EXAMEN DE CALCULO MULTIVARIABLE

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : CALCULO MULTIVARIABLE CICLO : 2022 - I
CODIGO : FB303
DOCENTE :
L. ALVARADO, J. ECHEANDIA O. BERMEO,
D. FLORES, R. CHUNG FECHA : 02.08.22
EXAMEN FINAL
1.- La función de costo total, en soles, de un monopolista que produce dos bienes viene
dada por 𝐶(𝑥; 𝑦) =
13
6
𝑥2
− 10𝑦 + 90, donde 𝑥, 𝑦 representan las cantidades
producidas de dichos bienes. Supongamos que las demandas a las que se enfrenta la
empresa son 𝑝1 = 70 − 2𝑥 + 3𝑦; 𝑝2 = 110 + 3𝑥 − 5𝑦 , donde 𝑝1, 𝑝2 son los precios,
en soles, de cada uno de los bienes, respectivamente.
(a) Construya la función de utilidad 𝑈(𝑥; 𝑦).
(b) Halle el o los puntos críticos de 𝑈 y determine la utilidad máxima.
2.-Calcule el valor de la integral ∬ 𝑥3
𝑦3
𝑑𝐴
𝑅
,
donde la región 𝑅 está limitada por las curvas de ecuación 𝑦 = 𝑥3
, 𝑦 = 4𝑥3
, 𝑥 = 𝑦3
,
𝑥 = 9𝑦3
en el primer cuadrante.
3.- Dada la integral
I=∭ 𝑧𝑑𝑉
𝑆
donde el sólido 𝑆 está limitado por las superficies cuyas ecuaciones son:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1, 𝑦 − 𝑧 = 0, 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
a) Grafique el sólido 𝑆
b) Defina una transformación para calcular la integral 𝐼
c) Halle el valor de la integral 𝐼
4.-Dado el campo vectorial 𝐹 definido mediante,
𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)) = (
−𝑦
𝑥2+𝑦2
,
𝑥
𝑥2+𝑦2
)
a) Calcule la integral de línea de 𝐹 sobre la curva 𝐶: x2
+ y2
= 1, parametrizando 𝐶
en sentido antihorario.
b) Calcule la integral de línea de 𝐹 sobre la curva 𝐶1: |𝑥| + |𝑦| = 9
Continúa…

2. 5.- a) Determine los valores de las constantes 𝒂 𝑦 𝒃 para los cuales el siguiente campo
vectorial es conservativo.
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝒂𝑒𝑥
𝑠𝑒𝑛𝜋𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦 + 𝑥𝑧, 𝒃𝑥𝑦 + 2𝑧 )
b) Calcule ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑑𝑥̅
𝐶
, donde 𝐹 campo vectorial con los valores de 𝒂 , 𝒃
hallados en la parte a) y 𝐶 es la poligonal que une sucesivamente los puntos
𝐴(0,0,0), 𝐵(1,2,3), 𝐶(−1,2,5) y 𝐷(0,2,2), desde 𝐴 hasta 𝐷
Nota: El puntaje de cada pregunta es 4 puntos.