LIBRO DE PRACTICA DE TRIGO.

1. GONOM€ CO
DE ICION
SIS
Es una figura generada por la rotación
de un rayo, aIrededor de un punto fijo
llamado vértice, desde una posición
inicial hasta una posición final.
L.F
a)Angulo nulo
Si el rayo no gira, lamedida del
ánguloserá cero.
0
b) Aogulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa
del rayo, es decir su Iado final
coincide con su Iado inicial por
primera vez.
1V
L.I.: Ladoinicial
L.F.: Lado Final
CONVENOÓN :
Si el rayo gira en sentido Antihorario
O
Anouloe Neoatlvoe
Si el rayo gira en sentido horario.
Ejemplo:
Nótese en las figuras:
• "8" es un ángulo trigonométrlco de
medida positiva.
• "x" esun ángulotrigonométrico de
medida negativa.
Se cumple: x=-0
-1V
ej magnituddeun 4ogulo
Los á p I o s trigonométricos
p u l á s e r de cualquier magnitud,
yaQuesu rayo puede girar infinitas
vueltas, en cualquiera delos
sentidos. Comosemuestra en el
ejemplo.
El ángulo mide
3 vueltas
El ángulo mide
-2 vueltas

2. Magnitud
equivalente
Factor de
Conversión
9O = 10
9^
iog
Magnitud
equivalente
Factor de
Conversión
brad = 200
d
a
d
› g
Magnitud
equivalente
Factor de
Conversión
2. SISTEf•1AS ANGULARES
Así como para medir segmentos se
requiere de una unidad de longitud
determinada, para medir ángulos se
necesita de otro ángulo como unidad
de medición.
z.i Sistema Sexa esimal
Su unidad Angular es el grado
) ; el cual es equiva-
" parte del ángulo de
sexagesimaI(1
lente a la 360
una vuelta.
lO lV
360
4 1V 3600
1 = 60’ 1’= 60” 1O =3600”
Sistema Centesimal
Su unidad angular
( 1g ,
es el grado
el cual es
centesimal
equivalente a la 400 " parte del
ángulo de una vuelta.
1g -
1V
400
Equivalencias.
19 = 100 1 = 100 5
1 = 1000 05
4 1V= 400
2.3 Sistema Radial o Circular o
Internancional
5u unidad es el radian, el cual es un
ángulo que subtiene un arco de
longitud equivalente al radio de la
circunferencia respectiva.
mAOB- 1rad
1 rad - lV
z 3,1416z
1V= 2 ad 6,2832
Nota
Como = 3,141592653 ...
Entonces :
22
7
3. CONVERSION DE SISTEMAS
Factor de Conversión Es un cociente
“conveniente” de dos magnitudes
angulares equivalentes.
magnitudes angulares equivalentes
1 vuelta : 1 v
p Llano : 1/2v
Grados
360O = 400^= 2 rad
1800 - zoog- brad
9O = 10
Ejemplos:
• Convertir a radianes la siguiente
magnitud angular = 12
Resolución :
180 15
• Convertir a radianes la siguiente
magnitud angular: §= 150
Resolución :
2 g
• Convertir
3r
r
a
d
4
0
a sexagesimal la sgte.
magnitud angular: 0=40

3. E =
- i° • g
• Hallar:
90
]” s9
Luego:
0
1’
Resolución :
Recordando : 1° =60’
1 = 10 0”
9° = 10
Reemplaz ando en:
E
1'
• Hallar: a+b sabiendo rad = a° b’
Resolución :
Equivalencia : rad = 180°
- rad.180°
8
180° 45°
8 2
rad
Luego:
Efectuando:
a=22
b= 30
Entonces : a+b = 52
Nótese que para convertir un óngulo de
un sistema a otro, multiplicaremos por
el factor de conversión.
• Convertir a sexagesim ales y
radianes la siguiente magnitud
ang ular. «= 16
Reso lución:
A) 16 a sexag esimales
Factor de conversión =
90
B) 16" a radianes
Factor de conversión =
rad
2oog
Luego:
, —
wg
=14,4°
2s rá d
rad 16. rad
20 g 2oo 25
4. FoRriuLA cENERAL DE
CONVERSION
Sean S, C y R los números que
la medida de un ángulo
representan
en los sistem as sexag esimal,
centesi maI y radial respectiv amente,
Iuego hallamos la relación que existe
entre dichos números.
C" Rrad
De la fig . S° = Cg = Rrad
Además 180° = 200g = tad
.. (1)
... (2)
Dividiendo (1) entre (2) tenemos:
S C R
180 200 ,
mula o xeiación de
Con«erdón
Fórmula particulares :
S C Sexagesima1
9 10
z Centesima/
S R
180 rr
Sexapesima/ y Radian
R
C
20 0
Centes*ma/ y Radian

4. E)emplos :
• Convertir rad a grados
sexag esimal.
Pesolución :
Sabemos que:
S R
180
S _ / 5 4
180
S =36
5
rad = 36°
• C onvertir 60 a rad ianes.
Pesolución :
Sabemos que:
60 R
200
4 R 3
10
C R
200
• Convertir 27° a grados
centesim ales.
Peso lución:
Sabemos que: —
27 C
9 10
4 C= 30
27° = 30"
• Seis veces el número de grados
sexag esimales de un ángulo
sumado a dos veces el números
de sus grados centesi males es
de
222. ZHallar el número
radianes de dicho ángulo ?
Resoluci”ón :
Si S, C y R son números que
representan las medidas del ángulo
en grados sexag esimales,
centesimales y en
en grados
radianes
respectivamente;
afirmamos.
del enunciado
6S + 2C = 222 .... (1)
Además:
s
80R
S C R
180 20a
'
c 200R
Reemplazando en ( 1) :
6.180R •2.200R 222
1080 R 400R - 222
1480 R = 222
R -
3
20
moda: Para solucionar este tipo de
problemas también podriamos hacer:
S c
180" 200
"
S - 180K
R - K C - 200K
R= W —
?
Reemplazando en (1) :
6( 180K) + 2(20 0K) = 222
1480K = 222
K - 3
20
:.R = K - 3
20

5. 1. Calcular: J.C.C.H.
Si: 68'” <> JC CH’
a) 6 b) 12 c) 24
d) 30 e) 22
2. Dada la figura :
Calcular:
K
a) 5
d) 20
b) 10
e) 25
c) 15
3. La medida de los ángulos iguales de un
triángulo isósceles son (6x) y (5x+5)‘ .
Calcular el ángulo desigual en
radianes.
a) 2 rad b) 3 c)
5 5
d) rad e) rad
5
5
4. Determinar la medida circular de un
ángulo para el cual sus medidas en los
diferentes sistemas se relacionan de la
siguiente manera :
18 3 zo 3
5 C
3
10R
3 5C —3S 1
C —5 9
+ —
—
a) 3 rad
d)
7
e)
10
b) 2 rad
18
20
c) 3 rad
5. Las media aritmética de los números
que expresan la medida de un ángulo
positivo en grados sexagesimales y
centesimales, es a su diferencia como
38 veces el número de radianes de
dicho ángulo es a 5s. Hallar cuanto
mide el ángulo en radianes.
d)
a) rad b) 4 rad c) 2 rad
3 3
3 5
e) 6 rad
6. Del gráfico, hallar una relación entre
a) u p + e = -360
b) v + p 6 = 360
c) u + p + e= 360
e) ‹ + p
d) § 6 = 360
0 = -360
7. Siendo S y C lo convencional de un
ángulo para el cual se cumple:
5S+3C
1*2” +1 12'
2”
Hallar el
3'
número de grados
sexagesimales.
a) 10
d) 9
b) 81
e) 18
c) 72
8. Sabiendo que:
S*=9x, Hallar: M 10
C y aüemás:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
9. Del gráfico, calcular y/x
a) —1/6
b) —
6
c) 6
d) 1/3
e) —1/3
c) 3

6. 10.5i los números que representan la
medida de un ángulo en los sistemas
"5" y "C", son números pares
consecutivos. El valor del complemento
del ángulo expresado en radianes es:
a o
rad b) 3 rad c) 4 rad
10 5
d) 2’rad
5 3
e)
7 rad
11.5iendo "y" el factor que convierte
segundos centesimales en minutos
sexagesimales y "x" el factor que
convierte minutos centesimales en
segundos sexagesimales. Calcular x/y.
0a) 2000
d)8OOO
b) 4000 c) 6000
e)90OO
12.5iendo "S" el número de grados
sexagesimales y "c" el número de
grados centesimales que mide un
ángulo menor que una circunferencia,
calcular dicho ángulo en radianes
sabiendo que .
C = x2
-x-30 ; S = x2
+x -56
a)
d)
11
5
b)
e)
13
c)
10
13.5i se cumple que:
361(C —s) 3 400(C + s) 2
Hal lar:
E
2,4R +
1,3R —
a
) 9/5
d) 5/2
b) 8/3
e) 7/5
c)6/5
14.Sabiendo que a, b y R son los
números que expresan la medida de
un ángulo en minutos sexagesimales,
segundos centesimales y radianes
respectivamente. Calcular:
32R
E (a +0,001b)
a) 5
d) 10
b)
e) 20
c)
15. Reducir: E
i()ni 3' 2S
a) 10
d) 70
b) 40
e) 80
c) 50
16. 5i "5", "C" y "R" son los números que
indican la medida de un ángulo en los
sistemas convencionales. Hallar dicho
ángulo en grados "5" si "R" es entero :
i
4C 65 5R 2C
S C 2 C S
Rtpa. .......
17. En un cierto ángulo, se cumple que:
+ C+ 7 9.
Calcula r el complemento del ángulo en
radianes.
)
10
d) 3z
b) 3x
e)
10
7x
5
c)
5
18.AI
20
medir un ángulo positivo en los
sistemas convencionales, se observó
que los números que representan
dichas medidas, se relacionan del
siguiente modo:
“La diferencia del tri pie del mayor con
el doble del intermedio , resuIta ser
iguaI a treinta veces el número menor
entre x, aumentado todo esto en 70,
obtener la medida circula r”.
2
a) —rad b) —rad
d
s
3
e)
6
—rad
4

7. .Sabiendo que la suma de los números
triángulo en rados sexagesimales
que representan la medida de un
es
dicho
Entonces la medida de
ángulo es:
a
7s
rad
20
c) 63 O
70g
d 133º
e) “a”, “b”, “c” son correctas

8. SFCTOR CIRC
RU£DAS ENGRANAJES
ARCO
Una porción cualquiera de una
circunferencia, recibe el nombre de
"Arco" de la circunferencia.
AB: Arco AB
A: Origen del arco AB
B: Extremo del arco AB
AO: Centro de la
circunferencia
R: Radio de la
circunferencia
Amplitud
Dada por la medida
que sostiene el arco.
del ángulo central
d d
En una circunferencia de radio "R" un
L: Longitud del arcoAB
R:Radiodela circunferencia
6:N^deradianesdel ángulo
central (0 ó 2 z)
L = R
L
e
E
so
Determine el perímetro de un sector
circular AOB cuyo radio tiene por longitud
4m, y la amplitud del ángulo es 0,5
radianes.
Resolución :
4
m
L = R.6
L = 4.0,5
4m L = 2
El perimetro 2p del
sector AOBserá:
2p = R + R + L
2p = 4m + 4m + 2m
L
2p=l0m
Nota:
• Lalongitud delacircunferencia se
calcula multiplicando 2 por el
radio "R" de la circunferencia (2 R)
L¢=2 R
ángulo central de "6" radianes
determina una long itud de arco "L",
que se calcula multiplicando el número
de radianes "6" y el radio de la
circunferencia "R".
K SE£TORCIRCULAR
Se Ilama sector circular a la región
circular limitada por dos radios y el
arco correspondiente.
AOB: Sector Circular AOB

9. Área del Sector Circular
El área de un sector circular es igual al
semi producto de la long itud de su radio
elevado alcuadrado ylamedida de su áng
ulocentral, enradianes;
es decir:
R S
Orad
U R ,A
s —
0R2
” 2
Donde:
S : Área del sector circular AOB
Obras fórmulas
Eemplos:
• Calcular el valor del área de los
sectores circulares mostrados en
cada caso:
s=LAR
1.
II
0
2m
4m
0 4m
III
0,5 rad
0
Resolución :
Caso I
L.R
SI 2
sI am2
Caso II
R2g
SU =
2
2
S II —g
Caso III
S
L2
2B
' III
SIII = 4 2
SI=
(3m) .(2m)
SII "
S
2m
2
(4m 2 ¿
2
(2m)2
III
2.0,5
• De la figura mostrada, calcular el
área de la región sombreada, si la
líneas curva ABC, tiene por
long itud 4xm.
0
Denotemos por:
Li Longitud del arco AB,
el radio Ri=12m
La Longitud del arco BC,
el radio R2=4m
A

10. De la figura:
Lz = Rz®2
L2 = 2 m
Según el dato:
LAe Luc' 4
Lt L2 ' 4
Lt • 2 = 4
Lt = 2
Elárea del sector AOB será:
S L1I tt 2 rn12m
2 ” 2
12 2
Observaciones :
• El incremento de un mismo radio
"R" en un sector circular inicial de
Área "S" (fig.1); produce un
incremento de área proporcional a
los números impares de "S", que el
estudiante podría comprobar (fig.2)
.
Fig. 1
Ejemplo:
Hallar el cociente de las áreas
sombreadas Ay B respecti vamente.
Resolución :
3S
5S
7S
S
4 4 4
Recordando la observación :
A=7S
B = 3S
A 7
B 3
AREADEUN TRAPECIO CIRCULAR
• Se Ilama trapecio circular a aquella
región circular formada por la
diferencia de dos sectores
circulares concéntricos.
• El área de un trapecio circular es
igual a la semisuma de las
longitudes de arcos que conforman
al trapecio circular, multiplicada
por su espaciamiento, es decir:
AT
B2 b .
h
Donde:
A = Área del trapecio circular.
También: 8rad
B
— b
h
E em os:
• Calcular el valor del área del trapecio,
y encontrar Ia medida del ángulo
central en la figura mostrada.
8rad 3m 4m

11. Resolución :
A — 4 3 .2
T 9rad - 4 —3
AT - 7m*
2
Brad —
2 0,5
• Hallar "x" si el área del trapecio
circular es 21m2
Resolución :
Resolución :
9m X
Por dato: A = 21
Por fórmula:
Igualamos:
x+9 = 21
x = 21m
Aplicación de la Longitud del Arco
Número de Vueltas que da una
Rueda(#v)
El número de vueltas (#v) que da una
rueda al desplazase (sin resbalar) desde
la posición A hasta B. Se calcula
mediante la relación.
Ec
v —2
A
Ec: Espacio que recorre el
centro de larueda.
R: Radio
BB : Angulo barrido
0g
COFIO
"”" "””" F ""
Desarrollo del Cono
g
L=2ar
Tronco de Cono
Desarrollo del Tronco
de Cono
EJERCICIOS
1. D e La figura calcular:
E n"
" P —
^) o
b) 1
c) 0,5
d) 0,2
e) 2
2aR
n P
2. Del g rafico halIar "x+ y"

12. a) a
d] 4a e) 5a
3 Del gráfico, hallar "L”
b) 2a
b) I/3
c) 1/5
d) 3
e) 5
60º
4 De la figura caIcular
g2
E z)(0— I)
b) 2
c) 0,5
d) 0,3
e) 0,25
Un péndulo se mueve como indica en
la figura. CaIcular la longitud deI
c) 3a
péndulo, si su extremo reco rre 3x m.
a) 5m b) 6m c) 7m
d) 8m
6 Calcule
e) 9m
el área de la región
sombreada OA= 12m
60°
7 Se tiene un sector circular de radio " r” y
un ángulo central 36°. ZCuánto hay que
aumentar el ángulo central de
varíe, si su radio disminuye en
dicho sector para que su área no
un
cuarto del anterior?
a) 64° b) 100° c) 36°
d) 20° e) 28°
8 Calcular el área sombreada en:
a) l50r’
d) 210r’ e) 70r’
2
9 Del gráfico
2
adjunto, calcular I área
=4m
sombreada, si se sabe que:
d)
2
e) 3zm’
45
N
10. Cuánto avanza la rueda de la figura
adjunta si el punto "A” vuelve a tener
contacto otras 7 veces y al detenerse el
punto "B” está es contacto con el piso
(r= 12u).
220°
A

13. a) 88a
d) 168a
b) 9 2
e) 184a
c) 17 2r
11. Una grúa cuyo brazo es 15m está en
posición horizontal
formar un ángulo
se eleva hasta
de 60 con la
horizontal luego conservando este
?Determinar el
ángulo
recorrido
gira 72O .
por el extremo libre de la
grúa en estos dos momentos?.
a) 4
d)
b) 10x c) 8
e) 5x
12.Qué espacio recorre un rueda de 4cm
de radio si da 15 vueltas al girar sin
resbalar sobre un piso plano.
b} 90a cm
d) 105a cm
a} 60a cm
c) 100a cm
e) 1 20a cm
13.De la figura mostrada determina r el
número de vueltas que da la rueda de
radio “r” en su recorrido de A hasta B
(R=7r)
a) 2
d) 5
13 5O
14.Los radios
e) 6
de las ruedas de una
bicicleta, son entre sí como 3 es a 4.
Calcular el número de vueltas que da
la rueda mayor cuando la rueda
menor gire 8x radianes.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
15.Calcula r el espacio que
bicicleta, si la suma del
recorre una
número de
vueltas que dan sus ruedas es 80. Se
sabe además que los radios de las
mismas miden 3u y 5u.
a) 100a b) 200a c) 250a
d) 300a e) 500a
16.El ángulo central de un sector mide
cuanto hay que alargar el radio
80O y se desea disminuir en 75 ; en
del
sector, para que su área no varíe, si
su longitud inicial era igual a 20cm.
a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm
d) 80 cm e) 100 cm
17.La longitud del arco correspondiente a
20%. ?Qué ocurre con el área
un sector circular disminuye en un
de
sector circular?
a) aumenta en 5%
b) disminuye en 5 %
c) no varía
d) faIta información
e) disminuye en 20%
18.Calcular la medida del ángulo central
en radianes de un sector circular tal
que su perímetro y área son 20m y
16m* respectivamente.
a) 0,5
d) 2 y 8
b) 2
e) 0,5 y 8
c) 8
19.Hallar
medida
sector circula r, sabiendo que
del ángulo central de
la
en grados sexagesimales la
un
raíz
cuadrada de su área es
numérica mente igual a la longitud de
su arco.
a) x/90
d) 2x/3
b) x/180 c) /6
e) 3 /2
20.5e tienen dos ruedas en contacto
cuyos radios están en la relación de 2
a 5. Determina r el ángulo que girará
la rueda menor, cuando la rueda
mayor de 4 vueltas.
a) 4x
d) 20a
b) 5x
e) 40a
c) 10a

14. ON£S TRTGONO
EN GULOS
CAS
GULOS
Hip. b
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
números que resultan de dividir
lados de un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas son
dos
Hipotenusa
Cateto
C‘t‘dy
Hip. b
C
ol
s = Sen
Teorema de Pitá
“ La suma de cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
Tg o
Ctg o
Cat.op.
Cat.ady a
c
=Gtg §
Cat.ady. a
-
Cat.OQ. C
Hip. b
Cat.ady a
csc o -
Hip.
b Sec §
Cat.op c
EiempIo:
• En un triángulo rectángulo ABC (recto
en C), se sabe que la suma de catetos
es igual “k” veces la hipotenusa.
Teorema
CaIcular la suma de los senos de los
ángulos agudos del triángulo .
“Los ángulos agudos de un triángulo Resolución.
rectángulo son complementarios”. Nótese que en el enunciado del
problema tenemos:
B
a + b - k.c
A + B = 90°
2. DEFINICION DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS PARA UN
ANGULO AGUDO.
Dado el triángulo ABC, recto en “ B”,
según la figura, se establecen las sgts
a
Sena
§ ospiden calcular
definiciones para el ángulo agudo “ ”: c
b
C
‘ b
A
Luego : Zena + .ScnÇ kc —
—
k
a+ b
c
• Los tres lados de
rectángulo se hallan
un triángulo
en progresión
aritmética, hallar la tangente del
ángulo agudo de dicho
mayor
triángulo.

15. Resolución :
Nótese que dado el enunciado , los
lados del triángulo están en progresión
aritmética, de razón “ r” asuma mos
entonces :
Cateto Menor = x —r
Cateto Mayor = x
Hipotenusa = x —r
Teorema de Pitá
r)
x2
- 2xr -i-r* -i-x*= x*-i-2xr -i-
x*- 2xr = 2xr
x2
= 4xr
x= 4r
Im porta nte
“A mayor cateto, se
ángulo agudo ”. Luego,
en la figura tenemos :
X°r
opone mayor
reemplazando
5r
3r
Nos piden calcula r gr=
• Calcular el cateto de un triángulo
rectángulo de 330m de perímetro, si
la tangente de uno de sus ángulos
agudos es 2,4.
Resolución :
a
) Sea “u” un ángulo agudo del triángulo
que cumpla con la condición :
Tg —
—
2,4 -
24 12
10 5
triángulo
Ubicamos
rectángulo,
“o” en un
cuya relación de catetos
guardan la relación de 12 a 5.
La hipotenusa se calcula por pitágoras.
Triá ng. Rectangulo
Particular
Triá ng Rectá ngulo
Genera I
12
5
12k 13k
5k
b) El perímetro del es:
Según la figura: 5k+ 12k+ 13k - 30k
Según dato del enunciado = 330m
30k - 330
Luego:
K = 11m
d) La pregu nta es calcula r la longitud del
menor cateto es decir:
Cateto menor = 5k
= 5.1 1m 55m
3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
3.1 Razone Tri ono e rica Reci roca .
“AI comparar las seis razones trigono-
métricas de un mismo ángulo agudo,
notamos que tres partes de ellas al
multiplica rse nos producen la unidad”.
Las parejas de las R.T. recíprocas son
entonces:
Seno . Csc = 1
Cosa . Seca = 1
Tgo . Ctg = 1
Ejemplos :
• Indica r la verdad
proposiciones.
de las siguientes
I. Sen020 .Csc 10º = 1
I I.
III .
( )
Tg35O.Ctg050 = 1 ( )
Cos4OO .Sec4OO = 1 ( )
Resolución :
Nótese que las parejas de R.T.
recíprocas, el producto es “ 1 ”; siempre
que sean ángulos iguales.
Luego:
Sen 20O .Csc 10O x1 ;
Tg 350 .Ctg BOO x1 ;
No son iguales
No son iguales
Cos40O .5ec40O = 1 ;A Sí son iguales

16. • Resolver “x” agudo queverifique:
Tg(3x+10 +«).Ctg(x+70 + )=1
Resolución :
Nótese que en la ecuaciónintervienen,
R.T. trigonométricas; Iuego los
ángulos son iguales.
Tg(3x+10 +‹ ).Ctg(x+700 +‹)=1
ángulos iguales
3x+10 +u = x+70 +
2x=60O
x=30
• Se sabe:
Sene.Cose.Tge.Ctg9.Sec9 3
7
“Una razón trigonométrica de un
ángulo
ángulo a la co-razón del
complementario”.
CO-RAZON
RAZON
Seno
Tangente
Secante
Coseno
Cotangente
secante
Dado: x+y=90 , entonces severifica
Senx =Cosy
Tgx = Ctgy
Secx = Cscy
Así por ejemplo:
• Sen20O = Cos70O
• Tg50
• Sec80
= Ctg40
= Csc10
(200 +70O=9oO)
(500+400—
900
(800+10O= 90O)
Ejemplo.'
• Indicar el valor de verdad según las
proposiciones:
Calcular: E=Cos6.Tg6.Ctgü.Sec6.Csce
Resolución .'
Recordar:
Cos6.Sec0 = 1
Tg6.Ctg6 = 1
Sec6.Csc6 = 1
I. Sen80 = Cos20O ( )
II. Tg45 = Cgt45 ( )
III. Sec(80 -x) = Csc(10 +x) ( )
Resolución :
Nótese que dado una razón y co-razón
Luego; reemplazando en la condición
del problema :
serán iguales al elevar que sus
ángulos sean iguales.
Sen6.Cos6.Tg0.Ctge.Sec6 =
"1"
Sen6 =
3
3
7
I. Sen80
II. Tg45
x Cos20
= Cgt45
(8 O+ 20Ogg0O)
(450 +45O=90O)
III. Sec(80 -x) = Csc(100 +x)
(80 0 -x+ 100 +x =90O )
7
Nos piden calcular:
E = Cos6.Tgü.Ctg6.Secó.Csc6
E = Csc6 = 1
Sen6
pero de (I) tenemos: Sen0
3
7
E=3
7
3.2 Razones Tri onométricas de An
i C o e n e a n o s .
• Resolver el menor valor positivo de
“x” que verifique:
Sen5x = Cosx
Resolución.'
Dada la ecuación Sen5x=Cosx;
los ángulos deben sumar 90 :
5x+x=90
6x=90
x=15
luego
“AI comparar las seis R.T. de ángulos
agudos, notamos que tres pares de
» Resolver “x” el menor positivo que
verifique:
ellas producen el mismo número, Sen3x Cosy = 0
siempre que su ángulo sean Tg2y.Ctg30 1 = 0
complementarios”.
Nota:
Resolución.'

17. N O 450 370 SW 160 740
Ctg« 1 W W 24a 7€4
Seco 2 3/3 2 2 N4 M 2W4 257
C s c 2 2 2 5/4 25/24
Nótese que el sistema planteado es
equivalente a:
Sen3x=Cosy
Tg2y.Ctg30O = 1
3x+y=90 ...(I)
2y = 30 O ...(II)
y = 1 5 O
Reemplazando II en I
3x+ 15 O = 900
3x =75
x = 25
II. 450 y 45 O
k
45 0
k
45 0
• 5e sabe que “x” e “y” son ángulos 4.2 Triángulos Rectángulos Notables
A roxi ados
1. 37 y 530
complementa rios, además:
Senx = 2t + 3
Cosy = 3t + 4,1
Hallar Tgx
Resolución :
Dado: x+y=90 4 5enx=Cosy
2t+3 = 3t+4,1
Reemplazando
-1, 1 = t
Conocido “t” calcularemos:
Senx= 2(-1,1)+3
5enx=0,8
Senx=4
5
Nota.
Conocida una razón trigonométrica,
luego hallaremos las restantes;
graficando la condición (I) en un
triángulo, tenemos:
4
3
Tgx=
Cat.Op. 4
Cat.Ady.
3k
II. 16 y 74
7k
530
74 O
4k
24k
5k
37 0
25k
TABLA DE LA5 R.T. DE
ANGULOS NOTABLES
16O
4. R A Z O N E S T R I G O N O M E T R I C A S D E
A N G U L O S A G U D O S N O TA B L E S
4.1 Trián ulo Rectán ulo Notable
Exactos
I. 30 y 600
1k
60O
2k
Ejemplo :
Calcular: F -
4.Sen30O+ 3.Tg60
10.Cos3 70 + 2.5ec45O
F=
Resolución :
Según la tabla mostrada notamos:
4.1 +
— 2 +3 5 1
8+2 10 2
10.4 +
5

18. E J E R C I C I O S
1. Calcular “x” en :
Sen( 2x 10°) = Cos(x + 10°)
’)
2
d)
6
b) 3 c)
4
e)
2. 5i : Tg (8x
Hal lar:
K = 5en2
3x
50
5
) Tg (x + 5O) = 1
Ctg*6x
a)
7
d)
12
1
12
b)
3. Hal lar “x” en :
Cos (60º x) Csc (070
1
12
e) 1
c)
7
12
3x) = 1
a)5
d ) 10O
b) 15
e) -5 O
c ) 2 5 O
4. 5i : Cosx =
1
a)
3
d) 2
5. 5i : TgP
, Calcula r “Sen x”
b) l
e)
3
2 , Calcular :
3
c)
5
P = 5en 3
0 Cos0 + Cos*0 5en6
’) 2
g b) 2
g
d) 420
c) 210
841
6. Dado: Secx = 5
Calcula r : E
d) 10
a) 4
b) 8
3 3
e) 3
e)
4
Senx + 1-t-COSX
" 1+ Cosx Senx
)-9
3
3 10
7. 5i: Secx = 2 , Calcular
P = (Tgx— Sen x) 2
-- (1—Cosx)*
a) 0,5
d) 2
b) l c) 1,5
e) 3
8. Si : Tg9 = a ,
Ca Icular : K-
a)
e)
1
(1+a2 2
1
c)
1+a2
a2 1
a2 + 1
21
TgA= 20 y la hipotenusa mide 58cm,
1—5en 20
1+ Tg20
2
b) a
1+ a2
a2
d)
(1 + a2)2
9. En un triá ngulo rectá ngulo ABC,
Hallar el perímetro del triángulo.
a) 156cm.
d) 140cm.
b) 116cm. c) 136cm.
e) 145cm.
10. 5i en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es
los del producto
2
Hallar la tangente
de los
del mayor
igual a
catetos,
de los
ángulos agudos de dicho triángulo.
11.Calcular :
841 a) l b) 1,5
421 d) 4 e) 6
841
E=
c) 2
Sen1O + 5en2O + Sen3 + ... +5en89
Cos 1 + Cos2 + Cos3O +. ..+Cos89O
a) 0
1
d)
2
b) 1 c) 2
e) 90

19. 12.En un triángulo rectángulo recto en
“A”. Ca Icular el cateto ‘b”, sí se tiene
que:
SenBSenCTgB=
16
a2
a) 16
d) 4
b) 8
e)9 2
c) 2
13.En un triángulo rectángulo el
semiperímetro es 60m y la secante de
unos de los ángulos es 2,6 calcula r la
mediana relativa a la hipotenusa.
a)S b) 13 c) 12
d) 24 e) 26
14. De la figura, Hallar “x” si:
Tg76O = 4
62O
6
8
12
18
24
17.5i: AC = 4DC , Hallar “Ctg0”
B
15. En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga el
Iado AB , Hasta un punto “E” , tal que :
AB = SBE
Calcular la tangente del á ngulo EDC
a)
4
b) 4 c) l
16.Hallar el valor reducido de:
E= 4Tg3 7O-Tg600 - -Sen*45O- -Sen300
a) Tg37O b) 2Sen 30O c) Tg60O
d) Sen37 e) 4Tg37O
d)
a) b) c)
e)
18.Calcular Ctg0.
’)
3
b) 2 3 1
c) +1
d) 3 1
e) 3
27
3
C
19. Del gráfico, calcular Tg(Sen0) sí el
área sombreada es igual al área no
sombreada .
d)
4 e)
3
4
a) b)
3
c) 1

20. AS DE
CUAD
NGULOS
ATEROS
1 . A R E A D E U N T R I A N G U L O
a) Area en términos de dos lados
y el ángulo que éstos forman :
A
C
a
B
Sea: 5 el área del triángulo
Sabemos que: 5 = *”h”
Pero: h, = b5enC
ob
Entonces: S =
Análogamente:
5enC
2
baSen A 5= 5enB
2 2
b) Area en términos del semi-
perímetro y los lados:
Entonces:
5 =
b
SenC =
2
5 = ab5en c Co c
2 2
s
S p (p a)(p b)(p c)
c) Area en términos de los lados
y el circunradio (R):
Sabemos que:
C C
2R ScnC
SciiC 2R
S = bSenC
b PR
abc
4R
Ejemplos:
• Hallar el área de un triángulo cuyos
lados miden 171cm, 204cm y 195 cm.
Resolución :Sabemos que:
S =
Entonces :
a +b+c 171 +204 +195
2 2
Luego:
S =
255
285 2 5 7 )(2 5 2 49(285 195)
S = 255(144)(81)(90)
S = (5 7) (5) (9) (3) (2)
5 = 15 390 cm*
• Dos lados de un miden 42cm y
32cm, el ángulo que forman mide
150 .Calcular el área del triángulo.
Resolución :
42 150-” 32
5 = a b5enC
2
S= (42)(32)Senl50O (42)(32)
2 ' 2
5 = 336cm2
2
• El área de un á ABC es de 90 3 u‘ y los
senos de los ángulos A, B y C son
proporcionales alos números
5,7 y 8 respectivamente. Hallar el
perímetro del triángulo .

21. Resol ución:
Datos: 5 = 90 3 u2
5enA= 5n, SenB=7n y 5enC=8n
Sabemos que:
a b c
SenA SenB SenC
... (Ley de senos)
Entonces: a = 5n, b= 7n y c=8n
P = 10n
(l0n)(10n —
5n)(10n —
7n)(10n—Sn)
(l i )(5n)( n)( n)
903
903
903 l0n —
› n = 3
Luego el perímetro es igual a 2p
2p=2(10)(3) —
›2p = 60u
• Sea S el área del cuadrilátero y psu
semiperímetro entonces:
S = (p —
a)(p —
b)(p —
c)(p —
d) —
abcdCos 28
0 es igual a la semisuma de dos de
sus ángulos opuestos.
2O Area de un cuadrilátero convexo en
términos de sus diagonales y el
ángulo comprendido entreestas.
• E
l diámetro de la circunferencia
circunscrita al triángulo ABC mide • Sea: AC = dev BD = d
m
Entonces:
3
cm y la media geométrica de
sus lados es 2 . Calcula r el área
del triángulo.
Resolución :
La media geométrica de a, by es:
Del dato: = 2 —
›
abc
El radio de la circunferencia
= 728
Circunscrita mide
3
Entonces: 5
abc 728
4R
4
13
l43cm
2. C U A D R I L AT E R O S
1 Area de un cuadrilátero convexo
en términos de sus lados y
ángulos opuestos
B
2
s dd.Senn . (2)
D
3O Area de un cuadrilátero
(cuadrilátero cíclico)
inscriptible
S = ...(3)
4 Area de
circunscriptible.
un cuadrilátero
D

22. 5i un cuadrilátero es circunscriptible Luego:
se
de
(p)
cumple que: a—c=b-i-d (Teorema
Pitot) entonces el semiperímetro
se puede expresa r como:
S =
S = ( 5 2 )(65 29)( 5 37)(65 41)
p = a—c o p= b—d
De éstas igualdades se deduce que:
p-a =c, p-c= a, p-b-d y p-d -b
Reemplazando en la fórmula (1) se
obtiene:
5 = bc l abc Co
S = abcd(l —
Cos O)
S = abcd.Sen 0
S = abcd Sen'O ...(4)
No olvidar que e es la suma de dos
de sus ángulos o puestos.
5 Area de un cuadrilátero inscriptible y
circunscriptible
Si un cuadrilátero es circunscriptible
ya sabemos que la semisuma de sus
ángulos opuestos es igual a 90 y
como a la vez es inscriptible
aplicamos la fórmula (2) y
obtenemos:
5 bcd
Ejemplos:
• Los lados
inscriptible
de un cuadrilátero
miden 23cm, 29cm,
37cm y 41cm. calcular su área .
Resolución
41
37 23
29
Sea: a = 23, b=29, c= 37 y d= 41
entonces
23 +29 + 37 + 41
p'= 65
S = (42)(36)(25)(24)
S = l008cm2
• Las diagonales de un paralelogramo
son 2m y 2n y un ángulo es 0. Hallar
el área del para lelogramo (s), en
términos de m, n y 6.
Resolución
2n 2m
180-0
Recordar que el área del
paralelogramo es:
S = abSenP.....(l)
Aplicamos la Iey de cosenos :
óBAD : 4n
AADC : 4m
2
= a2
+ b*-2ab.Cos0
= a2
+b2
-2a b.Cos(180-P)
2
Rescatando :
4n 2
-4m 2
= -2ab.Cos6 -2abCos6
4(n 2
-m 2
) = -4ab.Cost
ir- n-
ab =
Cos0
Reemplazando en (1)
Cos0
Scn8
S = (m 2
-n*)Tg0

23. rarecirzos
1. La figura muestra un triángulo
ABC cuya área es 60m2
,
determinar el área de la región
sombreada.
B
a)20m’
b) 15m2
c) 24m2
d) 18m*
e) 12m*
2b
2. En el cuadrilátero ABCD, el área del
triángulo AOD es 21m . Hallar el
área del cuadrilátero ABCD.
a) 1 20m2
b) 158m*
c) 140m‘
d) 115m2
e) 145m2
6a
2a
4a
3. Del gráfico, si ABC es un
AE = BC =3EB.
Triángulo y
Hallar: Sen .
b)
20
c)
1.
e)
4. ABCDes un cuadrilátero y
AE = 3EB. Hallar Sen .
E B
a) b) c)
d) e)
?4 17
En la siguiente figura determinar
“Tg ‹ ”
34 34 17
5.
a) 6/2
b 6/6
c) /4
d) 6/5
e) /7
6. Enel cubo mostrado. Hallar Sen
E
B
a) b)
e) 1
c) 2
9

24. 7. ABCD es un rectángulo BA=4m, 10. En la figura se tiene que A-C=6,
BC= 3m AM=MC=a, halle el área de la región
Hallar Tg x. triangular ABC
A 1
a) 1,57
d) 2,12
b) 2,52
e) 3,15
c) 4,74
B
1
c
8. En un triángulo rectángulo
(C= 90 ) se traza la bisectriz de
“A’ que corta a BC en el punto
“M”. Luego en el triángulo ACH se
traza CN mediana. Hallar el área
del triángulo CNM.
a) 0,125b2
Cos2
(0,5A)Sen(0, 5A)
b) 0,125b‘ Sec*(0,5A)
c) 0,125b2
Sec 2
(0,5A)CosA
d) 0,125b2
Sec2
(0,5A)SenA
e) 0,125b*Cos*(0,5A)
9. Hallar “x” en la figura, en función
de “a’ y “6”.
BM: mediana
BH: altura
A H M
a) aSena.Ctg6 b) aSen6.Tg6
c) aSene.Tg26 d) aSen26.Ctg6
e) aSene.Ctg2e
B
a) a°Sen0 b) a°CosB
d)a°CtgB
c a°TgO
e) a°SecB
A
11. En la figura “o’ es el centro üe la
circunferencia cuyo radio mide “r’ ;
determine “x’.
a) rCos6 b) rsene c) rTg6
d) 2rSene e) 2rCos6
12. Determine el “Sena”, si ABCD
es un cuadrado
a) b)
d) e)
l0 l0
2

25. 3. ÁNGULOS VERTICALES
Un ángulo se Ilama vertical, si
está contenida en
vertical por ejemplo
un plano
“ ” es un
ángulo vertical.
PlanoVertical
Plano Horizontal
3. 1 Angulo de Elevación (o)
Es un ángulo vertical que está
formado por una línea que pasa por el
ojo del observa do r y su vis ual por
encima de esta.
Visual
Horizontal
Ejemplo :
Una ho rmiga observa al p unto más alto de
un poste con un á ngulo de elevación “ 0”. La
horm iga se dirige ha cia el poste y cua ndo la
distancia que la s separa se ha reducido a la
tercera parte, la medida del nuevo ángulo
de elevación para el mismo punto se ha
duplicado. Hallar ti”.
Reso luc ión
Poste
Hormiga
Luego:
20 =
0=
3. 2 Anguln d e Depresión (p)
Es un ángulo vertica I que está
forma do por una Iinea horizontal
ojo del
visua I por
que pasa por el
observado r y su Iinea
debajo de esta.
Horizontal
Visual
Ejemplo:
Desde la parte más alta
poste se
de un
observa a dos piedras
“A” y “B” en el suelo con ángulos
de depresión de 53s y 370
respectiva mente. 5i el poste
tiene una longitud de 12m. Hallar
la distancia entre las piedras “A” y
“ B”.
Poste
Luego: *

26. E J E R C I C I O S
1. AI observa r la parte superior de una
torre, el ángulo de elevación es 53 ,
medido a 36m de ella, y a una altura
de 12m sobre el suelo. Hallar la
altura de la torre.
a) 24m
d) 60 m
b) 48m
e) 30m
c) 50m
2. Desde una balsa que se dirige hacia
un faro se observa la parte más alta
con ángulo de elevación de 15 ,
luego de acercarse 56m se vuelve a
observar el mismo punto con un
ángulo de elevación de 30a ,
Determinar la aItura deI fa ro.
a) 14m b) 2 1m c) 28m
d) 30m e) 36m
3. AI estar ubicados en la parte más
alta de un edificio se observan dos
puntos "A" y "B" en el mismo plano
con ángulo de depresión de 37O y
53 . 5e pide hallar la distancia
entre estos puntos, si la altura del
edificio es de 120m.
a) 70m
d ) 160m
b) 90m c) 12Om
e) 100m
4. Un avión observa un faro con un
ángulo de depresión de 37 si la
altura del avión es 210 y la altura
del faro es 120m. Hallar a que
distancia se encuentra el avión.
a) 250m
d) 290m
b) 270m c) 280m
e) 150m
5. Obtener la altura de un árbol, si el
ángulo de elevación de su parte
mas alta aumenta de 37O hasta
45 , cuando el observador avanza
3m hacia el árbol.
a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
6. Desde 3 puntos colineales en tierra
A, B y C (AB = BC) se observa a
una paloma de un mismo Iado con
ángulos de elevación de 37 , 53 y
”,
"o" respectivamente. Calcule “Tg
si vuela a una distancia de 12m.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e)l0
7. Un avión que vuela a 1Km sobre el
nivel del mar es observado en 2
instantes ; el primer instante a una
distancia de 1,41Km de la vertical
del punto de observación y el otro
misma vertical. 5i el ángulo
instante se halla 3,14Km de la
de
observación entre estos dos puntos
es "P".
Calcula r: E = Ctg6 Ctg20
1,7d
Considere 2 1,41;
a) 2
d)
b)
e)
c)
8. Desde lo alto de un edificio se
observa con un ángulo de depresión
de 37*’, dicho automóvil se desplaza
con velocidad constante. Luego que
avanza 28m acercándose al edificio
es observado con un ángulo de
depresión de 53a , 5i de esta
posición tarda en llegar al edificio
6seg. Hallar la velocidad del
automóvil en m/s.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
9. 5e observan 2 puntos consecutivos
"A" y "B" con ángulos de depresión
desde Io alto de la
de 37O y 45O respectivamente
torre. Ha llar la
la altura si la distancia
puntos "A" y "B" es de
altura de
entre los
100m
a) 20 0m b) 300m c) 400 m
d) 50 0m e) 60 0m

27. GEOMFT ANALÍTICA
Sistema de €óordenadas Ractar›oulares
(Plano Cartesiano o Bidimensional )
Este sistema consta de dos rectas
dirigidas ( rectas numéricas) perpendi-
cular entre sí, llamados Ejes
Coordenados.
Sabemos que:
: Eje de Abscisas (eje X)
Y Y : Eje de Ordenadas (eje Y)
0 : Origen deCoordenadas
raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de su diferencia de abscisas
y su diferencia de ordenadas.
HC IC
IHC IVC
las
-2
Ejem: ( )
Del gráfico determinar
coordenadas de A, B, Cy D.
yA
• CoordenadasdeA: (1; 2)
• CoordenadasdeB: (-3;1)
• Coordenadas de C: (3;-2)
• Coordenadas de D: (-2;-1)
Nota
Si un punto pertenece el eje x, su
ordenada igual a cero. Y si un punto
Pertenece al eje y, su abscisa es igual a
cero.
2. Distancia entre D
La distancia entre
cualesquiera del plano
dos puntos
es igual a la
Resolución
1 2 ( 1 2) ( 1 2)
Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A
yB si: A(3;8) y B(2;6).
AB= (3 —2)2 (8 —6)2 AB= 5
Ejm:
Hallar la distancia entre los puntos Py
Q. P( -2;5) y Q(3;-1)
Resolución
PQ= (—2—
3)2 + (5 —
(—1))2
Observaciones:
2
• 5i tienen la misma abscisa
entonces la distancia entre dichos
puntos se calcula tomando el valor
de su diferencia de
absoluto
ordenadas.
Ejm:
A(5;6) y B(S;2) —•AB= |6-2| —• AB=4
C(- 3; -2) y D(- 3; 5) —• CD= |-1- 5|—•CD=6
E(5;8) y F(5 ; -2)—•| EF= 8-(-2)| EF= 10
• Si P P2 tienen la misma ordenada
calcula tomando el valor absoluto
entonces la distancia entre estos se
de
su diferencia de abscisas.

28. Ejm:
A(8;-1) y B(1;- 1}—+ AB=| 8-1| AB=7
C(-4;7) y D(-9;7 CD=|-4-(-9)D C D = 5
Eiemalos:
3. Hallar el perímetro del cuadrilátero
cuyos vértices son:
A(-3; -1), B(0; 3), C(3;4) y D(4;-1).
Resoluciõn
1. Demostrar que los puntos A(-2; -1),
B(2; 2) y C(5; -2) son los vértices de
un triângulo isósceles.
• 5
. BC - (0 —
3)2 + (3 —
4)2 — 1
• CD -
Resolución
Calculamos
puntos.
la distancia entre dos • DA=
El perímetro es igual a :
+ + 12
- ç
AB - (—2,2)2+ (
—
1
—2)2 _
AC - (
—
2
—5)* +(—1—(—2))2 - = 2 5 3.
BC - (2—5)2 + (2—(—2))2 — - 5
4 Observamos que AB —
—
B
Centonces ABc es
un triángulo isósceles.
2. Hallar el
determinada
área de la región
al unir los puntos:
A(-4;1), B(4;1) y C(0;3).
resolución
Al unir dichos puntos
triángulo. (ver figura)
se forma un
•
AB=|-4 =8
3 -1| =2
• Reemplazando en (1):
AABC- AB.h
AABC "
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.(1)
2
(8)(2)
2
AABC'
2
P(x;y)
=
2( 2y )
=7
• Sean tx y‹) y Pz(xz,yz) los
e x t r a de un segmento.
• Sea P(x;y) un punto (colineal con
z en una razón) tal que divide al
segmento en una razónr.
es decir:
r = 1
2
entonces las coordenadas de Pson:
+’’‘
x = ‘l + 2
y
y '
1+r
+ r.y2
1+ r

29. N
ota
Si P es externo al segmento PPy
es negativa.
entonces larezán
Ejm :
Los puntos extremos de un
segmento son A(2;4) y B(8; -4).
Hallar las coordenadas de un
puntos Ptal que:
AP= 2
PB
P 6; 4
4 +2(—4)
1+2
Ejm:
Los puntos extremos de un segmento
son A(-4;3) y B(6;8).
Hallar las coordenadas de un punto
P tal que:
BP 1
PA" 3 ”
Resolución .'
6+
1
(-#)
x = 3
1+
1
3
7
2
y, + r.yz
1+r
g + 1 (3)
3
1+ _1
3
7=
p 7 27
2 ’ 4
Hallar:
PB
Resolución:
Ej m :
A(-2; 3), B(6;-3) y P(x;y) son tres
Sean (x; y) las
entonces de
la
deduce que:
coordenadas de
fórmula anterior
P, puntos colineales,
se
.
'
AP = —
2.
Resolución:
Del dato: r=-2,
g x, + r.x z
entonces:
—2+ (—2)(6)
1+(—2)
X
x= 14
1 + (—2)(—3)
1+ (—2)
.'. X -F = 5
O6servar/dn
SI la razón es igual a 1 es decir
1 = 1, significa que:
2
P
H
P
= PPI, entonces Pes punto medio
de PiPz y al reemplazar r=1 en las
formas dadasseobtiene:
y _ ‘1 * ‘2
" 2
Y1*¥2
' 2

30. Ejm:
Hallar
medio
Baricentro de un Trián
las coordenadas del
P de un segmento
punto
cuyos
Sea A(x1:y2), B(x2: 2),
vértices del triángulo
C(x›; y›) los
ABC, las
B(4;7}.
extremos son: A(2;3) y
Resolución :
coordenadas de su baricentro G son:
entonces:
X
2+4
S
e
a P(x; y) el punto medio de AB
2
3 +7
' 2
P(3; 5)
4 x = 3
y = 5
G(x;y)=
Ejm:
Si P(x; y) es el punto medio üe CD.
Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10).
Resolución :
x
5
2
4 x= -3
2
6 + (-10)
Y y= -2
P(-3;-2)
x-y = -1
Ejm:
El extremo de un segmento es (1;-9) y
su punto medio es P( -1 ;-2). Hallar las
coordenadas del otroextremo.
Resolución :
extremo que se desea hallar
Sean (xz; y2J las coordenadas del
como
P(-1;-2) es el punto medio, se cumple
que:
—
l
l X
+2
—
9 +
O x =—
3
—
2
2
Área de un Trián
Sea A(x x:y ), B(x 2: y2), C(x›; y›) los
Vértices de un triángulo ABC, el área
(S) del triángulo es:
2 x2 yz
X1 J4
= i. ya + xz. ya + a.y-< z.Y
-i Xz
EJERCICIOS
1. Calcular la distancia entre cada uno de
los siguientes pares de puntos:
a) (5;6)
b) (3;6)
c) (1;3)
(-2;3)
(4; -1)
(1;-2)
d) (-4;-12) (-8;-7)
2. Un segmento tiene 29 unidades de
longitud si el origen de este segmento
es (-8;10) y la abscisa del extremo del
calcular la ordenada
es un número entero
mismo es12,
sabiendo que
positivo.
a) 12
d) 42
b) 11
e) 31
c) 8
3. Hallar las coordenadas cartesianas de
Q, cuya distancia al origen es igual a
13u. Sabiendo aüemás que la
ordenada es 7u más que la abscisa.
a) (-12; 5)
b) (12; 5)
Las coordenadas üel otro
son: (-3;5)
extremo C) (5; 12)
d) (-5; -12)
e) a y bson soluciones

31. 4. La base menor
isósceles une los
de un
puntos
trapecio
(-2;8) y
(-2;4), uno de los extremos de la base
mayor tiene por coordenadas (3 ; -2).
La distancia o longitud de la base
mayor es:
a) 6u
d) 9u
b) 7u c) 8u
e) 10u
5. Calcular las coordenadas de los
siguientes
baricentros de los
triángulos:
a) (2:5); (6;4); (7;9)
b) (7;-8); (-l2;l2);(-l6;l4)
6. Calcular las coordenadas del punto "p"
en cada segmentos dada las
condiciones:
a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB
b) A(-3 ;2) ; B(4;9) / 3AP = 4PB
c) A(- 1;-4) ; B(7;4) / SAP = 3PB
7. En un triángulo ABC las coordenadas
del baricentro son
(4; 5)
(6 :7) el punto
y
medio AB
determinar
es
la suma
de CB(2;3)
de las
coordenadas del vértice "C".
a) 21 b) 20 c) 31
d) 41 e) 51
8. 5e tienen un triángulo cuyos vértices son
los puntos A(2;4) ; B(3 ; - 1) ; C(-5 ;3).
Hallar la distancia de A hasta
el baricentro del triángulo.
a) 2
d) 4 3
b) 2 2 c) 2 /2
e)
9. En la fig ura determina r: a--b
a) 19
b) -19
c) -14
d) -18
e) -10
(2;6)
10.La base de un triángulo isósceles ABC
son los puntos A(1 ;5) y C(- 3;1)
sabiendo que B pertenece al eje "x",
hallar el área del triángulo.
a) 10u2
d) 13u2
b) 11u2
c) 12u 2
e) 24u 2
11.Reducir, "M" si:
A= (3 ;4)
D=(0;0)
B= (5 ;6)
E = (2 ;2)
C= (8; 10)
M
2. AB.BC.AD.B E.CE
a) l
d) 5
12.El punto
diagonales
b) 6
e) 4
c) 7
de intersección
de un cuadrado
de las
es (1 ;2),
vértices
hallar su área si uno de sus
es: (3 ;8).
a)20
d)40
b) 80 c) 100
e)l6O
13.Los vértices de un cuadrilátero se
definen por:
(2; 1), (-2; 2), (3; -2), (- 3 ; -3).
Hallar la diferencia de las longitudes
de las diagonales
a) b) 2 c) 0
d)
2
e)
14.Del gráfico siguiente determine las
coordenadas del punto P.
a) -7 3)
b) (-8;3)
c) (-5; 2)
d) (-4;5)
e) (-3;2)
2a
(—9;1)
Sa
(—2;8)

32. GEOMET ANALÍTICA
PENDIENTEDEUNARECT
A
5e denomina pendiente o coeficiente
angular de una recta a la tangente de su á
ngulo de inclinación. General-mente la
pendiente se representa por la letra m,
dicho valor puede ser positivo o negativo,
dependiendo si el ángulo de inclinación
es agudo u obtuso respectivamente.
O
• Pendiente de La: - Tg0
En este caso • 0
(+)
O
• Pendiente de L2 • - Tge
En este caso 2 < 0
(-)
Nota. La pendiente de las rectas horizon-
tales es igual a cero (y viceversa) las
rectas verticales no tienen pendiente.
Otra manera de hallar la pendientede
una recta es lasiguiente:
Sean (x x› va) v Pm(X2ry2) dos puntos de
la recta, entonces la pendiente (m) se
calcula aplicando la fórmula :
X
X
Demostración :
Demostración.'
• Observamos de la fig ura que 6es el
ángulo de inclinación de L, entonces:
M=Tge ......(1)
• De la figura también se observa que:
L
b
Pero: a = z2 y1: b=xz xc
Reemplazando en (1) se obtiene:
Y2 —Y1
X2 X1
e
E
so :
• Hallar la pendiente deunarecta que
pasapor (2; -2) y(-1 ;4).
Resolución :
Sea ( 2;-2) yPz(-1;4) ;entonces
4 —
(—2) 6
(—2) (2) 3
m=-2

33. • Una recta pasa por los puntos (2 ;3) y
(6;8) y (10;b).
Hallar el valor de b.
Resolución :
(6;8) entonces su
Como la recta pasa por los puntos
(2; 3) y pendiente
es:
m=
g.
m=
8—3
6—2
5
4
..... (1)
Como la recta pasa por (2,3) y (10,b)
entonces su pendientees:
b—3
10—2
b— 3
8
m= m=
De (1) y (2):
b —3 5
8 4
. (2)
-> b=l3
• El ángulo de inclinación de una recta
mide 1350 , si pasa por los puntos
(-3 ; n) y (-5 ;7). Hallar el valor de n.
Resolución :
-
n
1
3 50
Como el ángulo de inclinación
135O entonces la pendientees:
m= Tg 1350 4 m= -1
mide
Conociendo dos puntos de la recta
también se puede hallar la pendiente:
m = 7 —
n 4 m = 7 —
n
—5 —(—3) —2
Pero m= -1, entonces:
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Cuando dos rectas orientadas se
intersectan, se foorman cuatro
ángulos; se Ilama ángulo de dos rectas
orientadas al formado por los lados
que se alejan del vértice.
L 2
es el ángulo que forma las rectas
Lay L
m
L, L,
6 es el ángulo que forman las rectas L3
y Lm.
Observar que cuando se habla de tnguIo
entre dos recta se considera a los ángulos
positivos menores o iguales que 80 0 ,
a. Cálculo del Angulo entre dos
Rectas
Conociendo las pendientes de las
rectas que forman el ángulo se puede
calcula r dicho ángulo.
L2

34. Tgn
in —in
1+ ru .in,
m es la pendiente de la recta final
(L ) y m, es la pendiente de la recta
inicial (L,). Denominamos a L Recta
Final, porque de acuerdo con la figura
el Iado final del ángulo 6 está en L , lo
mismo sucede con L2•
Ejemplo.‘
• Calcular el ángulo agudo formado por
dos rectas cuyas pendientes son:
-2 y 3.
Resolución :
Sea: m = -2 y
Entonces:
T
2 3
2
^3
4 Tg =1
g — (
— )( )
«
—
—
4
5
• Dos rectas se intersectan formando un
ángulo de 135 , sabiendo que la recta
final tiene pendiente igual a -3.
Calcular la pendiente de la recta final .
Resolución :
Sea: m = Pendiente inicial y
2- Pendiente final=-3
Entonces:
Tg135°= i - i
—
3— - . —
3
—
1
+(—3) i 1 3 i
-1+3 =-3-3 4 =-2
1
2
Observaciones :
• Si dos rectas L y L2 son
igual
paralelas entonces tienen
pendiente.
La//L,
Si dos rectas L y L, son
entonces el
pendientes es
perpendiculares
producto de
sus
igual a —
1
.
L2 1 2 1
3. RECTA
La recta es un conjunto de puntos,
tales que cuando se toman dos puntos
cualesquiera de ésta, la pendiente no
varía.
Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos
de la rect:a L,
entonces se cumple que:
AB— CD— BD • • • • • •— L
Ecuación de la Recta
Para determinar la ecuación de una
recta debemos de conocer su
pendiente y un punto de paso de la
recta, o también dos puntos por donde
pasa la recta.

35. a) Ecuación de una recta cuya
pendiente es m y un punto de paso es
P ( /Y ] •
y —
y = m(x —
x )
b) Ecuación de una recta conociendo
dos puntos de paso p (x ,y ) y
X2— X1
Y— 1 _ Y2 —/
1 (x —
xiJ
c) Ecuación de una recta cuya
pendiente es m e intersección con
el eje de ordenadas es (0;b) .
d) Ecuación de una recta conociendo
las intersecciones con los ejes
coordenadas.
(a,0)
(0,b)
X
’— 1
a b
X
A esta ecuación se le denomina:
Ecuación Sim“etrica de la recta.
e) Ecuación General de la Recta
La foma general de la ecuación de una
recta es:
Ax+By+C= 0
en donde la pendiente es:
A
B
(BIO)
Eiemolo :
• Hallar la ecuación general de una
recta que pasa por el punto (2,3) y
su pendiente es 1/2.
Resolución :
y
—
y =m(x x )
4 y—3 1(x 2)
2
2y-6= x-2
La ecuación es: x 2y + 4 = 0
• La ecuación de una recta es:
2x+3y—6 = 0, hallar su pendiente y
los puntos de intersección con los
ejes coordenados.
Resolución :
Ecuación:
2x + 3y 6 = 0
La pendiente es: 2
3
2x + 3y = 6
2x + 3y
l
6
3 2
Los puntos de intersección con los
ejes coordenados son:
(3; 0) y (0; 2)

36. 1. Una recta que plea porlospuntos (2; J
y 1; tíene coino pendiente y ángulo de
inc1inación.a:
a) 3,60° b) 1.,30õ e) 2,45°
d) J,37' e) 4, °
Hałlar la pendierltc de.la recta: 4x+7y—3 -
2.
‘) b)
7
4
é)
7
2
7
c)
3
7
a) 3x-4y-1 = 0
c) x-y-1 = 0
b) 2x+3y-12 - 0
d) x+y+ ț = 0
e) x + y 1 = 0
3. Señale la ecuación de la recta que pase por
(3; 2) y cuyo ângulo de inclinación sea de!
37ᵉ. '
4. Señale la ecuación de la recta qufipase po
los pøntos P (1;5) y Q (-3;2).
a) 3x+4y 17- Ö
b) 3x-4x+17=0
c)
d)
é}
3x-4z-17 = 0
2x+y+4 = 0
x+y-2=0
5. Señale eeuación de .recta qøe pksandö pot (1
;2) sea paralela a la recta äe ecuacióri: 3x + y
—
1= 0.
a) 3x+y-5 = 0
b) x-y-5 = 0
c) 3x-y+5 = 0
d) 2x+2y-3 = 0
e) x+y.-l=0
6. Señale la ecuación de ła recta que pasa to
pot (-3;5) sea perpøidicuîar a la recta: de
2x-3y+7=0.
a) x+y+7 = 0 b) 2x+2y+3 = 0
c) x+y+8 = fi dj 3x+2y-1 = 0
e).x+3y& = 0
7. la recta L: x + 2y 6 = 0 ¿Cué1 .es lä
longitud del aeg nto que äetermina öicha
recta entre los ejes cartesianos7
a) b) c)
d) e)
8. Hallar ct área del tríángulo rect”øngulo
formado por los ejes coordenadosy Inrecta
cuya eeuación es: 5x+4y+20 = 0.
ä)3
d)20
b) 10 c) ì5
e) 2S
Señale 1s suma de coordenadas del punto de
ínțersección de lasrectar:
L : 3x-y-7 = 0 con L2 <-3y- l3= 0
a) —
I
ò) —
4
b) —
2 c) —
3
e) -5
10. Dada rectä ‘L” con ecuœiöri 3x+4y-4 =O
y el punto P(-2,-5), encontrar 1s distancia
mâscorta de!Pala recta L.
a) 2
d) 8
b) 2
e) 10
c)6
Calcuíar el árca del trîångulo forœado por
L,: x =4
_: x + y =
a) 2
d) 8
y ct eje x.
b) 4
e) 10
c) ğ
12. Calcutør el área que se foriria al graficar: y =
lxI, y - 12.
a) 144
d) 36
b) 68
) 4
.c) 49
”feñale la .ecuación de a recta medíatriz del
segmento .AB : SIA(-3; I) .yB(5;i).
c) x+y-3 = 0
d) 2x-y-3 = 0
e) x+y-7 = 0
14. Dado el segmentoAB,con extremos:
A = (2; -2), B = (6;2)
Det‹mnìnar la cuaciö”n òe la rccta cøn
pendiente positive que pasa per el origen y
divide el segments en doc partes cuyas
longitíides estän en la relwión 5 a3.
a) i- =0

37. CX DE
UNO
ANGULOS DECUALO
4. ÁNGULO BN POSICIÓN CORDIAL
Un éngulo trigonométrico está en
Posición Normal si su vértice está en el
origen de coordenadas y su Iado inicial
coincide con el Iado positivo del eje X.
Si el Iado final está en el segundo
cuadrante, el ángulo se denomina
Angulo del Segundo Cuadrante y
análogamente para lo otros
cuadrantes.
Si el Iado final coincide con un eje se
dice que el ángulo no pertenece a
ningún cuadrante.
a o IC
s p HC
c 8 IIIC
900 < a ninpún cuadrante
$ no está en posidón normal
Y
X
Si eesun éngulo cualquiera en
posición normal, sus razones
trigonométricas se definen como
sigue:
Note:
y=Ordenada
r=radio vector
Elradio vector siempre es positivO
Seno -y
Tg8 =
Ctg8=
ORDENADA
RADIO VECTOR
Cos8 -
X /& ABSCISA
r RADIOVECTOR
y ORDENADA
Sec8 —
I
”
ABscisA
ABSCISA
ORDENADA
—
RADIO VECTOR
Csc0 -
RADIO VECTOR
ORDENADA

38. e
Es o s :
• Hallar "x"
Resolución :
Aplicamos la Fórmula : r
Que es lo mismo 2 x2+ 2
Reemplazamos "y" por 12 y "r" por 13
en la igualdad anterior
x2
+ 122
= 132
x2
+ 144=169
x2
=25
X= 5
Como "x"
cuadrante
negativo
esta en el segundo
entonces tiene que ser
'
• Hallar "y"
17
X
Como "y" esta en el tercer cuadrante
entonces tiene que ser negativo.
= 15
6. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA
CUADRANTE
los signos en cada
existe una regla muy
Para hallar
cuadrante
práctica
Ae
Son Positivos:
180°
Sen
Csc
Tg
90º
Z70°
Eem os:
• 1Quésigno tiene?
E= Sen100' .Cos200'
Cos
Sec
Tg300*
Resolución.'
100
2000
300
IIC R Sen100
IIIC R Cos200
IVC
es (+)
es (-)
R Tg300O es (-)
Reemplazamos E
Resolución:
Análogamente aplicamos x2
+y 2
=r*
Reemplazamos "x" por 8 y ”r’ por 17 « Si 6e IIC COS2
en laigualdad anterior.
(-8)*+y2
—
17*
64+ y2
= 289
y2
= 225
(
—
)
2 .Hallar Cos6.

39. Si 8 e IC W 0º < 0 < 90º
Si P e HC W 90º < 8 < 180º
Si P e IIIIC W 180º 0< 270º
Si 8 e VIC W 270º <: 6 < 360º
Resolución:
Despeja mos
dada .
Cos6 de la iguaIdad
COS „ 2
9
Gos0 -
+ 2
Como 8 e III entonces
negativo , po rlota nto:
Cos8 es
Gos0 2
• Si0s IVC
4
Tg’0=
25
Hatar Tg0
Despejamos Tg0 de
dada :
la iguaIdad
Tg6=+ 2
4
Tg’e=
25
5
Como 6 e IVC entonces la Tgü es
negativa , por lo tanto:
Tg’=— 2
5
7. ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición
llamará Cuadranta I cua ndo su
normal se
Iado
finaI coincide con un eje. En conse-
cuencia no pertenece a ningún
cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes
son: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, que
por "comodidad gráfica” se escribirán
en los ex tremos de los ejes.
?70°
Propiedades
Si 6 es un ángulo en posición normal
positivo y menor que una vuelta
entonces se cumple : (0° ü < 360°)
Ejerrip tos:
• Si 0 e IMC. En qué cuadrante está
20/3.
Resolución :
S i 6 e IIIC W 180º < 8 < 270º
60° 8
3
9o°
Como 20/3 está entre 120° y 180°,
entonces pertenece al II cuadrante.
• Si o e IIC. A qué cuadrante
pertenece 2 +70º
Resolución :
S i o e IIC
45° < -
W 90° < o < 180º
< 90°
2
115” < - + 70º 180”
2
esta entre 115° y
pertenece al II
Como 2 + 70º
160°, entonces
Cuadrante.

40. 0 90 180 270 3600
Sena 0 1 0 -1 0
CON 1 0 -1 0 1
Tg @ 0 ND 0 ND 0
ND
Ctg @ ND 0 ND 0
Sec 1 ND 0 ND 1
Csc ND 1 ND -1 ND
R.T
. de An s Cuadrantales
Como ejemplo modelo vamos a
calcular las R.T. de 90 , análogamente
se van a calcular las otras R.T. de 0 ,
180 , 270 y 360
Del
r=y, por tanto:
(x; 12)
90º
ervamos que x=0
X
X
X
= No definido= ND
= 0
= = No definido=ND
0
x
F
Sen90 = = = 1
Cos90° = 0 = 0
Tg90 =
Ctg90°
Sec90 =
Csc90O = = = 1
Ejemplos:
• Calcular: E= 2Sen(x/ 2) —
Cosa
Ctg(3s / 2) + Sec2x
Resolución :
Los ángulos están en radianes,
haciendo la conversión obtenemos:
—= 900
2
=180
3 270*
2
2 = 3600
Reemplazamos:
E
E
2Sen90' —Cos180*
C tg270*+Sec360*
2(1) —
(—1)
0 +1
E= 3
• Calcular el valor de E para x=45
E
Sen2x + Cos6x
Tg4x + Cos8x
Resolución :
Reemplazamos x=45 en E:
E
E
E= 1
Sen90°+CO 270'
Tg180*+Cos360O
l + 0
0+ l
1

41. EJERCICIOS
1. Del gráfico mostrado,calcular:
E = Sene ” Cose
a) b)
d) e)
6 8
2. Del gráfico mostrado, calcula r:
E=5ecq + Tge
(- 12 ; 5)
a) 3/2
d
) —2/3
b) —
3
/
2
e) 1
c) 2
/
3
3. Del gráfico mostrado, calcula r:
Caca
Sec
(-7; -24)
a) 24/7
d) —24/7
b) —7/24
e) 7/24
c) 25/7
4. Del gráfico mostrado, calcula r:
E =Ctg§ Csc§
a) 2
d) 1/4
b) 4
e) 1/5
E
5. 5i (3 ; 4) es un punto del Iado final de un
á ngulo en posición normal o. Hallar el
valor de:
Sena
1 Cost
c) 1/2
a)l
d)3
b) 2
e) 1/3
c) 1/2
6. 5i el Iado de un ángulo en posición
estánda r 0 pasa por el punto (- 1 ; 2).
Hallar el valor de:
E = SecP . Csc0
b) 5/2 c)-2/5
e) l
a) -5/2
d) 2/5
7. 5i el punto
Iado finaI de
(-9; -40) pertenece al
un ángulo en posición
normaI . HaIIar el valor de:
E = Cscn + Ctgn
b) —5/4 c) —
4/5 e) —4/3
a) 4/5
d) 5/4

42. punto (20;-21)
8. Dado el
correspondiente al
14.Si Ctg =0,25 } III. Hallar Secó.
Iado final de un
ángulo en posición normal
valor de:
E = Tg§ + Secó
. Hallar el
a) b) c)
a) 2/5
d) 5/2
b) —2/5 c) 1
e) —5/2
9. Si Csc6 <0 Sec
cuadrante está e?.
0 > 0. 1En qué
a)I b) II c) III
d)IV e) Escuadrantal
d) e)
4
4
15.Si Ctg t=3 270 <6<360 . Hallar Sene
a) 1/2 b) —
1/2 c)
2
10.Si 6 II. Hallar el signo de:
Sen6 5Cos6
Tg6+ 3Ctg6
a) +
d} + y
b) c) + ó
e) No tienesigno
11.Hallar el signode:
E=Ctg432 .Tg2
134 .Csc3
214 .Sec 3600
a) +
d) +
b) c) +
e) No tienesigno
12.Si Sena.Cos6 > 0. 1En qué cuadrante
está 6?.
a) I
d) I v I II
b) II c) III
e) II v III
13.Si Sen6
3
1 e II. Hallar Tge.
b) —2 2 c)
a)
d) 2 2 e)
2
2
d)
2
e)
2
2
16. Si Csc2
=16 < a< 3
2
Hallar el valor de: E Tgü Sen6
a) —
3/4 d)
5/4
b) 3/4
e) 0
c) —5/4
17.Calcular el valor de:
E= (Cos270°)Sen90°
(Sec1800 )C 270º
a) 0
d) 2
b) 1
e) —
3
Tg360O
COS0'
c) —1
18.Calcular el valor de:
E Tg Sen Cos CostTg(Senx)t
a) 0
d) 2
b) 1
e) —
3
c) —
1
19.Si (5; 12) esun punto del laüo final de
normal t.
E
un ángulo en posición
Hallar el valorde
1 —
Sena
Cost
a) 5
d) —1/5
b) —
5
e) 10
c) 1/5

43. 20.Del ráfico calcular:
P ctgğ -I- Cscğ
X
(7; -24)
—3/4
e) —4/3
c)

44. X 0 //2 3x/2 2x
=Senx 0 1 0 -1 0
9.
CIONES GONOME CAS
s. N TRI F4ETRI
Se denomina Función Trigonométrica al
conjunto de pares ordenadas (x, y), tal
que la primera componente “x” es la
medida de un ángulo cualquiera en
radianes y la segunda componente “y”
es la razón trigonométrica de “x”.
Es decir:
10.
a. Definición
F.T. = {(x; y) / y = R.T.(x) }
Si tenemos una función trigonométrica
cualquiera.
y = R.T.(x)
Sen = {(x; y) / y = Senx}
DOF (SEN) : “x” <- ; > o IR
RAN (SEN): “Y” e [-1; 1]
Gráfico de la FunciónSENO
• Se Ilama Dominio (DOF) de la
función trigonométrica al conjunto
de valores que toma la variable “x”. XUna parte de la gráfica de la función seno se
repite por tramos de longitud 2s. Esto
quiere decir que la gráfica de la función
seno es periódica de período 2s. Por lo
tanto todo análisis y cálculo del dominio y
ranpo se haceenel siguiente grófico.
DON = {x / y = R.T.(x)}
• Se Ilama Rango (RAN) de la función
trigonométrica al conjunto de
valores que toma la variables “y”.
RAN = Çy/ y = R.T(x)}
rdar AI
La gráfica corresponde a una función
y——F(x) donde su Dominio es la proye-
cción de la gráfica al e)e Xy el Rango es
la proyección de la gráfica al e)e Y.
2x
DOF(F)=[x ; xz]
RAN(F)=[y,; y2]
Gráfca de
Y—
F(x)
DOMINIO
filota
El peri‘odo de una función se
mpresenta por la letra “T”. Entonces el
pen”odo 0e la función seno se denota
así:
T(Senx= 2 )

45. b.
5i tenemos la función trigonométrica
y=+ enkx, entonces al número “A” se le
va a Ilamar Amplitud y el período de
esta función es 2 /k.
Es decir:
y = SenkxR
Ampitud = A
T(Senkx) 2*
Gráfico:
Amplitud
E¡emDIO
2x
Tramo que se repite Período
Gráfico de la Función COSENO
-2x
Una parte de la gráfica de la función
coseno se repite por tramos de longitud
2s. Esto quiere decir que la grófica de la
función coseno es periodo 2s. Por la tanto
todo análisis y cálculo del dominio y rango
se hace en el siguiente grófico:
• Graficar la función y=2Sen4x. Indicar
la amplitud y el período.
COSX
Resolución :
Ampitud = 2
y = 2Sen4x R
T(Sen4x) =
2x
Graficando la función:
11.FUNCION COSEN
a. De6nicón
x
4 2
Período
Cos = {(x; y ) / y=Cosx}
DORI (COS): “x” <- ; o IR
RAN (COS): “Y” e [-1 ; 1]
x/2 3x/2 2x
El período de una función Coseno se
denota asi:
T(Cosx=2 )
b. Propiedad
Si tenemos
y=+ACoskx,
la función trigonométrica
entonces al número “A”
se le va a Ilamar Amplitud y el período
de esta función es 2 /k.
Es decir:
y = C skx
Ampitud = A
T(Coskx) 2*
Gráfico:
Amplitud
A --- - --- - -- - - -
-A
TFamo que se repite Período

46. e
E
s
o :
• Graficar la función y=4Sen3x. Indicar
la amplitud y el período.
Resolución.'
Ampttud 4
y = 4Cos3x R
T(COs3x)
traficando la función:
2x
12.PROPIEDAD FUNDAf4ENT
AL
a. Para la Función SENO
Si (a; b) es un punto que pertenece a
la gráfica de la función y=Senx.
Entoncessecumple que:
Periodo
b=Sena
e
E s o . '
Graficamos la función: y=Senx
2
3
=Senl2 ...... ( 120 0 )
2
,
0
-1 =Sen2 70 O --
12 270°
(2 70 0 ; - 1)
X
b. Para la Función COSENO
b=Cosa
E¡emDIO
Graficamos la función: y=Cosx
i/z - c ss cO (60 */2)
-1 = CDS180 0
60 il80O
(1800 ;-1 )
EJERCICIOS
1. Si el dominio de la funcion y=Senx
es [0; /3j hallar
surango.
X
a) [0; 1] b) [ ;1/22]
d) [1 . 3
2 2
2
2. Si el rango de la función y = Sen x
est1/2; 1]
a) [0;
d) [ /6;
/6]
5s/61
b) [0; 6/ j c)[ /6; /2I
e) [ /2; 5s/6]
3. Si el dominio de la función y=Cosx es [
/6; /4j. hallar el rango, sugerencia:
graficar.
2
a)|0; b) [0;
2
I c) [ 2
2 2
; 1 e) t ; 1)

47. 4. Si el rango de la función y=Cosx es [-
1/2; 1/2]. Hallar su dominio,
sugerencia : graficar.
10.Graficar las siguientes funciones:
a) [0; x/3] b) [ /3; /2]
c) [ /3 ; 2 /3] d) [ /2; 2s/3]
e) [x/3; ]
5. Hallar el período (T) de las siguientes
funciones, sin graficar.
I. y = Sen x
4
II. y = Sen x +
4
III. y = Gos x —
3
lv. y - co x+ 3
I. y = Sen4x IV. y = Cos6x
II.y = SenX V.
3
I
I
I
.y = Sen3x
4
=COS
s
VI. y = Cos2x
11.Calcular el ángulo de corrimiento(0) y
el período (T) de las siguientes
funciones:
3 I. y = Sen
II. y = Sen
III. y = Gos
IV. y = Gos
6. Graficar las siguientes funciones,
indicando su amplitud y su período.
I. y = 2Sen4x
II. y = —
1
Sen—
X
4 2
III. y = 4Cos3x
IV. y =
1 x
—Cos —
6 4
7. Graficar las siguientes funciones:
I. y = -Senx
II. y = -45en2x
III.y = -Cosx
IV. y = -2Cos4x
8. Graficar las siguientes funciones:
I. y = Senx+ 1
I
I
. y = Senx - 1
III. y = Cosx + 2
IV. y = Cosx - 2
9. Graficar las siguientes funciones:
I. y = 3 2Senx
II. y = 2 3Cosx
2x —
3
+
X x
3 2
4x —6
X
+ n
2 3
12.Graficar las siguientes funciones:
I. y = 2+ 3Sen 2x
II. y = 1 2Cos 3x +3
4
13.Hallar la ecuación de cada gráfica:
I
.
II.
3 --
0
i
' X
/4

48. III.
IV.
IRCUNFERENCIATRIGONOMETRICA
Una circunferencia se Ilama
Trigonométrica si su centro es el origen
de coordenadas y radio uno.
C(-1;0)
B(0;1)
A(1; )
D(0; - )
En Geometría Analítica la circunferencia
trigonométrica se representa mediante la
ecuación:
+ 1
X
14.La ecuación üe la gráfica es:
y=2Sen4x. Hallar el área del triángulo
sombreado.
1. SENO DE UN ARCO 0
El seno de un arco ¢ es la Ordenada
üe su extremo.
a) 4 u‘ b) 8 u2
u2
d) u2
e) 2
X
c)2 u2
Sen6 = y
Eiemolo:
• Ubicar el seno de los sgtes. arcos:
130 y 310
Resolución .'
130º Senl
en3l0
310º
X
Observación: Sen1300 > Sen3100

49. 2. C O S E N O D E U N A R C O 6
El seno de un arco 6 es la Abscisa de
su extremo .
Ejemplo :
Cos0 = x
• Ubicar el Coseno de los siguientes.
arcos: 50 y 140O
Resolución :
140
Cos140° (} CosS0
50º
X
Observación: Cos50 O > Cos1400
3. VARIACIONES DEL SENO DE ARCO 6
Sen0
A continuación analizaremos la
variación del seno cuando 0 esta en el
primer cuadrante.
90°
0º
5i 0 <6<90 N 0 <5en6< 1
En general:
entonces el
1 a 1.
5i 0 recorre de 0O a 360 O
seno de 6 se extiende de
Es decir:
5i 0O<0a360 R -1 Sen0 1
Máx(Sen0)=l
Min(Sen0)=-l
X
4. VARIACIONES DEL COSENODEARCO 6
A continuación analiza remos la
variación del coseno cuando 0 esta en
el segundo cuadrante.
90º
180" Cos0
X
Si 0O <P< 1800 •g• -1< Cosü< 0
En general :
5i 6 recorre de 0 a 360 entonces el
coseno de 0 se extiende de —
1 a 1.

50. Es decir:
X
Si 0 <6<360 A -1<Cos0<1
Max(Cose)=1
Min(Cost)=-1
EJERCICIOS
1. Indicar verdadero (V)
según corresponda:
o falso (F)
I. Sen20
II. Sen190
> Sen80
< Sen250
a) VF
d) FV
b) VV c) FF
e) Faltan datos
2. Indicar verdadero
según corresponda:
(V) o falso (F)
I. Sen100
II. Sen350
> Sen140
< Sen290
a) VV
d) FF
b) VF c) FV
e) Falta datos
3. Hallar el máximo valor de “k’ para
que la siguiente igualdad exista.
Sen 6
5 c) —1<E<-3/7 Max=-3/7
d) —1<E<-3/7 Notiene Max
a) —1/3
d) 1
b) —
1
e) 2
c) 0 e} —1<E<1 Max=1
3k 1
4. Si 6 II. Hallar la extensión de “k”
para que la siguiente igualdad exista.
Sen6
2k 9
5
5. Si 0 IV. Hallar la extensión de “k”
para que la siguiente igualdad exista.
3Sen6 2
k
a) <1/2; 5/4>
c} <-5/4; 0>
e) <-5/4; -1/2>
b) <-1/2; 5/4 >
d) <-1/2; 0>
6. Indicar verdadero (V) o (F) según
corresponda:
I. SenB= 2—1
II.SenB= 2
III SenB=3
a) VVV
d) FVF
b) VVF
e) VFV
c) FFF
7. Hallar el máximo ymínimo de “E”si:
E= 3—2Sene
a) Max=-1
b) Max= 5
c) Max=1
d) Max=5
e) Max=3
; Min=-5
; Min=1
; Min =-5
; Min=-1
; Min =-2
8. Si e III. Hallar la extensión de “E” y
su máximo valor:
a) 4/7<E<1
b) —1<E<3/7
Max=1
Max=3/7

51. 9. Calcular el área del triángulo 12.Indicar verdadero (V) o falso(F)
según corresponda:
I. Cos1000 < Cos170º
II. Cos290° > Cos340°
sombreado, si la circunferencia es
trigonométrica.
a) SenB
1
d)
2
Sen0
10.Calcular el
X
b) -Sen6 c)2 Sena
e) 2SenB
a) FV b) VF c) VV
d) FF e) Faltan datos
cos e
13.Hallar el mínimo valor de“k” para que
la siguiente igualdad exista.
5k
2
a) —1/5
d) —
1
b) 1/5
e) —
5
c) 1
14.Indicar verdadero
según corresponda.
(V) o Falso (F)
área del triángulo
la circunferencia es
sombreado, si
trigonométrica:
a) CosB
2
d) 1
CosB
b) -CosB c)
e)-2CosB
X
COS6
2
I.CosB=
II.CosB=
+1
2
5 1
2
III. Cos9 =
2
a) FVF
d) VVV
b) FFF
e) VFV
c) FVV
15.Hallar el máximo y mínimo valor
de “E”, si:
E = 5 3Cose
a)Max= 5 ;
b)Max = 8 ;
c) Max = 5 ;
d) Fax = -3 ;
e) Max = 8 ;
M n = - 3
Min = 2
Min = 3
Min = -5
Min = -2
11.Indicar verdadero
según corresponda:
(V) o FaISO (F)
I. Cos10º < Cos50O
II.Cos20O> Cos250°
a) VV
d) FV
b) FF c) VF
e) Faltan datos

52. ABES GONOME CAS
1 . I D E N T I D A D T R I G O N O M E T R I C A
Unaidentidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones
trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.
Ejemplos
Identidad Algebraica: (a+b)* = a* + 2ab + b*
Identidad Trigonométrica: Sen*6 + Cos*e = 1
Ecuación Trigonométrica: Sen6 + Cos6 = 1
Para: 6 = 90 Cumple
Para: 6 = 300 No cumple
2. IDENTIDADES FUNDAI ENTALES
Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de
otras identidad es más complejas.
Se clasifican:
• Pitagóricas
• Por cociente
• Recíprocas
2.1 IDENTIDADES PITA óR cAs
I.
II.
III.
Sen*6 + Cos*6 = 1
1 + Tan*0 = Sec*6
1 + Cot°8 = Csc°8
Demostración I
Sabemos que x* + y* = r*
2 2
= 1
+” I
2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE
Sen’0 + Cos”0 = 1 l.q.q.d.
Tan8 =
SenO
Co^0
Demostración I
Tan6 =
Sen8
y
r
ORDENADA y
ABSCISA x Cos0
Sen8 L
.
q
.
q
.
d
.
r

53. 2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS
Sen8 . Csc8 = 1
I.
II.
III.
CosO . Sec8 = 1
Tan8 . Cot8 = 1
Demostración I
y r
r y
I Sen0 . Csc0 = 1 L.q.q.d.
Observaciones: Sabiendo que: Sen*6 + Cos*e = 1
Despejando: Sen*B = 1 Cos*0
Asimismo: Cos•0= 1 Sen•0 =>
-> Sen*8 =(1 + Cos0)(1-Cos0)
Cos*0=(1+ Sen0)(1-Sen0)
3. IDENTIDADES AUXILIARES
Sen^6 + Cos 4
6 = 1
Sen 6
0 + Cos 6
ü = 1
2Sen*6 . Cos*6
3Sen*e . Cos*6
Tam + Coto
Sec*6 + Csc*6
= Sec6 . Csce
= Sec*6 . Csc*6
A)
B)
C)
D)
E) (1 +Sen6 + Cos6) * = 2(1 +Sen0) (1 +Cos6)
Demostraciones
A) Sen*6 + Cos*e = 1
Elevando al cuadrado:
(Sen*6 + Cos*6)* = 1*
Sen*6 + Cos*6 +2 Sen*e + Cos*e = 1 Sen*B+ Cos 0= 1-2 Sen’B.Cos*0
B) Sen*6 + Cos*e =
1 Elevando
al cubo:
(Sen*6 + Cos*6)’ = 1^
Sen6
6 + Cos6
6 +3(Sen*6 + Cos*6) (Sen*6 + Cos* = 1
1
Sen 66 + Cos*6 +3(Sen*6 + Cos*e) = 1 Sen 6+Cos 0=1-3(Sen’6.Cos’0)
C ) Tan6 + Cot6
1
Sen0+ Cos0
Cos9 Sen0
Sen-0+ Cos-0
TanO+ Col =
Cos0.Sen0
Tan9 + Cot8 = l l
Cos0.Sen0
Tan8 + Cot8 = Sec8 . Csc8

54. D) Sec*6 + Csc*ü =
Sec*e + Csc*e = Sen'0+Cos 0
Cos'0.Sen-0
Sec*6 + Csc*e =
l l
Cos'O + Sen'8
l. 1
Sec*0 + Csc*B = Sec*0. Csc*0
Cox 0. Sen-Ú
E) (1+Sen6 + Cose)* = 1*+(Sent) *+(Cos6)*+2Sen6+2Cos6+2Sen6.Cosa
= 1+Sen*6 + Cos*6 + 2Sen6.2cos0 + 2Sen6.Cos6
= 2+2Sene + 2Cose + 2Sene.Cos6
Agrupando convenientemente:
= 2(1 + Sen6) + 2Cos¢ (1 + Sen6)
= (1 + Sen6) (2 + 2Cose)
= 2(1 + Sen6) (1 + Cos6)
(1 + Sen6 + Cos6)* = 2(1+Sen0) (1+Cos6)
4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar u na identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta
son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos:
1.
2.
3.
Se escoge el miembro “más complicado”
Se Ileva a Senos y Cosenos (por lo general )
Se utilizan las identidades fundamentales
algebraicas.
y las diferentes operaciones
Ejemplos:
1) Demostrar:
Secx (1 Sen*x) Cscx = Cotx
Se escoge el 1 miembro:
Secx (1-Sen*x) Cscx =
Se Ileva asenos ycosenos:
’Senx
Be efectúa: Co x. =
Sena
2) Demostrar:
[Secx + Tanx 1j [1 + Secx Tanxj = 2Tanx
Se escoge el 1 Miembro:
[Secx + Tanx 1] [Secx
[Secx + (Tanx 1J’I[Secx
Tanx + 1j =
(Tanx -1)]=

55. Se efectúa
(Secx)3 (Tanx 1)*=
(1 + Tan*x) (Tan*x 2Tanx + 1) =
1 + Tan*x Tan*x + 2Tanx 1 =
2Tanx= 2Tanx
s
.PROBLEMASPARAREDUCIRYSIMPLIFICAR
Ejempos:
1) Reducir: K = Sen^x Cos4x + 2Cos*x
Por diferencia de cuadrados
1
K = (Sen*x + Cos*x) (Sen*x Cos*x) + 2Cos*x
K = Sen*x Cos*x + 2Cos*x
K = Sen 3 x + Cos*x K = 1
2) Simplificar: E = l + Cosx
E
E = Sen "x—Scn x
Senx
l —
Cosx
Senx
i
-
C
„
,
'
•
1+C x C —(Senx)Seni)
Senx(l —
Cosx)
E
O
Senx(l —
Cosx) Senx(l —
Cosx)
s. PROBLEMAS CON COND c óN
Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha
o dichas condiciones.
Ejemplo
Si: Senx + Cosx =
I
2
Hallar: Senx . Cosx
Resolución
Del dato: (Senx + Cosx)* =
Sen*x + Cos*x + 2Senx .Cosx =
1
2Senx . Cosx = 1 1
4
I
4
4
2Senx . Cosx = — Senx . Cosx = 3
s

56. 7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final
queden expresiones independientes de la variable.
Ejemplo:
Eliminar “x”, a partirde:
Cosx = b
Senx = a
Resolución
De5enx = a
Cosx = b
—
› 5enZ x = az Sumamos
—
› Cos2x = b2
Sen2 x + Cos2x = a^ + b^
PROBLEMAS PARA LACLASE
1. Reducir : E Sen2x.Sec x+Cosx
a) Secx b) Cscx «) Tgx d) Ctgx e)
2. Simplificar : E= Secx—
Tgx —
1
Csox—
Ctgx —
1
a) tgx b) cscx
3. Reducir :
c) secx d) ctgx e) Secx.Cscx
1 1 1
E
1—Cos2 ” Csc2 —1 1—Sen2
á) Tg2ü b) Sec2‹J
tSenx i Tgx
C) Csc2a d) Clg2i› e) Sen2a
4. Reducir: c
a)
1 iCosx
b) Tgx
Cosx i Ctgx
1i Senx
3. Calcular el valor de“K”si
c) ctgx d) Sec .«• e) senx.Cosx
= 2Seo2
á) Cost b) S
e
n
a
› C) Co d) Secx e) Tg‹t
6. Reducir : W (Senx + Cosx + 1)(Senx + Cosx —1)

57. a) 2 b) Senx C) Cosx d) 2Se» e) 2Senx.Cosx
7. Reducir : G 3 Cscx —
Senx
Secx —
Cosx
b) Tgx C) 1 d) Secx
Et) Ctgx e) csc•
8. Reducir :
K Ctgx.Cosx —
Cscx t1 —
2Sen2xt
Tt) Senx b) Cosx C) Tgx d) Ctgx e) ecx
9. Si . CscL—
CtgL—
1
Calcular : E Set Tg6
a) 5 b) 4 c) 2 d) 2/3
3Tg2x 3t 1
e) 3/2
10. Reducir : H-Tg2xtTg4x
Et) Sec6x b) Cos6x ) Tg6x d) Ctg6x e) 1
Senx Tgx + COSX—
1
11. Reducir : c
a) 1 b) Cosx
1+Cosx Senx
C) SenK d) css e) secx
12. Reducir .J Cos6.(Sec36—
Csc6) Tg36.(CtgR —
Ctg46)
a) 1 b) 2CtgL C) 2CosL d) 2Sena e) ec2L
13.Reducir : W (Sec2 -
I
—1)(Sec4 -
I
—1) -
i
—Ctg2
6t) Ctg2L b) Csc 6
14. Reducir :M—
(2T
’ x
C) Sec 6 d) Tg e e) ec L.Ctg2L
ctgx)2
T 2x
(Tgx —2Ctgx)2
ctg2x
a) 2 b) 10 c) 5 d) 3
1
15 Reducir •E 1
—
1
+
1—
Se n2x
1+
(1—Senx)(1+ Senx)
1
1
Tt) Sen2x b) Cos2x C) Tg2x d) Ctg2x e) ec2x

58. Sen30+Cos30
6. Tg0 + Ctg0 +2 '
Calcular el valor de
a) c)
Sen0+ Cos0)3
m
7.Simplificar : *
2 e) 2
Tpx.Senx)Cscx
(Cos3x.Sec2x
Ctgx.Senx
6t) Csc2x Sec x C) Secx Csc x Secx.Ctgx e) ec 2 .CSCX
8. : *
3
4
Reducir : -
2
1
—
Tg0+ Ctg6
Tg6 +Ctg0
it) 2Sen0 —2Cos0 C) —Tg0 2cose e) 2(Sen0 Cos0)
9. : Sen40
CaICUI6tr:
Cos4e 3
E Sec20(1 Ctg20)
a) 2 4 c) 7/2 9/2 e)
20. Simplificar : R (Senx + Cosx)(Tgx + Ctgx) Secx
6t) Senx COSX C) Ctgx Secx e) cscx
Senx)(Tgx + Ct x)
Cosx)(Cscx
. Reducir : H - (Secx
a) 2 c)
22. : Tg6 7 Ctg0
Calcular : E- Sec20 Ctg
a)
23. Reducir : E
és c) 37
e) 4
Sec2x + Csc2x + Sec2x.Csc2x +Tg2x
2Sec2x.Csc2x
à) Tgx 2Tg2x
24. Reducir : H (1
it) Tgx C gx
e) 415
C) Senx Sec2x e) en2x
Senx + Cosx)2(1+ Senx)
Senx.CoSx(1 + Cosx)
C) Senx Cosx e) enx.Cosx

59. Sen ( + )= Sen‹ .Cosp + Senp.Cosa
Cos (u+ g) = Cosa. Cost-Sena.Sena
Tg (u+ §) =
CIONES TRIGONOMETRICAS DE FOS
ARCOS CO
REDUCCION
UESTOS
CUABR A
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE
LA SUMA DEDOS ARCOS
FUNCIONES TRIGONOMETRICASDE
LARESTADEDOSARCOS
Sen ( - )= Sena.Cost - Cosa.Sena
Cos ( -p)= Cos«.Cosp + Sena.Sena
Tg ( -§) =
Ojo:
Ctg(‹ +§) = CX . Ct
Ctgx Ctg ‹
Aplicación:
a) Sen 75 = Sen (45 0 + 300 )
= Sen 45 Cos300 + Cos45O Sen30
Sen75O =
15*
75'
b) Cos 16 = Cos (53 -37 )
= Cos 53 .Cos37 Sen37
Cos 16º
24
25
25
74'
16
24
7
c) tg 8 = tg (53 -45 )
tg53°—tg45°
1+ tg53°.tg45° l+
3
7
Tg 8
8
l
7
7
82º
5 2
1
4
—
l
3
3 3

60. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular:
E—
—
(den17 + Cos 13O )2 (Cos170 + Sen 13O) 2
den *1 NO + Cos 13O 2Cos 13OSen 17 +
Cos 217 bien*13O+ 2Cos17O.bien 13O
= 1+ 1+2Sen (170 + 130 ) 2 + 2Sen300 —3
2. Hallar: P=Cos80 +25en70 .5en100
Resolución
Cos(70" +10")+2Se n70°.Se n10"
Cos70^.Cos10^-Sen70^.Sen10 +2Sen70^.Sen10^
Cos70^. Cos10a+ Sen70^Sen10
l
Cos( 700 -IOO)—Cos60O
2
3. Halla r Dominio y Rango:
f(x) = 35enx + 4 Cosx
3
Resolución
Dominio: x c R
Rango: y = 5 Sen x
5 5
Y = 5 (5en37 .5enx +Cos37 .Cosx)
Y = 5 Cos(x- 370 )
Ymax = 5 ; Ymin = -5
Propiedad:
E = aSenix-t-bCos x
Emóx = a + b
Emin = a- + b'
Ejemplo :
-13 5 Senx + 12 Cos x < 13
2 < Sen x + Cosx < 2
4. Siendo Sen 20 = a, Cos 25 = 2 b.
Obtener tg 25 en término de “a” y “b”
Resolución
Sen 20 = a
(450 -25 ) = a
Sen
.cos25º
Tg250 =
.Sen25° =a
Sen 25O = a
Sen 250 =
2
2 (b-a)
2(a b) a —
b
2b b
Scn25°
Cos25°
5. Simplificar:
E
—Sen *(u +§) +sen 2§-2sen ( +¢) Sena.Cosa
Resol ución:
Ordenando :
Z(
E = Sen --§) 2Sen ( --§) Sena.Cosa
-- S en Z § -- Co s ”‹zSen ” § - Cos ”‹zSen ” §
E jsen( +{)-Cosa. Sen,a ” +Sen *§(1-Cos 2 )
E = Sen Cos”§ + Sen Z § . Sen Z n
E = Sen *u (CosZ § -i- Sen Z tJ)
E = Sen Zn
6. Siendo: Sen + 5en§ + Sen R=0
Cost + Cost + Cos 0 = 0
Calcular:
E = Cos (u-p) + Cos (p-0) + Cos (0-u)

61. ResouG6n:
Cost + Cosg = Cos 0
Sena + Sen = - sen 0
Al cuadrado:
Cos*o + Cos*p + 2Cosm . Cosp = Cos*0
Sen* + ven* + 2Sen . sen - Sen*6
1 + 1 + z . Cos( - p) = 1
2
Cos ( p)
Por analogía:
Cos (# 0) =
Co5 (0 g) = 2
E = 3/2
Propiedades :
2
Ejm.
Tg}gO+tg17O+tg36°tg18°tg17°= tg35°
Tg20• + tg40• + 3tg20^ tg40^ =
(tg60°)
3O
tg22O -- tg23O - - tg22O . tg = 1
tgo —tg2c‹ —tgo tg2 tg3 = tg3
8. Hallar tg si:
Resolución:
9. Siendo:
a +b
Hal lar: tg (x-z)
tg (x-y) =
a—
b , tg (y-z) =1
4
6
2
10. Siendo “Tag ” + “Tagç” las
raíces de la ecuación:
a. sen 0 + b. Cos 0 = c
Hallar: Tg ( -i- p)
Resolución:
Dato: a Sen0 + b Cos0 = c
aTgg + b
a°tg*0 + b*+ 2abtg0
= c.Sec0
= c°(1+tg°0)
(a* c°) tg* 0 + (2ab)tgg + (b° c°)=O
tgo —tg§ =
tgn.tgp =
tg(E+p) =
2ab
a2 —c2
b2
—c2
a
2 2
l—tgn.tg§
—
2ab 2ab
—
2ab
a 2—c2
b2
—c2
Propiedades Adicionales
Tag z Tagb —
—
Sen(a x b)
Cosa.Cosb
Ctga + Ctgb—
—
Sen(a b )
Sena.Senb
a2
-c 2
Sen(a+B).Sen(a—
B)—
Sen2
Cos( +8).Cos( —
8) —
—
Cos2
—
Se p
—
Sen28
Si : a + b4 c = 180a
Taga+Tagb+Tagc——Taga.Tagb.Tagc
Ctga.C/gb+C/gaCtgc+Ctgx.Ctpc=1

62. Si: a -i- b -- c = 900
3tga+3tgb+3tgc —
—tga.3tg6 ütgc
Taga.Tagó + Taga.Tagc +Tagb.Tagc —
—
1
EJERCICIOS
1. Si : Sena 3 III C;
JOSE
12
13
E Sen( +§)
7. Reducir : E
Sen(a + b)—
Senb.Cosa
Sen(a —
b) + Senb.COSO
a) 1 b) -1
d) Tgb.Ctga
c) Taga.Ctgb
e) 2
8. Reducir
E COS(60° + x) + Sen(30° +x)
p IV C. Hallaba a) Senx b) Cosx c) 3Senx
cl) —Cosx e) Cosx
9. Si se cumple: Cos(a—
b) 3SenaSenb
Hallar M = Taga.Tagb
a) 16/65
d) 13/64
b) 16/65 c) 9/65
e) 5/62
2. Reducir : E
Rosa.Cosb
Sen(a —
b
)+Tagb
a) Taga b) Tagb c) Tag(a b)
d) Tag( a +b ) e) Ctga
3. Si : Cos(a+b)—Cos(a—b)-1
Hallar E = Csca.Cscb
a) —
2 b) —
3 c) —
4
d) 5 e) —
6
4. Si :Senü
5
13
III C
Hallar E = Sen(0+a)
2
;0 III C; Tag =1 ;
a) 17 2/13b) 17 2/15 c)17 2/ 14
d) 17 2/26e) 5 2/26
5. Reducir : G
a) Senb b) Sena
2Sena
c) Cosa
d) Cosb e) 1
COS(a—
b) —
Cos(a +b)
6. Reducir :M = 8Sen(6 + 45º) 2Sen6
a)2Cos0 b)2Sen0c) 3Cos0
d) 2Sen0 Cos0e)Ctg0
a) —
1/2
d) 1
b) —
2 c) 1 /2
e) 1/4

63. 10. Si ABCD
Tagx
a) 19/4
b) 4/19
c) 1/2
d) 7/3
e) 3/4
es un cuadrado.
B
Hallar
11. Reducir :
E = Cos80”+2Sen70”.Sen10°
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 1 /4 e) 1/8
2
Hallar E = Tag(c‹+p)
a) 11/ 10
d) 13 /10
13. Hallar : Ctg0
a) 1/2
b)1/32
c) 1/48
d) 1 /64
e) —
1/72
b) 10 / 11
e) 1 / 2
c) 5 /3
14. Hallar :M = (Tag80° —
Tag10°)Ctg70°
a) 2 b) 1 c) 1/2
d) 3 e) 1/3
15. Hallar el máximo valor de:
M = Sen(30° + x)+ Cos(60° + x)
a) 1
d) 5 /3
b) 2 /3 c )4 /3
e) 1/7
2
12. Si: Tag +Tag§ Ctgx +Ctgx =5
RED cc óN AL PRIMER
CUADRANTE
PRIf4ER CASO:
Reducción para arcos positivos menores
que 360
‘Depende del cuadrante
IIIQ
Tg300
Ejm:
Sen 0 =(Sen1800 + 20O)=-Sen 20
= (tg300 60 )= -tg60
IVQ
Cos —+
2
= -Senx
Sec sec —Sec—
7 7
SEGUNDO CASO:
Reducción para arcos positivos mayores
que 360
f.t. (360 . n + u) = f.t. (u); “n” Z
Ejemplos:
1) Sen 555550 = Sen 70
SSSSSOO 36
1955 1943
-1555
1150
70
2) Cos
5 5 5

64. TERCER CASO:
Reducción pa ra arcos negativos
Sen (-o) = -Sena Ctog(-o) = -Ctg«
Cos(-o) = Caso Sec(-o) = Seco
Tg(-a) =-tg Csc(- ) = -Csco
Ejemplos:
Sen (-30 ) = -Sen300
Cos (- 1500 ) = Cos 1500
300
Tg
= Cos ( 1800
= - Cos 030
)
3g
ARCOS RELACIONADOS
a. Arcos Suplementarios
5i: + § = 180 ó x
› Sena = Sen§
Ejemplos:
Sen 120O = 5en60
Cos1 20O = -Cos60O
5n 2u
T
g 7 — • 7
b. Arcos Revolucionarios
5i o + § = 360o ó 2 x
COSa = COSO
Sec = 5ectJ
Eempos:
Sen300° = -Sen60°
Cos200 = Cos160
Tg
8z
—
t
5
2n
5
E3ERCICIOS
1. Reducir E = C‹›.‹ 33t)°• Col 15()”
a) —1 /2 b) 3 /2 c) —3 /2
d) —5/2 e) 7 /2
2. Reducir : M = Sen 1200º •Cay II()0”
a )1 /2
d) —
2
b) /2 c)
e)
a) Tagx b) —Tagx c) 1
d) Senx e) —
1
4. Hallar :
Gt953 .Sen325 .seo41
4 6 4
a) 2 b) 2/2 c) 2
d) 2/2 e) 1
5. Reducir: A =
Ctgx680°.7ag'J J40°
Cos300°
a)2
d)
b)—2 c)l/2
e)
6. Reduci:
Sede)—Sen —B)
Sen(2s —8)+ los(32 —8)
a) l b) 2 c)3 d)—2 e) —l
7. SÍ . Sen( + 9)
2
’T
t
Hallar “ m “
—1
Cos(2x —
8) -
a) 1 /5
d ) 4 / 5
b) 2 /5
e ) 6 / 5
c) 3 /5
m

65. 8. Reducir: A
Sen(—
1920O
)fitg(2385 )
Sec(5r
.cig7r
6 ) 4
b) —
4 /3 c) 5 /2
a) —3 /4
d) 1 /4
9. Reducir:
M fios123
4
.Tag17
3.
Sen125
6
) 2 / 2 b) 2/4
d) 6/6 e) 1 /6
c) 6 /4
10. Reducir:
x)Sen(3r + x) Sen2
2
+ )
b) Seo4 c) NOs4
e)
a
) 1
d) Sen2 Cos2
11. Si se cumple que •
Sen(180° + x).Sen(360º—
›r) =1/3
Hallar E Tag 2+ 2
b) 2 /3
e) 5 /2
c ) 2 /5
d) 1 /3
12. Siendo : x + y 180º
Hallar:
Sen (200
+ x) + Cos y + 400
Cos (l40 O
1 b) 2
y) + Sen (2000
+ x)
d) 1 e) 0
13. Del gráfico hallar E Tayá + Taga
a) 5 /6
b) 1 /5
c) 1 /6
d) 6 /5
e) 2 /5
A (

66. TRICAS DE
CIONFS GONO
ARCO DOBLE
I. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DE ARCO DOBLE
1. Seno de 2s:
n 2 = 2Sen Cosa
2. Coseno de 2 :
os 2 = Cos2 ‹ - Se n2 ‹
os 2‹ = l —2 Sen 2 ‹ ... (1)
os 2 = 2 Cosp - l ... (N)
3. Fórmulas para reducir el
exponente (Degradan Cuadrados)
De (I)... 2 Sen '« = 1 Cos 2o
De (II).. 2 Cc›s'o = 1+ Cos 2s
4. Tangente de 2s :
tg2u =
2T a
l —
Tg‘n
1 + Tg2
2a
1-Tg2c‹
2Tga
Del triángulo rectángulo:
* Sen 2‹ = 2tga
* Cos 2a =
l + tg'n
l —
tg u
l +tg'u
• Ctgx
5. Especiales:
• Ctgx + Tgu = 2Csc 2u
Tgu = 2Ctg2u
• Sec 2 + l -
tg2a
tga
• Sec 2« - 1 = tg2u . tg
• 8Sen'n = 3 4 Cos2n + Cos4n
• 8Cos'a = 3 + 4 Cos2n + Cos4
• Sen4 S+Cos4o
+ Cos =
4
• Sen6
o + Cos6
=
5 3Cos4u
8

67. EJERCICIOS
1. Reducir: R=
t + Sen2x + Cos2x
I + Sen2x —
Cos2x
Resc›Iucic›n:
R =
4. Sí tg*x 3tgx = 1
Calcular: tg2x
Resc›lución:
Sabemos:
l + Cos2x +Sen2x 2Cos’x + 2SenxCosX Tg2x =
l—Cos2x + Sen2x 2Sen x+ 2SenxCosx
R —
2Cos enx)
2Senx(s.
2. Símplífícar:
Ctgx
E
(Sen2x + Senx)(Sen2x —
Senx)
(1+ Cosx + Cos2x)(l —
Cosx + Cos2x)
Resolución
$ (2SenxCosx + Senx)(SenxCosx.2 —
Senx
(2C O X + C O x )( 2CO x — C O X )
E =
Senx(2 )Senx
Cosx(zc>«-r+)Cosx(2
l
tgx.tgx
l)
E = tg*x
3. Siendo:
Sen8 Col
b a
Reducir: P = aCos20 - -bsen 2tJ
ResnIucic›n:
= aCos20+ b. 2Senó.Cost
= aCos 20- -bCos0. 2Senó
= aCos 2tJ- -asenú. 2Sen0
= aCos 20+a(2Sen*0)( 1-Cos20)
P = aCos20 + a aCos20 P = a
2tgx
l —
tg"x
Del Dado:
-3 tgx = 1- tg*x
tg2x =
2tgx 2
3
—
3tgx
5. Siendo : 2tg x -- 1 = 2Ctgx
Calcular: Ctg 4x
Resolución:
Del dato:
1 = 2(Ctgx Tgx)
1 = 2 (2Ctg 2x)
l
= Ctg. 2x
4
Notamos: 2Ctg 4x = Ctg 2x Tg2x
—
4
Ctg4x =
4
2
Ctg4x =
15
8
6. Siendo : Sec x = 8Senx
Calcular: Cos 4x

68. Dato :
l
4.2Senx
Cosx
l
4
Sen2x
' 2Senx .Cosx
4
Nos pide:
Cos4x= 1 2 Sen*2x
= 1-2
= i
Cos4x = 7
7. Determinar la extensión de:
F(x) = Sen6
x + Cos6
x
F(x) = 1
4
. 2* Sen*x . Cos*x
F(x) = 1
Sabemos:
3
4
Sen*2x
0 < Sen*2x 1
3 < ' Sen*2x 0
4 4
—
1
4
3
4
< Sen*2x+1 <1
Propiedad:
l
2 '
Sen ' x + Cos' x l
8. Calcular
E = CoS
4
1 2 +COS'
Resolución:
E= CoS' 2 +COS'
5n
+Cos
12
7z
12
, lla
+ Cos -
12
5 +cos ' 5 +c»**
E = 2 Co +C s
12 12
E = 2 Cos‘ + Sen‘
12 12
E = 2 2°. Sen° .Cos°
12 12
E = 2 Sen° = 2
6
1. Si : Escx
Hallar : E
l
4
= 7/4
EJERCICIOS
5en2x
b) 3 /6 c) 2/6
e) 42/ 7
a) 2 2/3
d) 2/4
2. Si: TagB —1/5 . Calcular : E
b) 5/13 c) 1/8
e) 3/5
Cos2B
a) 12/13
d) 2/7
3. Si: Senx Cosx=1
Hallar E = Csc 2x
a) 12/13
d) 13/5
b) 25/24 c) 7/25
e) 5/4
4. Si: Tay (a + B) 2 Hallar :
E = Tag 20
a) 1 /4 b) 3 /4 c) 5 /4
d) —
7/4 e) 9 /4
5. Reducir:
M = 2SenxCos3 + 20osxSen3
a) Cos 2x b) Sen 2x c) Tag x
d) Ctg2x e) 1

69. 6. Si: Sena
Hallar E = E z —2cos2 +Cos4c‹
9
a) 82/27 b) 81/26 c) 49/27
d) 17/32 e)12/17
7. Reducir:
M = 5+3Cos4x
Cos4x -Sen2xCos2x +Sen4x
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
8. Si se cumple:
a) 3/5
d) 3 /10
b) 1 /2 c) 2 /5
e) 1 /5
M =
Sen10
”
S
e
n
8
0
”
Cos10”—
3Sen10”
b) 1 /3 c) 1 /4
e) 1 /6
9. Reducir:
a) 1 /2
d) 1 /5
2Tag8 —
2Tag' 8
Hallar E =Sen 40
10. Si se cumple:
Tag4 P+Sec 2B +Tag2B 8
3
a) 1 /3
d) 1 /4
b) 1 /2 c) 3/4
e) 5/7
11. Reducir:
M = 2Sen2B —
Sen8
Sen3B +45en2B Sen 2'—
2
a) 1
d) 1 /4
b) 1 /2 c) 1 /3
e) 2
II. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL
ARCO MITAD
1. Seno de :
2
2
= 1 Cosx
Sen = +
2. Coseno de
2
2Cos° = 1 + Cosx
l + COSCt
COS
Donde:
(+) Depende del cuadrante al cual “
3. Tangente de .
2
4.
Ctg
1—Cola
5. Fórmulas Racionalizadas
Tg
2
= Csc« Ctgx
2
2

71. 5. Reducir : E Senx(Tagx.Ctg
a) Ctgx b) Tagx c) Senx
d) 7agx/ 2 e) 1
6. Reducir:
E = Tag'
X
+ 2Sen2
4
x
4
.Ctg—
X
2
a) Senx b) Cscx/2 c) Cscx
d) 1+Cosx/2 e) 5enx/2
Hallar E =
a) 1 b) —
1 c) 0
d) 1/2 e) 2 13. Reducir: M=
8. Reducir:
M = Tagx+CIg2 Fig2 Secx
a) l
d)O
b) 2
e) l /2
c) —l
9. Reducir:
0
A = Tag(450 +—)—Sec6
2
a) Tag 0
d) Csc 0
b) Ctg 0 c) Sec 0
e)Sen0
10. Hallar E = 7‹it 7° 30'
a) — 2 2
b) — + 2 2
c) —
2
11. Siendo x un ángulo positivo del III
cuadrante ; menor que una vuelta y
se sabe: 3Sen2x +25Cosx =0
Hallar E = y /2
a) b) 2 c)
d) 2 e) 1 /3
12. Reducir:
P =
a) Cos x/2
c} Sen x/4
e) —T
ag x/4
b) —Cos x/4
d} —Senx /4
c) —
c:
2
2
a) /4 b)
2
x/4
14. 5i: 4Cos —2Cos
4 2
Hallar E = 5 —
4Cosx
a) 2
d) 8
b) 7 c ) 6
e) 10
15. Reducir:
' ' ’
a)l
d) l /4
2
Ct$,2
3
b) 2 c) l/2
e) l /6

72. CIONES TRTGONO
CO
TRTCAS DE
LE
3Senx — 4 Sen 3
x
Sen 3x— enx (2Cos 2x+1)
4Cos3
x —3 Cosx
osx (2Cos 2x —
1)
Cos3x—
tang3 x —
3tan x Tan'x
1—
3Tan'x
Ejm. Reducir:
3Senx Sen3
x 3Senx —
(3Senx —
4Sen'x) 4Sen'x
Sen'x
CO53X
Sen,x Sen'x
Hallar P = 4 Cos 2X
p 4Cos x
COSX 1
Reducir: M = 9 Senx 12Sen3
x 4Sen3
3x
M — 3 (3Senx — 4 Sen 4 Sen33x
M — 3 Sen3x 4 Sen33x — Sen 9x
1. Reducir
A = 2 Cos2x Cosx Cosx
2 Cos2x Senx + Senx
Resolución :
A.
Cosx(2Cos x )
Senx(2Cos2x + 1) Sen3x
2. Si Tan3x —11Tanx Hallar cos “2x”
Resolución :
Sen3x llsenx Senx(2Cos2x +1)
Cosx(2Cos2x l)
senx
Cos3x Cosx
4Cos2x 12
cos x
2 10
Cos2x
5
= 4
3COÜX

73. 3tan38—tan’ 8 3x2 —
8 2
1—
3tan2
8 1—
12 l l
3. Sabiendo tan (30O- x) = 2. Ha llar tan 3x
Resolución
Hacemos Tan (30 O-x) =2 Tan 0 = 2
Tan 30 =
Luego:
Tan 30 = 2
Tan (90 O-3x)
Tan 3x =
l l
2
—
+T
a
n [3(30O -x)] =
2
Cot 3x =
2
11 l l
4. Si tan 3x mtanx
Hallar :
Sen3x.Cscx = * I*
e 3X
= 2Cos2x+ 1
Senx
Resolución:
Dato:
Sen3x.Cscx = * I*
e 3
X
= 2Cos2x+ 1
Senx
2
11
Sen3x Senx Senx
Cos3x Cosx
Senx(2Cos2x 1)
Cosx(2Cos2x —
1) Cosx
2Cos2x +1 m
2Cos2x + l =
2 m —
l
Resolver “x”,
Sabiendo: 8x3
—6x+ 1 0
2 (4x 3
—3x) + 1 = 0
2‘
m —
1
5.
3
3x —4x = + '/2
Cambio de variable—›x = Sen0
3 Sen0 - 4S n30 1/2
Sen30 = 1/2 0 = (10 0 , SOO, 13 0 0)
—› ( proporciones )

74. 6. Calcula r “x” sabiendo x*
x = ACos0
3x = 1
Reemplazando : A3Cos 30 3ACos0 = 1 ... ( )
3A -› A° =4
A'
4 3
En ( )
= A=2
8 Cos 30 6 Cos0 = 1
2Cos3ü= 1
Cos3ü = l
b
= 20 0 x = 2 Cos 20 0
P R O P I E D A D E S I M P O R TA N T E S
4Senx .S en(60 0 -x). Sen(60 0 -x) = Sen 3x
4Cosx .Cos(600 - x ) .C o s ( 6 0 + x ) = Cos3x
Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x
Cos40O . Cos 80 0
1. Reducir:
E = Cos 200
Resolución:
E = Cos20O Cos40O .Cos80O 4cos20O.Cos 60O-20O .Cos 60O+20O
4
l .cos60O
4 S
2. Calcular:
A = Sen 10
Resc›lución:
. Sen IO O . Sen70O
A = Se n1 00 . Sen 500 . Se n700 0
= 4 Sen 10 . Se n (6 0- 10). Se n (600 + 100 )
l
.Sen 300
4 8

75. 3. Calcular:
A= Tanl0°
Tan20°.Tan40°
Resolución-
A =
Tanl0° Tan10°.Tan80°
Tan20°.Tan40° Tan 20°.Tan(60 —
20°)Tan(60°+20°)
A
Tanl0ºCotl0° l
Tan.60°
3. Hallar “0”, sabiendo :
Ta n2b. Tan 12 0 = Tan 8. Tan42 O
Resolución:
Tan2B
—
Tan42°
= tan 42°.Cot12°
TanB Tanl2°
3
Tan2B Tanl8°
TanB TanlS°
= Tan (60O-18O)Tan (60+18O)
Tan2B
TanB
Tan54°
TanlS°
Tá 5s O cot 1s-
Tan28
TanB
Tan72°
Tan36°
3
4. Hallar x: en la figura :
Resolución:
Tanx =
40º
a tanltJ° 1
aTan20O
.Tan40° Tan20°.Tan40°.Tan80°
5. Hallar “Sen18O” y “Cos36 O”
Resolución
Sabemos que: Sen36 O = Cos54O
2sen18.Cos18O = 4Cos3
18— 3Sen18O
2sen18O = 4 Cos*18O - 3
2Sen18O = 4 (1-Sen *18O)-3
1

76. 4Sen*180 + 2Sen180 - 1
Sen18 0 —
—
—
2 + 4 —
4(4)(—1)
2(4)
—
2s 20
2x 4
Se concluye que: 2(4)
Sen18 =
4
Cos36O - 5 +1
4
6. Ha ar Sec*10 O.Sec*50O.Sec*70
E -
4xl
4xCoxl0O
.Cos50O
.Cos70O
16
Cos 300
6 64
3/ 4
E3ERCICIOS
1. 1. Si: 4Tg37” Senx —1. Ca cular Sen3x.
a) 21t28 b) 21t23 c) 22t27 d) 23t27 e) 25/27
2. Si: Tg -
l
3
Calcu ar Tg3a
b) 13/9 c) 13t4 d) 9/2 e) 9t4
3. Si : Sen(180O
+ x —
—
1t3
Ca cular : E = Sen3x
a) 23t27 b) -23t27 c) 2t27 d) 14/27 e) 9/24
4. Si pli1icar : A-
4Sen3 Sen3›r
Senx
a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Sen3x
5. Reducir : -
a) 1 b) 2
4Cos3x—Cos3›r
Cosx
c) 3 d) —2

77. 6. Reducir : A- Sen3x—3Cos2
Senx
a)Sen 2 x
d)—
Cos 2 x
b)Cos2 xc) —
Sen 2x
e) —
2Sen 2 x
Reducir: A= 6Sen10° —
8Sen310°
a) 1 b) 1 t2 c)1/3
d) —
1 e)—
1t2
7. Calcular :A- 16Cos340°—
12Sen50°+1
a) 1 b) 2 c) 1 t2
b) d) —
1t2
Sen3x+Sen3
8. Reducir : A=
Cos3x—Cos3
a) Tgx
d) —Ctgx
b) Ctgx
e) 2Ctgx
c) —
Tgx
9. Dado : a.Cscx - 3—
4Sen2x
b.Secx - 4Cos 2 x—
3
Calcular :a 2 + b 2
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6
b) e) 1,0
0,8
10. Simplificar : A-
11.
4Cos275 -3
Sec75°
c) 3/2
a) 2/2 b)1t2
d) — 2t2 e) — 3/2
12. Simplificar :A -
Senx
Sen3x—
1 Sen30°
a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Tgx

78. 13. Si : 3Taqx + Ctgx = 4 ;ademäs x es agudo
Ca cu ar :Sen3x
a) 2 2 2 t 2 c) 1 t2
14. Si : 2Sen3x - 3Senx. Ca cu ar : Cos2x
a) c)
4 o
15. Si : T g3x —37T gx .Calcu ar :
a) 13t12 12t1 c)1t1
2 e) —
1t2
2
e) 0,45
Cosx
Cos3x
5t1 e) 1t12

79. NS O CIO S GONO CAS
I. DE SUMA A PRODUCTO ( Factorización):
A B
Sen A + Sen B = 2 Sen Cos
Sen A Sen B = 2 Cos
A B
Sen
Cos A + Cos B = 2 Cos
A+ B
cos
Cos B Cos A = 2 Sen
A B
Sen
Donde: A > B
Ejemplos:
1. Calcular: W =
2. Simplificar:
E =
Sen80°—
Sen40O
2Cos60°.Sen20°
Cos40° —
Cos80° 2Sen60°.Sen20°
Cosx +mCos2n +Cos3n 2Cos2u. Cosx +mCos2n Cos2u.(2Cosu +m)
Senn + mSen2n+Sen3a 2Sen2n. Cosn +mSen2n Sen2n(2Cosn +m)
3. Hallar “Tan ( +§)’, sabiendo que:
Cos 2s + Cos 2 = n
Sen 2s+Sen 2 = my
RESOLUCIÓN
2Sen(n + J)Cos(n —
J) m
2Cos(n + b)Cos(n —
b) n
SERIES TRIGONOMETRICAS
Tan(n + b)
n
Sen + Sen ( +r) + Sen ( +2r)+ ...... =
“n”@s están en Progresión Aritmética
Sen n.—
r
Sen —
2
Scn
°+u°
2
Ctg2u

80. 1+ aSen(x y) + Cos(x y)
a + Sen(x y) —
aCos(x y)
Cos pt) + Cos (o+ r) + Cos (o+2r)+ ......=
Ejemplos:
Sen n.—
Sen
“n”<s están en Progresión Aritmética
.Cos
1. Calcular: M = Sen5O + Sen10O + Sen15O + .... + Sen 355O
RESOLUCIÓN
2. Reducir:
5 +355°
E=
E =
Sen n.5‘ .Sen(180°)
Sen n.5‘ .Sen ‘
2 2 2
Sen
5º
2
o
Sen4°+Sen8°+Sen12°+....+ Sen48°
Cos4°+Cos8°+Cos12°+.... +Cos48°
’ Sen
Sen(12.2o
4o
“ 8o
Sen2°
2
Sen(12.2°)
.c os
4°+48°
Sen2 2
PROBLEMAS RESUELTOS
Tan26°
1. Si se cumple:
RESOLUCIÓN
Sen
2
Sen5x 5
Sen3x 3
Calcular: Tan4x
Tanx
Sen5x +Sen3x 5 + 3
=
2Sen4x.Cosx 8 Tan4x
= 4
2 Tanx
Sen5x —
Sen3x 5 —
3 2Cos4x.Senx
2. Calcular la expresión : E =
Sabiendo:
Sen x —Seny = m
Cosx -F Cos y = n

81. RESOLUCIÓN
2Cos
E
l + Cos(x —
y) + aSen(x —
y)J
1—
Cos(x —
y) + Sen(x —
y)
2Sen
2Cos
2Sen
Del dato:
asen
+ asen
2Cos Sen
2Cos Cos
E -
n
3. Hallar “P” - caí 2 + co.4s + co.6s
7 7 7
3x
Sen
7
P = . Con
Sen
7
2+f›
2 7
n
Sen
3n
.Cos
4n
7 7
Sen —
7
—
Sen
3n
.Cos
3n
7 7
Sen —.2
—
Sen
6x
7
2Sen
7
l
2
4. Calcular “A” = ico. 2s+ 2Co. 4s +3Cos ** +...
13 13 13
+ a.2Sen
+ 2Sen .Cos
n
-› .:ctg
n

82. RE!SOLt1CIÓN
A = l2Cos
24‘
+ llCos
22u
+ l0Cos
2'‘
13 13 13
2"' = 13 Cos
2u
+ l3Cos
4u
+ l3Cos
6z
+ ...... + l3Cos
24u
13 13 13 13
Sen
12‘
2 = 13 13 .Cosx 2A —13
Sen
A = —13
2
—6,5
+ lCos
2u
• Fórmulas para degradar
Fórmula General : 2’ CoS"X
23Cos^x
2’Cos6x =
4
0
6
0
13
4
1
4
2
Cos4x+ Cos2x + ’/z
6
1
Cos6x+ Cos4x + 1/z
2 Cos5
x = Cos5x+ Cos3x +
0 1
= Cos 5x + 5 Cos3x + 10Cosx
INDEPENDIENTE
6
2
6
3
Cos 2x + 1/2
Cosx
2
II. DE PRODUCTO ASUMAO DIFERENCIA:-
2Senx . Cosy = Sen(x+y) + Sen (x+y)
2Cosx . Sen y = Sen (x+y) Sen (x-y)
2Cosx . Cosy Cos (x+y) + Cos (x-y)
2Senx . Seny = Cos (x-y) Cos (x+y)
Dondex>v
Ejemplos:
1. Reducir: E =
RESOLUCIÓN
2Sen4xCos3x —
Senx
2Cos5xsen 2x +Sen3x
E =
Sen7x + Senx —
Senx
1
Sen7x-Sen3x+Sen3x

83. 2. Calcular: E = Sen7x
—
2Cos2x —
2Cos4x —
2Cos6x
Senx
E =
Sen7x —
2Cos2xSenx —
2Cos4xSenx —
2Cos6xSenx
Senx
Senx
l
Senx
3. Hallar P =
Sen7xSen5x + Senl4xSen2x
Sen9xSen7x
RE!SOLt1CIÓN
1
p
Cos2x —
Cosl2x +2 |cos12x —
Cosl6x
2
1
Cos2x —
Cosl6x
2
—
+P =1
PROBLEMAS RESUELTOS
Sen3xSenx +Sen9xSen5x + Sen6x.Sen2x
1. Reducir: R =
Cos4xSen2x + Cos7x.Senx + Cosl3xSen5x
R =
RESOLUCIÓN
2Sen3xSenx + 2Sen9xSen5x +2Sen6x.Sen2x
2Cos4xSen2x + 2Cos7x.Senx + 2Cosl3xSen5x
R =
Cos2x —
Cos4x + Cos4x —
Cosl4x + Cosl4x —
Cos18x
Sen6x —
Sen2x + Sen8x —
Sen6x + Senl8x —
Sen8x
Cos2x —
Cos1Sx 2Senl0xSenSx Senl0x
Senl8x —
2Sen2x 2Cos10x.Sen8x Cosl0x
R =
R = Tp10x
2. Calcular: P = Sen*10 O + Cos*20O - Sen10Cos20 O
RESOLUCIÓN
2P = 2Sen*10O + 2Cos*20O - 2Sen10Cos20 O
2P = l-Cos20O + 1+ Cos40O -(Sen3OO-SenlOO)
2P = 2+ Cos40" - COs20" - 1/2 + Sen10O
2P = 3/2 + Cos40° - Cos20° + Sen10°
2P = 3/2 —2Sen30° . Sen10º + Sen10º
|D 3/4

84. EJER ICIOS
1. Transformar a producto :
R = Sen70 o + Cos70 o
a) 2Cos25o
c) 2Sen20 o
b) 2Sen25o
d) 2 Cos20o e) 1
2. Reducir : M =
Cos11x —
Cos7x
Sen11x —
Sen7x
a) 2Sen 2x b) 2Cos2
2x
c) —T
ag9x d) 2Sen3x
e) 2Sen*x
Hallar : E
3. Si : a + b = 60O
Sena+Senó
Cosa Cosb
a) 2/3 b) 2/2 c) 1/2
d) e)
4. Reducir :
E = 4(Cos5x + Cos3x)(Sen3x Senx)
a) 2Sen4x b) 2Cos8x
c) 2Sen8x d) 2Cos4x
e) 2Sen4x.Cos4x
5. Hallar el valor de “ M “ :
M = Sen85o Cos5o Sen25o
a) 0 b)
Cos115
d) 1
0.5 c) 0.5
e) 3
6. Reducir :
R= (Tag20 +Tag46)(Cos2e+Cos66)
a) Sen26 b) Sen6e c) 2Sen2B
ü) Sen126 e) 2Sen66
7. Reducir :
E= Cos4x+ Cos2x+Cosx
Sen2x(1+2Cos3x)
b) Cscx
e) Secx
c)Csc2x
d)Cosx
8. Reducir :
=
Sen3x + Sen6x+ Sen9x Six=5
A
Cos3x +Cos6x +Cos9x
b) /2 c)
2/2 e)1
9. Reducir .
’
a)
d)
Senx+Sen3x+ Sen5x+Sen7x
E =
Cosx+ Cos3x+ Cos5x+Cos7x
a) Tagx
d) Tag6x
b) Tag2x c) Tag3x
e) Tag4x
10. AI factorizar :
Cos8x + Cos2x + Cos6x +Cos4x
IndcarunfaGor:
a) Senx b) Cos3x c) Cos5x
d) Sen5x e) Sen2x
11. Expresar como producto :
E = Cos2
4x Sen2
6x
a) Cos4x.Cos6x
b) Cos2x.Cos10x
c) 2Cos4x.Cos6x
d) 2Cos2x.Cos10x
e) 4Cos2x.Cos10x
12. Hallar el valor üe 'n"
igualdad :
para que la
Siempre seanula.
a)l
d 12
b)-2 c)2
e)-l

85. 13. Reducir :
E=
Cos50O
2Sen70 O—
Sen50O
a)
d) 2
b) /6 c) 1
e) 2 /3
14. Si : 21B = . Hallar el valor de '
Sen23x
—Senyx
R =
Sen14x+Sen2x
a) 2 b) 2 c)1
d) 1 e) 1/2
15. Hallar el valor de “ E“ :
E = Cos220”+Cos2100°+Cos2140°
a) 1
d) 5/2
b) 3/2 c) 2
e) 3
16. Factorizar :
E = Cfg30°+ Cfg40” + tg50” + Ctg60”
a) 2 Cos20O
b)4 /3Cos50O
c) 2 /3Sen70o
d) 8 /3Cos70O
e) 10 /3Sen70o
17. Reducir :
E= 2Cos3x.Cosx Cos2x
a) Cos2x
d) Sen4x
b) Cos3x c) Cos4x
e) Sen2x
18. Reducir :
M = 2Sen80o.Cos50o Sen50o
a) 1 b) 1/2 c)
d) /2 e) /4
19. Reducir :
R= 2Cos4B.Csc6O Csc2B
a) Csc36 b) Csc4e c) Csc6e
d) Ctg46 e) Tag40
20. Si: Sen2x.Sen5x
Cosx.Cos6x
Hallar : ' Ctgx ”
= Senx.Cos4x
a) 1 b) 1/2
d) 4 e) 2
c) 1/4
21. Transformar :
R = 2Cos3x.Senx+ 2Cos5x.Senx+2Cos7x.Senx
—2Sen4x.Cos4x
a) Sen6x b)Cos6x c) Sen4x
d) Cos4x e) —
Sen2x
22. Simplificar :
R = 5en5x.Senx + Cos7x.Cosx
a) 2Cosx.Cos6x
b)2Sen2x.Sen6x
c) 2Sen2x.Cos6x
d) Cos2x.Cos6x
e) Sen2x.Sen6x

86. CIONES TRTGONO TRICAS
RSAS
” OBJEYIVOS
De lo que se trata es de calcula r de manera única un valor para el arco
(á ngulo ), conociendo para ello el valor de la función trígonométrica que lo
afecta . En otro tipo de problemas un a rtificio útil será hacer un cambio de va
ría ble a la función trígonométríca inversa .
Sí = Senx = '/ —
›u =
6 6 6
es un arco cuyo seno vale '/
= arc Sen (’I ) = Sen- 1
*/
arc Sen ('/
) 6
—› Sí Tg = '/
a rc tg ('I ) =
* DEFINICIONES
í) y = a rc Senx
un a rco cuyo seno es
xc [-1,1]

87. Ejemplo:
Arc Sen
Arc Sen
2
Arc Sen
Arc Sen
2
Arc Sen Arc Sen x
ii arc Cos x x c
un arco cuyo coseno es x
Ejemplo:
Arc Cos
ArcCos
2
Arc Cos
5z
X

88. Arc Cos
2
Arc Cos (-x) n - arc Cos x
iii) y arc tgx
x c R
0
____________
—
n /2
Ejemplo:
Arc Tg (1)
4
Arc Tg (2 - 3 ) *
Arc tg (-1) -
Arc tg ( 3 -2) - *
X
Arc tg (-x) - Arc tg x
iv) y arc ctg (x)
arc ctg. (3/4) 53º
x c
R y c
<0, «>
arc ctg. (- 3/4) 180º - 53º 127º
* PROPIEDADES
1. La función directa anula a su inversa
x
Sen (arc Senx)
Cos (arc Cosx) x
Tg (arc Tg x) x

89. Ejm: Sen (arc Sen
Cos (arc Cos
1
10
Tg (arc Ctg 1996) 1996
2. La función inversa anula a su función directa
Arc Sen (Sen x) x
Arc Cos (Cos x) x
Arc Tg (Tg x) x
Ejm: Arc Cos (Cos
4s) 4s
Arc Sen (Sen ) Arc Sen (Sen
3. Expresiones equivalentes
Si:
Sen e n Csc « 1/n
e arc sen (n)« arc Csc
arc Sen (n) Arc Csc
n
Arc Cos (n) arc Sec
Arc Tg (n) arc Ctg ; n > 0
Arc Tg (n) arc Ctg c ; n > 0
4. Fórmula Inversa
Arc tgx -i- Arc y arc tg
x + y +
n
1—xy

90. i
n 1
Ejemplo :
E Arc tg -I- Arc tg
iii
xy< ii xy < ... xy
n 0 x > 0 x <
>
0
n 1
xy >

91. RESOLUCIÓN
E - Arc t
2 +3
1—
2x3
E - Arc tg (-1) + x = —
a +
NOTA
” Además : arc tgx—arc t y - arc tg
= 3a
4
Marc tgx = are t
2x
g —
x
3arc tgx = arc t
EJERCICIOS
1. 2b = 3c Sen k 0; Despejar “0”
RESOLUCIÓN
3x —
x
g —3x-
2b
- SenK8
3c
Arc Sen
4
x—Y
1+ xy
2b
= k 8 —
›8 = arc Sen
2b
3c k 3c
2. a = b Cos (k0 + d), Despejar “0”
RESOLUCIÓN
a
= Cos(k0+d),
b
Arc cos
a
b
= k0+ d->0
l
k
accoL —
d
b
3. HALLAR:
P - arc Sen ( 2 /2
RESOLUCIÓN
4 3 12
+ arc Cos (- 1/ ) + arc Tg (2- 3 )
12 12 2

92. 4. HALLAR: Q = arc Cos1 + arc Sen (- 1) + arc Cos (- 1)
R E S O LU C I Ó N
5. HALLAR:
R — Sen (arc Cos 1/3)
R E S O LU C I Ó N
o = arc Cos 1/3 —
+ Cosx 1/3
2 2
Sen o = é??
Seno
2 2
6. S Sec* (arcTg3) + Csc* (ar Ctg 4)
Piden:
S 1 + Tg°o + 1 + Ctg‘p
Sec*o + Csc*p = 27
7. T Cos (2 Arc C
C
O
o
S
s
R E S O LU C I Ó N
Cos o =
2
5
)
Piden T Cos 2o 2Cos*o 1
8. Y = arc Sen 1/3 + arc Cos 1/3
R E S O LU C I Ó N
T 2
2 2
2
5
—
21
25

93. Tenemos: Senx Cos p
3 3
= ' ' 2
Senx = Cosx
Propedad:
arc senx + arc Cosx =
2
arc Tg x + arc ctg x
' 2
arc Sec x + arc Csc x =
2
9. 2 arc Senx = arc Cos x. Hallar x
REsoLuclóN
Se sabe que: arc Cosx
3arc Senx =
- arc Senx
2
2
arc Senx =
6
x Sen 6 —
› x = 1/2
10. Dado arc Senx+ arc Tg y = /5
arc Cosx + arc Ctg y = z
Hallar :
REsoLuclóN
2 2 5
z =
EJERCICIOS
i. calcular: B 2(arcos0 -arcsec2)
a) « b)
2. Calcular:
z/2 C) /3 d) z /4
A=
1
arcsen —+ arctan 1
2
e) =/6
a) x/12 b) /6 Ct =/3 d) 5 /12 e) 2 /3
3. Cual de las expresiones no es equivalente a: E
a ) arctg b) arcos“ 3
2
1
arccos
1
—
2 2
1
arcsen —
2
d ) arcsec2 e) 2arctg(2 - 3)

94. 4. Hallar el equivalente de: arcsen
1
C) arcctg
à ) arcct + 1 b) arcctg +
5. Calcular:
A = 4cos(arctg 3 - arcsec 2)
1 d arcctg
1
e] arcctg
a) 6 + 2 b) 6 - 2 C) 3+I
6. Afirma r si (V) 0 (F)
d) 3 -1 e) 23
I. arsen
II. .
arct
= arcsen 2
= arcctg3
III. arcsen 5 =arccsc53
3
a) VVF
7. Calculap;
b) VFV c) FVV d) VVV
= arcsen2 + arccos2
b) 45° c) 60° d) 75°
a) 30°
8. Calcule: = arcse-n2
+ arctg 3 +arccos2
-
7 7
a) 105° b) 120" c) 135" d) 150" e) 165°
e) FVF
e) 90°
A = 3Csc tarccos(sen(arctg 3))a
9. Calcular:
a) 3 b) 3 /3 C$ 6 d) 3/ 5
n
o. se: arcsenx + arcseny + arcsenz = 4
ademós: -1 x ; y; z 1
Calcula r: E—
arccosx+ arcosy +arccosz
b) 2 C) 3 /4 d) s 4
11. Calcular: sÏ2nt 2
a) 1 / 2 b) 1
à rCSÏ2c2t +- 5 arc csc(
c) 3 /2 d) 2
5 + 1)
e) 2/3
e) 3
e) 5 /2
12. Simplificar:
à) 2 / 2 b)
A= Cos tarctg(3 sec(arcctg3))t
3 /2 C) 1/ 2 d ) és s e) 6 6

95. 13. Calcula r:
2
A 2arccos( -1) +
1
arcsen
2
a) 7«’8 b) 11U8 C) 13a/8 d) 15=/8 e) 17a/8
14. Simplificar:
a) »/2 b) =/3
B arctg2 - arccos(cos 3
c) +4 d) =/s
) + arcctg2
is. calcular: A= tg arcsec 2 + arcsen
+)
X
x+1
b)
x
x -
1
16. Calcula r: A
a) 1 /2 b) 1 /3
c)
1+x
1- x
d)
- arcctg3
x+ 1
x -1
e) «/6
e
) X + 1
c) 1 /4 d) 1 /5 e) 1 /6
17. Calcular: N=cos arcsec
2 3
3
arcsen —
1
2
a) 1 b) - 1 c) 1 /3 d) —1 /
2 e) 1 /6
18. Simplifica r A = sen arct
3
g 4
arcsen 5
13
a) 36/17 b) 56/65c) 71/17 d) 91/19 e) 41/14
19 . Evaluar:
1 5
A = arct
g 6
arct
g
a) »/6 b) »/ 3 C) « /4 d) =/8 e) »/12

96. CO. Eva uar: B = arctg5 - arctg3 +arct
a 600
7
"
C) n/ 4 d = 3 e) =/6
arccos—
4
+ arct
5
370 c) 7
1
arcsen
›/ÏÒ
O d 820 e) 940
. Ca CUla F:
a 41/ 5
P - sen arccos 4
—
1 /125
+ 2sec arctg
12 + 4cos arcsen
7
25
s
d 41/5 e) 31/1 5
c) 31/5

97. FCUACIONTS TRIGONOMETRICAS
CONCEPTO: Expresión general de los arcos que tienen una misma función
trigonométrica.
1. En el caso de las funciones trigonométricas Seno y Csc usaremos
Donde:
ec - Exp. General de los arcos (ángulos)
n = N entero
6, Valor principal del arco para calcular 6, usaremos el rango del arco Seno.
2. En el caso de las funciones trigonométricas Cos y Sec usaremos:
ec - 2 n + 6,
Para calcular el valor principal del arco (6,) Usaremos el rango del arco Cos.
3. En el caso de las funciones trigonométricas tg y Ctg usaremos.
+ 8p
Para calcular el valor principal del arco usaremos el rango del arco tg, o arco
Ctg.
EC Ac óN TRIGONOMÉTRICA
Son igualdad es entre las funciones trigonométricas de una cierta variable (una sola
incógnita ), dichas igualdades se satisfacen solamente para alg unos valores que puede
tomar la función trigonométrica, es decir deberá estar definida en dicho valor (la
ecuación trigonométrica puede tener 2 o más incógnitas)
A los valores que cumplen con la ecuación trigonométrica se les conoce como
soluciones o raíces.
Ejemplo de como obtener las soluciones de una ecuación trigonométrica :
Resolver: Senx =
2
Sen
x = n + (-1) 3 SOLUCION GENERAL

98. Si n o x * SOLUCION PRINCIPAL
n 1 x *-
2*
SOLUCIONES PARTICULARES
n 2 x 2n
+ 7x
2. Resolver: Cos 2x
2
2x 2nn 1
x nn SO UCION GENERA
s n 0 x SOLUCION PRINCIPA
x -
3n
n 1 x z +
3 1
SOLUCIONES PARTICULARES
x x —
3. Resolver:
Tg
0G 0P
3
3x nc -i- *
no
+
n

99. 1. 2Senx Csc x
RESOLUCIÓ
2Senx
Senx
2Sen*x Senx
2Senx
Senx
(2Sen x +
1
(Senx
2
i Senx
x ne + )’ .
x nn
ii Senx
x n» -I n
’ 2
2 Sen*x
Cosx)
2
0
E3ERCICIOS RESUELTOS

100. x - 3
"
RESOLUCIÓN
(1 —Cosx) (1+ Cosx) "’
Queda:
1 + Cosx
Cos x
3/2
1/2
x
Pero —
+
2n« +
1 —Cosx 0
Cosx 1
X
3. Senx -
2n x
3 Cosx 2
2
Senx Cosx
2
2
2
Senx . Cos —
Cosx Sen
2
Sen
n + (-1)n
X ’ n « + (
- 1
) n
n 2
k
x 2
k
x + *
+
4 3
+ —
+ x 2kr
ii) n 2k + 1
x (2k + 1) n -
4. 2Cos 2x —Sen3x 2
RESOLUCIÓN
2(1 -2Sen2 x) —(3Senx —4Sen 3x)
4Sen*x —4Sen*x —3 Senx 0
Sen x (4Sen* x —4 Senx - 3)
Senx (2Sen x - 3) (2Senx + 1) 0
+ 7x
2kn +
12
i) Sen x 0
ii) Senx
l
2
x nn - (-1)’

101. iii) Sen x
3
2
ABSURDO
5. Senx -i- Sen2x -i- Sen3x Cosx -i- Cos2x -i- Cos3x
RESOLUCIÓN
2Sen 2x . Cosx -i- Sen2x
Sen2x (2Cosx -i- 1)
Queda:
Sen2x Cos 2x
Tg 2x
2 Cos2x . Cosx -i- Cos2x
Cos2x (2Cosx -i-
0n
2x nn-i- *
nz
+
z
2 8
—
› x
Pero —
+ 2Cosx -1- 1 0
Cosx - 1/z
0 G 0p
x 2nc 1 2n/3
6. 4 Sen*x —3 0
4
Siendo 0 ñ x <
: 2c
RESOLUCIÓN
Sen x '
Senx
2
i) Senx
IVQ—i x < -
"
2
3 3
• Senx
7. La suma de soluciones de la ecuación
Cos2x -i- Sen* - Cos*
X
0 ' Si: O ñ x ñ c es:
2 2

102. RESOLUCIÓN
Cos2x —(Cos°
x
2
- Sen*
X
) 0
2
2COS -1- C SX
X —COSX —1
2COS
(2Cosx+ 1) (Cosx-1)
i) 2Cosx + 1 0 —
+ Cosx
2n
-1/z
IVQ —
+ x c +
ii) Cos x 1
4s
no es solución
3 3
x 0, 2c. “2 r” no es solución
2x 2x
+ 0—
Suma
8. 4Cos* 2x + 8 Cos*x 7, si x c [0,2c]
RESOLUCIÓN
4Cos* 2x + 4 x 2Cos*x
( 1+Cos2x)
4Cos*1x + 4Cos2x —3
(2Cos 2x+3)(2Cos 2x-1) 0
IQ : 2x
3
l
2
i) Cos 2x No existe
ii) Cos2x
IVQ: 2x 2r - x
6
6
9. Dar la menor solución positiva de:
Tgx Tg $ Tg Tg
6

103. RESOLUCIÓN
Thx = Tg (x+ 10 ) . Tg (x+ 1 0°) . Tg (x+ 30°)
Tgx
Tg(x * 30º)
Tg (x+ 10°) Tg (x+ 20 }
Sen x Cos(x • 30°)
Cos x Sen(x 30°)
Proporciones
Sen(x * 10).Sen(x * 20º )
Cos(x 10° ) Cos(x 20º)
Sen(x x 30º ) Cos(x l(i°—x —
2t)°)
Sen(x —
x —
30º ) —
Cos(x 10º x * 20º)
2Sen(2x+30°)Cos(2x+30^} = 2Sen 30" Cos10"
Sen (4x + 60) = Cos 100
4x + 60° + 10° = 90°
x = 5°
1. Resolver Cosx
a) —
3 —
;
4 6
EJERCICIOS
x e [ 0 ; 2 ]
b) 5—
;
—
5
4 3
2. Resolver si : x
3Tagx - 4 = 0
e [ 0 ; 2s ]
—
3 ;—
5
4 4
d) /4 ; /2 e) 3-;7
4 4
a ) 53" ; 127" b) 53º ; 233" c} 75" ; 225" d) 75° ; 105º e) 45" ; 135°
3. Resolv er e indicar la solución general : Cos3x —
a} -k -
T b) 2-
k -
+ c
2 6 3 3
2 k — 2 — d)
3 12
2
2
8 2 4
4. Resolver : Tag(5x - 25 g = -1
Encontrar las tres primeras soluciones positivas.
a) 32" ; 68" ; 104"
d) 32" ; 68" ; 102º
b) 31"; 62"; 102º c) 32" ; 64" , 106"
e) 32"; 66" ; 108º
5. Resolver : 10Sen2 - Senx =2

104. d) A
y E
6
b)
3
c)
e) krr + (-1)‘arc sen( )
6. Resolver : Senx +Cos2x =1
a) n/8 b) n/4 c) n/6 d) n/12 e) n/7
7. Resolver: Sen(4x -20°) =
a) n4 +(-1)
d ) n4 + (-1)”
-
Tf
+
-
Tf
18 6
b) n4 +(-1)FI
24 12
c) -n
e) n4 +(-1)-n -
+
8 6
8. Resolver : Ctgx +1=0 ; x e < 0 ; 600">
i. 45° , 225" , 405" ; 850"
ii. 45° ; 125° ; 405" ; 495°
iii. 135" ; 225" ; 495° ; 585"
iv. 135" ; 315" ; 495°
v. 225° ; 315° ; 858°
9. Resolver: Sen2x = Senx
Indicar la solución general.
a) 2kn 6 b) lot+ — c) 2k*’3
4
10. Resolver : Senx +Cosx =1+ Sen2x
a) n/8 ; 0 b) n/6 ; n/2 c) n/3 ; 0
11. Resolver : Tag2x = 3Tagx ;
Si xe< 180"; 360">
2
d) kn *— e)
+(-1)n ^
4 12
6
d) n/10 ; n/6 e) n/12 ; n/4
a) 150" ; 210"
d) 240" ; 270º
b) 240" ; 360" c) 180"; 240"
e) 210"; 270"
12. Resolver : 2Sen2x =1+Cosx
Indicar la suma de sus dos primeras soluciones.
a) 180" b) 120° c) 240° d) 360º e) 200°

105. 13. Resolver
(Senx +Cosx)2 =1+Cosx
Indicar la tercera solución positiva.
a) 180º b) 270º c) 390º d) 720º
14. Resolver : Sen3x.Cscx —2
Hallar el número de soluciones en t0;2ct
e) 450º
b) 2 d) 4
15. Resolver :
2Secx Cscx +3Tagx = 2Ctgx +5 3
Indicar la tercera solución.
e) 5
a) 210º b) 360º c) 420º d) 520º e) 650º
16. Resolver e indicar una de las soluciones generales.
Sen2x +Sen22x =Cos2x +Cos22x
3 4
) 2k
n -t n
b) 2k c) 2k
n n
d) k
n n
3 2 4 2
e) kn=£
6