial?

 Toda ecuación que establece la dependencia Toda ecuación que establece la dependencia
de una variable respecto a otra u otras de una variable respecto a otra u otras
mediante derivadas es una ecuación mediante derivadas es una ecuación
diferencialdiferencial

Ejemplos de ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales
1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la 1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la
figurafigura
to
R
C
v(t)
+
-
+
-
-
Vs(t)
)(
1
)(
1)(
tV
RC
tv
RCdt
tdv
s=+

  2) 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es La rapidez con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo temperatura del cuerpo T(t)T(t) y  la temperatura  y  la temperatura
del ambiente del ambiente TTaa
Donde Donde KK es el coeficiente dde transmisión de  es el coeficiente dde transmisión de
calor que depende del materialcalor que depende del material
)( TTK
dt
dT
a −=

3) El movimiento de un péndulo simple está 3) El movimiento de un péndulo simple está
gobernado por la ecuacióngobernado por la ecuación
Donde Donde
0=++ θθθ mgsenklml 
2
2
,
dt
d
dt
d θ
θ
θ
θ == 
θ
mm

4) Las coordenadas (4) Las coordenadas (x,yx,y) de los puntos de la ) de los puntos de la
curva que refleja en forma paralela los rayos curva que refleja en forma paralela los rayos
que salen de un punto fijo en el origen que salen de un punto fijo en el origen
cumplen concumplen con
y
yxx
dx
dy 22
+±−
= xx
yy

Otros Ejemplos:
Ecuación lineal de primer orden:
Ecuación de Riccati:
Por ejemplo:
Ecuación de Van der Pol:
Segunda Ley de Newton:
Etc…
)x(fy)x(qy)x(p'y 2
=++
1xy)xsin(yx'y 223
−=++
0y'y)y1(''y 2
=+−−µ
)x(qy)x(p
dx
dy
=+
dt
dp
Fext =

Clasificación GeneralClasificación General
Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).
Cuando no contiene derivadas parciales. En
general tiene la forma:
F(x,y,y’,y’’,...,y(n)
)=0
Establece la dependencia de la variable y
respecto a una sola variable independiente x.

Ecuación diferencial Parcial (EDP). Cuando
contiene derivadas parciales. En este caso
representa la dependencia de una variable
respecto a varias variables independientes.
Por ejemplo, la siguiente ecuación describe la
dependencia de r respecto de x, y y z.
12 =
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
z
r
xy
y
r
x
r

EDO de orden n.- El orden de derivación más alto que
aparece en la ecuación es n.
EDO de primer orden.- Cuando n=1. En este caso, la
forma general es
F(x,y,y’)=0
A la forma
y’=f(x,y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
Ejemplo: la ecuación de Riccati es de segundo grado,
pero de primer orden )x(fy)x(qy)x(p'y 2
=++

EDO Lineal. Es una ODE que se puede escribir en la
forma:
Donde los coeficientes a0
(x),...,an
(x), f(x) son funciones
de x. De lo contrario se dice No Lineal.
Lineal Homogénea.- El término independiente f(x) es
nulo.
Lineal con coeficientes constantes.- Los coeficientes
a0
(x),...,an
(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el hecho
de que al menos uno de los coeficientes a0
(x),...,an
(x)
NO es constante.
)x(fy)x(a...y)x(ay)x(a 0
)1n(
1n
)n(
n =+++ −
−

Ejemplos: ¿Lineales o No lineales?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)(
1
)(
1)(
tV
RC
tv
RCdt
tdv
s=+
)( TTK
dt
dT
a −=
0=++ θθθ mgsenklml 
y
yxx
dx
dy 22
+±−
=
1xy)xsin(yx'y 223
−=++
0y'y)y1(''y 2
=+−−µ

Solución de una EDSolución de una ED
La Solución General, también llamada integral
general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n)
)=0, es la
función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.
Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones
son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).
La solución general es en realidad una familia de
funciones parametrizadas por la constante desconocida
c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene
una Solución Particular de la ED
2
2 ccxy +±=

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
Familia de funciones dadas por: 2
2 ccxy +±=

 Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la
solución general de la ED es:
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse
una taza de café hirviendo si la temperatura
ambiente es de Ta=15°C ?
c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes
temperaturas iniciales T0 de la taza de café.
Kt
aa eTTTtT −
−+= )()( 0

La ED como Campo VectorialLa ED como Campo Vectorial
La ecuación diferencial de primer orden resuelta
respecto a la derivada:
establece una dependencia entre las coordenadas (x,y)
de un punto y la pendiente de la curva solución y(x)
que pasa por ese punto.
dy
dx
= f(x,y)

Ejemplo: la ecuación
nos dice que a lo largo de la curva x2
+ y2
= 1, las
curvas solución de la ecuación tienen pendiente 1, es
decir, cruzan la circunferencia de radio 1 con un ángulo
de 45°.
Ver la figura siguiente
dy
dx
= x2
+ y2

Método de las IsoclinasMétodo de las Isoclinas
Dando valores constantes K a la derivada,
podemos encontrar las curvas f(x,y)= K en donde las
soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.
A estas curvas se les llama isoclinas.
Para el ejemplo corresponden a x2
+y2
=K, son
circunferencias de radio y centro en el origen.
Kyxf
dx
dy
== ),(
K

Las isoclinas facilitan el trazado del campo de
direcciones y por lo tanto el de las soluciones de la ED.

Tarea: a) Encontrar la ecuación de las isoclinas para
la ecuación diferencial
b) ¿Qué tipo de curvas son estas isoclinas?
c) Dibujar las isoclinas y con ayuda de éstas dibujar el
campo de direcciones y algunas curvas solución.
dy
dx = x
y

Métodos de Solución AnalíticaMétodos de Solución Analítica
 NO existe un método general para resolver ED’s, es
decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un
procedimiento para hallar su solución analítica.
 Sin embargo, en algunos casos particulares bien
identificados sí se tienen procedimientos para calcular
dicha solución.

 El único método entonces consiste en saber
Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
 Si es un caso conocido. Aplicar el
procedimiento correspondiente
 Si no es un caso conocido, intentar algún
cambio de variable que la transforme en un
caso conocido

 Si no funciona lo anterior, algunas alternativas
consisten en buscar soluciones:
 Basadas en Series
 Numéricas
 Geométricas

Separación de variablesSeparación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución
es reescribir la ecuación como una ecuación de
variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es
una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
dxxgdyyf )()( =
∫∫ =
x
x
y
y
dxxgdyyf
00
)()(

La ED de la forma
Se denomina ED de variables separables, ya que es
inmediata su reescritura como una ED con variables
separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211 =
dx
xg
xg
dy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
=

Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
integrando
Reescribiendo x2
+y2
= c2
dy
dx = −x
y .
1
22
22
c
xy
+−=

Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a
variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial
es función de una combinación lineal de x e y:
Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene:
testanconssonb,adonde),byax(f
dx
dy
+=
)z(bfa
dx
dz
+=

Ejemplo: La ecuación
Se puede reescribir como
Donde z=x+y.
Integrando se obtiene
Regresando a las variables originales:
1
dx
dy
)yx( 2
=+
2
z
1
1
dx
dz
+=
cx)z(tanz 1
+=− −
)cytan(yx +=+

ED Homogéneas de 1ED Homogéneas de 1erer
ordenorden
Las ED de la forma
Se denominan Homogéneas.
Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierten a
la siguiente ED de variables separables:






=
x
y
f
dx
dy
( ) zzf
dx
dz
x −=

ordenorden
Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado k si
f(tx,ty)=tk
f(x,y)
Ejemplo: f(x,y)=xy2
+3x3
es homogénea de grado 3
Si f(x,y) es homogénea de grado cero entonces
Entonces, la ED
es Homogénea si f(x,y) es homogénea de grado cero.
( )x
y
g)y,x(f)ty,tx(f ==
( )y,xf
dx
dy
=

ordenorden
Ejemplo: La función
Es homogénea de grado cero y se puede escribir como:
Por lo tanto la ED
Se puede transformar en la ED con variables separables
Donde z=y/x.
32
32
yyx2
x3xy
)y,x(f
−
+
=
( )
( ) ( )3
x
y
x
y
2
x
y
2
3
)y,x(f
−
+
=
32
32
yyx2
x3xy
dx
dy
−
+
=
3
2
zz2
3z
dx
dz
x
−
+
=

ordenorden
Las ED de la forma
donde a1
, b1
, c1
, a2
, b2
y c2
son constantes
Se convierten a homogéneas haciendo el cambio
X=x-x0
, Y=y-y0
donde (x0
,y0
) es el punto de intersección
de las rectas a1
x+ b1
y+ c1
=0 y a2
x + b2
y + c2
=0.
Ejemplo: La ED
Haciendo el cambio X=x-1, Y=y-1 se convierte en la
ED homogénea
dy
dx
= f
a1x + b1y + c1
a2x + b2y + c2
2
2yx
yx
dx
dy






−+
−
=
2
YX
YX
dX
dY






+
−
=

ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer
ordenorden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple
con el Principio de Superposición respecto al término
independiente q(x).
Se resuelven usando variación de la constante c de la
solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,
donde
( )xqy)x(p
dx
dy
=+
∫
=
− dx)x(p
e)x(c)x(y
1
dx)x(p
cdxe)x(q)x(c +
∫
= ∫

ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer
ordenorden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su
solución es
Donde
Si Vs(t)=1, se obtiene:
Por lo tanto
)(
1
)(
1)(
tV
RC
tv
RCdt
tdv
s=+
RC
t
dt
e)t(ce)t(c)t(v
RC
1
−−
=
∫
=
1
RC
t
sRC
1
cdte)t(V)t(c += ∫
1
RC
t
ce)t(c +=
RC
t
1ec1)t(v
−
+=

ED de BernoulliED de Bernoulli
La ED de la forma
Se denomina Ecuación de Bernoulli.
Introduciendo el cambio de variable
La ecuación de Bernoulli se transforma en
La cual es una ED lineal.
( ) 1k,yxqy)x(p
dx
dy k
≠=+
k1
yz −
=
( )xq)k1(z)x(p)k1(
dx
dz
−=−+

ED de RiccatiED de Riccati
La ED de la forma
Se denomina Ecuación de Riccati.
Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
Bernoulli si se conoce una solución particular y1(x).
mediante el cambio de variable y=y1+z.
La ecuación de Riccati se transforma en
La cual es una ED de Bernoulli.
( ) )x(fyxqy)x(p
dx
dy 2
=++
[ ] ( ) 2
1 zxqz)x(y2)x(p
dx
dz
−=++

ED de RiccatiED de Riccati
Ejemplo: La ecuación
Es una ED de Riccati, la cual tiene la solución particular
Haciendo el cambio y=y1+z, obtenemos
La cual es de Bernoulli. Haciendo ahora el cambio u=z-1,
obtenemos:
La cual es lineal. La solución de la homogénea es ,
variando el parámetro c:
De donde por lo tanto
Entonces . Finalmente, en las variables originales
2
2
x
2
y
dx
dy
−=
2
z
x
z
2
dx
dz
=−
x
1
y1 =
1
x
u
2
dx
du
−=+
2
x
c
u =
2
x
)x(c
u =
2
x)x('c = 1
3
c
3
x
)x(c +=
3
x
x
c
u 2
1
−=
3
2
2
xc
x3
x
1
y
−
+=

ED exactasED exactas
La ecuación de la forma
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M
respecto a x:
y se puede determinar c(y) derivando
x
)y,x(N
y
)y,x(M
∂
∂
=
∂
∂
0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+
y
)y,x(u
)y,x(N,
x
)y,x(u
)y,x(M
∂
∂
=
∂
∂
=
∫ += )y(cdx)y,x(M)y,x(u

ED exactasED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que
Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y
De donde
Finalmente la solución general es
0dy)3yx(dx)1yx( 2
=+−+++
x
yx
y
yx
∂
+−∂
=
∂
++∂ )3()1( 2
∫ +++= )()1(),( ycdxyxyxu
)(),( 2
2
ycxxyyxu x
+++=
3)(' 2
+−=+=
∂
∂
yxycx
y
u
∫ ++= 1
2
)3()( cdyyyc

Factor IntegranteFactor Integrante
En algunas ocasiones es posible multiplicar la ecuación
por un factor µ(x,y), de manera que se convierta en una
diferencial exacta, es decir, de manera que
Entonces se dice que es µ(x,y) un factor integrante. La
condición de Euler toma la forma:
De donde
NdyMdxdu µµ +=
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂ µµ
x
N
y
M
y
M
x
N
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂ µµ lnln

La anterior es una EDP más difícil de resolver que la
ED original. Solo en algunos casos se simplifica:
Caso µ=µ(x).- En este caso la EDP toma la forma
Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de x
Caso µ=µ(y).- En este caso
Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de y






∂
∂
−
∂
∂
=
y
M
x
N
Mdy
d 1ln µ






∂
∂
−
∂
∂
=
x
N
y
M
Ndx
d 1ln µ

Ejemplo: Para la siguiente ED
Entonces
Por lo tanto
Así obtenemos la ecuación diferencial exacta:
( ) 01ln2 222
=+++ dyyyxydxxy
( )222
1,ln2 yyxNyxyM ++==
yy
M
x
N
M
11
−=





∂
∂
−
∂
∂
yydy
d 11ln
=⇒−= µ
µ
0
1
ln2
222
=
++
+ dy
y
yyx
ydxx

Tarea: Demostrar que en efecto
Es una ED exacta y obtener su solución general.
0
1
ln2
222
=
++
+ dy
y
yyx
ydxx

Teorema de existencia y unicidadTeorema de existencia y unicidad
Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes de
intentar la solución de una ED es preguntarse primero si
existe la solución y en caso de existir, si esta es única.
La respuesta la da el siguiente teorema:
¿Siempre existe solución y es única?

Si en la ED , se cumplen las condiciones:
1) (Existencia): f(x,y) es continua en un rectángulo D
centrado en (x0,y0).
2) (Unicidad): En este rectángulo satisface la
Condición de Lipschitz para un L finito:
Entonces existe una solución única y=f(x) de la ED
dentro de un rectángulo D1⊂ D centrado en (x0,y0):
que satisface la condición inicial y(x0)=y0
),( yxf
dx
dy
=
L
yy
yxfyxf
≤
−
−
21
21 ),(),(

La condición de Lipschitz se puede sustituir por otra
condición más burda, pero más fácil de verificar:
Que exista la derivada en el rectángulo D.
y
yxf
∂
∂ ),(

Ejemplo: La siguiente ED
Cumple con la condición de existencia en todo el plano
ℜ2
, sin embargo, si checamos la condición de Lipschitz
Se cumple en todo el plano ℜ2
, excepto en la recta
solución y=0, sobre la cual existe otra solución.
Tarea: Encontrar las otras soluciones que tocan a la
recta y=0 en cada punto de ella. Representarlas en una
gráfica.
3/1
y
dx
dy
=
3/2
3
13/1 −
=
∂
∂
yy
y

EjerciciosEjercicios
Ejemplo: Método de las Isoclinas
xydx
dy
−
=
1

Ejemplo: Convertir a variables separables
xydx
dy
−
=
1

0)1()1( =++−+ dyydxyx

0)()( 2222
=++− dyyxdxyx

yyx
dx
dy
x +−= 22

Ejemplo: ¿Qué tipo de ED son las siguientes?
xxyy 22' 2
+=+
ysenxsenyy 22
1
' +=
x
x
yxyxx 233 3
)12(')1( −
=−++
222
')1( yxxyyx +=+

Ejemplo: ¿Son ED exactas?
xxyy 22' 2
+=+
0)()()()( 2211 =+ dyygxfdxygxf
0)()( 323
=+++ dyyyxdxxyx

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