CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.

CAPITULO VII
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

297


I. INTRODUCCIÓN

Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como:
resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la
carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados
previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de
carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada
carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales
pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores.

Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma
diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados
uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que
los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b

Figura 7.1. Elementos de un circuito conectados: (a) en paralelo y (b) en serie

Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos
de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2

Figura 7.2. Representación de elementos de un circuito

En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el
flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual
conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos
abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un
cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a
veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles,
dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico.

En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con
un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es
decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.

II. CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO

Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece en R una cantidad
de energía en forma de calor dada por

dWR =dq =
∆V . IRdq
= IR( Idt ) I 2 Rdt
dWR = (7.1)

298


Figura 7.3. Representación de un circuito simple para determinar la corriente que fluye a través de él

Durante este mismo tiempo la fuente hace un trabajo para mover una carga (dq = Idt) dado por

dWε ε= ε ( Idt ) ε Idt
= dq = (7.2)

Según la ley de conservación de la energía se tiene

dWε = dWR ⇒ ε Idt = I 2 Rdt

ε
I= (7.3)
R
La corriente también puede determinarse usando el criterio: “La suma algebraica de los cambios de potencial
alrededor del circuito completo debe ser nulo”

Va + ε − IR =a
V
ε
I=
R
Para determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la dirección
de la corriente son las mostradas, se usan las reglas mostradas en la figura 7.4,

Figura 7.4. Reglas para determinar la diferencia de potencial en elementos de un circuito

Por otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corriente
que fluye a través del circuito se determina en la forma

Va + ε − rI − RI =a
V
ε (r + R) I
=
ε
I=
r+R (7.4)

299


(a) (b)
Figura 7.5. Circuito eléctrico con una fem que pose una resistencia interna r y una resistencia de carga R, (b)
cambio en el potencial eléctrico alrededor de un circuito

III. RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO

Decimos que dos resistores R1 y R2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados
como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en
cualquiera de los elementos.

Figura 7.6. (a) Circuito con resistencias en serie, (b) circuito equivalente

En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la
misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir

I= I= I= I eq
1 2 3 (7.5)

La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial
a través de cada uno de los resistores, esto es,

∆V= I eq Req= I1 R1 + I 2 R2 + I 2 R3 (7.6)

Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente Req como se muestra en la
figura 7.3b

Req = R1 + R2 + R2 (7.7)

El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso
la resistencia equivalente se escribe.
N
Req = R1 + R2 + ... + Ri + ... + RN = ∑R i =1
i (7.8)

Debe observarse que si una resistencia R1 es mucho mayor que la otra resistencia Ri, entonces la resistencia
equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R1.

En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio.

300


(a) (b)

(c)

Figura 7.7. (a) Instalación de resistencias en serie utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias
utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en serie usando terminales metálicos

En seguida consideremos dos resistencias R1 y R2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje ∆V,
como se muestra en la figura 7.8a.

Figura 7.8. (a) Circuito con resistencias en paralelo, (b) circuito equivalente

Por conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I1,
la cual fluye a través de la resistencia R1 y una corriente I2 que fluye a través de la resistencia R2. Por otro lado,
cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, ∆V1= I1R1 y ∆V2 = I2R2. Sin embargo la
diferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia de potencial en
el resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que

∆V ∆V ∆V  1 1 1 
I = + I 2 + I3 = +
I1 + =V  +
∆ +  (7.9)
R1 R2 R3  R1 R2 R3 
Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con ∆V = IReq como se
muestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistencias
conectadas en paralelo está dada por la ecuación

1 1 1 1
= + + (7.10)
Req R1 R2 R3

Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose
301


N
1 1 1 1 1 1
= +
Req R1 R2
+ ..... + + ... +
Ri RN
= ∑R
i =1
(7.11)
i

Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia Ri, entonces, la resistencia equivalente es
aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R1. En el caso de dos resistencias se tiene.

R1 R2 RR
=Req = R1  1 2 (7.12)
R1 + R2 R2

Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor sea más pequeño y
por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción de corriente-

En la figura 7.9, se muestra la instalación de resistencia en el laboratorio

(a) (b)

(c)
Figura 7.9. (a) Instalación de resistencias en paralelo utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias en
paralelo utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en paralelo usando terminales

IV. TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA

A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución
del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en
triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10.

Figura 7.10. Circuito para transformar resistencias de estrella a triángulos

Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los
puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades:

302


Resistencia entre los nudos 1 y 2:

RC ( RA + RB )
R1 + R2 RC //( RA + =
= RB ) (7.13)
RA + RB + RC

RA ( RB + RC )
R2 + R3 RA //( RB + =
= RC ) (7.14)
RA + RB + RC


RB ( RA + RC )
R1 + R3 RB //( RA + =
= RC ) (7.15)
RA + RB + RC
Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de RA, RB y RC, y
deseamos calcular los valores de R1, R2 y R3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones anteriores
obtendremos:
RB RC RA RC RA RB
=R1 = = ; R2 ; R3 (7.16)
RA + RB + RC RA + RB + RC RA + RB + RC

Que responden a la forma genérica de

Producto de las resistencias conectadas al nudo i
Ri = (7.17)
Suma de las resistencias del triángulo
Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R1,R2 y R3, y
queremos calcular los valores de RA, RB y RC del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de
resistencias entre nudos tendremos:

R2 RA R3 RA R3 RB
= = = ; ; (7.18)
R1 RB R1 RC R2 RC

Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos:

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R R + R2 R3 + R3 R1
=RA = = 1 2 ; RB ; RC (7.19)
R1 R2 R3

Que responden a la forma genérica de

Suma de los productos de las resitencias de la estrella tomadas por parejas
Ri = (7.20)
Resistencia de la estrella conetada al nudo opuesto a R i

V. LEYES DE KIRCHHOFF

Con una o mas fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un
circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los
voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y
consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo
eléctrico y malla eléctrica.

303


Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que es
recorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos un nudo eléctrico).

Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrientes
eléctricas.

Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicas
para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff, las cuales a su vez, se
infieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen
como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.

5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos:

Establece que: “La suma algebraica de las corrientes en todo nudo eléctrico debe ser siempre igual a
cero”, es decir,

Figura 7.11. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff

Matemáticamente esta ley se expresa en la forma

∑ I ingreasan =
∑ I salen (7.21)

I I1 + I 2
= (7.22)

5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas.

Establece que: “La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los elementos
de un circuito que forman un circuito cerrado es nulo”. Esto es

∑
circuito
∆Vi =
0 (7.23)
cerrado
Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección
anterior, obteniéndose

− R1 I1 + E1 − R4 I 4 + E4 − E3 + R3 I 3 − E2 − R2 I 2 =
0 (7.24)

Figura 7.12. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff

304


VI. CIRCUITOS RC.

6.1 Proceso de carga de un capacitor

Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de fem ε, una resistencia R, un condensador C y un
interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a.

(a) (b)

Figura 7.13. (a) diagrama del circuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circuito RC para t > 0

Cuando el interruptor S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra
completamente descargado, es decir [q(t = 0) =0]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S, comenzará a
fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que
depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el
circuito es

ε
I0 = (7.25)
R
En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del
resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus
bornes comienza a aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo

q (t )
VC (t ) = (7.26)
C
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

q (t )
ε − I (t ) R −
=
0
C
dq q
ε
= R + (7.27)
dt C
Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt. Debido a que la corriente I debe ser la misma en
todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en
las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el
capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado
completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la
forma.

dq q
R = ε− (7.28)
dt C
Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma

dq 1 q
= (ε − ) (7.29)
dt R C
Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los
términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir

305


dq dt dq 1
= ⇒ =
− dt (7.30)
q
(ε − ) R q − Cε RC
C
Ahora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites correspondientes.

q dq 1 t
∫0 q − Cε
=−
RC ∫0
dt (7.31)

De donde se obtiene
 q − Cε  t
ln  = − (7.32)
 −Cε  RC

Despejando la carga se tiene

q (t ) =ε (1 − e − t / RC ) =(1 − e − t / RC )
C Q (7.33)

Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas del capacitor. La carga en función del tiempo puede
graficarse como se muestra en la figura 7.14

Figura 7.14. Carga en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor

Una vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre sus
placas en cualquier instante esto es

q (t ) Cε (1 − e )
− t / RC

=
VC (t ) = = ε (1 − e − t / RC ) (7.34)
C C
La grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función del
tiempo. De la figura se observa que después de un tiempo suficientemente largo, la carga sobre el capacitor será

q (t =∞) =Q (1 − e −∞ / RC ) =Q (7.35)

En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a través
del circuito será nula

q (t = ∞) Cε
=
VC = = ε (7.36)
C C
La corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la carga
obteniéndose

ε
= Cε (1 − e − t / RC )  = e − t / RC
dq (t ) d
I (t ) = (7.37)
dt dt   R

306


I (t ) = I 0 e − t / RC (7.38)

El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I0. La gráfica corriente en función del
tiempo se observa en la figura

Figura 7.15. Intensidad de corriente en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor

De la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC, se
denomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcance
aproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en las
placas del capacitor (figura 7.16), esto es
VC (t ) ε (1 − e − t /τ )
= (7.39)

Figura 7.16. Voltaje en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor

6.2. Proceso de descarga de un capacitor.

Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, es
decir t >>> RC. Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzando
una carga Q, siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C. Por otro lado, la diferencia de potencial
en el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0. Ahora supongamos que el
interruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.

Figura 7.17. Circuito utilizado durante el proceso de descarga de un capacitor

En estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente a
través del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo de
corriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular la
dependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando la
segunda ley de Kirchhoff, como se muestra
q (t )
∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0 (7.40)
C

307


La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto

dq
I= − (7.41)
dt
El signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional al
negativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentra
disminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuación
diferencial de primer orden

q dq
+R =
0 (7.42)
C dt
Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir,
dq 1
= − dt (7.43)
q RC

La misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose

q dq 1 t q t
∫Q q RC ∫0
= dt ⇒ ln   =
−
Q
−
RC
(7.44)

O también

q (t ) = Qe − t / RC (7.45)

El voltaje a través del capacitor será
q (t ) Q − t / RC
=
VC (t ) = e (7.46)
C C
Una grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18

Figura 7.18. Diferencia de potencial en las placas de un capacitor en función del tiempo para el proceso
de descarga del capacitor

La intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decae
exponencialmente y se encuentra que

I (t ) = = ( Qe − t / RC ) = )e − t / RC
dq d Q
− − ( (7.47)
dt dt RC
La gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en la
figura 7.19 se muestra esta situación.

308


Figura 7.19. Intensidad de corriente en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitor

VII. MEDICIONES ELECTRICAS

7.1. Medición de corrientes.

Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia
instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el
circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos
un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c.

Figura 7.20. Instalación de un amperímetro para medir la intensidad de corriente que fluye en un circuito
7.2. Medición de diferencias de potencial

Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito
eléctrico mostrado en la figura 7.21a. Para ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho elemento como
se muestra en la figura 7.21b.

Figura 7.21. Instalación de un voltímetro para medir la diferencia de potencial en un elemento de un
circuito

7.3. Medición de resistencias

309


En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello
se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura

Figura 7.22. Instalación de un multímetro para medir la resistencia de elemento.
Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de
elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura

Figura 7.23. (a)Circuito para medir la resistencia de una bombilla, (b) diagrama del circuito y (c) circuito utilizado
para medir la resistencia de un elemento de cerámica.

VIII. MEDIDORES ELÉCTRICOS.

8.1. El galvanómetro.

Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el
funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada
en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a
través de la bobina pasa una intensidad de corriente Ig, la bobina sufre una desviación angular que es
proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está
provista de una escala calibrada especialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente
de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el
diseño básico de un galvanómetro.

310


Figura 7.24. Galvanómetro de bobina móvil utilizado como base en el diseño de medidores eléctricos.

8.2. El amperímetro

El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe
ser conectado en serie al elemento cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe
instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa.
Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere.

Figura 7.25. (a) Instalación de un amperímetro en un circuito y (b) instalación de un
galvanómetro para medir corrientes.

El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia
pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña RP llamada SHUNT como se muestra en la
figura 7.25b.

Si la resistencia del galvanómetro es Rg y la intensidad de corriente que pasa por el es Ig, la corriente en la
resistencia en derivación será Ish. Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da

= I g + I sh
I (7.48)
Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de
potenciales en estos elementos serás
∆Vg =Rg Ig (7.49)
∆Vsh =Rsh
I sh (7.50)

311


Figura 7.26. Intensidades de corriente en los elementos del amperímetro construido.

Igualando estas diferencias de potencial se obtiene
Rg
I sh = Ig (7.51)
Rsh
Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene

Rg  Rsh 
I = Ig + Ig ⇒ Ig = I   (7.52)
Rsh R +R 
 sh g 
De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de
intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del
instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene

I  Rsh 
I g= I / n ⇒ = I  
n  Rsh + R6 
Rg
Rsh = (7.53)
n −1

8.3. El voltímetro

Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya
diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en
cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre
el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un
galvanómetro como voltímetro es necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el
paso de la corriente (véase la figura 7.27b).

Figura 7.27. (a) Instalación de un voltímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para
medir voltajes en un circuito.

Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia
mostrada en la figura 7.28, tenemos

312


∆V = V2 − V1 (7.54)

Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala

∆VR = ( Rs + Rg ) I g (7.54)

Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg), se tiene

∆VR ∆VR
Rs = − Rg ≅ (7.55)
I mas I mas

La resistencia equivalente del voltímetro será

R( Rs + Rg ) RRs
=Re ≅ (7.56)
R + Rs + Rg R + Rs

Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la
resistencia del voltímetro construido, se tiene

Req ≅ R (7.57)

8.4. El puente de Wheatstone.

Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando
resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas
circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el
galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx

Figura 7.28. (a) instalación de un voltímetro construido usando un galvanómetro para medir la
diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia.

Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene

ε − R2 ( I a − I b ) − Rx ( I a − I c ) − rI a =
0
− R1 I b − Rg ( I b − I c ) − R2 ( I b − I a ) =
0 (7.58)
− R3 I c − Rx ( I c − I a ) − Rg ( I c − I b ) =
0

313


Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene

( r + R2 + Rx ) I a − R2 I b − Rg I c =
ε
R2 I a − ( R1 + R2 + Rg ) I b + Rx I c =
0 (7.59)
Rx I a + Rg I b − ( R3 + Rx + Rg ) I c =
0

Resolviendo dichas ecuaciones se tiene

ε R2 R3 + ε R2 Rx + ε R2 Rg + ε Rx Rg
Ib =
∆ (7.60)
ε R2 Rg + ε R1 Rx + ε Rx R2 + ε Rx Rg
Ic =
∆
La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será

ε
I g = Ib − Ic = [ R2 R3 − R1Rx ] (7.61)
∆
Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula.
Por lo tanto

R2 R3 − R1 Rx =
0 (7.62)

R2
Rx = R3 (7.63)
R1

8.5. El potenciómetro

El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc,
comparándolas con fems patrones. La batería E1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx .

Figura 7.29. Circuito denominado potenciómetro utilizado para determinar fems desconocidas.

Para determinar la fem desconocida εx se procede de la siguiente manera:
Se conecta el conmutador S a la fem ε0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no fluya
corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R1, entonces la
diferencia de potencial entre T y T’ será

∆VTT ' =
R1 I1

314


 Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene

− I1 R '+ ε1 − I1 R '' =0 ⇒ ( R '+ R '') I1 =ε1 (a)

 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener

− R2 I 2 − R1 ( I 2 − I1 ) − ε 0 =
0

 Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a

R1 I1 = ε 0 (b)

 Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene

 ε 
R1  1  = ε 0 (c)
 R´+ R '' 
 A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se
ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la
resistencia la resistencia entre T y T’ es R2, la diferencia de potencial es

∆VTT ' =1
R2 I
 La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da

− I1 R '+ ε1 − I1 R '' =0 ⇒ ( R '+ R '') I1 =ε1 (d)
− Rg I 2 − R2 ( I 2 − I1 ) − ε x =
0

 Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a

R2 I1 = ε x (e)

 Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta

 ε1 
R2   = εx
 R´+ R '' 
 De las ecuaciones (c) y (f) se tiene

ε x R2
= (7.64)
ε 0 R1

315


R1 = 1 Ω y R2 = 2 Ω entre los terminales de la pila
circula una corriente de 2 A. Cuando entre los
IX. PROBLEMAS RESUELTOS terminales se conectan las dos resistencias en
paralelo circula a través de la pila una corriente de
Problema 01 6 A. Determine la fem ε de la pila y su
correspondiente resistencia interna r.
Una pila de fem ε = 1,06 V y resistencia interna
r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 6 Ω conectada Solución
entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia
de potencial existente entre los terminales de la En la figura se muestra el circuito cuando se
pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia instalan las dos resistencias en serie con la pila.
disipada en la pila.

Solución

En la figura se muestra el diagrama del circuito.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito
se tiene

∆Vε + ∆Vr + ∆VR1 + ∆VR2 = 0
Parte (b) Primero se determina la intensidad de +ε − rI1 − R1 I1 + R2 I1 =0
corriente en el circuito, para esto se aplica la
segunda ley de Kirchhoff. Es decir,
ε − r (2 A) =1Ω(2 A) + 2Ω(2 A)

∆Vε + ∆VR + ∆Vr = 0 ε −2 r =
6 (1)
+ε − RI − rI = 0 En la figura se muestra el circuito cuando las dos
ε 1, 06 V resistencias son conectadas a los extremos de la
= =
I pila pero ahora la conexión es en paralelo.
R + r 6 Ω + 1,8 Ω
I = 0,136 A

Parte (a) Diferencia de potencial en los extremos
de la pila

Va − rI + ε =
Vb
Vb − Va =ε − rI =1, 06 V − 1,8 Ω(0,136 A)
Vb − Va =
0,815 V
Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo
por tanto su resistencia equivalente será
Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta
R1 R2 1Ω(2Ω) 2
potencia se disipa en la resistencia interna Re= = = Ω (2)
(calentamiento de la pila). R1 + R2 1Ω + 2Ω 3

= rI 2 1,8 Ω(0,136 A) 2
P = En la figura se muestra el circuito equivalente en
donde se indica las polaridades en cada uno de los
P = 33, 29 W elementos.

Problema 02

Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r.
Cuando se conectan en serie dos resistencias de

316


En el nudo b, la corriente se divide en Ibe e Ibd.
Esto es

I ab I be + I bd
=

I
= I be + I bd (2)
2
En forma análoga la corriente Iac en el nudo c se
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito divide en dos corrientes
se tiene
I= I cd + I ce
ac
∆Vε + ∆VRe + ∆Vr = 0
I
+ε − Re I 2 − rI 2 =0 = I cd + I ce (3)
2
2
ε − Ω(6 A) − r (6 A) =0
3 Por razones de simetría se tiene

ε −6 r =
4 (3) I bd = I cd (4)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y I be = I ce (5)
(3) resulta
Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d,
= 0,5 Ω
r se tiene.
ε =7 V
I= I bd + I cd
de (6)
Problema 02
Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta
En la red indicada todas las resistencias tienen el
mismo valor R. La corriente I entra en el nudo a y I de = I bd + I bd = 2 I bd (7)
sale por el nudo e. Halle las corrientes en las ramas
ab, bd y be. La diferencia de potencial entre los punto be se
puede calcular por la rama be o por la rama bde, es
decir.

∆Vbe =be
RI (8)

∆Vbe = ∆Vbd + ∆Vde
∆Vbe = RI bd + RI de
∆Vbe = RI bd + 2 I bd

∆Vbe =
3I bd (9)
Solución

El circuito presenta una simetría respecto a la línea Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta
ade.
I be = 3I bd (10)
La corriente que entra en el nudo a se reparte por
igual por las ramas ab y ac. Es decir por cada una Remplazando la ecuación (10) en (2)
de estas ramas pasa una corriente
I I
I = I bd + 3I bd ⇒ I bd = (11)
I= I=
ab ac (1) 2 8
2
La sustitución de la ecuación (11) en la ecuación
(10) nos da

317


I 3 I ∆V6V + ∆V3Ω + ∆VR = 0
I be= 3   ⇒ I be=
8 8 6V − 3 Ω( I1 ) − Lecturavoltimetro =
0
Problema 03 6 V − 3 Ω( I1 ) − 5 V =
0
1
Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas I1 = A (3)
del voltímetro indica 5,00 V mientras que el 3
amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta
dirección indicada. Determine: (a) El valor de la
resistencia R y (b) el valor de la fem ε. 1 7
2 A + A = I2 ⇒ I2 = A (4)
3 3
Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene

∆VR =
I2 R
7
5 V [ A]( R) ⇒ R 2,14 Ω
= =
3
Problema 04

Solución Para el circuito mostrado en la figura. (a) Encuentre
la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b)
En la figura se muestra el sentido de las corrientes si laos puntos a y b están conectados por un cable
escogidas y las polaridades en las resistencias. con resistencia despreciable, encuentre la corriente
en la batería de 12 V

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se
tiene Solución

I A + I1 =
I2 Parte a. En la figura se muestra el sentido de la
corriente y las polaridades en las resistencias.
2A + I1 = I2 (1) Observe que como los puntos a y b no se
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo
abcefga se tiene de corriente

∆Vε + ∆V10 Ω + ∆V2 Ω + ∆VR = 0
ε − 10Ω( I A ) − 2 I A − LecV =
0
ε − 10 Ω(2 A) − 2(2 A) − 5 V =
0
ε = 29 V (2)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla
defgh se tiene

cdefc se tiene

318


∆V1 V + ∆V Ω + ∆V2Ω + ∆V2Ω + ∆V1Ω + ∆V8V + ∆V2Ω + ∆V1Ω =0
21
I1 = 0, 465 A
I 2 = 0, 430 A
1 V − 12 I − 2Ω I − 2Ω I − 1Ω I − 8V − 2Ω I − 1Ω I =
Ω 0
I 3 = 0, 020 A
4 V = 9Ω( I )
Es decir la corriente que pasa a través de la batería
I = 0, 44 A (1) de 12 V es I1 = 465 mA.

Aplicando el Teorema de la trayectoria se tiene
Problema 05

Va − 2 I − 1I − 8V − 2 I − 3(0) + 10V − 1(0) =
Vb En el circuito eléctrico mostrado en la figura.
Determine: (a) las corrientes I1, I2 e I3; (b) la
Va − Vb = 5 I − 2V = 5(0, 44) − 2V diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c)
Va − Vb =22 V
0, la potencia disipada en la resistencia de 5 Ω.
Desprecie las resistencias internas de las baterías.
Parte B. Cuando los puntos a y b se encuentran
conectados por un alambre se tiene el circuito
siguiente.

Solución

Parte (a). Para resolver el problema se usa las
ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a se
tiene Malla I.

I= I 2 + I 3
1
24V − 6 I1 − 5( I1 + I 2 ) − 13( I1 + I 3 ) =
0
24 − 24 I1 − 5 I 2 − 13I 3 =
0
abcda se tiene 24 I1 + 5 I 2 + 13I 3 =
24

12V − 1I1 − 2 I1 − 1I 3 − 10V − 3I 3 − 1I1 =
0 Malla II.

2= 4 I1 + 4 I 3
V 10V − 3I 2 − 5( I 2 + I1 ) − 2( I 2 − I 3 ) =
0
2 I1 + 2 I 3 =
1 10 − 5 I1 − 10 I 2 + 2 I 3 =
0
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 5 I1 + 10 I 2 − 2 I 3 =
10
abcda se tiene
Malla III.
10V + 1I 3 − 2 I 2 − 1I 2 − 8V − 2 I 2 + 3I 3 =
0
30V − 2( I 3 − I 2 ) − 13( I 3 + I1 ) − 20 I 3 =
0
5I 2 − 4 I3 =
2
30 − 13I1 + 2 I 2 − 35 I 3 =
0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene 13I1 − 2 I 2 + 35 I 3 =
30

Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta

319


24 5 13 cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de
corriente después de un largo tiempo del cierre del
10 10 −2 interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado
durante un tiempo largo y luego se abre, determine
30 − 2 35
=I1 = 0,382 A la corriente en función del tiempo que pasa a través
24 5 13 del resistor de 600 kΩ
5 10 −2
13 − 2 35

24 24 13
5 10 −2
13 30 25
=I2 = 0,963 A
24 5 13 Solución
5 10 −2
Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor
13 − 2 35 se comporta como un conductor pues no tiene
resistencia. El circuito entonces queda en la forma
24 5 13
5 10 10
13 − 2 30
=I3 = 0, 770 A
24 5 13
5 10 −2
13 − 2 35

Parte (b). Determinación de la diferencia de Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene
potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de
la trayectoria. Esto es 50V − 1, 2.106 I 0 =
0

VA − 20 I 3 + 30V =
VB I 0 = 4,17.10−5 A
Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen
VB − VA= 30V − 20Ω(0, 77 A) estacionario. El capacitor después de un tiempo
VB − VA = 4 V
15, largo se carga completamente y por la rama donde
se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se
dibuja en la forma
Parte (c). Para determinar la potencia disipada en
R = 5Ω, se determina primero la intensidad de
corriente en dicho resistor.

I 5Ω = I1 + I 2 = 0,382 A + 0,963 A
I 5Ω = 1.345 A

= I= (1.345 A) 2 (5Ω)
P5Ω 2
5 Ω R5 Ω

P5Ω = 9, 05 W
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene

Problema 06 50V − 1, 2.106 Ω( I ∞ ) − 0, 6.106 Ω( I ∞ ) =
0
En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál = 1,8.106 Ω( I ∞ )
50V
es la corriente eléctrica inicial suministrada por la
fuente inmediatamente inmediatamente después de I ∞ = 2, 78.10−5 A
320


Se procede a determinar el voltaje y la carga en el si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la
capacitor resistencia del generador y del amperímetro y
considere que R2 = 30 Ω.
∆VC ==
∆VR 600 k Ω

∆VC I ∞ ( R) 2, 78.10−5 A(600.103 Ω)
= =
∆VC = 68 V
16,

Qmax = c ) = (2,5.10−6 F )
∆VC (C 16, 68V
Qmax = 41, 70 µ F

Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador
cargado completamente se descarga a través del
resistor R = 600 kΩ. Por tanto se tiene
Solución

En la figura se muestran las corrientes y las
polaridades en las resistencias.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene

q
∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0
C
q dq dq dt
− R(− ) =⇒ 0 =−
C dt q RC Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se
q dq 1 t tiene
∫Qmax q RC ∫0 dt
= −
I A I1 + I 2
=
 q  t 6 A I1 + I 2
=
ln  = −
 Qmax  RC
Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo
q = Qmax e − t / RC por lo que sus diferencias de potenciales entre sus
extremos serán iguales. Es decir
q = [41, 70e − t /1,5 ]µ F
∆VR2 = R1 ⇒ R2 I 2 =I1
∆V R1
La intensidad de corriente será 30 I 2 = 60 I1
dq d I 2 = 2 I1
I = = [41, 70e − t /1,5 ]µ F 
− −   Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se
dt dt tiene
I = 2, 78.10−5 e − t /1,5 A 6 A I1 + 2 I1
=
I1 = 2 A
Problema 07
La potencia eléctrica disipada en la espiral R1 es
El calorímetro K tiene una espiral de resistencia
R1 = 60 Ω. La espiral R1 se conecta a la red como
se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se
= I= (2 A) 2 (60Ω)
P1
2
1 R1

calentarán 480 g de agua con que se llena el P = 240 W
1
calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente,

321


La energía disipada en la espiral será 200V − R1 ( I a − I b ) − R2 ( I a − I b ) − rI a =
0
= 240 t (240 J / s )(300 s )
Ep = 200 − ( R1 + R2 + r ) I a + ( R1 + R2 ) =
0
= 7200 J 0, 24(7200)cal
EP = 5015 I a − 5000 I b =
200
EP = 17280 J Malla b.

En el caso de que se deprecien las pérdidas de − R3 I b − R2 ( I b − I a ) − R1 ( I b − I a ) − R4 I b =
0
energía, esta energía es utilizada en el
calentamiento del agua. Es decir, ( R1 + R2 ) I a − ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I b =
0
5000 I a = 10000 I b
Q = EP
I a = 2Ib
mwce, w ∆T =
17280 J
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones
480 g (1cal / g .°C )∆T =
17280 J
anteriores resulta
∆T = 36°C
5015(2 I b ) − 5000 I b =
200
Problema 08 I b = 0, 039 A
En la figura se muestran dos voltímetros V1 y V2
cuyas resistencias son R1 = 3 kΩ y R2 = 2 kΩ, I a = 0, 079 A
respectivamente, Sabiendo que R3 = 3 kΩ; R4 = 2
kΩ; ε = 200 V y r = 15 Ω. Determine las lecturas La lectura del voltímetro V1 será
las lecturas de los voltímetros así como del
amperímetro de resistencia despreciable cuando: V1 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](3000Ω)
(I [0,
(a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el
interruptor S se encuentra cerrado. V1 = 120 V

La lectura del voltímetro V2 será

V2 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](2000Ω)
(I [0,
V1 = 80 V

Parte (b) Determinación de las lecturas de los
medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir,
el circuito se grafica en la forma mostrada en la
figura
Solución

Parte (a) Determinación de las lecturas de los
medidores cuando S se encuentra abierto. Note que
los voltímetros tienen resistencias considerables
comparadas con las dos resistencias R3 y R4.

Uniendo los puntos de igual potencial se observa
que R1 se encuentra en paralelo con R4 de igual
forma los resistores R2 y R3 están en paralelo.
Entonces sus resistencias equivalentes serán

Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de
Maxwell, se tiene

322


R1 R4 3000(2000)
=
Re ,1 = = 1200 Ω
R1 + R4 3000 + 2000
R2 R3 2000(3000)
=
Re ,2 = = 1200 Ω
R2 + R3 2000 + 3000

Aplicando las leyes de Kirchhoff

200V = (1200 + 1200 + 15) I A
I A = 0, 083 A

Las lecturas de los voltímetros serán

V1 = A = Ω(0, 083 A) = V
Re.1 I 1200 99, 6

V2 =I A = Ω(0, 083 A) = V
Re.2 1200 99, 6

323


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna
r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 60 Ω conectada
entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de
potencial existente entre las terminales de la
batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c)
la potencia disipada e la batería. 6. El amperímetro que se muestra en la figura da una
lectura de 2 A. Determine I1, I2 y ε.
2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r.
Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω
y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una
corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se
conecta las dos resistencias en paralelo circula a
través de la pila una corriente de 6 A. Halle la
fuerza electromotriz ε y la resistencia interna de la
pila.

3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V y una
resistencia interna r = 1 ,4 Ω se conectan en serie
entre los terminales de una batería desconocida de
fem ε2 y resistencia interna r2. Sabiendo que la 7. Una batería de 6 V suministra corriente al circuito
resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La que se muestra en la figura. Cuando el interruptor
corriente observada en el circuito es 1,17A. Cuando de doble posición S está abierto como se muestra,
se invierten las conexiones a los terminales de la la corriente en la batería es de 1 mA. Cuando el
batería, se observa que la corriente es 0,26 A en interruptor S se cierra a la posición 1, la corriente
sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, en la batería es 1,2 mA. Cuando el interruptor se
(b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2
terminales de la batería con las conexiones mA. Determine las resistencias R1, R2 y R3
originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial
entre los terminales de la batería después de invertir
las conexiones?.

4. Considere el circuito que se muestra en la figura.
Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω y
(b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

8. Una tetera eléctrica tiene un interruptor
multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando
sólo una de las bobinas está conectada, la tetera,
bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en
un intervalo de tiempo Δt. Cuando sólo se
encuentra conectada la segunda bobina, es
necesario un intervalo de tiempo 2Δt, para hervir la
misma cantidad de agua. Determine el tiempo que
se requiere para hervir el líquido cuando ambas
5. Tres resistores de 100 Ω están conectados como se bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en
muestra en la figura. La potencia máxima que paralelo.
puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los
resistores es de 25 W. (a) ¿Cuál es el voltaje 9. En la figura se muestra una red infinita de
máximo que se puede aplicar a los terminales a y
resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre
b?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a),
¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, los bornes a y b.
¿Cuál es la potencia total entregada?.

324


400Ω 300Ω
3 5
R3 150Ω
1
V2 17 V
V1 115 V V3 95 V
6

R4 600Ω R6 800Ω
10. Sabiendo que la intensidad de corriente en la 0
resistencia de 13,8 Ω. Determine las intensidades
de corriente en las demás resistencias
14. En el circuito mostrado determine la corriente I1, I2
e I3

11. En el circuito indicado en la figura la lectura del 15. En cada una de las disposiciones mostradas en la
amperímetro es la misma cuando ambos figura, encuentre la resistencia equivalente.
interruptores están abiertos o ambos están cerrados.
Determine el valor de la resistencia R.

16. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.
12. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye
Determine: (a) las intensidades de corriente en R1, a través de cada una de las fuentes, (b) la diferencia
R2, R3; (b) la potencia liberada en la resistencia R6. de potencial entre los puntos a y b.

700Ω 900Ω
3
1

V1 R3 R4 V2
125 V 1.1kΩ 1.4kΩ 150 V

6 4
R5 5 R6

400Ω 200Ω

Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye
Determine: (a) las intensidades de corriente en cada
a través de las resistencias de 4 y 6Ω, (b) la
Ω
una de las resistencias, (b) la potencia liberada en la
diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c)
resistencias R4 y R2 y (c) el potencial eléctrico del
la potencia disipada en cada resistor.
nodo 4

325


22. Determine la intensidad de corriente en cada una de
las ramas del circuito mostrado en la figura.

Determine la resistencia equivalente. 23. En el circuito mostrado en la figura, determine el
valor de R para que por ella pase una corriente de 2
A.

24. Determine la potencia disipada en la resistencia R
19. Determine la caída de tensión y la potencia de la figura si ésta toma los valores de: 3, 5, 7, 15 y
disip da en el resistor d e 2 0 Ω le circuito
a d 20 Ω.
mostrado.

25. En el circuito mostrado determine: (a) La potencia
entregada por la fuente, (b) la resistencia
20. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) equivalente del circuito.
La caída de tensión y la potencia disipada en el
resistor de 5 Ω y (b) la potencia entregada por la
fuente de tensión.

26. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a)
la corriente en cada una de las resistencias, (b) la
potencia suministrada por la cada fem y (c) la
potencia disipada en cada uno de los elementos
resistivos.
21. Determine el valor de R para que la batería
entregue una potencia de 50W.

potencia suministrada por la cada fem y (c) la

326


resistivos y (d) la diferencia de potencial entre los
puntos a y b

28. El amperímetro instalado en el circuito indica
300 mA. Determine: (a) la resistencia interna r de la
fuente, (b) la lectura del voltímetro y (c) la
intensidad de corriente en la resistencia de 4 Ω. 31. (a) Utilizar los argumentos de simetría para
determinar la resistencia equivalente de la red
mostrada en la figura. (b) ¿Cuál es la intensidad de
corriente en cada resistencia si R es 10 Ω y un a
diferencia de potencial se aplica entre los bornes a
y b?.

29. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) 32. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)
la corriente en cada una de las resistencias, (b) la la intensidad de corriente en cada una de las
potencia suministrada por la cada fem, (c) la resistencias, (b) la diferencia de potencial entre los
potencia disipada en cada uno de los elementos puntos A y B y (c) ¿Cuál de los puntos se
resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los encuentra a mayor potencial A o B?.
puntos indicados si el punto a está conectado a
tierra.

33. En el circuito eléctrico determine las intensidades
de corriente I1, I2 e I3.

potencia suministrada por la cada fem, (c) la
resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los
puntos indicados si el punto a está conectado a
tierra.
Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye
a través de las batería, (b) la diferencia de potencial
entre las terminales de las baterías de 1,5 y 2Ω,
Ω

327


respectivamente y (b) las intensidades de corriente 38. En el circuito mostrado la resistencia interna de la
que fluyen en las resistencias R3, R4 y R6. fuente de tensión es 1Ω. Determine las indicaciones
del amperímetro y el voltímetro ideales.
150Ω

R4

100Ω
6
5
R3

50Ω

R7 80Ω
V1 V2
1 r1 3 2 r2 4 39. En un hornillo eléctrico las resistencias están
1.5Ω 2Ω conectadas según el circuito mostrado. Cuando se
25 V 50 V
conectan los bornes A y B a una red, hierven 500 g
de agua luego de cierto tiempo. ¿Qué cantidad de
agua se puede hervir durante el mismo tiempo si se
35. Nueve resistencias de 10 Ω cada una se conectan conectaran los bornes A y C?. La temperatura
como se muestra en la figura y se aplica una inicial del agua es la misma en ambos casos.
diferencia de potencial de 50 V entre los puntos a y Desprecie las pérdidas térmicas.
b. Determine: (a) la resistencia equivalente de esta
red, (b) la intensidad de corriente en cada una de
las nueve resistencias.

40. El calorímetro K tiene una espiral de resistencia
R1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se
36. En el circuito determine la resistencia equivalente muestra en la figura. ¿A cuántos grados se
entre los puntos A y B calentarán 480 g de agua con que se llena el
calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente,
si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la
resistencia del generador y del amperímetro y
considere que R2 = 30 Ω.

37. En el circuito mostrado determine la lectura de los
amperímetros ideales.

41. En la figura ε es una batera de 120 V de fem, R2 =
í
10 Ω, B es una teteraéctrica. El amperímetro
el
marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir 0,5
litros de agua en la tetera, hallándose a la
temperatura inicial de 4°C?. Se desprecian las
resistencias de la batería y del amperímetro. El
rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%.

328


45. El interruptor S del circuito RC mostrado en la
Determine: (a) el valor de la resistencia R, (b) la
figura se cierra en el instante t = 0 s. Encuentre la
diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c)
carga sobre el capacitor en el tiempo t = 4,2 ms.
la potencia liberada en el resistor R. 2 R1

1 1.5kΩ 3
Key = A

12 V C1 25uF
V

4

46. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)
La intensidad de corriente en cada una de las ramas
del circuito y (b) los potenciales de cada uno de los
puntos indicados
43. En la figura ε es una batera con una fem de 110 V,
í
K es un calorímetro con 500 g de kerosene. El
amperímetro marca 2 A y el voltímetro 10,8 V. (a)
¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b)
¿Cuál es el calor especifico del kerosene, si a los 5
min de fluir la corriente por la espiral R1 el
kerosene a calentado 5°C?. Considere que en el
calentamiento del kerosene se invierte el 80% del
calor emitido por la espiral. (c) ¿Cuál es el valor de
la resistencia en el reóstato R?. Desprecie la
resistencia del la fuente y del amperímetro y el
voltímetro tiene una resistencia infinita. 47. El amperímetro instalado en el circuito indica una
intensidad de corriente de 1 A. determine el valor
de la fem ε y la intensidad de corriente que fluye en
los demás resistores.

44. En el circuito ele´ctrico mostrado en la figura.
Determine las lecturas del amperímetro y del
voltímetro. Cada una de las resistencias son de 2 Ω
48. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, se
desprecian las resistencias internas de las baterías.
Determine: (a) las intensidades de corriente en cada
una de las resistencias y (b) la potencia disipada e
la resistencia de 4 Ω.

329


circuito, (b) la máxima carga sobre el capacitor y
(c) la corriente inicial en el circuito.

49. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura
está inicialmente descargado. Si en el instante t = 0
el interruptor S es cerrado, encuentre: (a) la carga 53. En el circuito mostrado en la figura. Determine la
sobre el capacitor y (b) la corriente en el circuito intensidad de corriente en cada resistor y la carga
un tiempo (τ = RC) después de ser conectada la en cada uno de los capacitores después de un
batería. tiempo largo de que el interruptor S ha sido: (a)
abierto y (b) cerrado.
1 2 R

120Ω
Key = A 3

9V C 45uF
E

4

50. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)
la intensidad de corriente proporcionada por la 54. La figura muestra un circuito simplificado para una
batería, (b) la diferencia de potencial entre los unidad fotográfica con flash. El circuito consiste de
extremos del capacitor y (c) la carga almacenada en una batería de 9,00 V, un resistor de 50 k Ω, un
el capacitor. capacitor de 140 μF, un bulbo flash y dos
interruptores. Inicialmente el capacitor se encuentra
descargado y los dos interruptores están abiertos.
Para cargar la unidad, el interruptor S1 es cerrado;
para encender el flash, el Interruptor S2 (El cual es
conectado a la cámara) es cerrado. ¿Cuánto tiempo
le toma a la carga alcanzar 5 V en el capacitor?.

51. Si ε = 40 V, R1 = 80 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 40 Ω y el
cap acitor C = 4 μF est inicialmente descargado.
á
Si en t = 0 se cierra el interruptor. Determine: (a) la
intensidad de corriente en cada resistor
inmediatamente después de cerrar el interruptor y
(b) la carga final en el capacitor.
55. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el
interruptor se encuentra abierto por un período de
tiempo muy grande. Considerando que ε = 10 V,
R1 = 50 kΩ, R2 = 100 kΩ y C = 10 μF. Si en el
instante t = 0 dicho interruptor es súbitamente
cerrado. Determine: (a) la constante de tiempo
capacitiva antes de cerrar el interruptor, (b) la
conste de tiempo capacitiva después de cerrar el
interruptor y (c) la corriente que fluye por el
interruptor como función del tiempo después de
52. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Si que el interruptor es cerrado.
en el instante t = 0 se cierra el interruptor S.
Encuentre: (a) La constante de tiempo para el

330


R1 3
2
1 1.2MΩ
Key = A

E 120 V R2 600kΩ C 470uF

4

56. Considere el circuito RC mostrado en la figura.
Determine: (a) La constante de tiempo y (b) la
59. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor
corriente inicial para este circuito (c) se desea
incrementar la constante de tiempo de este circuito K es inicialmente cerrado y S está abierto. (a)
mediante el ajuste del valor de la resistencia de 6,5 Encuentre la diferencia de potencial entre los
Ω. Podr la resistencia de
ía éste resistor puntos a y b; (b) Posteriormente S es también
incrementarse o disminuirse para lograr el objetivo cerrado, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los
trazado. Explique puntos a y b?; (c) Si ahora K es abierto y S sigue
cerrado, ¿cuál es la constante de tiempo para la
descarga del capacitor?, ¿Cuál es la corriente y la
carga en función del tiempo?. Considere que la
batería tiene un resistencia interna 1 Ω

57. El circuito mostrado en la figura inicialmente se
encuentra con ambos interruptores abiertos y los
capacitores se encuentran completamente
descargados. Asumiendo que la resistencia interna
de la fuente de 50 V es despreciable. (a) ¿Cuál
es la corriente de la batería inmediatamente
después de cerrar S1 manteniendo S2 abierto?. (b)
¿Cuál es la corriente después de un tiempo largo de 60. Suponga que la batería del circuito mostrado en la
cerrar el interruptor S1 y mantener S2 abierto?. (c) figura tiene una resistencia interna de 0,75 Ω. (a)
¿Cuál será las cargas en los capacitores M y N en ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los
estas condiciones?. (d) Si ahora se cierra el extremos de la batería cuando el interruptor se
interruptor S2, ¿Cuál será las cargas sobre los encuentra abierto?, (b) ¿Cuando el interruptor es
capacitores M y N en régimen estacionario?. cerrado la diferencia de potencial en la batería
incrementará o disminuirá?. Explique. (c)
Encuentre la diferencia de potencial en los
extremos de la batería después de un tiempo largo
después de haber sido cerrado el interruptor.
2 3
Key = A

R1 11Ω C 45uF R2 5.6Ω

58. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura E
se encuentra inicialmente descargado. Determine: 1 4
(a) la corriente inicial de la batería inmediatamente 9V
después de cerrar el interruptor S; (b) La corriente
estacionaria a través de la batería después de
transcurrido un largo tiempo y (c) el voltaje 61. Un circuito está formado por un dínamo de 500 V
máximo a través del capacitor. de fem y 0,75 Ω de resistencia interna , la l a de
íne
1000 m de longitud, 4 mm de diámetro y 1, 75μΩ -
cm de resistividad; Además hay n lámparas de
incandescencia instaladas en derivación de 60W y
240 Ω cada una. Determine: (a)úmero de
el n

331


lámparas; (b) la caída de tensión en la línea y (c) el
rendimiento del generador.

62. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura
inicialmente se encuentra descargado cuando el
interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t
= 0 se cierra el interruptor S. (a) Determine la
corriente estacionaria a través de la batería después
de transcurrido un largo tiempo, (b) determine la
diferencia de potencial entre los bornes del 65. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, el
capacitor, (c) si la batería se desconecta del circuito interruptor es cerrado en t = 0. (a) determine la
abriendo nuevamente el interruptor S, determine la carga en el capacitor en t = (b) la diferencia de
∞,
corriente en función del tiempo, (d) ¿Cuánto potencial en el capacitor cuando t = 1,5τ, (c) la
tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que corriente en R1 en t = 0 y (d) la constante del
la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V. tiempo capacitiva del circuito.

R1
150ΩJ1A
3 7
Key = A R3
V1
55 V 125Ω
R2 4
175Ω C1
250pF
2

63. El capacitor del circuito mostrado en la figura se 66. En el circuito RC mostrado en la figura el capacitor
encuentra inicialmente descargado cuando el de 62 μF se encuentra inicialmente descargado
interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a)
corriente inicial en la batería inmediatamente ¿Cuál es la intensidad de corriente inicial
después de cerrar el interruptor S?. (b) ¿Cuál es la suministrada por la batería inmediatamente después
corriente de la batería un tiempo largo después de de cerrado el interruptor S?, (b) ¿Cuál es la
cerrar el interruptor S?. (c) ¿Cómo varía la intensidad de corriente a través de la batería
intensidad de corriente en la resistencia de 600 Ω después de un tiempo muy largo de haber cerrado
en función del tiempo, después de abrir el S?. (c) si después de haber mantenido el interruptor
interruptor S?. cerrado por un tiempo grande, se abre éste
determine la intensidad de corriente en función del
tiempo que pasa a través de la resistencia de 60 kΩ.

64. En el circuito de la figura el capacitor tiene una 67. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor
capacitancia de 2,5 μF y la resistencia es de 0,5 es cerrado en el instante t = 0. Determine los
MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la ca
ída de valores numéricos de las siguientes cantidades: (a)
potencial a través del capacitor es 12 V, como se la diferencia de potencial en el capacitor en t = ∞;
indica. Si el interruptor S se cierra en t = 0. (a) (b) la diferencia de potencial en el capacitor en
¿Cuál es la corriente en R inmediatamente después t = 2τ; (c) la intensidad de corriente que pasa por R2
de cerrar S?. (b) ¿Para qué tiempo el voltaje a en t = 0 y (d) la constante de tiempo capacitiva.
través del capacitor es de 24 V?.

332


2 R1 3 R2

Key = A 150Ω 50Ω
1 6
R3
150Ω
V1 R4
150 V 50Ω
4

C1
3mF
5

68. En el circuito mostrado en la figura el interruptor
71. En el circuito RC mostrado en la figura los
ha estado abierto por mucho tiempo. Si en el
capacitores están inicialmente descargados cuando
instante t = 0 es cerrado. Determine: (a) la corriente
el interruptor K se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la
en R3 después de un tiempo t = 1,25 después de
τ
corriente a través de cada una de las resistencias
cerrado el interruptor; (b) la intensidad de corriente
inmediatamente después de cerrado el interruptor
en R2 en t =∞; (c) usando las leyes de kirchhoff
S?. ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de
encuentre la constante de tiempo capacitiva para
cada resistencia después de un tiempo muy grande
cargar el capacitor.
de haber cerrado el interruptor?. (c) Cuál es la
5 R1 2 R3 carga final sobre cada uno de los capacitores?.
Key = A 1.5kΩ 750Ω 3
1
V1 R2 C1
375 V 2.5kΩ 1.5uF

0

69. Para el circuito mostrado en la figura. En el instante
t = 0 s el interruptor S está cerrado y en el instante t 72. En el circuito mostrado en la figura el capacitor
= 2 s está abierto. (a) Represente gráficamente el está inicialmente descargado y el interruptor
voltaje a través de C y la corriente a través de la abierto. Determine: (a) la corriente que pasa a
resistencia de 5 MΩ entre t = 0 s y t = 10 s. (b) través del resistor de 1000 justo despus de
Ω, é
Determine el voltaje a través del capacitor en los cerrar el interruptor y (b) la corriente en el resitor
tiempos t = 2 s y t = 8 s. de 1000 Ω, 1 hora después de cerrar el interruptor.

73. En el circuito mostrado en la figura determine: (a)
70. Los capacitores del circuito mostrado en la figura La intensidad de corriente en cada una de las ramas
están inicialmente descargados cuando el del circuito, (b) La carga en cada uno de los
interruptor S se encuentra abierto. Determine: (a) el capacitores cuando se cargan completamente.
valor de la corriente inicialmente suministrada por
la batería inmediatamente después de cerrado el
circuito, (b) la intensidad de corriente a través de la
batería después de un tiempo muy grande de haber
cerrado S y (c) las cargas finales sobre cada uno de
los capacitores.

333


Determine la lectura del amperímetro ideal y del
voltímetro.

78. En el circuito mostrado en la figura la fem de la
batería es de 110 V y su resistencia es despreciable.
74. En el circuito mostrado, determine: (a) la Si la resistencia del voltímetro es Ω. 1 kde
intensidad de corriente a través de cada una de las Determine la lectura del amperímetro ideal y del
resistencias, (b) la carga sobre cada uno de los voltímetro.
capacitores.

79. En el circuito mostrado en la figura la fem de la
75. En el circuito mostrado en la figura la batería tiene Si la resistencia del voltímetro es Ω. 2 kde
una fem de 100 V. ¿Cuál es la lectura del Determine la lectura del amperímetro ideal y del
voltímetro si su resistencia interna es deΩ?. k 2 voltímetro.
Desprecie la resistencia interna de la batería.

80. Si el voltímetro tiene una resistencia interna de
76. En el circuito mostrado en la figura la fem de la 1000 Ω. Determine la ón de este
indicaci
batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. instrumento cuando se le instala en el circuito tal
Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. como se muestra en la figura.
Determine la lectura del amperímetro ideal y del
voltímetro.

81. En el circuito mostrado en la figura, determine la
lectura del amperímetro. Se desprecian las
resistencias internas de las baterías y del
77. En el circuito mostrado en la figura la fem de la amperímetro,
Si la resistencia del voltímetro es Ω. 1 kde

334


respectivamente. Determine las lecturas de los
voltímetros en los siguientes casos: (a) el
interruptor K se mantiene abierto y (b) el
interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la
resistencia interna de la batería.

82. ¡Qué intensidad de corriente marca el amperímetro
de la figura si su resistencia es de 200 Ω. Desprecie
la resistencia interna de las baterías.

86. En el estado estacionario la carga sobre el capacitor
de 5 μF del circuito mostrado en la figura es de
1000 μC. Determine: (a) la corriente a travs de la
é
batería y (b) los valores de las resistencias R1, R2 y
R3.

lectura del amperímetro. Se desprecian las
resistencias internas de las baterías y del
amperímetro.

Determine: (a) la corriente que fluye a través de
cada una de las fuentes, (b) la potencia liberada en
cada resistor y (c) la energía liberada en el resistor
84. En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas de 3 Ω en un intervalo de tiempo de 5 minutos.
resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω,
respectivamente. Determine las lecturas de los
voltímetros y de los amperímetros en los siguientes
casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b)
el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia
la resistencia interna de la batería y de los
amperímetros

88. Considere que los medidores del circuito mostrado
en la figura son perfectos. Determine: (a) La
resistencia equivalente, (b) La intensidad de
corriente I1, (c) Las lecturas del amperímetro y del
voltímetro y (d) la potencia disipada por la
resistencia de 2 Ω.

85. En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas
resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω,

335


diferencia de potencial entre los puntos a y b.

batería tiene una fem 𝜀 = 5 𝑉 y una resistencia
89. En el circuito mostrado en a figura cuando el

interna de 𝑟 = 1𝛺. Las resistencias son R1 = 3 Ω,
93. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. la
interruptor K se abre el amperímetro marca 100
mA. Determine: (a) e valor de la resistencia
desconocida R (b) la intensidad de corriente en R2 = 4 Ω y R3 = 2 Ω. Determine las cargas en cada
cada una de las resistencias y c) la diferencia de una de las placas de cada uno de los capacitores
potencial entre los puntos B y C.

94. En el circuito RC de la figura se coloca el
90. En el circuito RC mostrado R = 540 MΩ y C = 120 interruptor K en la posición A en el instante t = 0 s
μF. El interruptor es cerrado en t = 0. (a) ¿En qué y después de una constante de tiempo (1τ) se pasa a
tiempo alcanzarán el 36% de su máximo valor las la posición B. Determine: (a) el régimen transitorio
siguientes cantidades: (a) la energía almacenada y completo de corriente y (b) el régimen transitorio
(b) la potencia liberada en R?. de carga. Desprecie las resistencias internas de las
baterías.

95. En el circuito mostrado cada uno de los resistores
91. En el circuito RC mostrado en la figura, la batería
tienen el mismo valor R = 6 Ω Y laía de bater

𝜀 = 6 𝑉. Determine: (a) la resistencia equivalente
tiene una fem de 4 V y una resistencia interna de
resistencia interna despreciable tiene una fem
1Ω. Sabiendo que R1 = 3Ω y R2 = 2Ω, C1 = 2 μF;
C2 = 8 μF; C3 = 4 μF; y C4 = 6 μF. Determine: (a)
del sistema, Las corrientes I1, I2 e I3.
La intensidad de corriente a través de la resistencia
R1, (b) Las cargas en las armaduras de cada uno de
los capacitores después de un tiempo muy grande y
(c) la potencia entregada al circuito por la batería.

336


Determine: (a) Las corrientes en cada una de las
ramas, (b) La diferencia de potencial entre los
puntos a y b y (c) La potencia disipada en la

Determine: (a) Las corrientes en cada una de las
ramas, (b) La diferencia de potencial entre los
puntos a y b y (c) La potencia disipada en la
97. En el circuito mostrado en la figura el amperímetro
ideal indica el paso de una intensidad de corriente
de 3A dirigida de a hacia b. Encuentre: (a) la
intensidad de corriente que pasa a través de los
resisto es d e 8 Ω y 3 Ω y (b) la lectu a d e
r r l
voltímetro ideal.

intensidad de corriente a través de la fuente de
tensión.

98. Los condensadores del circuito mostrado en la
figura están inicialmente descargados. El
interruptor S se cierra primero y después se cierra
el interruptor K. (a) ¿Cuál es la corriente en la
batería inmediatamente después de cerrar S?. (b)
¿Cuál es la intensidad de corriente de la batería un
tiempo largo después de cerrar ambos
interruptores?. (c) ¿Cuáles son los voltajes finales a
través los condensadores? Y (d) Después de un
tiempo prolongado se abre el interruptor K. ¿Cuál
sería la corriente en el resistor de 150Ω en función 102. Halle la resistencia equivalente entre los bornes x e
del tiempo?. y de la red mostrada en la figura.

99. Para el circuito mostrado en la figura. Determine:
(a) La lectura del amperímetro y del voltímetro
considerando a estos instrumentos ideales, (b) la
potencia disipada en las resistencias de 100 Ω y 50 103. Un tetraedro regular es una pirámide con su base
Ω, respectivamente y (c) la potencia entregada por triangular. Si en cada una de sus aristas se
las baterías. encuentran instaladas resistencias iguales de R = 20
Ω con uniones en su cuatro v értices. Una batería de
24 V es instalada a dos de sus vértices de la base
del tetraedro. (a) ¿Cuál sería la resistencia
equivalente entre dos vértices del tetraedro?. (b)

337


¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la
batería?. 107. El circuito muestra el modelo de un circuito para la
transmisión de señal eléctrica, como por ejemplo
104. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el televisión por cable, a un gran número de usuarios.
interruptor ha estado cerrado durante un tiempo Cada usuario conecta una resistencia de carga RL
suficientemente largo para que el capacitor se entre la línea de transmisión y la tierra.
cargue por completo. Determine: (a) la intensidad Supuestamente la tierra se encuentra a potencial
de corriente en estado estacionario en cada uno de cero y es capaza de conducir corriente de cualquier
los resistores y (b) la carga Q del capacitor. (c) tamaño entre cualquier conexión a tierra con una
Ahora el interruptor se abre en t = 0. Escriba una resistencia despreciable. Determine la resistencia
ecuación para la intensidad de corriente a través de equivalente entre los terminales del origen de la
la resistencia d e 1 5 Ω como funci del tiempo y
ón señal.
(d) determine el intervalo de tiempo necesario para
que la carga del capacitor se reduzca a un quinto de
su valor inicial.

108. Tres bombillas de 60 W, 120 V, están conectadas a
una fuente de potencia de 220, como se muestra en
la figura. Determine: (a) la potencia total entregada
105. El circuito mostrado en la figura contiene dos a las tres bombillas y (b) el voltaje aplicado a cada
resistencias R1 = 2 kΩ y R2 = 3 k Ω, si como d o s una de las bombillas. Suponer que la resistencia de

una batería cuya fem es 𝜀 = 120 𝑉. Antes de cerrar
capacitores, C1 = 2 μF y C2 = 3 μF, conectados a cada bombilla es constante (aun cuando la
resistencia varía considerablemente con la
el interruptor S los capacitores se encuentran temperatura).
completamente descargados. Determine la carga q1
q2, en cada uno de los capacitores después de cerrar
los interruptores en función del tiempo.

109. (a) Usando argumentos de simetría muestre que la
intensidad de corriente a través d cualquier resistor
del circuito mostrado es I/3 o I/6. (b) Si cada uno
de los resistores tienen una resistencia R, muestre
que la resistencia equivalente entre los bornes a y b
es Req = (5/6)R.
106. El interruptor S ha estado cerrado durante mucho
tiempo de tal manera que el circuito eléctrico
mostrado en la figura lleva una corriente constante.
Considerando que C1 = 3 μF, C2 = 6 μF, R1 = 4 kΩ
y R2 = 7 kΩ y la potencia entregada a R2 es de 2,4
W. (a) Determine la carga en cada uno de los
capacitores, (b) Suponga que ahora se abre el
interruptor. Después de varios milisegundos,
¿Cuánto ha cambiado la carga en C2?.

110. Un galvanómetro, el cual requiere de una
intensidad de corriente de 1 mA para una deflexión
de la escala completa, que tiene una resistencia
interna de 60 Ω, puede ser utilizado para medir
intensidades de corriente mucho mayores. Para
permitir que un operador pueda medir corrientes

338


elevadas sin dañar el galvanómetro, se conecta a
éste una resistencia muy pequeña (resistencia
Shunt) en paralelo como se muestra en la figura
permitiendo de esta forma que la mayoría de
corriente fluya por la resistencia Shunt. Determine
el valor de la resistencia Shunt a utilizar si se quiere
medir corrientes de 10 A para una deflexión
completa de la escala.
115. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener
una deflexión de la aguja a escala completa para
200 mV, 2 V ; 20 V y 600 V, utilizando un
galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el
cual permite una deflexión de la aguja a escala
completa para 0,5 mA.

111. El galvanómetro descrito en el problema anterior
puede ser utilizado para medir voltajes. En este
caso se conecta en serie con el galvanómetro un
resistor grande Rp como se muestra en la figura. El
efecto es limitar la corriente que pase por el
galvanómetro cuando se apliquen voltajes elevados.
La mayor parte de caída de potencial ocurre en el
resistor en serie RP. Determine el valor de RP que
116. El galvanómetro tiene una resistencia interna de
permita medir al galvanómetro medir un voltaje
20 Ω y requiere de 2 mA para una deflexión de la
aplicado de 100 V con una deflexión de escala
escala completa. ¿Cuáles serán los valores de las
completa.
resistencias shunt necesarias para los tres rangos
indicados.

112. Un galvanómetro con una sensibilidad a escala
completa de 1 mA requiere de un resistor de 900 Ω
en serie para construir un voltímetro cuya lectura a
escala completa sea de 1,00 V cuando sus
terminales son conectados. ¿Qué resistencia es
requerida para convertir al galvanómetro en un 117. Diseñe un amperímetro rango múltiple capaz de
voltímetro que permita leer un voltaje de 50,0 V?. obtener una deflexión de la aguja a escala completa
113. Suponiendo que un galvanómetro tiene una para 20 mA, 200 mA y 10A, utilizando un
resistencia interna de 60 Ω y requiere una galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el
intensidad de corriente de 0,5 mA para producir una cual permite una deflexión de la aguja a escala
deflexión de la escala completa. ¿Qué resistencia completa para 1 mA.
Rsh debería conectarse en paralelo con el
galvanómetro si la combinación debería utilizarse
como un amperímetro el cual permite leer una
intensidad de corriente de 100 mA para una
deflexión de la escala completa?.

114. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener
una deflexión de la aguja a escala completa para 1
V ; 10 V y 50 V, utilizando un galvanómetro cuya
resistencia interna es de 50 Ω el cual permite una
deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA.
118. En el circuito mostrado en la figura, encuentre: (a)
la corriente inicial que fluye a través de cada uno
de los resistores cuando el interruptor es cerrado,
(b) la corriente de régimen estacionario en cada

339


resistor y (c) la energía final almacenada en
capacitor y (d) la constante de tiempo capacitiva
cuando el interruptor es abierto.

122. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia
119. El puente de Wheatstone mostrado en la figura es interna del voltímetro y del amperímetro so
utilizado para hacer medidas precisas de RV = 1 kΩ ; RA = 0,1 Ω. El resistor R tiene una
resistencias de alambres de conexión. Si R3 = 1 kΩ resistencia de 10 Ω. (a) ¿Cuáles son los valores de
y el puente se encuentra balanceado mediante el la corriente y la diferencia de potencial a través del
ajuste de R1 tal que R1 = 2,5 R2. Determine el valor resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia
de la resistencia desconocida Rx. de potencial medidas por el los medidores?.

123. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia
interna del voltímetro y del amperímetro so Rv =
1kΩ; RA = 0,1 Ω . El resistor R tiene una resistencia
120. Suponga que el puente de Wheatstone mostrado en
la figura del problema anterior se encuentra no de 10 Ω . (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente
balanceado. Determine la intensidad de corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?.
que pasa a través del galvanómetro cuando Rx = R3 (b) cuales son la corriente y la diferencia de
= 7 Ω, R2 = 21 Ω y R1 = 14 Ω. Suponga que la potencial medidas por el los medidores?.
batería de resistencia interna despreciable
proporciona una fem de 70 V y que la resistencia
interna del galvanómetro es despreciable.

121. El circuito mostrado en la figura corresponde a un
potenciómetro. Cuando se utiliza una batería
estándar con una fem de 1,0186 V en el circuito y
la resistencia entre a y d es d e 3 6 Ω, el
galvanómetro marca cero. Si la batería estándar es
remplazada por una batería cuya fem es

ajustada a 48 Ω. Determine el valor de la fem 𝜀 𝑥 .
desconocida, el galvanómetro no registra el paso de 124. Sea el circuito eléctrico mostrado en la figura. Se
corriente alguna cuando la resistencia entre a y d es conocen: r = 1 Ω, R = 10Ω, la resistencia del
voltímetro es Rv = 200 Ω. Calcular el error relativo
de las indicaciones del voltímetro, el cual se
obtiene al suponer que el voltímetro tiene una
resistencia infinitamente grande y que por lo tanto
no introduce distorsión alguna en el circuito.

340


y por la espiral del calentador?. (b) ¿Cuáles es el
valor de la resistencia de la lámpara de iluminación
(c) ¿Cuál es el valor la resistencia de la espiral?.
(d) ¿Cuánto tiempo demorará en hervir 500 g de
agua en el calentador K si su temperatura inicial es
20°C. Considere que en el calentamiento del agua
se invierte el 80% del calor emitido por la espiral.
Desprecie la resistencia del la fuente y del
amperímetro. (ce,w = 4186 J/kg.°C)
125. Cada una de las celdas del circuito mostrado tiene
una fem de 0,6 V una resistencia interna de r =
0,6Ω. (a) ¿Cuál es la fem neta del circuito?, (b)
¿Cuál es la resistencia interna total de las baterías
del circuito?. (c) ¿Cuál es la resistencia neta de
carga del circuito?, (d) ¿Cuál es el voltaje V5 a
través del resistor R5?, (e) ¿Cuál es la potencia
disipada en el resistor R7?.

128. ¿Cuáles son las lecturas del amperímetro y del
voltímetro ideales cuando: (a) el interruptor está
abierto, (b) el interruptor está cerrado?.

126. ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente en el
galvanómetro del puente de Wheatstone no
balanceado, mostrado en la figura?. Considere que
129. En el circuito mostrado en la figura V1 = 20 V y V2
la resistencia de la fuente de fem es despreciable y
= 15 V y las resistencias toman los valores
la resistencia interna del galvanómetro es 20Ω.
siguientes: R1 = R2 = 10Ω; R3 = 15Ω y R4 = R5 =
20 Ω. Determine: (a) la corriente en cada una de las
partes del circuito, (b) la potencia en el resistor R1.

127. En la figura ε es una batería con una fem de 120 V;
R1 = 10 Ω, R2 es la espiral del calentador eléctrico 130. En la figura ε es una bater con una f.e.m. de 110
ía
y R3 es una lámpara de iluminación la cual disipara V y una resistencia interna de 5 Ω, K es un
una potencia de 1200 W. Si al cerrar el interruptor S calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro
el amperímetro indica 12 A. (a) ¿Cuáles son las marca 2A, y el voltímetro, 10,8 V. (a) ¿A qué es
intensidades de corriente que fluyen por la lámpara igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿A qué es

341


igual el calor específico del kerosene, si a los 5 133. Complete la tabla de valores en el circuito
minutos de fluir la corriente por la espiral R1 el mostrado. Si el voltímetro indica 2,233 V.
kerosene se ha calentado 5ºC?. Considere que en el
calentamiento del keroseno se invierte el 80% del
calor emitido por la espiral. (c) ¿A qué es igual la
resistencia del reóstato R?. El voltímetro y el
amperímetro son ideales.

131. Complete la tabla de valores para el circuito
mostrado en la figura

134. En el circuito mostrado en la figura, obtenga la
carga en cada uno de los capacitores cuando se ha
alcanzada el régimen permanente.

1uF 1uF
2
R1 C3
1 4
500Ω 3uF
R2
200Ω
V1
10 V
132. Complete la tabla de valores en el circuito 3 C6
mostrado 2uF
5 V2
20 V
R3
7
800Ω
C4 C5
6
2uF 1uF

135. En el circuito mostrado en la figura: (a) ¿Cuál debe
ser la fem ε de la batería para que fluya una
corriente de 2 A a través de la batería de 5 V, como
se muestra?. Es correcta la polaridad de la batería
que se indica?. (b) ¿cuánto tiempo toma producir
60 J de energía térmica en el resistor de 10 Ω?.

342


136. En el circuito mostrado. (a) Determine el voltaje a
través del condensador. (b) Si la batería se
desconecta, exprese la corriente del condensador en
función del tiempo. (c) ¿Cuánto tiempo tardará en
descargarse el condensador hasta que la diferencia
de potencial a su través sea de un voltio?. (d) Si el
condensador se reemplaza por una resistencia de 30
Ω ¿Cuáles son las intensidades de corriente que
fluyen por las resistencias.

137. En el circuito eléctrico mostrado en la figura y bajo
las condiciones de régimen estable. Determine: (a)
las intensidades de corriente I1, I2 e I3, (b) la carga
en el capacitor

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