3. D (x) = −A (x)
entonces la solución general viene dada por
d C (x)
dx B (x)
Σ Σ
(1.3)
f (x) = −
B (x)
+ ν(x)
C (x)
Σ ∫
E − A (x)
ν(x)dx
B (x)
Σ−1
donde la función ν(x) = exp −
, ∫ C(x)
A(x) dx y E ∈
,
R. Una solución particular de esta EDO es
f (x) = − .1
C(x)
B(x)
Teorema 1.2
Si los coeficientes de la EDO no lineal dada en 1.1 satisfacen la siguiente expresión
B (x) = A(x)
d C
Σ
(x)
dx D(x)
Σ
(1.4)
entonces el inverso de la solución general viene dado por
1 C (x)
f (x)
= −
D (x)
+ ν(x)
Σ ∫
E +
A (x)
ν(x)dx
D (x)
Σ−1
donde la función ν(x) = exp
,∫ C(x)
A(x)
dx y E ∈
,
R.
Teorema 1.3
Si los coeficientes de la EDO no lineal dada en 1.1 satisfacen la siguiente expresión
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Demostración. Los detalles de la prueba se pueden consultar en el apéndice.
Demostración. Los detalles de la prueba se pueden consultar en el apéndice.
4. −2
.
D (x)
B (x)
=
A (x) d
B (x) dx
Σ .
ln
∫
B (x)
A (x)
ν(x)dx ,
ΣΣ
(1.5)
donde ν(x) = exp
,∫ C(x)
A(x) dx entonces la solución general viene dada por
,
f (x) =
.
D
B (x)
1 +(x)
Σ
E −
∫
A (x) B (x)
dx
B (x) D
.
(x)
Σ−1
.
donde E ∈ R. Una solución particular de esta EDO es f (x) =1
.
D(x)
B(x)
.
Teorema 1.4
Si los coeficientes de la EDO no lineal dada en 1.1 satisfacen la siguiente expresión
2
.
B (x) A (x) d
D(x) D (x) dx
=
Σ .
ln
∫
D(x)
A (x)
ν(x)dx ,
ΣΣ
(1.6)
donde ν(x) = exp −
, ∫ C(x)
A(x)
dx entonces el inverso de la solución general viene dado por
,
1
f (x)
=
D(x)
1 +
.
B(x)
Σ
E +
∫
D
A (x) D (x)
dx
(x)
.
B(x)
Σ−1
.
donde E ∈ R. Una solución particular de esta EDO es f (x) =1
.
B(x)
D(x) .
4 Rev ista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No 2. Marzo − Agosto 2015.
Demostración. Los detalles de la prueba se pueden consultar en el apéndice.
Demostración. Los detalles de la prueba se pueden consultar en el apéndice.
6. −cos x
∫
nótese que y1 = sen x es una solución particular.
2C − e dx
e−cos x
y = sen x +
=
C2 −
∫
e−cos x dx
Por lo tanto, la solución general es:
e−cos x
u
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli y su solución viene dada por
dx
− usen x = u2du
Esta nueva EDO se puede reescribir como
dx
= u (u + sen x).
du
d
dx
(y − sen x) = y (y − sen x)
haciendo el cambio de variable u = y − sen x, se llega a
d
D (x) = −
dx
(−sen x).
Luego, la EDO se puede reescribir como
yJ = y2 − (sen x) y + cos x
Solución: En este caso se satisface la EDO dada en 1.3 ya que
Encuentre la solución de la EDO no lineal
Ejemplo 1.2
Encuentre la solución general de la EDO no lineal
yJ = αsen (αx) y2 + cos (αx) y − 1
Solución: En este caso se satisface la EDO dada en 1.4 ya que
Ejemplo 1.3
6 Rev ista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No 2. Marzo − Agosto 2015.
7. B(x) = αsen(αx) = (−cos(αx)),
d
dx
luego al dividir por y2
se obtiene
yJ
y2 = αsen(αx) + cos(αx) −
1
y
1
y2
usando el cambio de variable u = 1
y
−uJ = α sen (αx) + cos (αx) u − u2.
la EDO no lineal se puede reescribir como
−
dx
(u − cos(αx)) = −u (u − cos(αx))
haciendo el cambio de variable v = u − cos(αx) se llega a
d
d
dx
v = v (v − cos(αx))
La solución de esta EDO de Bernoulli es
v =
E −
e
∫
− sen(αx)
1
α
e− sen(αx)1
α dx
Por lo tanto,
u = cos(αx) +
e− sen(αx)
1
α
E −
y la solución general de la EDO no lineal es y =
1
. Nótese que una solución particular es
∫
e− sen(αx)1
α dx
u
y1 =
1
.
cos(αx)
Encuentre la solución general de la EDO no lineal
xyJ = xy2 −
.
4x2 − 1
Σ
y + 4x3
Ejemplo 1.4
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8. Solución: En este caso se satisface la EDO dada en 1.5 luego la EDO no lineal se puede
reescribir como
haciendo el cambio de variable u = y − 2x, se llega a
xyJ = x
.
y − 2x
Σ2
+ y,
Esta nueva EDO se puede reescribir como
x
.
uJ + 2
Σ
= xu2 + (u + 2x) .
xuJ − u = u2x
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli y su solución viene dada por
u =
2x
.
C2 − x2
Por lo tanto, la solución general es:
y = 2x +
2x
C2 − x2
nótese que y1 = 2x es una solución particular.
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1.4 Conclusiones
Aunque para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales no existen métodos generales de solu-
ción, los métodos presentados en este artículo permiten determinar de manera exacta la solución gen-
eral de algunas EDO de Riccati cuando no se conoce a priori una solución particular y los coeficientes
de esta EDO no lineal satisfacen algunas de las condiciones establecidas en este artículo. En trabajos
futuros se desea presentar algoritmos de programación numérica en MatLab usando los métodos de
solución presentados en este trabajo para resolver las EDOs no lineales de Riccati.
Agradecimientos. El autor agradece los comentarios y sugerencias de los evaluadores asignados por la Revista digital
Matemática, Educación e Internet a la versión inicial de este artículo, ya que permitieron mejorar y clarificar la notación y
metodología propuestaeneste artículo.
9. −( )
dx B (x)
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Bibliografía
[1] Reid, William Thomas. "Riccati differential equations". Academic Press. 1972.
[2] Rainville, Earl David. "Intermediate Course in Differential Equations." John Wiley &Sons. 1943
[3] Boyce, W. E., and DiPrima, R. C. "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems".
John Wiley &Sons . 1997.
[4] Simmons, George F."Differential Equations with Applications and Historical Notes". McGraw-Hill. 1991.
[5] Zwillinger, Daniel. "Handbookof Differential Equations". Academic Press.1997.
[6] Sugai, Iwao. A class of solvedRiccati’s equations. Electrical Communication. Vol37, N 1. 1961.
[7] Nagle, R. Kent, andSaff, Edward B., and Snider, Arthur David. "Fundamentals of Differential Equations
and Boundary Value Problems." Addison-Wesley. 2012.
[8] Murphy, George Moseley."Ordinary differential equations and their solutions". Van NostrandReinhold
Company. 1960
Apéndice: Prueba de los teoremas propuestos.
Demostración (Teorema1.1). Si los coeficientes satisfacen la expresión 1.3 entonces la EDO no lineal
dada en 1.1 se puede reescribir como
A (x) f J (x) + A (x)
d
Σ
C (x)
Σ
=B (x) ( f (x))2 + C (x) f (x)
A (x)
d
Σ
f (x) +
C (x)
Σ
=B (x) f (x)
Σ
f (x) +
C (x)
Σ
,
dx
haciendo el cambio de variable
B (x) B (x)
se obtiene que
y (x) = f (x) +
C (x)
B (x)
A (x)
d
y(x) =B (x)
Σ
y (x) −
C (x)
Σ
y(x)
(1.7)
dx B (x)
=B (x) (y (x))2 − C (x) y (x)
esta nueva EDO no lineal se puede reescribir como sigue
A (x)
yJ (x)
(y (x))2
1
+ C (x)
y (x)
= B (x),
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli. Entonces haciendo el cambio de variable
u x =
1
y (x)
y uJ (x) =
yJ
(x)
(y (x))2
10. A x( )
= −( )
u (x) = exp
.∫
C (x)
dx
Σ Σ∫
B (x)
exp
.
−
∫
C (x)
dx
Σ
dx + E∗
Σ
.
− A (x)
dx
A (x)
exp − A (x)
dx
dx D (x)
10 Rev ista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No 2. Marzo − Agosto 2015.
la EDO se convierte en
A (x) uJ (x) − C (x) u (x) = B (x) .
Esta EDO es lineal y usando el factor integrante
µ(x) = exp
.
−
∫
C (x)
dx
Σ
se llega a la siguiente solución
Luego
A (x)
. ∫
C (x)
ΣΣ
A (x)
∫
B (x)
A (x)
. ∫
C (x)
Σ Σ−1
donde E ∈ R y sustituyendo en 1.7 se tiene lo que se quería demostrar.
Demostración ( Teorema 1.2 ) Si los coeficientes satisfacen la expresión 1.4 entonces al dividir la EDO
no lineal dada en 1.1 por ( f (x))2 s
A (x)
f J (x) 1 1
= B (x) + C (x) + D(x)
haciendo el cambio de variable
( f (x))2 f (x) ( f (x))2
g (x) =
1
f (x)
la EDO no lineal se convierte en
y gJ
x
f J (x)
( f (x))2
−A (x) gJ (x) = D (x) (g (x))2 + C (x) g (x) + B (x) .
De manera análoga a la metodología usada en el Teorema anterior, la EDO no lineal dada en 1.1 se
puede reescribir como
−A (x) gJ (x) − A (x)
d
Σ
C (x)
Σ
=D (x) (g (x))2 + C (x) g (x)
−A (x)
d
Σ
g (x) +
C (x)
Σ
=D (x) g (x)
Σ
g (x) +
C (x)
Σ
,
dx
haciendo el cambio de variable
D (x)
y (x) = g (x) +
C (x)
D (x)
D (x)
(1.8)
,dxy (x) = exp E −
11. = −( )
A x( )
B x( )
. Σ
B x( )
B x( )
u (x) = exp
.
−
∫
C (x)
dx
Σ Σ∫
D (x)
exp
.∫
C (x)
dx
Σ
dx + E∗
Σ
ΣΣ Σ Σ 1
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se obtiene que
−A (x)
d
y (x) =D (x)
Σ
y (x) −
C (x)
Σ
y (x)
dx D(x)
=D (x) (y (x))2 − C (x) y (x),
esta última EDO no lineal se puede reescribir como sigue
yJ ( x) 1
−A (x)
(y (x))2
+ C (x)
y (x)
= D (x)
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli. Haciendo el cambio de variable
u (x) =
1
y (x)
y uJ
x
yJ (x)
(y (x))2
la EDO se convierte en
usando el factor integrante
se llega a la siguiente solución
A (x) uJ (x) + C (x) u (x) = D (x)
µ(x) = exp
.∫
C (x)
dx
Σ
luego
y (x) = exp
A (x)
C (x)
dx E +
A (x)
A (x)
D (x)
exp
A (x)
A (x)
C (x)
dx dx
−
,
A (x)
donde E ∈ R, sustituyendo en 1.8 se tiene lo que se quería demostrar.
Demostración (Teorema1.3) Si los coeficientes satisfacen la expresión 1.5 entonces la EDO no lineal
dada en 1.1 se puede reescribir como
A (x) f J (x) =B (x)
Σ
( f (x))2 +
D (x)
Σ
+ C (x) f (x)
=B (x)
Σ
haciendo el cambio de variable
f (x) −
D (x)
2
B (x)
+ C (x) f (x) + 2
.
D (x)
B (x) f (x),
se obtiene que
y (x) = f (x) −
.
D (x)
, (1.9)
.∫
∫ .∫
12. B x( )
−( )
B x( )
.
µ( )
(y (x))2 B (x) y (x)
B (x)
dx
12 Rev ista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No 2. Marzo − Agosto 2015.
A (x)
Σ
yJ (x) +
d
.
D (x)
Σ
=B (x) (y (x))2 + C (x)
Σ
y (x) +
.
D (x)
Σ
dx B (x) B (x)
+ 2
.
D (x)
B (x)
Σ
y (x) +
.
D (x)
Σ
,
B (x)
después de algunas operaciones y simplificando se llega a
B (x)
A (x) yJ (x) =B (x) (y (x))2 +
Σ
C (x) − 2B (x)
.
D (x)
Σ
y (x)
esta nueva EDO no lineal se puede reescribir como sigue
A (x)
yJ (x)
−
Σ
C (x) + 2B (x)
.
D (x)
Σ
1
= B (x),
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli. Entonces haciendo el cambio de variable
u x =
1
y (x)
y uJ (x) =
yJ
(x)
(y (x))2
la EDO se convierte en
A (x) uJ (x) +
Σ
C (x) + 2B (x)
.
D (x)
Σ
u (x) = B (x) .
Esta EDO es lineal y usando el factor integrante
µ(x) = exp
.∫
C (x)
dx
Σ
exp
.
2
∫
B (x)
.
D (x)
dx
Σ
,
al sustituir la expresión 1.5 se llega a
A (x) A (x) B (x)
x =2
D(x)
,
B (x)
por lo tanto, se obtiene la siguiente solución
u (x) =
.
B (x)
Σ∫
B (x)
.
D (x)
dx + E∗
Σ
.
Luego
D (x) A (x) B (x)
.
D (x)
Σ ∫
B (x)
.
D (x)
Σ−1
donde E ∈ R y sustituyendo en 1.9 se tiene lo que se quería demostrar.
,
A (x)B (x)
y (x) = E −
13. = −( )
D x( )
. Σ
D x( )
D x( )
D x( )
= −( )
D (x) y (x)
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Demostración (Teorema1.4) Si los coeficientes satisfacen la expresión 1.6 entonces al dividir la EDO no
lineal dada en 1.1 por ( f (x))2 se llega a
A (x)
f J (x) 1 1
= B (x) + C (x) + D(x)
haciendo el cambio de variable
( f (x))2 f (x) ( f (x))2
g (x) =
1
f (x)
la EDO no lineal se convierte en
y gJ
x
f J (x)
( f (x))2
−A (x) gJ (x) = D (x) (g (x))2 + C (x) g (x) + B (x) .
Esta última EDO no lineal se puede reescribir como
−A (x)gJ (x) = D (x)
Σ
(g (x))2 +
B (x)
Σ
+ C (x) g (x)
=D (x)
Σ
g (x) −
B (x)
2
D (x)
+ C (x)g (x) + 2
.
B (x)
D (x) g (x),
haciendo el cambio de variable
se obtiene que
y (x) = g (x) −
.
B (x)
, (1.10)
−A (x)
Σ
yJ (x) +
d
.
B (x)
Σ
=D (x) (y (x))2 + C (x)
Σ
y (x) +
.
B (x)
Σ
dx D(x) D(x)
+ 2
.
B (x)
D (x)
Σ
y (x) +
.
B (x)
Σ
,
D (x)
después de algunas operaciones y simplificando se llega a
D (x)
−A (x) yJ (x) =D (x) (y (x))2 +
Σ
C (x) + 2D (x)
.
B (x)
Σ
y (x)
esta nueva EDO no lineal se puede reescribir como sigue
yJ (x)
−A (x) −
Σ
C (x) + 2D (x)
.
B (x)
Σ
1
= D (x),
la cual corresponde a una EDO de Bernoulli. Entonces haciendo el cambio de variable
u (x) =
1
y (x)
y uJ
x
yJ (x)
(y (x))2
(y (x))2