Este documento contiene 19 proyectos de matemáticas sobre álgebra. Los proyectos involucran simplificar expresiones algebraicas, reducir fracciones, calcular grados de polinomios homogéneos e inhomogéneos, y encontrar valores desconocidos en expresiones algebraicas. Cada proyecto presenta un problema y su solución correspondiente de manera detallada.

1. MATEMÁTICA
PRÁCTICA CALIFICADA Nº 23
IIº AÑO DE SECUNDARIA “…..” ___________________________________
IV BIMESTRE FIRMA DEL PADRE O APODERADO
26 DE OCTUBRE DE 2017 NOMBRE: ………………..………………………………
NOTA: Deberás escribir las respuestas con lapicero.
PROYECTO Nº 1. Simplificar: 4n
3n4n
2
22
N




Solución
 4 34 3
4 4
2 2 22 2 16 8 1
2 2 . 2 16 2
nn n
n n
N
 

 
   
PROYECTO Nº 2. Reduce:
1
4
11
3
11
2
1
4
1
3
1
2
1
N











































Solución
1 1 1
1 1 1
2 3 4
2 3 41 1 1
2 3 4 4 27 256 287
2 3 4
N
  
     
       
          
              
     
PROYECTO Nº 3. Si: 2x
xx
 . Calcular:
xxxx
xP


Solución
. 2
2 4
x xx x x x
x x x
P x x

   
PROYECTO Nº 4. Si:
2
1
a5b ba
 
. Calcular:
1ab
aR


Solución
 
1
. 5
2 32
a
a a bb b b b
R a a a

    
PROYECTO Nº 5. Calcular:









7
60
502
7
7
4249.7.7E
Solución
 
60
2 50 2 50 2 60 7 54 54 54 55
7
7
7 . 7 . 49 42 7 6. 7. 7 7 6. 7 7 1 6 7
7
E    
         
 
1/2Rpta:
287Rpta:
4Rpta:
32Rpta:
755Rpta:

2. PROYECTO Nº 6. Si: 2n
= 3m
; reducir:
1m23m
n21nn2
3.23
2.322.5
L





Solución
 
 
2 22 1 2
3 2 1 3 2
2 5 2 35 . 2 2 3 . 2 25 2 9 18 6
3 2 . 3 27 12 15 53 3 2 . 3
nn n n
m m m
L L

 
    
     
 
PROYECTO Nº 7. Conociendo que:
EDABED
EC;AC


Reducir:
EDCB
AS 
Solución
     ;
E E A
E A E A E E A
EDC A
D D B
D B D B D D B
B B
C A C E C E C E A E
S A A E
 
       
  
PROYECTO Nº 8. Si el monomio: 3 2m
2m
x
xx
P


 , es de tercer grado, entonces el valor de “m” es:
Solución
2
1 2 2 6 3 6 2 4 42 2 1
2 3 6 6
23 2
3
4
3 22
6
m
m m m m mm
mm
x x x
P x x x
x x
m
m

       
 

    

   
PROYECTO Nº 9. Del polinomio:P(x, y) = 35
xn+3
ym-2
z6-n
+ xn+2
ym-3
Se cumple: G.A. (P) = 11 ; G.R.(x) – G.R.(Y) = 5. Luego: “2m + n” es:
Solución
 
 
( ) ( ). . – . . 5
3 2 5 0
. . 11 ;
n 3 m 2 11 2n 10 n m 5
2m+n=15
x YG R G R
n m n m n m
G A P

        

        

PROYECTO Nº 10. Indicar el grado del polinomio: a11
1
4
a
4a
1
2
a
5a
)y,x( xyxyxP 





Solución
 
 
0
3 5 4 3 3
5 11; 4 8
;
. 8
a a a
P x y x y x y x
G A P
    
  
 
6/5
Rpta:
ERpta:
22Rpta:
15Rpta:
8Rpta:

3. PROYECTO Nº 11. Dado el monomio M(x, y, z) = 5xa
yb
zc
Calcular abc, si al sumar los G.R. de 2 en 2 se obtiene 10, 7 y 11 respectivamente.
Solución
 
10
7
11
2 28 14
4; 7; 3 84
a b
b c
a c
a b c a b c
c a b abc
  
 
 
      
    
PROYECTO Nº 12. Si el polinomio: 822ab7ba
)z,y,x( )zy(yxxP  es homogéneo.
Calcular:
ba
6ba 22


Solución
5 2
7 2. 2. 8 32 2 7 25 7 5b a
a b        
Comparando, 2a  y 5b 
2 2
6 4 25 6
5
2 5
a b
a b
   
 
 
PROYECTO Nº 13. Si el polinomio:P(x) = (a-2b+3)x5
+ (b-2c-1)x4
+ (c-2a+2)x7
Se anula para cualquier valor de las variables. Calcular: (a + b + c)2
Solución
 
 
2
2 3 0
2 1 0
2 2 0
2 4 0
4
16
a b
b c
c a
a b c b c a
a b c
a b c
   
  
  
      
  
   
PROYECTO Nº 14. Si los polinomios: P(x, y) = xa
yb+1
+ xc
yd-3
; Q(x, y) = xa+1
yb
+ x4-a
y3-b
Son idénticos, calcular: (a + b + c + d)
Solución
Se debe cumplir que
4 2
1 3 1
1 3
3 4
10
a a a
b b b
c a c
d b d
a b c d
   
    
   
   
    
84Rpta:
5Rpta:
16
Rpta:
10Rpta:

4. PROYECTO Nº 15. Hallar: (a + b)c
en :
2
5 3 5 33
( 2) ( 3) 6 4
2
a b
a x b x c x x  
        
 
Solución
2
5 3 5 3
2
2
3
( 2) ( 3) 6 4
2
6 4 10
3 1 4 2 2
9 1
2 2 2
4 4
a b
b b
a a
a x b x c x x
c c
b b b
a a a

  
 
        
 
    
       
       
Luego,    
10 20
2 2 2
c
a b   
PROYECTO Nº 16. Hallar el grado de homogeneidad de : P(x, y) = 8xa+b
yb
+ 3b
xa
yb+4
Si: GR(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y)
Solución
4
4 2 2
x
y
GR a b
GR b
b a b a
 
 
      
Como es homogéneo, 4 4a b b a b b      
Por tanto, su grado de homogeneidad es 4 2 4 4 10a b     
PROYECTO Nº 17. En un polinomio completo y ordenado de grado 4n y de una sola variable se
suprimen los términos que contienen exponentes impares. ¿Cuál es el número de términos que
tiene el polinomio resultante?
Solución
El polinomio tiene 4 1n  términos. Los exponentes impares van desde 1 hasta 4 1n  de dos
en dos; luego se van a quitar
4 1 1
1 2
2
n
n
 
  términos quedando 2 1n  términos
PROYECTO Nº 18. El valor de: 2
)245245(N 
Solución
  
2
( 5 24 5 24 )
5 24 2 5 24 5 24 5 24
10 2 25 24 12
N    
      
   
PROYECTO Nº 19. Luego de efectuar: E =(x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x + 5)
Se obtiene:
Solución
       
2 2 2
1 2 3 4 – 2
3 2 7 12 2 10
5
14
x x x x x
E x x x x x x
x   
     
 

 

220Rpta:
10Rpta:
14Rpta:
12
Rpta:
2n+1
Rpta:

5. PROYECTO Nº 20. Efectuar:
3
63
3
63
nmmm.nmmmP 
Solución
  
   
3 33 6 3 6 3 6 3 63
22 33 6 3 3 6 23
.P m m m n m m m n m m m n m m m n
m m m n m m n n
         
      
PROYECTO Nº 21. Si: (a + b + c + d)2
= 4(a + b)(c + d)
Calcular:
)ba(3 dc
27S
 

Solución
    
         
      
 
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4
0
0
a b c d a b c d
aa b a b c d c d
a b a b c
b c d
a b c d a b c
c
d
d d
     
 
   
      
  








Luego,
3( ) 3
27 27 3
a b c d
S
 
  
PROYECTO Nº 22. Si: 10x+y
+ 10x-y
= m; 102x
= n
Calcular: T = 100x+y
+ 100x-y
Solución
 
2 2
2
2 2 2
100 2.10 .10
10 10
100
2.10 2
x y x y x y x
y
x
x y
y
x
m
m
T m T m n

 

 

  
    

PROYECTO Nº 23. Calcular el término central del siguiente CN:
2
1287


a
a
Solución
   
4 1 4 17 4 3
4 1 2 8ct t a a
 
    
PROYECTO Nº 24. Hallar el tercer término de:
2
2568


x
x
Solución
 
3 18 3 5
3 2 4t x x

 
n2Rpta:
3Rpta:
m2
-2nRpta:
-8a3Rpta:
4x5Rpta:

6. PROYECTO Nº 25. Hallar el término de lugar 61 en el desarrollo de: 35
303505
yx
yx


Solución
       
101 61 61 1 40 605 3 5 3 200 180
61
505
101
5
n
t x y x y x y
 
 
  
PROYECTO Nº 26. Desarrollar:
 
x
x 11 3

Solución
   
 
   
3 3
2 2 21 1 1 1
1 1 1 2 1 2 3 3
1 1
x x
x x x x x x x
x x
   
             
 
PROYECTO Nº 27. Hallar el cociente notable que dio origen al siguiente desarrollo:
1...... 510125130135
 xxxxx
Solución
       
 
285 140
27 26 25 25 5 5 5 5
5 5
1 1
...... 1
1 1
x x
x x x x x
x x
 
       
 
PROYECTO Nº 28. Cuántos términos posee el cociente notable originado por:
yx
yx nn

 
2
68
Solución
8
6 8 2 12 20
2
n
n n n n

       
Luego, el número de términos es
20 8
14
2


PROYECTO Nº 29. Hallar b en el siguiente cociente notable:
 
2
423
yx
yx
b


Solución
42
3 7
2
b b  
PROYECTO Nº 30. En el siguiente cociente notable
2
2
3
40120


x
x
hallar el término que lleva x54
.
Solución
     40 1 3 403 54
2 40 18 22
k k k
kt x x x k k
  
       
Luego, 21 54
22 2t x
200 180
x yRpta:
2
3 3x x Rpta:
140
5
1
1
x
x


Rpta:
14Rpta:
7Rpta:
21 54
2 xRpta:

7. PROYECTO Nº 31. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable: 93
604
yx
yx pp

 
Solución
4 60
3 4 60 60
3 9
p p
p p p

     
Luego, el número de términos es
60
20
3

PROYECTO Nº 32. Factorizar y dar como respuesta el factor primo de segundo grado:
G(a, b) = a (1 – b2
) + b (1 – a2
)
Solución
            2 2 22
, 1 – 1 – 1G a b a ab b baa b b a b ab b a a aa b b           
El factor de segundo grado es 1 ab
PROYECTO Nº 33. Señale la suma de los factores primos de: E = x2
– y2
+ 6x + 9
Solución
    22 22
6 3 339 xE x x yy x y x y        
La suma pedida es 2 6x 
PROYECTO Nº 34. Factorizar: M = 2x2
– 3xy + y2
+ x – y
Solución
  
2 2
2 – 3 – 0
2 1
0
2 1
M x xy y x y
x y
x y
x y x y
   
 
 
   
PROYECTO Nº 35. Factorizar: I(x) = (x + 1)4
– (x - 1)4
el factor primo cuadrático es:
Solución
               
    
2 2 2 24 4
2 2
1 1 1 1
2 1 4 8 1
1 – 1 x x x x
x x
I x
x x
x x       
  
 


El factor cuadrático es
2
1x 
PROYECTO Nº 36. Factorizar: S(x) = (x2
+ 2)2
– (2x - 1)2
El factor que más se repite es:
Solución
        
      
2 22 2 2
22 2 2
2 2 1 22 – 2 1
2 1 2 3 1
1
2 3
2S x x x x
x x x x x
x
x x
x x       
       
 


El factor que más se repite es 1x 
20Rpta:
1-abRpta:
2x+6Rpta:
  2 1x y x y  Rpta:
x2
+1Rpta:
x+1Rpta:

8. PROYECTO Nº 37. Factorizar: A(a; b; c) = a2
– abc – ac – ab + b2
c + bc Indicar el número de
factores primos.
Solución
        ; ; – –A a b c a a bc c b a bc c a bc c a b       
Hay dos factores primos
PROYECTO Nº 38. Factoriza  
22 2 2 2 2
4a b a b c   .
Solución
          
    
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2a b a b c ab a b c ab a b c c a b a b c
c a b c a b a b c a b c
              
        
2Rpta:
    c a b c a b a b c a b c       Rpta: