Sistemas de Ecuaciones, Determinación, Sustitución, Reducción, Igualación, etc.

1. Introducción
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus
soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y
resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y
con ninguna otra .
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de
pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen
menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se
utiliza un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso,
se utiliza otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta
incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos
incógnitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden
utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e
indeterminados.

2. Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un
sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de
ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una
igualdad que es falsa, por ejemplo:
El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en
el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible
determinado.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el
número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos
miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo
molotov.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo
miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos
(izquierdos) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones

3. 15x - 9y = 1
-15x + 20y = 5
Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de
partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (
son expresiones algebraicas ).

4. De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni
en , entonces la ecuación
no contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces
hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su
solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de
incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
es equivalente a este otro

5. El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro
de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del
primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene
que
que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma:
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la
primera, para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las
de partida.

6. Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del
sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
se tiene que
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de
partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
cuya solución es .

7. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro
equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante
las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz
triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema
equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera
con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se
ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma
incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual
es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
es:

8. Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda
ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ),
obtenemos la siguiente matriz triangular superior:
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ecuación para obtener :

9. En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la
tercera ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación,
por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones
inicial:
Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

10. Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no
nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda
por , para obtener:
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de
coeficientes y matriz de términos independientes .
Regla de Cramer
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es
cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que
el numero de incógnitas y el numero de ecuaciones coincide.
Cuando el sistema de ecuaciones
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

11. En general
donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-exima columna de
por la matriz de los términos independientes, .
Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:

12. En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz de los coeficientes es
una matriz cuadrada y . Por lo tanto, podemos
aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
PROBLEMAS:
A) El tres por mil de una cantidad Z de dinero, es igual a $9810 ¿Cuál es
el valor de Z?
Respuesta: Z= $3.270.000
3270
3
9810
98103




z
z
z
B) Las tres quintas partes de un ingreso total semanal de una empresa,
equivalen a $2.380.000 ¿Cuál es el ingreso semanal de la empresa?
Respuesta: $3.966.667 Aproximadamente
666.966.3
3
5*000.380.2
000.380.2
5
3


z
z
C) Si M supera al doble de N en 300 unidades, y la suma de M y N es igual
14.000 unidades ¿Cuál es el valor aproximado de N? Respuesta:$4.567
666.46
300
000.14
000.14300*



m
m
m
D) Una persona compra tres artículos A, B y C, por un total de $1050.000
si el precio del artículo A equivale a las dos terceras partes del precio

13. del artículo B y, el precio del artículo B es el 10% del precio del
artículo C, ¿Cuál es el precio de cada artículo? Respuesta: A=$60.000
B=$90.000 C=$900.000
E) Una persona destina $10.000.000 para realizar dos inversiones, si se
sabe que el doble de una de las dos inversiones sobrepasa en
$2000.000 a la otra inversión. ¿Qué porcentaje respecto del total
corresponde a cada inversión? Respuesta: 40% y 60%
F) Una persona devenga un salario X mensual. De esa cantidad, la
decima parte son descuentos de ley, los cuatro decimos son para
gastos generales, una carta parte es para educación y recreación y
ahorra $860.000 mensuales ¿Cuál es el valor del salario mensual?
Respuestas: Salario X= 3.440.0000
G) Tres cuentas de ahorro están en la siguiente situación: La primera
tiene un saldo inferior $500.000 al saldo de la tercera y el doble del
saldo de la segunda cuenta, es superior en $200.000 al saldo de la
primera. Si los tres saldos suman $4.500.000 ¿Cuánto dinero hay en
cada cuenta?
Nota: Profesor, se me dificultaron realizar los últimos ejercicios, encontré
una forma pero no logré resolverlos de forma correcta así que ni los pongo
en trabajo ya que no logro resolverlos con más de dos variables y sacar
porcentaje.