Este documento presenta ejercicios de cálculo de derivadas y aplicaciones de integrales para un curso de matemáticas para ingeniería de telecomunicaciones. Incluye ejercicios sobre derivación de funciones de varias variables, aplicaciones de la derivada para encontrar extremos y puntos de inflexión, integración múltiple, análisis vectorial y cálculo de derivadas parciales. El documento contiene 12 capítulos con diferentes conjuntos de problemas matemáticos.
Conversion analogico digital: muestreo, cuantizacion y codificacionLucre Castillo Lorenzo
Este documento explica los conceptos básicos de la conversión analógico-digital, incluyendo el muestreo, la cuantización y la codificación. El muestreo convierte una señal analógica continua en valores discretos a intervalos regulares. La cuantización convierte los valores de voltaje en números digitales. Finalmente, la codificación representa los valores cuantizados usando códigos binarios u otros estándares.
El documento describe la inteligencia de enjambres en las abejas melíferas y cómo su comportamiento para obtener alimento se ha estudiado extensamente. También introduce el algoritmo de Colonia Artificial de Abejas (ABC), el cual emula el comportamiento de búsqueda de alimento de las abejas para encontrar soluciones a problemas de optimización. El ABC define una colmena artificial formada por abejas obreras, observadoras y exploradoras que implementan un proceso de recolección de polen.
Método de ordenamiento por selección (selection sortlinkinpark03
El método de ordenamiento por selección ordena un arreglo encontrando el elemento menor en cada iteración y colocándolo en la posición inicial. Primero encuentra el menor elemento y lo intercambia con el de la primera posición, luego el segundo menor y lo coloca en la segunda posición, repitiendo este proceso hasta ordenar todo el arreglo. Implementa ciclos anidados para recorrer el arreglo, encontrar el elemento menor y realizar el intercambio correspondiente.
Transformación de Modelo E-R a Modelo Relacional Ejemplo y ReporteNeoinquisidor
El documento describe el proceso de transformar un modelo de entidad-relación a un modelo relacional. Se identifican las entidades Cliente, Auto y Promotor y sus atributos. Luego, cada entidad se convierte en una tabla en la base de datos relacional, y los atributos se convierten en campos. Las relaciones uno a uno entre las entidades generan tablas adicionales con claves foráneas. El resultado final son 5 tablas y ejemplos de registros.
Este documento proporciona instrucciones y ejemplos sobre el uso de interrupciones, instrucciones y funciones básicas en ensamblador como imprimir cadenas y caracteres, manejo del cursor, lectura de teclado, color, scroll y bucles. También incluye ejemplos de programas en ensamblador y reglas para la presentación de proyectos.
Este documento describe métodos para evaluar expresiones aritméticas mediante el uso de pilas. Explica las notaciones infija, prefija y postfija y cómo convertir una expresión de notación infija a postfija utilizando una pila. También describe algoritmos para evaluar una expresión en notación postfija asignando valores a los operandos y aplicando los operadores en orden utilizando una pila.
Este documento presenta un análisis de las series de Fourier para representar señales periódicas. Describe las condiciones de Dirichlet para que una señal pueda representarse mediante serie de Fourier y expone las expresiones para los coeficientes de Fourier. Además, aplica las series de Fourier para representar funciones periódicas pares e impares, calculando sus coeficientes y expresando las series resultantes. Finalmente, muestra los resultados de simular las primeras armónicas de una señal par usando Matlab.
Este documento describe los pasos básicos para procesar imágenes con MATLAB, incluyendo la lectura, representación, obtención de tamaño, despliegue, escritura y edición de pixeles de imágenes. También cubre temas como submuestreo, transformación de tipos de datos, filtrado mediante convolución y detección de bordes.
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Método de ordenamiento por selección (selection sortlinkinpark03
El método de ordenamiento por selección ordena un arreglo encontrando el elemento menor en cada iteración y colocándolo en la posición inicial. Primero encuentra el menor elemento y lo intercambia con el de la primera posición, luego el segundo menor y lo coloca en la segunda posición, repitiendo este proceso hasta ordenar todo el arreglo. Implementa ciclos anidados para recorrer el arreglo, encontrar el elemento menor y realizar el intercambio correspondiente.
Transformación de Modelo E-R a Modelo Relacional Ejemplo y ReporteNeoinquisidor
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El documento describe los conceptos fundamentales del modelo entidad-relación, incluyendo entidades, atributos, claves, relaciones y tipos de relaciones. Explica que las entidades representan objetos del mundo real, los atributos son sus características, y las relaciones capturan cómo las entidades se relacionan entre sí. También cubre conceptos como claves primarias y foráneas, cardinalidades, y diagramas entidad-relación.
Transformar decimal fraccionario a binario, octal yEvelyn Ruiz
El documento explica cómo convertir números decimales fraccionarios a binario, octal y hexadecimal. Para convertir a binario, se divide la parte entera repetidamente por 2 y la parte fraccionaria se multiplica sucesivamente por 2. Para octal, la parte entera se divide por 8 y la fraccionaria se multiplica por 8. Para hexadecimal, la parte entera se divide por 16 y la fraccionaria se multiplica por 16.
Este documento describe un método para segmentar imágenes basado en el color usando MatLab. Explica cómo representar cada pixel como un vector RGB y segmentar regiones con colores similares usando un algoritmo que busca colores dentro de un rango de tolerancia del color de referencia. Aplica este método a imágenes sintéticas y naturales, mostrando cómo la tolerancia afecta los resultados.
Este documento describe el diseño de sumadores utilizando compuertas lógicas. Explica cómo construir un semi-sumador y un sumador completo con compuertas lógicas basándose en sus tablas de verdad. Luego, muestra cómo diseñar un sumador de dos números de 2 bits utilizando un semi-sumador y un sumador completo.
Este documento describe un programa que convierte un número total de horas a semanas, días y horas restantes. El programa toma el número de horas como un argumento de línea de comandos, divide las horas totales por 24*7 para calcular las semanas, luego divide el resto por 24 para los días, y toma el módulo final para las horas restantes.
Este documento compara y resume varios métodos de ordenamiento de datos, incluyendo ordenamiento por selección, burbuja, Shell, inserción, quicksort y mergesort. Explica la lógica de cada algoritmo, su complejidad computacional y ventajas/desventajas. Concluye que quicksort y mergesort son los más eficientes, aunque mergesort usa más memoria.
El documento describe los pasos para crear un programa en C utilizando el entorno de desarrollo Code::Blocks, incluyendo la edición del código, compilación, enlazado, ejecución y depuración. Primero, se escribe el código fuente en el editor. Luego, se compila el código para generar un ejecutable. Finalmente, se puede ejecutar el programa y depurarlo paso a paso para corregir errores.
Proyecto final de fundamentos de ingeniería de softwareMarco Hernandez
El documento describe los requerimientos para el desarrollo de un Sistema de Inscripciones Virtual (SIV) por parte de equipos de estudiantes. Cada equipo deberá especificar, diseñar e implementar una versión del SIV que permita a los alumnos inscribirse a cursos de forma remota, incluyendo consultar información de cursos, elegir cursos, y crear y modificar bases de datos de alumnos y cursos. El SIV debe cumplir con funcionalidades básicas como autenticación de usuarios y administración de
Un arreglo bidimensional es una estructura de datos que tiene dos dimensiones y se puede representar como una tabla con múltiples filas y columnas, permitiendo almacenar y manipular datos mediante dos índices. Algunas operaciones comunes con matrices incluyen la suma, multiplicación y multiplicación por un escalar.
Este documento presenta una introducción a MATLAB, incluyendo comandos básicos, operaciones con matrices y vectores, y funciones matemáticas. Explica cómo iniciar y salir de MATLAB, guardar sesiones, buscar ayuda, y realizar cálculos, asignaciones y comentarios. También describe cómo introducir y manipular vectores y matrices, y utilizar funciones como eye, zeros, ones, rand y sort.
El documento describe la creación de una calculadora básica en Java usando interfaz gráfica de usuario. Se importan las clases necesarias y se crea una clase Main que extiende JFrame e implementa ActionListener. El constructor crea la interfaz con botones y un cuadro de texto usando paneles y eventos de click. El método actionPerformed captura los clicks y determina la acción según el botón presionado para realizar cálculos o limpiar.
Este documento discute la naturaleza recursiva y fractal en la naturaleza. Explica que la geometría Euclidiana no captura adecuadamente las irregularidades observadas en objetos naturales como las costas. Introduce el concepto de dimensión fractal para cuantificar el grado de detalle en objetos naturales. Además, describe cómo los fractales matemáticos como el conjunto de Mandelbrot y la isla de Koch ilustran la autosimilitud recursiva que se observa comúnmente en sistemas naturales como el sistema cardiovascular.
Este documento describe diferentes métodos de ordenamiento de datos, incluyendo burbuja, quicksort, shellsort, radixsort e intercalación. Explica los pasos de cada algoritmo y provee ejemplos para ilustrar cómo ordenan un conjunto de datos. También incluye código de implementación en C++ para algunos de los métodos.
El documento explica los conceptos fundamentales de la digitalización de señales analógicas. La digitalización implica dos pasos: muestreo y cuantización. El muestreo convierte el eje temporal de la señal de continuo a discreto tomando muestras a intervalos regulares, mientras que la cuantización convierte el eje de amplitud de continuo a discreto asignando valores digitales discretos a los niveles de amplitud. El teorema de muestreo establece que la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la f
Este documento trata sobre el análisis de algoritmos. Explica que el análisis de algoritmos estima el tiempo y espacio necesarios para ejecutar un algoritmo y permite evaluar la calidad de los algoritmos sin necesidad de implementarlos. También define las complejidades en tiempo y espacio de un algoritmo y explica cómo se puede estimar el crecimiento de las funciones de tiempo usando notaciones como O-grande, Ω y Θ.
Utp pds_s3y4_señales, secuencias y muestreojcbenitezp
Este documento presenta los conceptos fundamentales de muestreo de señales en los sistemas de procesamiento digital de señales. Explica el muestreo y la cuantificación de señales analógicas, el teorema de muestreo, el aliasing y la cuantización. También introduce conceptos básicos como señales, filtros, secuencias y sus operaciones, y aplicaciones del procesamiento digital de señales.
Diseño de un algoritmo en diagrama de flujo que imprime los números impares h...naniily
El documento presenta breves descripciones de cinco algoritmos diferentes que incluyen imprimir números impares y pares hasta un millón, calcular el área de un círculo, imprimir el mayor de dos números, e imprimir una frase específica.
Este documento introduce las funciones vectoriales y cómo se pueden usar para representar curvas en el plano y en el espacio. Se define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales. Las funciones vectoriales permiten representar curvas mediante ecuaciones paramétricas, donde el punto final del vector posición coincide con el punto de la curva. Se pueden aplicar operaciones como suma y multiplicación escalar a funciones vectoriales de manera análoga a las funciones reales.
Este documento presenta un examen final de matemáticas para tercero medio que consta de 40 preguntas. El examen abarca temas como ecuaciones y funciones cuadráticas, desigualdades, números complejos, rectas y parábolas. Los estudiantes tienen 80 minutos para responder todas las preguntas y justificar sus respuestas. No se permite el uso de calculadoras u otros materiales durante la prueba.
Este documento contiene 30 preguntas de matemáticas para un examen final de cuarto grado de secundaria. Las preguntas abarcan una variedad de temas matemáticos como progresiones aritméticas y geométricas, funciones trigonométricas, álgebra, geometría y gráficos. El examen evalúa la comprensión y habilidades de resolución de problemas de los estudiantes en estos temas fundamentales de matemáticas.
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El documento presenta soluciones a problemas de cálculo vectorial. Determina la naturaleza de puntos críticos de funciones, obtiene valores extremos sujetos a restricciones, y calcula dimensiones óptimas de objetos geométricos para minimizar costos o maximizar áreas.
Este documento presenta una guía de trabajo práctico sobre conjuntos numéricos. Incluye ejercicios sobre diferentes tipos de números y operaciones con ellos, como racionales, irracionales, radicales y expresiones decimales periódicas y no periódicas. También incluye problemas sobre geometría como calcular la longitud de un segmento en un cubo y medidas de un triángulo isósceles y un círculo.
Este documento contiene información sobre 6 prácticas de álgebra lineal y programación lineal. La Práctica 1 cubre rectas y planos en R2 y R3, incluyendo ecuaciones paramétricas e implícitas. Las siguientes prácticas cubren sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, matrices y programación lineal. Al final hay ejercicios de práctica adicionales sobre estos temas.
1. Se pide completar una tabla con operaciones y polinomios.
2. Se pide relacionar operaciones con polinomios resultados.
3. Se pide determinar un polinomio a adicionar para obtener otro resultado.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en varias variables. El documento contiene 33 problemas que abarcan temas como ecuaciones de rectas y planos, puntos en rectas y planos, distancias mínimas, volúmenes, dominios de funciones, curvas de nivel y reconocimiento de cuádricas.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en tres dimensiones. El objetivo es que los estudiantes practiquen conceptos como ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas para representar rectas y superficies. También incluye gráficos de funciones y reconocimiento de cuádricas en el espacio.
Este documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo su definición como funciones polinómicas de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Describe cómo encontrar el vértice y los ceros de una función cuadrática, y cómo expresar una función cuadrática en forma estándar completando al cuadrado. Incluye un ejemplo para ilustrar los conceptos.
finales de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
1. El documento presenta 20 problemas de álgebra lineal y matemática discreta tomados de exámenes finales de 1999 y 2000. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, programación lineal, subespacios vectoriales y matrices.
2. Se pide determinar puntos de equilibrio, bases de subespacios, ecuaciones paramétricas de rectas, soluciones de sistemas de ecuaciones y más.
3. El documento proporciona una guía de problemas de matemáticas comunes en exámenes finales para que los
Práctica Aplicaciones de la Integral Definida.pdfFernandaMorante1
Este documento presenta 44 ejercicios de cálculo de áreas y longitudes de arco utilizando la integral definida. Los ejercicios involucran regiones planas limitadas por funciones dadas en forma cartesiana, polar, paramétrica y curvas como elipses, cisoides, espirales y rosas. Se pide graficar las regiones, aproximar áreas y calcular longitudes de arco utilizando integrales definidas.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de análisis matemático, incluyendo:
1) Números reales, funciones, límites y continuidad.
2) Derivadas, integrales, series y ecuaciones diferenciales.
3) Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas sobre ecuaciones de rectas. Contiene 30 preguntas con 5 opciones de respuesta cada una sobre conceptos como coordenadas de puntos, pendientes, ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y su representación gráfica. El profesor John Manuel Muñoz Jofré aplica esta evaluación a sus estudiantes de tercer año medio sobre los contenidos vistos relacionados con el plano cartesiano, rectas y sus ecuaciones.
El documento analiza las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Explica que el seno y coseno son funciones periódicas, pares e impares, y describe sus dominios y rangos. También cubre el cálculo de períodos de funciones trigonométricas y presenta problemas de ejercicios para la práctica.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas entre dos circunferencias, propiedades de las tangentes y ángulos relacionados con la circunferencia. También incluye ejemplos de problemas y la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
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Este documento contiene 30 preguntas de matemáticas para un examen final de quinto grado de secundaria. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como probabilidad, estadística, álgebra, geometría y cálculo. El examen evalúa la comprensión de los estudiantes y su habilidad para resolver problemas matemáticos complejos.
Este documento presenta una introducción a las integrales de línea y al teorema de Green en campos vectoriales. Incluye identidades fundamentales en campos vectoriales, ejemplos de cálculo de integrales de línea, y ejercicios resueltos sobre aplicaciones del teorema de Green. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y proporciona los conceptos teóricos y herramientas necesarias para comprender y aplicar estas ideas.
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"Abordando la Complejidad de las Quemaduras: Desde los Orígenes y Factores de...AlexanderZrate2
Las quemaduras, una de las lesiones traumáticas más comunes, representan un desafío significativo para el cuerpo humano. Estas lesiones pueden ser causadas por una variedad de agentes, desde el contacto con el calor extremo hasta la exposición a productos químicos corrosivos, la electricidad y la radiación. Independientemente de su origen, las quemaduras pueden provocar un amplio espectro de daños, que van desde lesiones superficiales de la piel hasta afectaciones graves de tejidos más profundos, con potencial para comprometer la vida del individuo afectado.
La incidencia y gravedad de las quemaduras pueden variar según factores como la edad, la ocupación, el entorno y la atención médica disponible. Las quemaduras son un problema global de salud pública, con impacto no solo en la salud física, sino también en la calidad de vida y la salud mental de los afectados. Además del dolor y la discapacidad física que pueden ocasionar, las quemaduras pueden dejar cicatrices permanentes y aumentar el riesgo de infecciones y otras complicaciones a largo plazo.
El manejo adecuado de las quemaduras es esencial para minimizar el riesgo de complicaciones y promover una recuperación óptima. Desde los primeros auxilios en el lugar del incidente hasta el tratamiento médico especializado en centros de quemados, se requiere una atención integral y multidisciplinaria. Además, la prevención juega un papel fundamental en la reducción de la incidencia de quemaduras, mediante la educación pública, la implementación de medidas de seguridad en el hogar, el trabajo y otros entornos, y la promoción de políticas de salud y seguridad efectivas.
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1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
Esta exposición tiene como objetivo educar y concienciar al público sobre la dualidad del oxígeno en la biología humana. A través de una mezcla de ciencia, historia y tecnología, se busca inspirar a los visitantes a apreciar la complejidad del oxígeno y a adoptar estilos de vida que promuevan un equilibrio saludable entre sus beneficios y sus potenciales riesgos.
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Los enigmáticos priones en la naturales, características y ejemplosalexandrajunchaya3
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1. Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Grado en Ingeniería de las
Tecnologías de Telecomunicación
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II
CURSO 2015-2016
2. Índice general
1. Derivación de funciones de varias variables 3
2. Aplicaciones de la derivada 6
3. Cálculo de Primitivas 10
4. Aplicaciones de la Integral 13
5. Integración Múltiple 16
6. Análisis Vectorial 20
2
3. Capítulo 1
Derivación de funciones de
varias variables
1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las funciones:
a) =
√
.
b) = 2
2
.
c) ( ) =
sen .
d) =
2 + 2
.
2. Evaluar y en los puntos que se indican:
a) ( ) = arctan
en (2 −2).
b) ( ) =
−
en (1 −1).
3. Calcular las pendientes de las superficies en las direcciones de e en
el punto indicado:
a) = 4 − 2
− 2
en (1 1 2).
b) = −
cos en (0 0 1).
4. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones:
a) =
p
2 + 2 + 2.
b) ( ) = ln
p
2 + 2 + 2.
c) = sen ( + 2 + 3).
3
4. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 4
5. Evaluar , y en el punto dado.
a) ( ) =
p
32 + 2 − 22 en (1 −2 1).
b) ( ) = sen ( + ) en (0
2
4).
6. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones:
a) = 2
− 2 + 32
.
b) ( ) = ln
2 + 2
.
c) = 2
+
− 2
.
d) ( ) = −
sen .
7. Calcular
utilizando la regla de la cadena:
a) =
p
2 + 2, = cos , =
.
b) = 2
+ 2
+ 2
, =
cos , =
sen , =
.
8. Calcular
por derivación implícita:
a) ln
p
2 + 2 + = 4.
b) cos + tan + 5 = 0.
9. Calcular
y
por derivación implícita:
a) 2
+ 2 + 2
= 1.
b)
+ = 0.
10. Calcular las primeras derivadas parciales de por derivación implícita:
a) 2
+ 2
+ 3
− 3 − 2
= 4.
b) cos () + sen + = 20.
11. Calcular la derivada direccional de la función en el punto y en la direc-
ción del vector dados:
a) ( ) = , = (2 3), = (1 1).
5. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 5
b) ( ) =
sen , = (1
2
), = (−1 0).
c) ( ) = + + 2
, = (1 1 1), = (2 1 − 1).
12. Hallar el gradiente de la función en el punto dado:
a) = cos (2
+ 2
), = (3 −4).
b) = 32
− 5 + 2
, = (1 1 −2).
13. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada
direccional en el punto dado:
a) ( ) = tan , = (2
4
).
b) ( ) =
, = (2 0 −4).
14. Hallar un vector normal y la ecuación de la recta tangente a la curva
de nivel de ( ) =
2 + 2
que pasa por el punto = (1 1).
15. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la su-
perficie dada en el punto indicado:
a) =
, = (1 2 2).
b) =
(sen + 1), = (0
2
2).
c) 2
+ 3 − 2
= 4, = (2 1 −2).
16. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las
superficies dadas en el punto indicado:
a) 2
+ 2
= 5, = , = (2 1 2).
b) = 2
+ 2
, + + 6 = 33, = (1 2 5).
6. Capítulo 2
Aplicaciones de la derivada
1. Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes
funciones, en el intervalo dado, y los puntos en los que se alcanzan:
a) () = 3
− 32
− 12 + 3, −2 ≤ ≤ 1.
b) () = 4
− 22
+ 3, 0 ≤ ≤ 4.
c) () = 13
, −1 ≤ ≤ 8.
d) () = 2 − ||, −1 ≤ ≤ 3.
e) () = | − 2| + | + 3|, −5 ≤ ≤ 5.
f ) () =
3
4
(2
− 1)23
, −3 ≤ ≤ 2 .
g) () = + sen 2, − ≤ ≤ .
h) () = ln(cos ), −
4
≤ ≤
3
.
i) () =
− 2, 0 ≤ ≤ 1.
2. Calcular los puntos críticos y los valores extremos (relativos y absolu-
tos) de cada una de las siguientes funciones:
a) () = 23
( + 2).
b) () =
√
4 − 2.
c) () =
½
−2
− 2 + 4 ≤ 1
−2
+ 6 − 4 1
d) () = 2
ln
1
.
6
7. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 7
3. Determinar los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento de
las siguientes funciones. Obtener, si existen, los extremos relativos y
absolutos de cada función, indicando los puntos en los que se alcanzan.
a) () = −3
+ 22
.
b) () = 4
− 82
+ 16.
c) () = − 6
√
− 1.
d) () =
2
− 3
− 2
, 6= 2.
e) () = sen 2, 0 ≤ ≤ .
f ) () =
√
3 cos + sen , 0 ≤ ≤ 2.
4. Obtener los máximos y mínimos locales, los puntos de inflexión y los
intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas o convexas:
a) () =
1
4
4
− 22
+ 4.
b) () =
3
4
(2
− 1)23
.
c) () = + sen 2, −
2
3
≤ ≤
2
3
.
5. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones, obteniendo previamente
los valores extremos, los puntos de inflexión y las asíntotas cuando
existan.
a) () = 43
− 4
, () =
√
2 + 1
, () = 2 − 23
.
b) () =
2
− 3
− 2
, () =
8
2 + 1
, () =
1
2 − 1
.
c) () = −
2
− 2
2 − 1
, () =
4
+ 1
2
, () =
8
2 + 4
.
6. Se desea hacer una caja rectangular abierta con una pieza de cartón de
8 por 15 , cortando en las esquinas cuadrados de las mismas di-
mensiones y doblando hacia arriba los lados ¿Cuáles son las dimensiones
de la caja que puede hacerse de esta manera con el mayor volumen?
¿Cuál es ese volumen?
8. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 8
7. Una parcela rectangular en una granja estará limitada en uno de sus
lados por un río, y por los otros tres lados por una cerca electrificada
con un sólo alambre. Si se cuenta con 800 metros de alambre ¿cuál es la
mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?
8. Se desea diseñar un cartel cuya área de impresión es de 50 2
, con
márgenes superior e inferior de 4 y márgenes laterales de 2 cada
uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad
de papel usado?
9. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen
máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 ¿Cuál es
el volumen máximo?
10. Un triángulo cuya hipotenusa mide
√
3 metros de largo se hace girar
alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto.
Determinar el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen
que se puede hacer de esta manera.
11. Un alambre de metros de largo se corta en dos partes. Una pieza
se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para
formar un círculo. Si la suma de las áreas encerradas por cada parte es
mínima ¿cuáles son las dimensiones de cada parte?
12. Encontrar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:
a) ( ) = 22
+ 32
− 4 − 12 + 13.
b) ( ) = 2
p
2 + 2 + 3.
c) ( ) = (2
+ 42
)1−2−2
.
d) ( ) = 2
− 3 − 2
.
13. Calcular los extremos absolutos de ( ) en la región que se indica:
a) ( ) = 12 − 3 − 2 y es la región triangular en el plano
de vértices (2 0), (0 1) y (1 2).
b) ( ) = 32
+22
−4 y es la región del plano acotada por
las gráficas de las funciones = 2
y = 1.
c) ( ) = 2
+ y := {( ) ∈ R2
: || ≤ 2 || ≤ 3}.
d) ( ) = 2
+ 2 + 2
y := {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 8}.
9. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 9
e) ( ) =
4
(2 + 1)(2 + 1)
y
:= {( ) ∈ R2
: ≥ 0 ≥ 0 2
+ 2
≤ 1}
14. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el
extremo que se pide con la restricción dada, siendo e positivos.
a) Minimizar ( ) = 2
− 2
, sujeto a − 2 + 6 = 0.
b) Maximizar ( ) =
p
6 − 2 − 2, sujeto a + − 2 = 0.
c) Maximizar ( ) =
, sujeto a 2
+ 2
= 8.
d) Minimizar ( ) = 2 + , sujeto a = 32.
e) Minimizar ( ) = 2
+ 2
+ 2
, sujeto a + + − 6 = 0.
f ) Maximizar ( ) = , sujeto a ++−32 = 0 −+ = 0.
g) Maximizar ( ) = +, sujeto a +2−6 = 0 −3 = 0.
15. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde la recta 2 + 3 + 1 = 0 al punto (0 0).
16. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde la circunferencia ( − 4)2
+ 2
= 0 al punto
(0 10).
17. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde el plano + + − 1 = 0 al punto (2 1 1).
18. Encontrar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las
superficies 2
+ 2
+ 2
= 36 y 2 + − = 2.
19. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las
dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo inscrita (con
sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el elipsoide
2
9
+
2
16
+
2
4
= 1
20. Determinar los puntos de la curva 2
+ 12 + 62
= 130 más cercanos
al origen.
21. Determinar los puntos más alto y más bajo de la elipse dada por la
intersección del cilindro 2
+ 2
= 1 y el plano 2 + − = 4.
22. Un cable de 120 de largo se corta en tres o menos piezas y cada
pieza se dobla para formar un cuadrado ¿Cómo deben hacerse los cortes
para minimizar la suma de las áreas? ¿Y para maximizarla?
10. Capítulo 3
Cálculo de Primitivas
1. Las siguientes integrales indefinidas se obtienen usando la linealidad de
la integral y la tabla de integrales inmediatas.
a)
Z
¡ 1
2 − 2
+ 3
¢
,
Z µ
√
+
√
2
¶
,
Z
7 sen
3
b)
Z
(sen 2 − csc2
) ,
Z
(1 + tan2
)
Z
1 + cos 4
2
2. Si = () es una función derivable cuyo rango es un intervalo , y
es continua en , entonces
Z
(()) 0
() =
Z
() . Utilizando
este método de sustitución, calcular:
a)
Z
1
−
√
,
Z
√
− 1
,
Z
1 −
2
b)
Z
cos 2
,
Z
2
√
+ 2 ,
Z
√
sen2
(32
− 1)
c)
Z r
3
− 3
11
,
Z
( − 1)10
,
Z
2 cos
1 + sen2
3. Usar la integración por partes
Z
()0
() = ()()−
Z
0
()()
para calcular:
a)
Z
sen(2) ,
Z
arctan ,
Z
2
−2
b)
Z
ln2
,
Z
2
cos 3 ,
Z
ln
2
10
11. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 11
c)
Z
cos
√
,
Z
sen (ln ) ,
Z
arcsen
4. Utilizar la fórmula de integración por partes para obtener las siguientes
fórmulas de reducción:
a)
Z
cos =
sen −
Z
−1
sen .
b)
Z
sen = −
cos +
Z
−1
cos .
c)
Z
=
−
Z
−1
.
5. Con las fórmulas obtenidas en el ejercicio anterior, calcular:
a)
Z
4
cos .
b)
Z
4
2
.
6. Para calcular algunas de las siguientes integrales, hay que descomponer
la fracción en suma de fracciones simples.
a)
Z
1
+ 1
,
Z
1
( + 1)2
,
Z
+ 1
2 + 2 + 3
b)
Z
1
2 + 2 + 3
,
Z
+ 3
2 + 2 + 3
,
Z
+ 3
3 − 4
c)
Z
2
− + 2
3 − 1
,
Z
4
+ 2
− 1
3 +
,
Z
1
(2 − 1)2
7. Aplicando cos2
+ sen2
= 1 y cos2
− sen2
= cos 2, calcular:
a)
Z
cos2
,
Z
sen2
,
Z
cos2
sen2
.
b)
Z
cos5
sen ,
Z
cos5
,
Z
cos3
sen2
.
8. Las siguientes integrales pueden obtenerse mediante la fórmula de inte-
gración por partes, pero resultan más sencillas transformando los pro-
ductos de funciones en sumas con las fórmulas trigonométricas de la
página 539 de Larson. Calcular:
Z
cos 2 cos 6
Z
cos 4 sen 6
Z
sen 3 sen 6
12. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 12
9. Para calcular integrales con el factor
√
2 − 2 es conveniente usar el
cambio de variables = sen . Si el factor es
√
2 + 2, se aplica el
cambio = tan . Para el factor
√
2 − 2, usar = sec (Sección
8.4, página 543 de Larson). Calcular:
a)
Z
√
25 − 2 ,
Z
√
9 − 2
,
Z
3
√
2 + 4
.
b)
Z
8
2
√
4 − 2
,
Z
√
1 + 4
,
Z √
2 − 4
.
10. Calcular las siguientes integrales usando el método más adecuado en
cada caso:
a)
Z
1
√
( + 2)
,
Z
tan2
,
Z
5
√
2 − 3 ,
Z
2
√
25 + 2
.
b)
Z
1
2 − + 1
,
Z
5 + 31
32 − 4 + 11
,
Z
√
4 + 7 ,
Z
cos
√
4 − sen2
.
c)
Z
tan
ln(cos )
,
Z
ln(1 + ) ,
Z
√
2 + 9 ,
Z
4
2 − 2
.
d)
Z
(2 + 2 + 2)2
,
Z
1
1 + cos 2
,
Z
√
1 + 2 .
e)
Z
42
+ + 1
43 +
Z
43
− + 1
3 + 1
,
Z
82
− 4 + 7
(2 + 1)(4 + 1)
.
f )
Z
sen2
cos4
,
Z
2
1 + 22 .
13. Capítulo 4
Aplicaciones de la Integral
1. Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones:
a) = 2
, = −2
+ 4.
b) = 4
− 42
+ 4, = 2
.
c) =
p
||, 5 = + 6.
d) = 22
, = 0, = 3.
e) = 2 sen , = sen 2, 0 ≤ ≤ .
2. Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la
recta = , la recta = 2, la curva = 12
y el eje .
3. La región encerrada por la parábola = 2
y la recta = 4 se divide en
dos regiones de igual área mediante una recta horizontal = . Obtener
el valor de .
4. Determinar el área de la región acotada a la izquierda por + = 2, a
la derecha por = 2
y arriba por = 2.
5. Determinar el área de la región encerrada por la curva = 23
y por
las rectas = , = −1.
6. Calcular el volumen de un sólido que se encuentra entre los planos
= −1 y = 1. Las secciones transversales del sólido perpendicu-
lares al eje entre esos planos son cuadrados cuyas bases van desde la
semicircunferencia = −
√
1 − 2 a la semicircunferencia =
√
1 − 2.
7. Calcular el volumen del sólido cuya base es la región acotada por las
gráficas de = 3, = 6 y = 0 y las secciones perpendiculares al eje
son rectángulos de altura 10.
13
14. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 14
8. Calcular el volumen del sólido cuya base es el círculo 2
+ 2
≤ 1 y
cuyas secciones transversales son triángulos réctangulos isósceles deter-
minados por planos perpendiculares al eje , entre = −1 e = 1, con
uno de los catetos en el círculo.
9. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de = 3
, = 0 y = 2 al girar alrededor del eje y
alrededor de la recta = 2.
10. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de = 2
+ 1 y = + 3 al girar alrededor del eje y
alrededor de la recta = −1.
11. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de = 2
y = 4 al girar alrededor del eje , alrededor de
la recta = 2 y alrededor de la recta = 4.
12. El sólido que genera el círculo 2
+ 2
≤ cuando gira alrededor de la
recta = , con se denomina toro. Calcular el volumen del toro.
13. Se considera la región , acotada por la gráfica de una función positiva
= () y por las rectas = 0, = , = 0. Si el volumen
que se obtiene al hacer girar alrededor del eje es 4 y el que se
obtiene al girar la misma región alrededor de la recta = −1 es 8
¿Cuál es el área de la región ?
14. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las
gráficas de = 2 − 1, =
√
y = 0 al girar alrededor del eje .
15. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las
gráficas de =
sen
, = 0, =
2
y = al girar alrededor del eje
.
16. Una esfera de radio 5 se perfora diametralmente con un taladro de radio
3 ¿Cuál es el volumen de la parte taladrada? ¿Cuál es el volumen de
la parte que queda en la esfera? Si quisiéramos que el volumen de la
parte taladrada y la parte que permanece en la esfera fuese el mismo
¿cuál debería ser la longitud del radio del taladro?
17. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas:
a) = 13(2
+ 2)32
∈ [0 1].
b) = 32
∈ [0 4].
15. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 15
c) = (3
3) + (14) ∈ [0 3].
18. Determinar el área de la superficie del tronco de cono que se genera
al hacer girar el segmento de recta = (2) + (12) 1 ≤ ≤ 3,
alrededor del eje .
19. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva
= 3
9 0 ≤ ≤ 2 alrededor del eje y alrededor del eje .
20. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva
= 2
√
4 − 0 ≤ ≤ 154 alrededor del eje .
16. Capítulo 5
Integración Múltiple
1. Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)
Z 1
0
Z 2
0
( + ) .
b)
Z
0
Z sen
0
(1 + cos ) .
c)
Z 1
0
Z
0
(
√
1 − 2) .
d)
Z 1
0
Z √
1−2
0
( + ) .
2. Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada
por las gráficas:
a)
√
+
√
= 2, = 0 = 0.
b) 2 − 3 = 0, + = 5 = 0.
c)
2
2
+
2
2
= 1.
3. Calcular la siguientes integrales iteradas. Si fuese necesario, cambiar el
orden de integración
a)
Z 2
0
Z 2
p
1 + 3 .
b)
Z 1
0
Z 1
sen 2
.
16
17. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 17
4. Calcular la integral doble sobre la región que se indica
a)
ZZ
, donde es el rectángulo con vértices (0 0), (0 5), (3 5)
y (3 0).
b)
ZZ
2 + 2
, donde es el triángulo acotado por = , =
2, = 2.
c)
ZZ
−2 ln , donde es la región acotada por = 4 − 2
,
= 4 − .
d)
ZZ
, donde es la región del primer cuadrante acotada por
=
√
25 − 2, 3 − 4 = 0, = 0.
5. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes
funciones:
a) 2
+ 2
= 1, 2
+ 2
= 1, en el primer octante.
b) = , = 0, = , = 1, en el primer octante.
c) = + , 2
+ 2
= 4, en el primer octante.
6. Calcular las siguientes integrales iteradas, usando coordenadas polares:
a)
Z
0
Z √
2−2
0
.
b)
Z 2
0
Z √
2−2
0
.
c)
Z 2
0
Z
0
p
2 + 2 +
Z 2
√
2
0
Z √
8−2
0
p
2 + 2 .
7. Calcular la integral doble sobre la región que se indica:
a)
ZZ
( + ) , donde es la región acotada por 2
+ 2
≤ 4,
≥ 0, ≥ 0.
18. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 18
b)
ZZ
arctan
, donde es la región acotada por 2
+ 2
≥ 1,
2
+ 2
≤ 9, ≥ 0, ≥ 0.
8. Calcular el volumen del sólido acotado por las siguientes superficies:
a) =
p
2 + 2, = 0, 2
+ 2
= 25.
b) Interior al hemisferio =
p
16 − 2 − 2 e interior al cilindro
2
+ 2
− 4 = 0
9. Calcular el valor de tal que el volumen del sólido interior al hemisferio
=
p
16 − 2 − 2 y exterior al cilindro 2
+ 2
= 2
sea la mitad del
volumen del hemisferio.
10. Hallar el área de la superficie dada por = ( ) sobre la región
en los siguientes casos:
a) ( ) = 8 + 2 + 2 y = {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 4}.
b) ( ) = 2 + 32
y es el rectángulo de vértices (0 0), (0 4),
(3 4) y (3 0).
c) ( ) =
p
2 − 2 − 2 y = {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 2
0 }.
11. Hallar el área de la porción de esfera 2
+ 2
+ 2
= 25 que está en el
interior del cilindro 2
+ 2
= 9.
12. Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)
Z 1
0
Z
0
Z
0
.
b)
Z 4
0
Z 2
0
Z 1−
0
cos .
13. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por
= 9 − 2
, = 0, = 0, = 2.
14. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por
= 9 − 2
− 2
, = 0.
15. Obtener las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas,
evaluando la más sencilla:
19. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 19
a)
Z 2
−2
Z √
4−2
−
√
4−2
Z 4
2+2
.
b)
Z
−
Z √
2−2
−
√
2−2
Z
√
2−2−2
.
16. Calcular el volumen del sólido interior a 2
+ 2
+ 2
= 2
y al cilindro
( − 2)2
+ 2
= (2)2
.
17. Calcular el volumen del sólido interior a 2
+ 2
+ 2
= 4 y al cono
=
p
2 + 2.
18. Calcular el volumen del sólido comprendido entre 2
+ 2
+ 2
= 4 y
2
+ 2
+ 2
= 16 que es interior al cono =
p
2 + 2.
19. Calcular
ZZ
4(2
+ 2
) , donde es el paralelogramo con vértices
(1 0), (0 1), (−1 0) y (0 −1), realizando el cambio de variables =
( + )2, = ( − )2.
20. Calcular
ZZ
( − ) , donde es el paralelogramo con vértices
(0 0), (4 0), (7 3) y (3 3), realizando el cambio de variables = +,
= .
21. Calcular
ZZ
−2
, donde es la región del primer cuadrante com-
prendida entre las gráficas de = 4, = 2, = 1 y = 4,
realizando el cambio de variables =
p
, =
√
.
22. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie
=
√
+ e inferiormente por la región del plano = 0 que está
acotada por el triángulo de vértices (0 0 0), (2 0 0), (0 2 0).
20. Capítulo 6
Análisis Vectorial
1. Determinar si el campo dado es conservativo. Si lo es, encontrar una
función potencial.
a) F( ) = (22
2
2
).
b) F( ) =
µ
2 + 2
2 + 2
¶
.
c) F( ) = (
cos
sen ).
d) F( ) = (
).
e) F( ) =
µ
2 + 2
2 + 2
1
¶
.
2. Calcular la divergencia de los campos vectoriales:
a) F( ) = (62
−2
0).
b) F( ) = (sen cos 2
).
3. Calcular las siguientes integrales de línea sobre la curva indicada.
a)
Z
4 , donde es la curva r() = ( 2 − ) 0 ≤ ≤ 2.
b)
Z
8 , donde es la curva r() = (12 5 3) 0 ≤ ≤ 2.
c)
Z
(2
+2
) , donde es el segmento del eje que va desde = 0
hasta = 3.
20
21. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 21
d)
Z
(2
+ 2
) , donde es el trozo de circunferencia 2
+ 2
= 1,
recorrida en sentido antihorario de (1 0) a (0 1).
e)
Z
( + 4
√
) , donde es el cuadrado cuyos vértices son (0 0),
(2 0),(2 2) y (0 2), recorrido en sentido antihorario.
4. Calcular
Z
F·dr para el campo vectorial F y la curva parametrizada
por r(), en los siguientes casos:
a) F( ) = (3 4) y r() = (2 cos 2 sen ) 0 ≤ ≤ 2.
b) F( ) = (3 4) y r() = (
√
4 − 2) −2 ≤ ≤ 2.
c) F( ) = (2
− ) y r() = ( 2
2) 0 ≤ ≤ 1.
d) F( ) = (2
2
2
) y r() =
¡
2 sen 2 cos 1
2
2
¢
0 ≤ ≤ .
5. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) = (− −2)
sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva = 3
desde
el punto (0 0) al punto (2 8).
6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) =
( −5) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva
r() = (2 sen 2 cos 2
) 0 ≤ ≤ 2.
7. Calcular
Z
(2 − ) + ( + 3) sobre la trayectoria indicada:
a) es la unión del segmento de recta de (0 0) a (0 −3) y del seg-
mento de recta de (0 −3) a (2 −3).
b) es la porción de la curva = 1 − 2
que va desde (0 1) a (1 0).
8. Calcular
Z
F · dr, analizando previamente si el campo es conservativo:
a) F( ) = (2 2
+ 2
) y es la unión de la porción de la elipse
2
25
+
2
16
= 1 desde (5 0) hasta (0 4), con la porción de la parábola
= 4 − 2
desde (0 4) hasta (2 0).
22. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 22
b) F( ) = ( ) y es la unión de las curvas r1() =
( 2 ) 0 ≤ ≤ 4 y r2() = (2
2
) 0 ≤ ≤ 2.
9. Calcular
Z
cos sen +sen cos siendo una curva suave que
va desde (0 −) hasta (−32 2)
10. Verificar el teorema de Green para el campo F( ) = (2
2
) y la
curva que es la frontera de la región comprendida entre las gráficas
de = = 2
4.
11. Utilizar el teorema de Green para calcular
Z
( − ) + (2 − )
sobre la trayectoria dada:
a) es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de
= y de = 2
− .
b) es la frontera de la región interior a =
√
25 − 2 y exterior a
=
√
9 − 2.
12. Calcular
Z
(2) + ( + ) donde es la frontera de región
comprendida entre las gráficas de = 0 y de = 4 − 2
.
13. Calcular
Z
2 arctan() + ln(2
+ 2
) donde es la elipse
( − 4)2
4
+
( − 4)2
1
= 1
14. Calcular
Z
+ ( + ) donde es la frontera de región com-
prendida entre las gráficas de 2
+ 2
= 1 y de 2
+ 2
= 9.
15. Utilizar una integral de línea para calcular el área de la región acotada
por las gráficas de = 2 + 1 y de = 4 − 2
.
16. Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto
que se indica:
23. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 23
a) Superficie parametrizada por r( ) = (+ − ), en el punto
(1 −1 1).
b) Superficie parametrizada por r( ) = (2 cos 3 sen 2
), en el
punto (0 6 4).
17. Calcular el área de la superficie r( ) = ( cos sen ), 0 ≤ ≤
2, 0 ≤ ≤ .
18. Calcular la integral de superficie
ZZ
(−2+) , para las siguientes
superficies:
a) es la superficie = 4 − 0 ≤ ≤ 4 0 ≤ ≤ 4.
b) es la superficie = 10 2
+ 2
≤ 4.
19. Calcular las siguientes integrales de superficie:
a)
ZZ
( + 5) donde es la superficie r( ) = ( 2), 0 ≤
≤ 1, 0 ≤ ≤ 2.
b)
ZZ
() donde es la superficie r( ) = (2 cos 2 sen ),
0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 2.
c)
ZZ
(2
+2
+2
) donde es la superficie = +, 2
+2
≤ 1.
d)
ZZ
p
2 + 2 + 2 donde es la superficie =
p
2 + 2,
2
+ 2
≤ 4.
20. Hallar el flujo
ZZ
F · N , donde N el vector normal unitario dirigido
hacia arriba:
a) F( ) = (3 −4 ) a través de la superficie + + = 1 en
el primer octante.
b) F( ) = ( ) a través de la superficie = 9−2
−2
, ≥ 0.
c) F( ) = (4 −3 5) a través de la superficie = 2
+2
, 2
+2
≤
4.
24. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 24
21. Verificar el teorema de la divergencia para:
a) F( ) = (2 −2 2
) y la superficie es el cilindro 2
+2
= 4,
0 ≤ ≤ .
b) F( ) = (2 − −2 + ) y la superficie es el plano +
2 + = 6 y los planos coordenados.
22. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular
ZZ
F · N en los
siguientes casos:
a) F( ) = (2
2
2
) y es la superficie = 0, = , = 0,
= , = 0, = .
b) F( ) = (2
−2 2
) y es la superficie =
p
2 − 2 − 2,
= 0.
c) F( ) = ( 2
−) y es la superficie 2
+ 2
= 4, = 0,
= 4.
d) F( ) = ( 4 ) y es la superficie 2
+ 2
+ 2
= 9.
23. Verificar el teorema de Stokes para:
a) F( ) = (− + − −) y dada por =
p
1 − 2 − 2.
b) F( ) = ( ) y dada por 3+4+2 = 12 en el primer
octante.
24. Utilizar el teorema de Stokes para calcular
Z
F · dr donde está
orientada en sentido antihorario:
a) F( ) = (2
2
2
) y es la curva frontera de = 4−2
−2
,
≥ 0.
b) F( ) = (2
) y es la curva frontera de =
p
4 − 2 − 2.