Diego Olmedo

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S
D I E G O O L M E D O
I N G . G A B R I E L M O L L O C A N A
R E S U M E N P R I M E R P A R C I A L

2. UNIDAD 1. INTRODUCCION
DEFINICIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Es una ecuación que relaciona variables independientes, sus derivadas y
variables independientes y= f(x)

3. CLASIFICACIÓN DE EC. DIFERENCIALES
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Presenta una sola variable ya sea dependiente sea independiente.

4. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Presentan 2 o mas variables ya sean dependientes como independientes.

5. ORDEN Y LINEALIDAD
Orden: El orden de una Ec. Diferencial esta dado por la mayor derivada
presente.

6. Linealidad: Una Ec. Diferencial Ordinaria es lineal si tiene la siguiente formula.

7. ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (EDO)

8. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una función y=Q(x) es una solución de una EDO de orden “n” en un
intervalo (I) sus “n” derivadas existen en el intervalo (I) y al
reemplazarlo en la EDO se obtiene una identidad.

9. EJEMPLO.

10. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
(EDO) PRIMER ORDEN

11. UNIDAD2. EDO´S 1ER ORDEN
El método de separación de variables
Se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa
particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas
parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que
tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos
de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos
descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

12. EJEMPLO

13. MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE
El factor integrante se define como: e^∫p(x)dx, una
vez hallado el factor integrante el siguiente
paso es multiplicar la ecuación por dicho factor,
entonces tenemos:
e^∫p(x)dx [y^'+p(x)y]=e^∫p(x)dx [f(x)]

14. EJEMPLO

15. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Es una ecuación diferencial ordinaria de primero orden que presenta la
forma:

16. PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXACTAS
1. Verificar dM/dy = dN/dx
2. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥)
3. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ′
(𝑥)
4. Despejar h(x)
5. Reemplazar (x) en 2

17. EJEMPLO DE ECUACIONES EXACTAS

18. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
El método de variación de constantes permite calcular una solución particular de
una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa).
Se parte de la solución general de la homogénea asociada.

19. EJERCICIO DE VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑒3𝑥

20. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Y TRANSFORMACIÓN
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 Forma normal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(
𝑦
𝑥
) Ecuación homogénea
𝑍 =
𝑌
𝑋
; 𝑦 = 𝑧 ∗ 𝑥

21. EJEMPLO
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑦 = 0
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑥2
𝐹. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
)2
+1 𝐸𝑐. 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑍 =
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2
+ 1
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧2
+ 1
𝑑𝑧
𝑧2 + 1
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
= ln 𝑥 + 𝑐
tan(arctan)
𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥 + 𝑐)
𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥) + 𝑐
𝑦 = 𝑥 tan(ln 𝑥 + 𝑐) 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

22. ECUACIÓN DE BERNOULLI
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = −
5
2
𝑦3
Multiplicamos por y-3
𝑦
−
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5 𝑦
−
2
= −
5
2
𝑣 = 𝑦
1
−
3
= 𝑦
−
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2 𝑦
−
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦−3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Reemplazamos
−
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 5𝑣 = −
5
2
∗ (−2)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 10𝑣 = 5 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑈 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 10 𝑑𝑥
= 𝑒10 𝑥
Ocupamos la siguiente formula
𝑈 ∗ 𝑉 = 𝑈 ∗ 𝐹 𝑥 ∗ 𝑑𝑥
𝑒10𝑥
𝑣 = 𝑒10𝑥
∗ 5 𝑑𝑥
𝑒10𝑥
𝑣 = 5
1
10
𝑒10𝑥
+ 𝑐

23. RICATTI
La ecuación de Riccati es una ecuacion diferencial ordinaria, no lineal de
primer orden.
Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑦2
Tiene una solución particular Y1

24. EJEMPLO
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4
𝑥2
−
𝑦
𝑥
+ 𝑦2
𝑦1 =
2
𝑥
Primero sacamos la Ec. De Bernoulli
𝑦 =
2
𝑥
+ 𝑢
𝑦′
= −
2
𝑥2
+ 𝑢′
−
2
𝑥
+ 𝑢′
= −
4
𝑥2
−
2
𝑥
+ 𝑢
𝑥
+ (
2
𝑥
+ 𝑢)2
𝑢′
−
3
𝑥
𝑢 = 𝑢2
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖
𝑉 = 𝑈1−2
= 𝑈−1
Reemplazamos
𝑈−2
𝑈′
−
3
𝑋
𝑈−1
= 1
𝑉′
+
3
𝑋
𝑉 = 1
𝑍 = 𝑒
2
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒ln 𝑥3
𝑍 = 𝑥3
𝑥3
𝑣 = 𝑥3
( − 1) 𝑑𝑥
𝑥3
𝑣 = −
𝑥4
4
+ 𝑐1
𝑣 = −
𝑥
4
+ 𝑐1 𝑥−3

25. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y EN LA FRONTERA
Valores iniciales
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦 𝑥0 = 𝑦𝑜: 𝑦1
𝑥0 = 𝑦1, … 𝑦 𝑛
𝑥0 = 𝑦𝑛
Valores en la Frontera
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎2 𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: ∝1 𝑦 𝑎 + 𝛽𝑦′
𝑎 = 𝛾
∝2 𝑦 𝑏 + 𝛽2 𝑏 = 𝛾2

26. EJEMPLO
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑥 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑐𝑎𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑥′′ + 16𝑥 = 0
Demostrar que 1 es solución de 2
𝑥 0 = 0 ; 𝑥
𝜋
2
= 0
𝑥 0 = 0 ; 𝑥
𝜋
8
= 0
C1cos4t + c2 sen 4t
X= c1cos4t+c2sen4t
X’= -csen4t+cos4t
-16 Ccos4t+C16sen4t
-16cos4t-16cos4t+16c1cos4t+16c2sen4t
0=0
b) X (0) = 0
0= ci cos(4-0)+c2 sen (4*0)
0=c1
0= c1cos(4-π/2)+c2 sen (4*π/2)
0= c1 cos(2π) + c2 sen (2π)
0= c2 sen (2π)
0=0
C= 0
0= (0) cos (4*π/8) + c2 sen (4*π/8)
0= c2
X= 0

27. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Sean y1,y2,y3,..,yn soluciones de una ED. Homogénea definidas en un intervalo I
cualquier combinación lineal de ellos también es solución.
y= c1y1+c2y2+c3y3+…CnYn
Donde: c1, i=1,2,3,n ; son constantes

28. EJEMPLO
Dada las soluciones y1= x2 y y2= x2lnx de la ED. Homogénea x3y’’'-2xy’+4y=0
Demostrar que satisface la ED.
Y= 2X2 X3(0)-2X (4X)+4 (2X2)=0
Y’= 4X 0-8X2+8X2=0
Y’’= 4 0=0
Y’’’= 0
Y= 3X2 LNX x3(6/x)-2x (6xlnx+3x)+4(3x2lnx)=0
Y’= 6x ln x +3x 6x2-12x2lnx-6x2+12x2lnx= 0
Y’’= 6ln x +9 0=0
Y’’= 6/x
Y= 3x2 x3(-2/x)- 2x (6x-2xlnx-x)+4(3x2-x2lnx)=0
Y’= 6x-2xlnx –x -2x2-12x2+4x2lnx+2x2+12x2-4x2lnx=0
Y’= 6-2lnx-2-1 0=0
Y’’’= -2/x

29. WRONSKIANO
Dados las funciones de f1(x), f2(x),..,fn(x)
El wronskiano asociado se define como
Si w=0, entonces f1(x),f2(x),.., fn(x) son linealmente dependientes
Si w=0 entonces seria linealmente independiente

30. EJEMPLO

31. SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES NO
HOMOGÉNEAS
Sea yp solución de (1) y y1,y2,y3,..yn un conjunto de ecuaciones homogéneas (2).
Entonces la solución general de la ecuación homogénea es:
Yg= C1Y1+C2Y2+,,,+CnYn+YB

32. HALLAR LA SOLUCION GENERAL DE
𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦1 = 𝑥2
𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 /𝑥2
𝑦′′
−
3
𝑥
𝑦′
+
4
𝑥2
𝑦 = 0
𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
= 0
𝑦2 = 𝑥2
𝑒− −
3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2
𝑥2
𝑒ln 𝑥2
𝑥4
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 = 𝑦2
𝑦 = 𝑐1𝑥2
+ 𝑐2 𝑥2
ln 𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

33. MÉTODO DEL ANULADOR

35. EJEMPLO

37. MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Y’’+P(x) y’+Q(x) y= F(x)
Yc= C1Y1+C2Y2 CI Y C2 Pasen a ser funciones U1 Y U2
W= (y1, y2) = 0
U1’= -Y2F(X)/W
U2’= Y1 F(X)/W

38. EJEMPLO

39. Gracias