1. TEOREMA DE LAGRANGE
EJEMPLOS
Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2
de cartón. Calcule el volumen
máximo de esta caja.
Buscamos maximizar:
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
con restricción:
𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los multiplicadores de
Lagrange.
∇𝑉 = 𝜆∇𝑔
𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12
Entonces:
𝑉𝑥 = 𝜆𝑔 𝑥
𝑉𝑦 = 𝜆𝑔 𝑦
𝑉𝑧 = 𝜆𝑔𝑧
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:
𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑦)
𝑥𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑥)
𝑥𝑦 = 𝜆(2𝑥 + 2𝑦)
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado
izquierdo 𝑥𝑦𝑧 por lo tanto la primera la multiplicamos por 𝑥 la segunda por 𝑦 y
la tercera por 𝑧, quedaría de la siguiente manera:
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦)
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦)
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧)
Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:
2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦
2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧
de la segunda ecuación sabemos que:
𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 entonces: 𝑦 = 2𝑧. Si se hace 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧 sustituimos en la ecuación:
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
y nos quedaría de la siguiente manera: 4𝑧2
+ 4𝑧2
+ 4𝑧2
=12
Por lo tanto 𝑧 = 1
entonces: 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2.