SlideShare una empresa de Scribd logo
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S
D I E G O O L M E D O
I N G . G A B R I E L M O L L O C A N A
R E S U M E N P R I M E R P A R C I A L
UNIDAD 1. INTRODUCCION
DEFINICIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Es una ecuación que relaciona variables independientes, sus derivadas y
variables independientes y= f(x)
CLASIFICACIÓN DE EC. DIFERENCIALES
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Presenta una sola variable ya sea dependiente sea independiente.
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Presentan 2 o mas variables ya sean dependientes como independientes.
ORDEN Y LINEALIDAD
Orden: El orden de una Ec. Diferencial esta dado por la mayor derivada
presente.
Linealidad: Una Ec. Diferencial Ordinaria es lineal si tiene la siguiente formula.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (EDO)
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una función y=Q(x) es una solución de una EDO de orden “n” en un
intervalo (I) sus “n” derivadas existen en el intervalo (I) y al
reemplazarlo en la EDO se obtiene una identidad.
EJEMPLO.
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
(EDO) PRIMER ORDEN
UNIDAD2. EDO´S 1ER ORDEN
El método de separación de variables
Se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa
particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas
parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que
tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos
de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos
descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
EJEMPLO
MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE
El factor integrante se define como: e^∫p(x)dx, una
vez hallado el factor integrante el siguiente
paso es multiplicar la ecuación por dicho factor,
entonces tenemos:
e^∫p(x)dx [y^'+p(x)y]=e^∫p(x)dx [f(x)]
EJEMPLO
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Es una ecuación diferencial ordinaria de primero orden que presenta la
forma:
PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXACTAS
1. Verificar dM/dy = dN/dx
2. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)
3. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ′
(𝑥)
4. Despejar h(x)
5. Reemplazar (x) en 2
EJEMPLO DE ECUACIONES EXACTAS
VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
El método de variación de constantes permite calcular una solución particular de
una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa).
Se parte de la solución general de la homogénea asociada.
EJERCICIO DE VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑒3𝑥
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Y TRANSFORMACIÓN
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 Forma normal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(
𝑦
𝑥
) Ecuación homogénea
𝑍 =
𝑌
𝑋
; 𝑦 = 𝑧 ∗ 𝑥
EJEMPLO
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑦 = 0
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑥2
𝐹. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
)2
+1 𝐸𝑐. 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑍 =
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2
+ 1
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧2
+ 1
𝑑𝑧
𝑧2 + 1
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
= ln 𝑥 + 𝑐
tan(arctan)
𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥 + 𝑐)
𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥) + 𝑐
𝑦 = 𝑥 tan(ln 𝑥 + 𝑐) 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
ECUACIÓN DE BERNOULLI
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = −
5
2
𝑦3
Multiplicamos por y-3
𝑦
−
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5 𝑦
−
2
= −
5
2
𝑣 = 𝑦
1
−
3
= 𝑦
−
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2 𝑦
−
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Reemplazamos
−
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 5𝑣 = −
5
2
∗ (−2)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 10𝑣 = 5 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑈 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 10 𝑑𝑥
= 𝑒10 𝑥
Ocupamos la siguiente formula
𝑈 ∗ 𝑉 = 𝑈 ∗ 𝐹 𝑥 ∗ 𝑑𝑥
𝑒10𝑥
𝑣 = 𝑒10𝑥
∗ 5 𝑑𝑥
𝑒10𝑥
𝑣 = 5
1
10
𝑒10𝑥
+ 𝑐
RICATTI
La ecuación de Riccati es una ecuacion diferencial ordinaria, no lineal de
primer orden.
Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑦2
Tiene una solución particular Y1
EJEMPLO
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4
𝑥2
−
𝑦
𝑥
+ 𝑦2
𝑦1 =
2
𝑥
Primero sacamos la Ec. De Bernoulli
𝑦 =
2
𝑥
+ 𝑢
𝑦′
= −
2
𝑥2
+ 𝑢′
−
2
𝑥
+ 𝑢′
= −
4
𝑥2
−
2
𝑥
+ 𝑢
𝑥
+ (
2
𝑥
+ 𝑢)2
𝑢′
−
3
𝑥
𝑢 = 𝑢2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖
𝑉 = 𝑈1−2
= 𝑈−1
Reemplazamos
𝑈−2
𝑈′
−
3
𝑋
𝑈−1
= 1
𝑉′
+
3
𝑋
𝑉 = 1
𝑍 = 𝑒
2
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒ln 𝑥3
𝑍 = 𝑥3
𝑥3
𝑣 = 𝑥3
( − 1) 𝑑𝑥
𝑥3
𝑣 = −
𝑥4
4
+ 𝑐1
𝑣 = −
𝑥
4
+ 𝑐1 𝑥−3
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y EN LA FRONTERA
Valores iniciales
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦 𝑥0 = 𝑦𝑜: 𝑦1
𝑥0 = 𝑦1, … 𝑦 𝑛
𝑥0 = 𝑦𝑛
Valores en la Frontera
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎2 𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: ∝1 𝑦 𝑎 + 𝛽𝑦′
𝑎 = 𝛾
∝2 𝑦 𝑏 + 𝛽2 𝑏 = 𝛾2
EJEMPLO
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑥 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑐𝑎𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑥′′ + 16𝑥 = 0
Demostrar que 1 es solución de 2
𝑥 0 = 0 ; 𝑥
𝜋
2
= 0
𝑥 0 = 0 ; 𝑥
𝜋
8
= 0
C1cos4t + c2 sen 4t
X= c1cos4t+c2sen4t
X’= -csen4t+cos4t
-16 Ccos4t+C16sen4t
-16cos4t-16cos4t+16c1cos4t+16c2sen4t
0=0
b) X (0) = 0
0= ci cos(4-0)+c2 sen (4*0)
0=c1
0= c1cos(4-π/2)+c2 sen (4*π/2)
0= c1 cos(2π) + c2 sen (2π)
0= c2 sen (2π)
0=0
C= 0
0= (0) cos (4*π/8) + c2 sen (4*π/8)
0= c2
X= 0
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Sean y1,y2,y3,..,yn soluciones de una ED. Homogénea definidas en un intervalo I
cualquier combinación lineal de ellos también es solución.
y= c1y1+c2y2+c3y3+…CnYn
Donde: c1, i=1,2,3,n ; son constantes
EJEMPLO
Dada las soluciones y1= x2 y y2= x2lnx de la ED. Homogénea x3y’’'-2xy’+4y=0
Demostrar que satisface la ED.
Y= 2X2 X3(0)-2X (4X)+4 (2X2)=0
Y’= 4X 0-8X2+8X2=0
Y’’= 4 0=0
Y’’’= 0
Y= 3X2 LNX x3(6/x)-2x (6xlnx+3x)+4(3x2lnx)=0
Y’= 6x ln x +3x 6x2-12x2lnx-6x2+12x2lnx= 0
Y’’= 6ln x +9 0=0
Y’’= 6/x
Y= 3x2 x3(-2/x)- 2x (6x-2xlnx-x)+4(3x2-x2lnx)=0
Y’= 6x-2xlnx –x -2x2-12x2+4x2lnx+2x2+12x2-4x2lnx=0
Y’= 6-2lnx-2-1 0=0
Y’’’= -2/x
WRONSKIANO
Dados las funciones de f1(x), f2(x),..,fn(x)
El wronskiano asociado se define como
Si w=0, entonces f1(x),f2(x),.., fn(x) son linealmente dependientes
Si w=0 entonces seria linealmente independiente
EJEMPLO
SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES NO
HOMOGÉNEAS
Sea yp solución de (1) y y1,y2,y3,..yn un conjunto de ecuaciones homogéneas (2).
Entonces la solución general de la ecuación homogénea es:
Yg= C1Y1+C2Y2+,,,+CnYn+YB
HALLAR LA SOLUCION GENERAL DE
𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦1 = 𝑥2
𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 /𝑥2
𝑦′′
−
3
𝑥
𝑦′
+
4
𝑥2
𝑦 = 0
𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
= 0
𝑦2 = 𝑥2
𝑒− −
3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2
𝑥2
𝑒ln 𝑥2
𝑥4
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2
𝑦 = 𝑐1𝑥2
+ 𝑐2 𝑥2
ln 𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
MÉTODO DEL ANULADOR
EJEMPLO
MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Y’’+P(x) y’+Q(x) y= F(x)
Yc= C1Y1+C2Y2 CI Y C2 Pasen a ser funciones U1 Y U2
W= (y1, y2) = 0
U1’= -Y2F(X)/W
U2’= Y1 F(X)/W
EJEMPLO
Gracias

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer ordenEstudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
Angel Contreas
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
Carlos Farley Zamudio Melo
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Kike Prieto
 
Diseño de leva
Diseño de levaDiseño de leva
Diseño de leva
Open-Drain.com
 
Metodo del anulador
Metodo del anuladorMetodo del anulador
Metodo del anulador
Makabronero
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
germane123
 
Proyecto de calculo3 (1) firme
Proyecto de calculo3 (1) firmeProyecto de calculo3 (1) firme
Proyecto de calculo3 (1) firme
alejandroo villanueva
 
Metodo de Runge-kutta
Metodo de Runge-kuttaMetodo de Runge-kutta
Metodo de Runge-kutta
JOSEGREGORIOCASTROLO
 
Funciones bessel
Funciones besselFunciones bessel
Funciones bessel
Leonid Huancachoque Mamani
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
Kike Prieto
 
Variacion de Parametros
Variacion de ParametrosVariacion de Parametros
Variacion de Parametros
Gabriel
 
Ecuaciones diferenciales homogeneas
Ecuaciones diferenciales homogeneasEcuaciones diferenciales homogeneas
Ecuaciones diferenciales homogeneas
fernandamendozadt
 
La integral de fourier
La integral de fourierLa integral de fourier
La integral de fourier
Juan Sanango
 
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricosUnidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
Luis Fernando Rodriguez
 
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
Yazmin Galvan'
 
Termodinámica
Termodinámica Termodinámica
Termodinámica
Pablo Gandarilla C.
 
Campos Electromagneticos - Tema 4
Campos Electromagneticos - Tema 4Campos Electromagneticos - Tema 4
Campos Electromagneticos - Tema 4
Diomedes Ignacio Domínguez Ureña
 
Ley fundamenta del engranaje
Ley fundamenta del engranajeLey fundamenta del engranaje
Ley fundamenta del engranaje
emanuelcheke
 
Asignación de Polos y Predictor de Smith
Asignación de Polos y Predictor de SmithAsignación de Polos y Predictor de Smith
Asignación de Polos y Predictor de Smith
Paolo Castillo
 
Transformadas de laplace murray r. spiegel
Transformadas de laplace   murray r. spiegelTransformadas de laplace   murray r. spiegel
Transformadas de laplace murray r. spiegel
Cesar Lima
 

La actualidad más candente (20)

Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer ordenEstudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
Estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden
 
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
ejercicios-resueltos-integrales-dobles-y-triples-2011
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Diseño de leva
Diseño de levaDiseño de leva
Diseño de leva
 
Metodo del anulador
Metodo del anuladorMetodo del anulador
Metodo del anulador
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
 
Proyecto de calculo3 (1) firme
Proyecto de calculo3 (1) firmeProyecto de calculo3 (1) firme
Proyecto de calculo3 (1) firme
 
Metodo de Runge-kutta
Metodo de Runge-kuttaMetodo de Runge-kutta
Metodo de Runge-kutta
 
Funciones bessel
Funciones besselFunciones bessel
Funciones bessel
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Variacion de Parametros
Variacion de ParametrosVariacion de Parametros
Variacion de Parametros
 
Ecuaciones diferenciales homogeneas
Ecuaciones diferenciales homogeneasEcuaciones diferenciales homogeneas
Ecuaciones diferenciales homogeneas
 
La integral de fourier
La integral de fourierLa integral de fourier
La integral de fourier
 
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricosUnidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
Unidad 1 conceptos fundamentales de circuitos electricos
 
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
Ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace 2
 
Termodinámica
Termodinámica Termodinámica
Termodinámica
 
Campos Electromagneticos - Tema 4
Campos Electromagneticos - Tema 4Campos Electromagneticos - Tema 4
Campos Electromagneticos - Tema 4
 
Ley fundamenta del engranaje
Ley fundamenta del engranajeLey fundamenta del engranaje
Ley fundamenta del engranaje
 
Asignación de Polos y Predictor de Smith
Asignación de Polos y Predictor de SmithAsignación de Polos y Predictor de Smith
Asignación de Polos y Predictor de Smith
 
Transformadas de laplace murray r. spiegel
Transformadas de laplace   murray r. spiegelTransformadas de laplace   murray r. spiegel
Transformadas de laplace murray r. spiegel
 

Similar a Diapositivas matematicas-3

Diapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moranDiapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moran
Matemática Periodo Cincuenta
 
Remedial matematicas 3 sumac quizhpe
Remedial matematicas 3 sumac quizhpeRemedial matematicas 3 sumac quizhpe
Remedial matematicas 3 sumac quizhpe
Matemática Periodo Cincuenta
 
Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matematica -ED primer ciclo-Alex-ImbaquingoMatematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Juan Martinez
 
Ecuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.pptEcuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.ppt
CarlosAlbertoGmezArb
 
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  ccesa007Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  ccesa007
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Resumen 1er ciclo mate
Resumen 1er ciclo mateResumen 1er ciclo mate
Resumen 1er ciclo mate
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
RodrigoSoto69063
 
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
Jesus Burgos Matos
 
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
Santiago Salinas Lopez
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcial
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcialEcuaciones diferenciales Resumen primer parcial
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcial
aysha14
 
Ecuaciones diferenciales-orden-superior
Ecuaciones diferenciales-orden-superiorEcuaciones diferenciales-orden-superior
Ecuaciones diferenciales-orden-superior
Sabena29
 
Ecuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superiorEcuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superior
Johana lopez
 
ecuaciones diferenciales_orden_superior
 ecuaciones diferenciales_orden_superior ecuaciones diferenciales_orden_superior
ecuaciones diferenciales_orden_superior
jose luis tapia rejo
 
76174864 ecuaciones-diferenciales
76174864 ecuaciones-diferenciales76174864 ecuaciones-diferenciales
76174864 ecuaciones-diferenciales
Humberto Memenza Ccahuana
 
Mat4
Mat4Mat4
Mat4
Mat4Mat4
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Angel Guevara Orozco
 

Similar a Diapositivas matematicas-3 (20)

Diapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moranDiapos de mate jessica moran
Diapos de mate jessica moran
 
Remedial matematicas 3 sumac quizhpe
Remedial matematicas 3 sumac quizhpeRemedial matematicas 3 sumac quizhpe
Remedial matematicas 3 sumac quizhpe
 
Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matematica -ED primer ciclo-Alex-ImbaquingoMatematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.pptEcuaciones diferenciales.ppt
Ecuaciones diferenciales.ppt
 
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  ccesa007Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  ccesa007
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007
 
Resumen 1er ciclo mate
Resumen 1er ciclo mateResumen 1er ciclo mate
Resumen 1er ciclo mate
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
3 ecuaciones diferenciales_orden_superior (1)
 
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcial
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcialEcuaciones diferenciales Resumen primer parcial
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcial
 
Ecuaciones diferenciales-orden-superior
Ecuaciones diferenciales-orden-superiorEcuaciones diferenciales-orden-superior
Ecuaciones diferenciales-orden-superior
 
Ecuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superiorEcuaciones diferenciales orden superior
Ecuaciones diferenciales orden superior
 
ecuaciones diferenciales_orden_superior
 ecuaciones diferenciales_orden_superior ecuaciones diferenciales_orden_superior
ecuaciones diferenciales_orden_superior
 
76174864 ecuaciones-diferenciales
76174864 ecuaciones-diferenciales76174864 ecuaciones-diferenciales
76174864 ecuaciones-diferenciales
 
Mat4
Mat4Mat4
Mat4
 
Mat4
Mat4Mat4
Mat4
 
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
Ecuaciones Diferenciales de1er Orden
 

Más de Matemática Periodo Cincuenta

Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Resumen de las unidades del primer parcial
Resumen de las unidades del primer parcialResumen de las unidades del primer parcial
Resumen de las unidades del primer parcial
Matemática Periodo Cincuenta
 
Remedial
RemedialRemedial
Remedial mate resumen
Remedial mate resumenRemedial mate resumen
Remedial mate resumen
Matemática Periodo Cincuenta
 
Resumen Ec diferenciales
Resumen Ec diferenciales Resumen Ec diferenciales
Resumen Ec diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Diapos mate
Diapos mateDiapos mate
Tarea resumen
Tarea resumenTarea resumen
Remedial
RemedialRemedial
Resumen primer parcial
Resumen primer parcialResumen primer parcial
Resumen primer parcial
Matemática Periodo Cincuenta
 
Resumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial edResumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial ed
Matemática Periodo Cincuenta
 
Remedial resumen
Remedial resumenRemedial resumen
Ecuaciones diferenciales-12
Ecuaciones diferenciales-12Ecuaciones diferenciales-12
Ecuaciones diferenciales-12
Matemática Periodo Cincuenta
 
Tarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuñaTarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuña
Matemática Periodo Cincuenta
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 
Resumen matematicas_primer interciclo
Resumen matematicas_primer intercicloResumen matematicas_primer interciclo
Resumen matematicas_primer interciclo
Matemática Periodo Cincuenta
 
Diapositivas primer parcial
Diapositivas primer parcialDiapositivas primer parcial
Diapositivas primer parcial
Matemática Periodo Cincuenta
 
Resumen de Ecuaciones Diferenciales
Resumen de Ecuaciones DiferencialesResumen de Ecuaciones Diferenciales
Resumen de Ecuaciones Diferenciales
Matemática Periodo Cincuenta
 

Más de Matemática Periodo Cincuenta (18)

Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Resumen de las unidades del primer parcial
Resumen de las unidades del primer parcialResumen de las unidades del primer parcial
Resumen de las unidades del primer parcial
 
Remedial
RemedialRemedial
Remedial
 
Remedial mate resumen
Remedial mate resumenRemedial mate resumen
Remedial mate resumen
 
Resumen Ec diferenciales
Resumen Ec diferenciales Resumen Ec diferenciales
Resumen Ec diferenciales
 
Diapos mate
Diapos mateDiapos mate
Diapos mate
 
Tarea resumen
Tarea resumenTarea resumen
Tarea resumen
 
Remedial
RemedialRemedial
Remedial
 
Resumen primer parcial
Resumen primer parcialResumen primer parcial
Resumen primer parcial
 
Resumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial edResumen 1er parcial ed
Resumen 1er parcial ed
 
Remedial resumen
Remedial resumenRemedial resumen
Remedial resumen
 
Ecuaciones diferenciales-12
Ecuaciones diferenciales-12Ecuaciones diferenciales-12
Ecuaciones diferenciales-12
 
Tarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuñaTarea remedial-andrés-pastuña
Tarea remedial-andrés-pastuña
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Resumen matematicas_primer interciclo
Resumen matematicas_primer intercicloResumen matematicas_primer interciclo
Resumen matematicas_primer interciclo
 
Diapositivas primer parcial
Diapositivas primer parcialDiapositivas primer parcial
Diapositivas primer parcial
 
Resumen de Ecuaciones Diferenciales
Resumen de Ecuaciones DiferencialesResumen de Ecuaciones Diferenciales
Resumen de Ecuaciones Diferenciales
 

Último

1° T3 Examen Zany de primer grado compl
1° T3 Examen Zany  de primer grado compl1° T3 Examen Zany  de primer grado compl
1° T3 Examen Zany de primer grado compl
ROCIORUIZQUEZADA
 
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMExamen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
Juan Martín Martín
 
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdfMundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
ViriEsteva
 
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docxRETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
100078171
 
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Unidad de Espiritualidad Eudista
 
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdfBlogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
lautyzaracho4
 
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
amayaltc18
 
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
israelsouza67
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
LuanaJaime1
 
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptxEVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
Victor Elizalde P
 
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxSEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
Osiris Urbano
 
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptxLiturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
YeniferGarcia36
 
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdfLas Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdfMaristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
belbarcala
 
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdfGuia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primariaLa vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
EricaCouly1
 
Manual de procedimiento para gráficos HC
Manual de procedimiento para gráficos HCManual de procedimiento para gráficos HC
Manual de procedimiento para gráficos HC
josseanlo1581
 
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdfEl Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
Robert Zuñiga Vargas
 
Power Point: El espiritismo desenmascarado
Power Point: El espiritismo desenmascaradoPower Point: El espiritismo desenmascarado
Power Point: El espiritismo desenmascarado
https://gramadal.wordpress.com/
 

Último (20)

1° T3 Examen Zany de primer grado compl
1° T3 Examen Zany  de primer grado compl1° T3 Examen Zany  de primer grado compl
1° T3 Examen Zany de primer grado compl
 
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMExamen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
 
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdfMundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
Mundo ABC Examen 1 Grado- Tercer Trimestre.pdf
 
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docxRETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
RETROALIMENTACIÓN PARA EL EXAMEN ÚNICO AUXILIAR DE ENFERMERIA.docx
 
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
 
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdfBlogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
Blogs_y_Educacion_Por Zaracho Lautaro_.pdf
 
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
Examen de la EvAU 2024 en Navarra Latín.
 
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
 
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
Clase Prensencial, Actividad 2.pdf.......
 
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
 
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptxEVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
 
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxSEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptx
 
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptxLiturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
Liturgia día del Padre del siguiente domingo.pptx
 
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdfLas Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
 
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdfMaristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
 
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdfGuia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
 
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primariaLa vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
La vida de Martin Miguel de Güemes para niños de primaria
 
Manual de procedimiento para gráficos HC
Manual de procedimiento para gráficos HCManual de procedimiento para gráficos HC
Manual de procedimiento para gráficos HC
 
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdfEl Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
El Cerebro se Cambia a si Mismo-Norman Doidge.pdf
 
Power Point: El espiritismo desenmascarado
Power Point: El espiritismo desenmascaradoPower Point: El espiritismo desenmascarado
Power Point: El espiritismo desenmascarado
 

Diapositivas matematicas-3

  • 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S D I E G O O L M E D O I N G . G A B R I E L M O L L O C A N A R E S U M E N P R I M E R P A R C I A L
  • 2. UNIDAD 1. INTRODUCCION DEFINICIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Es una ecuación que relaciona variables independientes, sus derivadas y variables independientes y= f(x)
  • 3. CLASIFICACIÓN DE EC. DIFERENCIALES Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Presenta una sola variable ya sea dependiente sea independiente.
  • 4. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) Presentan 2 o mas variables ya sean dependientes como independientes.
  • 5. ORDEN Y LINEALIDAD Orden: El orden de una Ec. Diferencial esta dado por la mayor derivada presente.
  • 6. Linealidad: Una Ec. Diferencial Ordinaria es lineal si tiene la siguiente formula.
  • 8. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una función y=Q(x) es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo (I) sus “n” derivadas existen en el intervalo (I) y al reemplazarlo en la EDO se obtiene una identidad.
  • 10. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD (EDO) PRIMER ORDEN
  • 11. UNIDAD2. EDO´S 1ER ORDEN El método de separación de variables Se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
  • 13. MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE El factor integrante se define como: e^∫p(x)dx, una vez hallado el factor integrante el siguiente paso es multiplicar la ecuación por dicho factor, entonces tenemos: e^∫p(x)dx [y^'+p(x)y]=e^∫p(x)dx [f(x)]
  • 15. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Es una ecuación diferencial ordinaria de primero orden que presenta la forma:
  • 16. PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXACTAS 1. Verificar dM/dy = dN/dx 2. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥) 3. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ′ (𝑥) 4. Despejar h(x) 5. Reemplazar (x) en 2
  • 18. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE El método de variación de constantes permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa). Se parte de la solución general de la homogénea asociada.
  • 19. EJERCICIO DE VARIACIÓN DE LA CONSTANTE 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒3𝑥
  • 20. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Y TRANSFORMACIÓN 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 Forma normal 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺( 𝑦 𝑥 ) Ecuación homogénea 𝑍 = 𝑌 𝑋 ; 𝑦 = 𝑧 ∗ 𝑥
  • 21. EJEMPLO 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑥2 𝐹. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + ( 𝑦 𝑥 )2 +1 𝐸𝑐. 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑍 = 𝑦 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2 + 1 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧2 + 1 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐 tan(arctan) 𝑦 𝑥 = tan(ln 𝑥 + 𝑐) 𝑦 𝑥 = tan(ln 𝑥) + 𝑐 𝑦 = 𝑥 tan(ln 𝑥 + 𝑐) 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
  • 22. ECUACIÓN DE BERNOULLI 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦 = − 5 2 𝑦3 Multiplicamos por y-3 𝑦 − 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5 𝑦 − 2 = − 5 2 𝑣 = 𝑦 1 − 3 = 𝑦 − 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −2 𝑦 − 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 Reemplazamos − 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 5𝑣 = − 5 2 ∗ (−2) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 10𝑣 = 5 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑈 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 10 𝑑𝑥 = 𝑒10 𝑥 Ocupamos la siguiente formula 𝑈 ∗ 𝑉 = 𝑈 ∗ 𝐹 𝑥 ∗ 𝑑𝑥 𝑒10𝑥 𝑣 = 𝑒10𝑥 ∗ 5 𝑑𝑥 𝑒10𝑥 𝑣 = 5 1 10 𝑒10𝑥 + 𝑐
  • 23. RICATTI La ecuación de Riccati es una ecuacion diferencial ordinaria, no lineal de primer orden. Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑦2 Tiene una solución particular Y1
  • 24. EJEMPLO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 4 𝑥2 − 𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝑦1 = 2 𝑥 Primero sacamos la Ec. De Bernoulli 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑢 𝑦′ = − 2 𝑥2 + 𝑢′ − 2 𝑥 + 𝑢′ = − 4 𝑥2 − 2 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ( 2 𝑥 + 𝑢)2 𝑢′ − 3 𝑥 𝑢 = 𝑢2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑉 = 𝑈1−2 = 𝑈−1 Reemplazamos 𝑈−2 𝑈′ − 3 𝑋 𝑈−1 = 1 𝑉′ + 3 𝑋 𝑉 = 1 𝑍 = 𝑒 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒ln 𝑥3 𝑍 = 𝑥3 𝑥3 𝑣 = 𝑥3 ( − 1) 𝑑𝑥 𝑥3 𝑣 = − 𝑥4 4 + 𝑐1 𝑣 = − 𝑥 4 + 𝑐1 𝑥−3
  • 25. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y EN LA FRONTERA Valores iniciales 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑑 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦 𝑥0 = 𝑦𝑜: 𝑦1 𝑥0 = 𝑦1, … 𝑦 𝑛 𝑥0 = 𝑦𝑛 Valores en la Frontera 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: ∝1 𝑦 𝑎 + 𝛽𝑦′ 𝑎 = 𝛾 ∝2 𝑦 𝑏 + 𝛽2 𝑏 = 𝛾2
  • 26. EJEMPLO 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑥 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑐𝑎𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑥′′ + 16𝑥 = 0 Demostrar que 1 es solución de 2 𝑥 0 = 0 ; 𝑥 𝜋 2 = 0 𝑥 0 = 0 ; 𝑥 𝜋 8 = 0 C1cos4t + c2 sen 4t X= c1cos4t+c2sen4t X’= -csen4t+cos4t -16 Ccos4t+C16sen4t -16cos4t-16cos4t+16c1cos4t+16c2sen4t 0=0 b) X (0) = 0 0= ci cos(4-0)+c2 sen (4*0) 0=c1 0= c1cos(4-π/2)+c2 sen (4*π/2) 0= c1 cos(2π) + c2 sen (2π) 0= c2 sen (2π) 0=0 C= 0 0= (0) cos (4*π/8) + c2 sen (4*π/8) 0= c2 X= 0
  • 27. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Sean y1,y2,y3,..,yn soluciones de una ED. Homogénea definidas en un intervalo I cualquier combinación lineal de ellos también es solución. y= c1y1+c2y2+c3y3+…CnYn Donde: c1, i=1,2,3,n ; son constantes
  • 28. EJEMPLO Dada las soluciones y1= x2 y y2= x2lnx de la ED. Homogénea x3y’’'-2xy’+4y=0 Demostrar que satisface la ED. Y= 2X2 X3(0)-2X (4X)+4 (2X2)=0 Y’= 4X 0-8X2+8X2=0 Y’’= 4 0=0 Y’’’= 0 Y= 3X2 LNX x3(6/x)-2x (6xlnx+3x)+4(3x2lnx)=0 Y’= 6x ln x +3x 6x2-12x2lnx-6x2+12x2lnx= 0 Y’’= 6ln x +9 0=0 Y’’= 6/x Y= 3x2 x3(-2/x)- 2x (6x-2xlnx-x)+4(3x2-x2lnx)=0 Y’= 6x-2xlnx –x -2x2-12x2+4x2lnx+2x2+12x2-4x2lnx=0 Y’= 6-2lnx-2-1 0=0 Y’’’= -2/x
  • 29. WRONSKIANO Dados las funciones de f1(x), f2(x),..,fn(x) El wronskiano asociado se define como Si w=0, entonces f1(x),f2(x),.., fn(x) son linealmente dependientes Si w=0 entonces seria linealmente independiente
  • 31. SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS Sea yp solución de (1) y y1,y2,y3,..yn un conjunto de ecuaciones homogéneas (2). Entonces la solución general de la ecuación homogénea es: Yg= C1Y1+C2Y2+,,,+CnYn+YB
  • 32. HALLAR LA SOLUCION GENERAL DE 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦1 = 𝑥2 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 /𝑥2 𝑦′′ − 3 𝑥 𝑦′ + 4 𝑥2 𝑦 = 0 𝑦2 = 𝑦1 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 = 0 𝑦2 = 𝑥2 𝑒− − 3 𝑥 𝑑𝑥 (𝑥2)2 𝑥2 𝑒ln 𝑥2 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2 𝑦 = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2 𝑥2 ln 𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
  • 34.
  • 36.
  • 37. MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS Y’’+P(x) y’+Q(x) y= F(x) Yc= C1Y1+C2Y2 CI Y C2 Pasen a ser funciones U1 Y U2 W= (y1, y2) = 0 U1’= -Y2F(X)/W U2’= Y1 F(X)/W