Ecuaciones Diferenciales. Erika Topón

1. Integrante:
o Topón Erika
INGENIERÍA AMBIENTAL
MATEMÁTICAS

2. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
CLASIFICACIÓN
CLASIFICACIÓN
INDÍCE

3. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
GRADO
QUE ES ORDEN?
INDÍCE

4. INDÍCE
CLASIFICACION
DELTIPO DE
GRADOY
ORDEN
ECUACIÓN
DE
SEGUNDO
GRADO
SOLUCIÓN
PARTICULAR
SOLUCIÓN
GENERAL

5. INDÍCE
PROBLEMAS DEVALOR INICIAL
E.D DEVARIABLES SEPARABLES
E.D FACTOR INTEGRANTE
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

6. INDÍCE
VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

7. INDÍCE
• ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE RICCATI
• ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
• PROBLEMAS CONVALORES INICIALES

8. INDÍCE
• ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
• PRINCIPIODE SUPERPOSICIÓN
• REDUCCIÓN DE ORDEN

9. INDÍCE
METODO DEL
ANULADOR
COEFICIENTES
CONSTANTES
VARIACIÓN DE
PARÁMETROS

10. INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES
DIFERENCIALES
 Es una ecuación que relaciona variables dependientes ,
sus derivados y variables independientes.

11. CLASIFICACIÓN
ORDINARIAS: Presentan una sola variable dependiente
e independiente.

12. CLASIFICACIÓN
PARCIALES: Presenta dos o mas variables
dependientes.

13. QUE ES ORDEN?
• Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada
de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene
la forma , es decir:

14. QUE ES ORDEN?
• Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada
de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene
la forma , es decir:

15. GRADO
• Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en
forma polifónica, de no ser así se considera que no tiene
grado.

16. ECUACIÓN DIFERENCIAL
LINEAL ORDINARIA
Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y
comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente
forma:
O usando otra notación frecuente:

17. ECUACIÓN LINEAL DE
PRIMER ORDEN
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se
caracterizan por ser de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo
. La solución de esta ecuación viene dada por:

18. ECUACIONES LINEALES DE
ORDEN “N”
Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial
lineal de primer orden podemos definir una ecuación
diferencial de orden n como:
Donde la derivada mayor que aparece es de orden nésimo.

19. Vamos a presuponer que para todo x, de modo que
estudiaremos las ecuaciones
diferenciales lineales de la forma:
La ecuación diferencial anterior es homogénea si .
En caso contrario se dice que es completa o no homogénea.

20. ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO
Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la
variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir,
su exponente es 1.

21. ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es
una ecuación polinómica donde el mayor exponente es
igual a dos.

22. CLASIFICACION
DEL TIPO DE
GRADO Y ORDEN
Es una ecuación diferencial ordinaria
lineal de primer orden.
Es una ecuación diferencial ordinaria lineal
de segundo orden.
Es una ecuación diferencial ordinaria lineal
de segundo orden.

23. SOLUCIÓN
PARTICULAR
Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes
obtenemos lo que se conoce como una solución particular .

24. SOLUCIÓN
GENERAL
Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene
constantes diferentes, diremos que dicha solución es la
solución general de la ecuación diferencial.

25. PROBLEMAS DE
VALOR INICIAL
Es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor
especificado, llamado la condición inicial , de la función
desconocida en un punto dado del dominio de la solución.

28. E.D DE VARIABLES
SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más
simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas
de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a
problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de
primer orden.

30. E.D FACTOR
INTEGRANTE
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente
inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud
exige un balance en la forma de la ecuación diferencial,
balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por
ejemplo, la siguiente ecuación diferencial:

32. ECUACIONES
DIFERENCIALES
EXACTAS
• Una ecuación diferencial exacta es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden que presenta la
forma:

37. VARIACIÓN DE LA
CONSTANTE
Para adaptar el método de variación de parámetros a una
ecuación diferencial de segundo orden
a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x)
Se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar
Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)

42. VARIACIÓN DE LA
CONSTANTE
Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos
una solución complementaria por el método de coeficientes
constantes.

43. VARIACIÓN DE LA
CONSTANTE
Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos
una solución complementaria por el método de coeficientes
constantes.

44. ECUACIONES
DIFERENCIALES
HOMOGENEAS
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un
cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en
variables separadas, como el ejemplo anterior.

48. ECUACIÓN
DIFERENCIAL DE
BERNOULLI
Ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta
ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y
por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial
lineal de primer orden, mediante la sustitución
que se caracteriza por adoptar la forma:

49. Método de solución.
• Sea la ecuación:
•Lo primero que debemos
hacer es revisar si la
ecuación cumple con la
forma ordinaria
Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora
debemos sacar los valores siguientes:

50. Solución
En este punto sacaremos el valor de w.
Por lo tanto:
Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:

51. Resolvemos los paréntesis y queda:
Ahora determinamos el factor
integrante:
Factor integrante

52. Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula:
Donde:
 u es el factor integrante.
 q(x) seria igual al valor que
tiene f(x)
Evaluamos la ecuación:
Y nos queda:

53. Al analizar la
ecuación nos damos
cuenta que
necesitamos hacerla
por partes entonces
tomamos un valor
para u y para dv
pero solo de :
Realizamos las integrales
que aun quedan y el
resultado es:

54. Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis:
Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que
teníamos al principio el de w=y-³
La respuesta simplificada es:

55. ECUACIÓN DIFERENCIAL
ORDINARIA DE RICCATI
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria,
no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo
XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati,
con el fin de analizar la hidrodinámica.

57. ECUACIONES LINEALES
DE SEGUNDO ORDEN
Recordemos que las ecuaciones lineales de segundo orden
tienen la siguiente forma:

58. PROBLEMAS CON
VALORES INICIALES

59. ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES
HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO
ORDEN

60. PRINCIPIO
DE SUPERPOSICIÓN

64. REDUCCIÓN DE ORDEN
En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se
utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca
la segunda (y2)

69. METODO DEL ANULADOR

70. Ejemplo1
Usar el método del anulador para determinar la forma de una
solución particular de
1 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥
La función 𝑔 𝑥 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥 es anulada por el operador
𝐴 ≔ 𝐷 + 2 2 + 12 = 𝐷2 + 4𝐷 + 5
Si aplicamos 𝐴 a ambos lados de (1), obtenemos
𝐴 𝑦′′
− 𝑦 = 𝐴 𝑒−2𝑥
sin 𝑥
2 𝐷2
+ 4𝐷 + 𝐷 𝐷2
− 1 𝑦 = 0

71. Ahora, la ecuación auxiliar asociada con (2) es
𝑟2
+ 4𝑟 + 5 𝑟 − 1 𝑟 + 1 = 0
Que tiene raíces 1, −1, −2 + 𝑖, −2 − 𝑖 . Por lo tanto, una
solución general de (2) es
3 𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 + 𝑐3 𝑒−2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥 sin 𝑥

72. Una solución general de la ecuación homogénea
correspondiente 𝑦′′
− 𝑦 = 0 es 𝑦ℎ 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
,
de modo que una solución particular de (1) tiene la
forma
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐3 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥
sin 𝑥

73. COEFICIENTES
CONSTANTES

76. VARIACIÓN DE
PARÁMETROS

77. EJEMPLO
y" - 4y' + 4y = (x + 1)e2X
m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0
m=2
m=2
Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x
La solución complementaria yc :
yc = c1e2x + c2xe2x
1.
2.

78.   x
xxx
xx
xx
e
exee
xee
xeeW 4
222
22
22
22
, 


  x
xxx
x
xex
exeex
xe
W 4
222
2
1 1
2)1(
0



 
  x
xx
x
ex
exe
e
W 2
22
2
2 1
12
0



3.

79. 23
23
1
xx
u  x
x
u 
2
2
2
5.
  xx
e
xex
u x
x


 2
4
4
'
1
1   1
1
4
4
'
2 

 x
e
ex
u x
x
4.
dxxxduu   2'
1 dxxduu   1'
2

80. pc yyy 
6.
xxx
p e
xx
xex
x
e
xx
y 2
23
2
2
2
23
26223 


















)()()()( 2211 xyxuxyxuyp 
xxx
e
xx
xececy 2
23
2
2
2
1
26 







81. BIBLIOGRAFIA
• ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado, Edición 8. Editor Cengage
Learning Editores, 2006. pag 167-171.
• Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de los
parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009
Disponible en:
http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/Matematica
sII/P06EDO.pdf